1．向量数量积的坐标表示、模、夹角
文档属性
| 名称 | 1．向量数量积的坐标表示、模、夹角 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 575.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-04-02 08:14:00 | ||
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文档简介
课件51张PPT。1．平面向量数量积的坐标表示
(1)设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ .x1x2＋y1y22．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求a·b，|a|，|b|，a与b的夹角θ.重点：用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角．
难点：对向量的模及其夹角的理解和应用．1．注意两向量平行与垂直关系的区别
对于两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，有
①a⊥b?x1x2＋y1y2＝0；
②a∥b?x1y2－x2y1＝0.
2．平面向量数量积的坐标表示式的推证
设i、j为x轴、y轴上的单位向量，即i＝(1,0)，j＝(0,1)，且a、b为两个非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2.
[例1] 已知向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋λb与向量－b互相垂直，则实数λ的值为
( )
[分析] 利用向量线性运算和垂直的坐标表示求解．[解析] a＋λb＝(3,4)＋λ(2，－1)＝(3＋2λ，4－λ)，－b＝(－2,1)，
∵(a＋λb)⊥(－b)，∴－2(3＋2λ)＋4－λ＝0，
∴λ＝－ ，故选D.
(09·宁夏、海南文)已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为 ( )
[答案] A[解析] ∵a＝(－3,2)，b＝(－1,0)
λa＋b＝λ(－3,2)＋(－1,0)＝(－3λ－1,2λ)
a－2b＝(－3,2)－2(－1,0)＝(－1,2)
∵λa＋b与a－2b垂直，
∴(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0
7λ＋1＝0，∴λ＝－[分析] △ABC是直角三角形，但未指明哪个角为直角，故须分类讨论，依据向量垂直的坐标表示列方程求k.
已知四边形ABCD的顶点分别为A(2,1)，B(5,4)，C(2,7)，D(－1,4)，求证：四边形ABCD是正方形．[答案] C [解析] ∵a＝(2,1)，∴|a|2＝5，
又a·b＝10，|a＋b|＝5
∴|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝5＋20＋|b|2＝50，
∴|b|2＝25，∴|b|＝5.[分析] 若设所求向量为e＝(x，y)，则可由e与a，b的夹角相等，及|e|＝1建立x、y的两个方程，解方程组可求得e.[解析] 设所求向量为e＝(x，y)，
∵|a|＝|b|，且|e|＝1，＝，
∴a·e＝b·e，
又|e|＝1，∴选B.[答案] C [答案] B [例6] 已知⊙C：(x＋2)2＋(y－1)2＝9及定点A(－1,1)，M是⊙C上任意一点，点N在射线AM上，且|AM|＝2|MN|，动点N的轨迹为C，求C的轨迹方程．代入圆方程中得(2x＋5)2＋(2y－2)2＝81或(2x＋3)2＋(2y－2)2＝9.
即为所求的轨迹方程．一、选择题
1．已知平面向量a＝(3,1)，b＝(x，－3)，且a⊥b，则x等于
( )
A．3 B．1
C．－1 D．－3
[答案] B
[解析] 由3x＋1×(－3)＝0得x＝1.2．若平面向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3 ，则b等于
( )
A．(－3,6) B．(3，－6)
C．(6，－3) D．(－6,3)
[答案] A[点评] ∵b与a夹角180°，∴b与a方向相反，故可设b＝ka(k<0)，∴b＝(k，－2k)，由|b|＝3 得k2＋4k2＝45，∴k＝－3，∴b＝(－3,6)．[答案] B 二、填空题
4．已知a＝(1,2)，b＝(3,1)，则|3a－2b|＝________.
[答案] 5
[解析] ∵3a－2b＝(－3,4)，5．已知a＝(2,3)，b＝(－2,4)，c＝(－1,2)，则a·(b＋c)＝________.
[答案] 12
[解析] 原式＝(2,3)·(－3,6)＝－6＋18＝12.6．已知a＝(2,3)，b＝(－1,4)，c＝(5,6)，那么(a·b)·c＝________，a·(b·c)＝________.
[答案] (50,60) (38,57)
[解析] ∵a·b＝(2,3)·(－1,4)＝－2＋12＝10，
∴(a·b)·c＝10(5,6)＝(50,60)．
∵b·c＝(－1,4)·(5,6)＝－5＋24＝19，
∴a·(b·c)＝(2,3)·19＝(38,57)．7．已知a＝(3,4)，b⊥a，且b的起点坐标为(1,2)，终点坐标为(x,3x)，则b＝________.[解析] b＝(x－1,3x－2)，
∵b⊥a，∴b·a＝0，
即3(x－1)＋4(3x－2)＝0，三、解答题
8．已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：
(1)a与b的夹角为90°；
(2)a与b的夹角为钝角；
(3)a与b的夹角为锐角．
(1)设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ .x1x2＋y1y22．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求a·b，|a|，|b|，a与b的夹角θ.重点：用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角．
难点：对向量的模及其夹角的理解和应用．1．注意两向量平行与垂直关系的区别
对于两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，有
①a⊥b?x1x2＋y1y2＝0；
②a∥b?x1y2－x2y1＝0.
