2011年中考数学高分冲刺（５份）

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中考高分冲刺－冲刺六
统计问题的“三项注意”和概率求法的“一个核心”
一、以“三项注意”指导统计问题的解决
从统计类中考试题（特别是解答类的题）来看，其考查目标主要集中在如下的方面：
方面一、统计图、表的绘制、阅读和使用；
方面二、数据的代表值（众数、中位数、平均数），和离散程度（极差、方差等）的确定；
方面三、根据数据的代表值和离散程度作出决策对总体作出合理推断。
要解决好以上三个方面的问题，就应当落实好如下的“三项注意”；
Ⅰ、注意每个统计图、表的完备性和同一组数据的两个统计图、表之间的一致性；
Ⅱ、注意数据代表值和离散程度确定时的准确性；
Ⅲ、注意决策与推断要求的取向性。
1、注意统计图、表的完备性与一致性的运用
不论统计图还是统计表，都是对全体数据的一种分类表示，因此，各类之间和应等于全体，且各类之间互不交融—这就是它的完备性；而同一组数据的两种统计图、表是对同一全体、同一分类情况的不同表示形式，二者必是一致的，许多统计问题正是以这样的两条性质作为解答的基础的。
例1 小刘对本班同学业余兴趣爱好进行了一次调查，她根据采集到的数据，绘制了下面的图（1）和图（2）
（1）
（2）
请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在图（1）中，将“书画”部分的图形补充完整；
（2）在图（2）中，求出“球类”部分所对应的圆心角的度数，并分别写出爱好“音乐”、“书画”、“其它”的人数占本班学生数的百分数；
（3）观察图（1）和图（2），你能得出哪些结论，（只要写一条结论）
【观察与思考】根据“完备性”，应先求得“全体”，而这个“全体”就隐含在“球类”部分在两种图、表中的
“一致性”之中，而得到“全体”之后，本题的几个问题即可迎刃而解。
解：（1）（人）
本班同学共40人。
爱好书画的同学为
（人）
将图（1）补充完整后如图（1`）。
（2）图（2）中，“球类”部分所对的圆心角为
；
爱好“书画”的同学占，爱好“音乐”的同学占；
爱好“其它”的同学占。
（3）可有结论（一条即可）；
“爱好球类运动的同学比爱好音乐的同学多2人”；
“爱好球类、书画、音乐的同学，合起来占全班人数的90%。
例2 某市第15中学的九年级学生在社会实践中，调查了500位市民某天早上出行上班所用的交通工具，结果用图的扇形统计图表示。
（1）请你将这个统计图改成用折线统计图表示的形式；
（2）请你根据此项调查，对城市交通给政府提出一条建议。
500位市民出行基本交通工具
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【观察与思考】根据扇形统计图的完备性和它与折线统计图的一致性可知；
步行人数：（人）；
骑自行车人数：（人）；
骑电动车人数（人）
坐公交车人数（人）；
乘私家车人数（人）
解：（1）如图（1）
（2）应使公交车更方便，更快捷（答案不唯一）
【说明】由以上两例可以看出，恰当而灵活地运用“完备性”和“一致性”，可以使统计图、表的许多问题的解答更为规范，更为快捷。
2、注意数据的代表值和离散程度的准确求出和运用
平均数、中位数、众数、方差、极差、标准差的确定和计算并不困难，关键是确切的理解和准确的运用。
例3 某单位欲从内部选拔管理人员一名，对甲，乙，丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示：
测试项目[来源:21世纪教育网21世纪教育网21世纪教育网 测试成绩/分21世纪教育网
甲 乙 丙
笔试 75 80 90
面试 93 70 68
（1）
根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率（没有弃权票，每位职工只能推荐1人）如图（1）所示，每得一票记作一分。
（1）请你算出三人民主评议得分；
（2）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁被录用（精确到）？
（3）根据实际需要，单位将笔试，面试，民主评议三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？
【观察与思考】对于（1），根据投票总分和扇形统计图的意义可得每人的实得分：对于（2）即是计算每人三项测试的“平均数”；对于 （3），是计算每人三项测试的“加权”平均数。
