2．4 平面向量的数量积
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课件56张PPT。2．4 平面向量的数量积 1．向量数量积的物理背景
一个物体在力f的作用下产生位移s，那么力f所做的功W＝ .其中θ是f与位移s之间的夹角．这一物理公式告诉我们两个向量可以定义乘积运算，并且它们的积是一个 ．数量|f||s|cosθ2．向量数量积的定义
两个非零向量a与b的数量积(或内积)为：a·b＝ ，其中θ是 ，
当θ为 时，a·b>0.
当θ为 时，a·b<0.
当θ为 时，a·b＝0.
当θ＝ 时，a·b＝－|a||b|.
当θ＝ 时，a·b＝|a|·|b|.
规定零向量与任一向量的数量积为0.|a|·|b|cosθa与b的夹角锐角钝角直角180°0°3．向量数量积的几何意义
对于a·b＝|a|·|b|cosθ，其中 叫做向量b在a方向上的投影(θ为向量a与b的夹角)， 叫做向量a在b方向上的投影．
a·b的几何意义是：数量积a·b等于 ．|b|·cosθ|a|·cosθa的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积4．向量数量积的性质
设a与b都是非零向量，则
(1)a⊥b? ；
(2)若a与b同向，则a·b＝ ；若a与b反向，则a·b＝ ，特别地：a·a＝ 或|a|＝ ；
(3)若θ为a、b的夹角，则cosθ＝ .
(4)|a·b|≤|a|·|b|.a·b＝0|a|·|b|－|a|·|b||a|25．向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝ ；
(2)结合律：λ(a·b)＝ ＝ ；
(3)分配律：(a＋b)·c＝ .b·a(λa)·ba·(λb)a·c＋b·c重点：平面向量数量积的概念，用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角．
难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用．1．两向量的数量积是一个实数，而不是向量．要注意两向量数量积的书写为a·b，中间的圆点不能省略．
2．当a≠0时，a·b＝0不能推出b一定为零向量，这是因为对任一与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0.
3．若a、b、c为实数，当b≠0时，ab＝bc?a＝c，但对于向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·c?/ a＝c.由图很容易看出，虽然a·b＝b·c，但a≠c.4．对于实数a、b、c有(a·b)c＝a(b·c)；但对向量a、b、c，(a·b)·c＝a·(b·c)一般不成立，这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)·c＝a·(b·c)一般不成立，即使c与a共线，此式也不一定成立．7．注意(1)a·b>0与a、b夹角为锐角不等价，∵a·b>0包括同向的情况；
(2)a·b<0与a、b的夹角为钝角也不等价，∵a·b<0包括反向的情况．8．(1)|a＋b|＝|a－b|?a⊥b.
(2)|a＋b|＝|a|＋|b|?a与b同向或至少有一个为0.
(3)|a－b|＝|a|＋|b|?a与b反向或至少有一个为0.
(4)|a±b|≤|a|＋|b|.
(5)|a·b|≤|a|·|b|.
(6)|λa|＝|λ||a|.
[例1] 已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角为θ＝150°，求a·b，(a－b)2，|a＋b|.
[分析] 利用数量积的定义求解，特别注意|a|2＝a·a.
a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.
[答案] 7
[例2] 已知a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．
[分析] 求a与a＋b的夹角，一般应先计算|a|，|a＋b|，及a·(a＋b)，为此须考虑条件的作用，即怎样建立
与条件式的联系是解题的关键．
若从条件入手寻找解题途径，应从a－b与a＋b的几何意义着手探求已知与待求的联系．
已知|a|＝2，|b|＝4.