2．平面向量数量积的坐标表示式的推证
设i、j为x轴、y轴上的单位向量，即i＝(1,0)，j＝(0,1)，且a、b为两个非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2.
[例1] 已知向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋λb与向量－b互相垂直，则实数λ的值为
( )
[分析] 利用向量线性运算和垂直的坐标表示求解．[解析] a＋λb＝(3,4)＋λ(2，－1)＝(3＋2λ，4－λ)，－b＝(－2,1)，
∵(a＋λb)⊥(－b)，∴－2(3＋2λ)＋4－λ＝0，
∴λ＝－ ，故选D.
(09·宁夏、海南文)已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为 ( )
[答案] A[解析] ∵a＝(－3,2)，b＝(－1,0)
λa＋b＝λ(－3,2)＋(－1,0)＝(－3λ－1,2λ)
a－2b＝(－3,2)－2(－1,0)＝(－1,2)
∵λa＋b与a－2b垂直，
∴(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0
7λ＋1＝0，∴λ＝－[分析] △ABC是直角三角形，但未指明哪个角为直角，故须分类讨论，依据向量垂直的坐标表示列方程求k.
已知四边形ABCD的顶点分别为A(2,1)，B(5,4)，C(2,7)，D(－1,4)，求证：四边形ABCD是正方形．[答案] C [解析] ∵a＝(2,1)，∴|a|2＝5，
又a·b＝10，|a＋b|＝5
∴|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝5＋20＋|b|2＝50，
∴|b|2＝25，∴|b|＝5.[分析] 若设所求向量为e＝(x，y)，则可由e与a，b的夹角相等，及|e|＝1建立x、y的两个方程，解方程组可求得e.[解析] 设所求向量为e＝(x，y)，
∵|a|＝|b|，且|e|＝1，
∴a·e＝b·e，
又|e|＝1，∴选B.[答案] C [答案] B [例6] 已知⊙C：(x＋2)2＋(y－1)2＝9及定点A(－1,1)，M是⊙C上任意一点，点N在射线AM上，且|AM|＝2|MN|，动点N的轨迹为C，求C的轨迹方程．代入圆方程中得(2x＋5)2＋(2y－2)2＝81或(2x＋3)2＋(2y－2)2＝9.
即为所求的轨迹方程．一、选择题
1．已知平面向量a＝(3,1)，b＝(x，－3)，且a⊥b，则x等于
( )
A．3 B．1
C．－1 D．－3
[答案] B
[解析] 由3x＋1×(－3)＝0得x＝1.2．若平面向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3 ，则b等于
( )
A．(－3,6) B．(3，－6)
C．(6，－3) D．(－6,3)
[答案] A[点评] ∵b与a夹角180°，∴b与a方向相反，故可设b＝ka(k<0)，∴b＝(k，－2k)，由|b|＝3 得k2＋4k2＝45，∴k＝－3，∴b＝(－3,6)．[答案] B 二、填空题
4．已知a＝(1,2)，b＝(3,1)，则|3a－2b|＝________.
[答案] 5
[解析] ∵3a－2b＝(－3,4)，5．已知a＝(2,3)，b＝(－2,4)，c＝(－1,2)，则a·(b＋c)＝________.
[答案] 12
[解析] 原式＝(2,3)·(－3,6)＝－6＋18＝12.6．已知a＝(2,3)，b＝(－1,4)，c＝(5,6)，那么(a·b)·c＝________，a·(b·c)＝________.
[答案] (50,60) (38,57)
[解析] ∵a·b＝(2,3)·(－1,4)＝－2＋12＝10，
∴(a·b)·c＝10(5,6)＝(50,60)．
∵b·c＝(－1,4)·(5,6)＝－5＋24＝19，
∴a·(b·c)＝(2,3)·19＝(38,57)．7．已知a＝(3,4)，b⊥a，且b的起点坐标为(1,2)，终点坐标为(x,3x)，则b＝________.[解析] b＝(x－1,3x－2)，
∵b⊥a，∴b·a＝0，
即3(x－1)＋4(3x－2)＝0，三、解答题
8．已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：
(1)a与b的夹角为90°；
(2)a与b的夹角为钝角；
(3)a与b的夹角为锐角．