解：（1）甲，乙，丙的民主评议得分分别为：（分），（人），（人）
（2）甲的平均成绩为：（分）
乙的平均成绩为：（分）
丙的平均成绩为：（分）
候选人乙将被录用。
（3）若将笔试，面试，民主评议三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，那么
甲的个人成绩为：（分）
乙的个人成绩为：（分）
丙的个人成绩为：（分）
由于丙的个人成绩最高，所以候选人丙将被录用。
【说明】由本题可明确地看出，统计问题中，“计算”占在重要的地位，而计算的落实必须依赖对相关概念意义的正确把握和运用。
3、注意把准取向，以合理地做出决策和推断
统计的最终目的还是为了作出决策和推断，决策和推断的依据首先是各相关的统计量，再则是决策所围绕的取向，把握好这两点，决策和推断才能做得更好。
例4 某中学举行演讲比赛，根据初赛成绩在七，八年级分别选出10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩如图所示：
团体成绩 众数 平均数 方差
七年级 85.7 39.6
八年级 85.7 27.81
根据折线图和右图提供的的信息,解答下列问题:
(1)请你把右边的表格填写完整;
(2)考虑平均数与方差,你认为 年级的团体成绩更好些;
(3)假设在每个年级的决赛选手中分别选出3人参加总决赛,你认为哪个年级的实力更强一些,请说明理由
【观察与思考】对于(1),可由折线图直接确定出两个年级的众数;对于 (2)平均数相等时,方差小者反映”集中度好”,成绩相对更好些;对于(3),只需考察前三名,可从前三名的平均分(也可用它们的总分)来看.
解:(1)七年级众数是80,八年级众数是85;
(2)填 八 ;
(3)解法一:七年级前三名总分:分；八年级前三名总分：分。
七年级实力更强些。
解法二：由图可以看出七年级的第一、第二、第三名的分数分别比八年级的一、二、三名分数高，所以七年级更强些。
【说明】判断与决策必须依据主题（即“取向”，如本题（2），主题是“哪个年级的团体成绩更好些”，而（3）则是“哪个年级的前三名实力更强些”。紧紧抓住最能体现相应主题的统计量，就能得到最恰当的判断与决策。
4、以“三项注意”解决更多形式的统计问题
例5 甲，乙两支篮球队在集训期内进行了五场比赛，将比赛成绩进行统计后，绘制成如图（1）和图（2）的统计图。
（1）在图（2）中，画出折线表示乙队在集训期内这五场比赛成绩的变化情况；
（2）已知甲队五场比赛成绩的平均分分，请你计算乙队五场比赛成绩的平均分；
（3）就这五场比赛，分别计算两队成绩的极差；
（4）如果从甲、乙两队中选派一支球队参加篮球锦标赛，根据上述统计情况，试从平均分、折线的走势、获胜场数和极差四个方面分别进行简要分析，你认为选派哪支球队参赛更能取得好成绩？
【观察与思考】（1）是“一致性”要求；（2）、（3）是准确性的要求；（4）是体现“取向”
甲、乙两球队比赛成绩条形统计图 甲、乙两球队比赛成绩折线统计图
解：（1）如图（2`）；
（2）（分）；
（3）甲队成绩极差是18分，乙队成绩的极差是30分；
（4）从平均分看，两队的平均分相同，实力大体相当；
从折线走势看，甲队比赛成绩呈上升趋势，而乙队比赛成绩呈下降趋势；
甲队胜三场，乙队胜两场，甲队成绩较好；从极差看，
甲队比赛成绩比乙队比赛成绩波动小，甲队较稳定。
综上，选派甲队参赛更能取得好成绩。
（2`）
例6 某科技产品开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表：
员工 管理人员 普通工作人员
人员结构 总经理 部门经理 科研人员 销售人员 高级技工 中级技工 勤杂工
员工数/名 1 3 2 3 24 1
每人月工资/元 21000 8400 2025 2200 1800 1600 950
请你根据上述内容，解答下列问题：
（1）该公司“高级技工”有 名；
（2）所有员工月工资的平均数为2500元，中位数为 元，众数为 。
（3）小张到这家公司应聘普通工作人员，请你回答右图中小张的问题，并指出用（2）中的那个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些？
（4）去掉四个管理人员的工资后，请你计算出其他员工的月平均工资（结果保留整数），并判断能否反映该公司员工的月工资实际水平？
【观察与思考】对于（1），由“完备性”可得；（2）极容易求得；