(1)当a⊥b时，|a＋b|＝________；
(2)当a∥b时，a·b＝________；
(3)若a＋2b与3a－b垂直，则向量a与b的夹角为________．
[例3] 求证△ABC的三条高线交于一点．
[分析] 由“高”想到垂直，两条高线必相交于一点，如BC边上的高线与AB边上的高线相交于P，只须证点P在AC边的高线上，即证BP⊥AC.将已知和待证用向量表示即可完成证明．[点评] 证明三线共点问题一般从两线交点入手，证明第三条线过该点，垂直问题一般都利用数量积为0来解决．
本题是用语言叙述的数学问题，需要作出图形，先把用数学语言描述的问题转化为具体的平面向量问题，再进行证明．
求证菱形的两条对角线互相垂直．[分析] 由数量积的运算律可对条件式进行变形，转化为三角形边的关系．[答案] A
[解析] 由a·b<0易知〈a，b〉为钝角．[例5] 已知a，b是非零向量，若a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直．
试求：a与b的夹角．
[分析] 求a、b的夹角θ可利用公式a·b＝|a||b|cosθ，利用题设中的垂直条件，可得|a|、|b|的方程组求得|a|、|b|的关系，将它代入公式求出θ的值．[答案] C [解析] a(b－a)＝a·b－a2
＝|a|·|b|cos〈a，b〉－|a|2
＝6cos〈a，b〉－1＝2，一、选择题
1．若a·c＝b·c(c≠0)，则 ( )
A．a＝b
B．a≠b
C．|a|＝|b|
D．a在c方向上的投影与b在c方向上的投影必相等
[答案] D
[解析] 设a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，
∵a·c＝b·c，∴|a|·|c|cosθ1＝|b|·|c|cosθ2，
即|a|cosθ1＝|b|cosθ2，故选D.2．若|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则a与b的夹角等于
( )
A．150° B．120° C．60° D．30°
[答案] B
[解析] 因为a·b＝|a||b|cosθ，所以3．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为
( )
A．2 B．4 C．6 D．12
[答案] C
[解析] ∵a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2|a|，
∴(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b
＝|a|2－2|a|－96＝－72.
∴|a|＝6.∴选C.[答案] D
[解析] 因为a＝(3，m)，b＝(2，－1)，
所以a·b＝6－m＝0，得m＝6，故选D.二、填空题
5．(2010·江西文，13)已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是__________．
[答案] 16．若|a|＝6，|b|＝12，且(λa＋b)⊥(λa－b)，则λ的值为________．
[答案] ±2
[解析] ∵(λa＋b)⊥(λa－b)，
∴(λa＋b)·(λa－b)＝0，
∴λ2a2＋λa·(－b)＋b·λa－b2＝0.
∴λ2|a|2－|b|2＝0，∴λ2＝4，∴λ＝±2.[答案] 等边三角形 8．(2010·浙江文，13)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．三、解答题
9．已知m、n是夹角为60°的两个单位向量，求向量a＝2m＋n和b＝－3m＋2n的夹角θ.10．已知|a|＝1，|b|＝ ，且a与b的夹角为θ.
(1)若a∥b，求a·b；
(2)若a、b的夹角为60°，求|a＋b|；
(3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角．
一个物体在力f的作用下产生位移s，那么力f所做的功W＝ .其中θ是f与位移s之间的夹角．这一物理公式告诉我们两个向量可以定义乘积运算，并且它们的积是一个 ．数量|f||s|cosθ2．向量数量积的定义
两个非零向量a与b的数量积(或内积)为：a·b＝ ，其中θ是 ，
当θ为 时，a·b>0.
当θ为 时，a·b<0.
当θ为 时，a·b＝0.
当θ＝ 时，a·b＝－|a||b|.
当θ＝ 时，a·b＝|a|·|b|.
规定零向量与任一向量的数量积为0.|a|·|b|cosθa与b的夹角锐角钝角直角180°0°3．向量数量积的几何意义
对于a·b＝|a|·|b|cosθ，其中 叫做向量b在a方向上的投影(θ为向量a与b的夹角)， 叫做向量a在b方向上的投影．
a·b的几何意义是：数量积a·b等于 ．|b|·cosθ|a|·cosθa的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积4．向量数量积的性质
设a与b都是非零向量，则
(1)a⊥b? ；
(2)若a与b同向，则a·b＝ ；若a与b反向，则a·b＝ ，特别地：a·a＝ 或|a|＝ ；
(3)若θ为a、b的夹角，则cosθ＝ .
(4)|a·b|≤|a|·|b|.a·b＝0|a|·|b|－|a|·|b||a|25．向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝ ；
(2)结合律：λ(a·b)＝ ＝ ；
(3)分配律：(a＋b)·c＝ .b·a(λa)·ba·(λb)a·c＋b·c重点：平面向量数量积的概念，用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角．
难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用．1．两向量的数量积是一个实数，而不是向量．要注意两向量数量积的书写为a·b，中间的圆点不能省略．
2．当a≠0时，a·b＝0不能推出b一定为零向量，这是因为对任一与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0.