（3）是数据代表值的准确性另一种表达式；（4）是数据代表值的准确
和判断取向结合的应用。（3）和（4）都是体现“取向性”的。
解：（1）16；
（2）1700；1600；
（3）这个经理的介绍不能反映该公司员工的月工资
实际水平，用1700元和1600元来介绍更合理些。
（4）（元）
能反映该公司员工月工资实际水平。
可以看出，“三项注意”的深入把握及灵活运用，是解决好众多统计问题的保证。
二、概率求法的“一个核心”
中考试卷中求概率的题目，绝大部分都归于用公式是所有可能出现的结果数，是随机事件A可能出现的结果数）来求得概率。因而，如何准确地得到和便成为求出概率的关键，其中以求得更为重要。
用准、用活列举法，是正确求得“所有可能出现的结果数”的根本保证，也是准而快地求出概率的保证。
熟练地掌握和运用好列举法的几种基本模型，恰恰又是用准、用活列举法的保证。
因此，掌握好以下模型便成为概率求法的重心。
1、模型Ⅰ：事件所有的等可能都由一个集合的元素构成，而事件A的每种可能恰是该集合的一个元素 ——可称为“单集单取型”。
例1 在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成 16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能取得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色，黄色，绿色区域，那么顾客就可以分别获得50元，30元，20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物。如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元。
（1）求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数；
（2）如果你在该商场消费125元，你会选择转转盘
还是直接获得购物券？（说明理由）
例2 在“妙手推推推”游戏中，主持人出示了一个9位数 ，让参与者猜商品价格，被猜的价格是一个4位数，也就是这个9位数中从
左到右连在一起的某4个数字。如果参与者不知道商品的价格，从这些连在一起的所有4位数中，任意猜一个，求他猜中该商品价格的概率。
【观察与思考】例1中的转盘的16等份，就是所有可能的集合；例2中的所有可能的“4位数”集合共有6个元素（以从左至右的前六个数的每一个为千位，可构成要求的4位数）。把这一核心搞清楚了，解法就容易得到了。
解：例1（1）（元）
（2）元＞10元，选择转转盘。
例2 。
2、模型Ⅱ：事件所的等可能都由集合A，B中各取一个元素而合成，而A中元素有个，B中元素有个，则原事件的可能共有个——可称为“乘积型”。
例3 有两个信封，每个信封内各装有四张卡片，其中一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4四个数，另一个信封内的四张卡片分别写有5，6，7，8四个数，甲，乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，然后把卡片上的两个数相乘，如果得到的积大于20，则甲获胜，否则乙获胜。
（1）请你通过列表（或画树状图）计算甲获胜的概率。
（2）你认为这个游戏公平吗？为什么？
例4 某校有A，B两个餐厅，甲，乙，丙三名学生各自随机选择其中的一个餐厅用餐。
（1）求甲，乙，丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率；
（2）求甲，乙，丙三名学生中至少一人在B餐厅用餐的概率。
【观察与思考】 例3中两个信封相当于集合A，B，分别有元素4个，4个。因此作成乘积共有种可能；例4中，甲，乙，丙每人都可去A餐厅或B餐厅，相当于3个集合，每个集合有2个元素，因此，三人用餐情况的可能应有种，先搞清如上情况，就抓住了问题的核心，相应的解法就容易得到了。
解：例3利用列表法得出所有可能的结果，如下表：
1 2 3 4
5 5 10 15 20
6 6 12 18 24
7 7 14 21 28
8 8 16 24 32
或树状图：
积大于20的有5种：21，24，24，28，32。
（2），游戏对双方不公平。
例4 所有可能出现的结果如下：
甲 乙 丙 结果
A A A （A，A，A）
A A B （A，A，B）
A B A （A，B，A）
A B B （A，B，B）