3．若a、b、c为实数，当b≠0时，ab＝bc?a＝c，但对于向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·c?/ a＝c.由图很容易看出，虽然a·b＝b·c，但a≠c.4．对于实数a、b、c有(a·b)c＝a(b·c)；但对向量a、b、c，(a·b)·c＝a·(b·c)一般不成立，这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)·c＝a·(b·c)一般不成立，即使c与a共线，此式也不一定成立．7．注意(1)a·b>0与a、b夹角为锐角不等价，∵a·b>0包括同向的情况；
(2)a·b<0与a、b的夹角为钝角也不等价，∵a·b<0包括反向的情况．8．(1)|a＋b|＝|a－b|?a⊥b.
(2)|a＋b|＝|a|＋|b|?a与b同向或至少有一个为0.
(3)|a－b|＝|a|＋|b|?a与b反向或至少有一个为0.
(4)|a±b|≤|a|＋|b|.
(5)|a·b|≤|a|·|b|.
(6)|λa|＝|λ||a|.
[例1] 已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角为θ＝150°，求a·b，(a－b)2，|a＋b|.
[分析] 利用数量积的定义求解，特别注意|a|2＝a·a.
a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.
[答案] 7
[例2] 已知a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．
[分析] 求a与a＋b的夹角，一般应先计算|a|，|a＋b|，及a·(a＋b)，为此须考虑条件的作用，即怎样建立
与条件式的联系是解题的关键．
若从条件入手寻找解题途径，应从a－b与a＋b的几何意义着手探求已知与待求的联系．
已知|a|＝2，|b|＝4.
(1)当a⊥b时，|a＋b|＝________；
(2)当a∥b时，a·b＝________；
(3)若a＋2b与3a－b垂直，则向量a与b的夹角为________．
[例3] 求证△ABC的三条高线交于一点．
[分析] 由“高”想到垂直，两条高线必相交于一点，如BC边上的高线与AB边上的高线相交于P，只须证点P在AC边的高线上，即证BP⊥AC.将已知和待证用向量表示即可完成证明．[点评] 证明三线共点问题一般从两线交点入手，证明第三条线过该点，垂直问题一般都利用数量积为0来解决．
本题是用语言叙述的数学问题，需要作出图形，先把用数学语言描述的问题转化为具体的平面向量问题，再进行证明．
求证菱形的两条对角线互相垂直．[分析] 由数量积的运算律可对条件式进行变形，转化为三角形边的关系．[答案] A
[解析] 由a·b<0易知〈a，b〉为钝角．[例5] 已知a，b是非零向量，若a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直．
试求：a与b的夹角．
[分析] 求a、b的夹角θ可利用公式a·b＝|a||b|cosθ，利用题设中的垂直条件，可得|a|、|b|的方程组求得|a|、|b|的关系，将它代入公式求出θ的值．[答案] C [解析] a(b－a)＝a·b－a2
＝|a|·|b|cos〈a，b〉－|a|2
＝6cos〈a，b〉－1＝2，一、选择题
1．若a·c＝b·c(c≠0)，则 ( )
A．a＝b
B．a≠b
C．|a|＝|b|
D．a在c方向上的投影与b在c方向上的投影必相等
[答案] D
[解析] 设a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，
∵a·c＝b·c，∴|a|·|c|cosθ1＝|b|·|c|cosθ2，
即|a|cosθ1＝|b|cosθ2，故选D.2．若|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则a与b的夹角等于
( )
A．150° B．120° C．60° D．30°
[答案] B
[解析] 因为a·b＝|a||b|cosθ，所以3．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为
( )
A．2 B．4 C．6 D．12
[答案] C
[解析] ∵a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2|a|，
∴(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b
＝|a|2－2|a|－96＝－72.
∴|a|＝6.∴选C.[答案] D
[解析] 因为a＝(3，m)，b＝(2，－1)，
所以a·b＝6－m＝0，得m＝6，故选D.二、填空题
5．(2010·江西文，13)已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是__________．
[答案] 16．若|a|＝6，|b|＝12，且(λa＋b)⊥(λa－b)，则λ的值为________．
[答案] ±2
[解析] ∵(λa＋b)⊥(λa－b)，
∴(λa＋b)·(λa－b)＝0，
∴λ2a2＋λa·(－b)＋b·λa－b2＝0.
∴λ2|a|2－|b|2＝0，∴λ2＝4，∴λ＝±2.[答案] 等边三角形 8．(2010·浙江文，13)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．三、解答题
9．已知m、n是夹角为60°的两个单位向量，求向量a＝2m＋n和b＝－3m＋2n的夹角θ.10．已知|a|＝1，|b|＝ ，且a与b的夹角为θ.
(1)若a∥b，求a·b；
(2)若a、b的夹角为60°，求|a＋b|；
(3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角．