B A A （B，A，A）
B A B （B，A，B）
B B A （B，B，A）
B B B （B，B，B）
用树状图：
甲 乙 丙
（1）甲，乙，丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率是。
（2）甲，乙，丙三名学生中至少有一人在B餐厅用餐的概率是。
3、模型Ⅲ、事件所有的等可能由同一个集合的两个元素构成——可称为“单集双取型”
例5 从一个装有2个红球，2个白球的盒子里（红球，白球除颜色不同之外，其他均相同），现摸出一个球再放回盒子里，再摸出一个球，求两次都是摸到白球的概率。
例6 甲，乙两超市同时开业，为了吸引顾客，都举行有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次摸奖的机会，在一个纸盒里装有2个红球和2个白球，除颜色之外，其它全部相同，摸奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券的多少（如下表）。
甲超市：
球 两红 一红一白 两白
礼金券（元） 5 10 5
乙超市：
球 两红 一红一白 两白
礼金券（元） 10 5 10
如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物？请说明理由。
【观察与思考】 例5中，在第一次取球后放回去再第二次取球，这就相当于“乘积型”，只不过此时A和B是一个集合，故本题全体可能性为。
在例6中，相当于第一次取完球之后不再放进去，第二次取球的集合中就少了一个元素，因此，全体可能性为
抓住了这个核心及特征，解法易得。
解；例5 方法一，用列表法（用表示两个红球，用表示两个白球）。
（
共有16种可能，其中再次摸到的都是白球，共有4种可能（如图中方框）
。
当然也就有：。
方法二，画树状图：
第一次
第二次
结果
可知有。
例6 借助列表法：
；。
也可以用树状图：
仍有，。
；。
因此，购物去甲市场，因其得10元奖金的概率大。
当然，本题也可以直接考虑从4个球中每次取2个的所有可能为：
（ ）， （ ），（ ），（ ），（ ），（ ）
每一对中不分次序，结果和上边的答案是一样的，但用解中的列表或树状图，更能清楚地说明问题，且不易出错。
4、善于将“变形”归入到基本模型
例7 张彬和王华两位同学为得到一张观看足球比赛的入场券，各自设计了一种方案：
张彬：如图，设计了一个可以自由转动的转盘，随意转动转盘，当指针指向阴影区域时，张彬得到入场券；否则，王华得到入场券；
王华：将三个完全相同的小球分别标上数字1，2，3后，放入一个不透明的袋子中，
从中随机取出一个小球，然后放回袋子，混合均匀后，再随机取出一个小球，若两
次取出的小球上的数字之和为偶数，王华得到入场券；否则，张彬得到入场券。
请你运用所学的概率知识，分析张彬和王华的设计方案对双方是否公平。
【观察与思考】张彬设计的方案中，可把转盘的每1°对应的扇形当作 一个元素，王华设计的方案就是“单集有放回的双取”，即同一个集合的自身乘积型。
解：张彬的设计方案：
因为，
，因为，
所以，张彬设计的方案不公平。
王华设计的方案：可能出现的所有结果列表如下：
1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
，
，
因为，所以，王华的设计也不公平。
例8 有6张完全相同的游戏牌，分别写着这6个数，将它们任意放在桌面上（有数字的一面向下），从中任意翻两张牌，翻得数分别记做，若把分别作为A点的横坐标，纵坐标，求点A（）双曲线上的概率。
【观察与思考】属于单集无放回的双取，共有（个）可能。
解：
1 -2 3 4 5 -6
1 -2 3 4 5 -6
-2 -2 -6 -8 -10 12
3 3 -6 12 15 -18
4 4 -8 12 20 -24
5 5 -10 15 20 -30
-6 -6 12 -18 -24 -30
共有乘积30个，其中积等于-6就情况就有4个。
在双曲线上的概率为。
【说明】绝大多数中考试卷中的概率计算题目，都可以借助我们总结的三个“模型”来求解。
练习题
1、某学校为了解该校七年级学生的身高情况，抽样调查了部分同学，将所得数据处理后，制成扇形统计图和频数分布直方图（部分）如下：
（每组只含最低值不含最高值，身高单位：，测量时精确到1）
（1）请根据所提供的信息补全频数分布直方图；
（2）样本的中位数在统计图的哪个范围内？
（3）如果上述样本的平均数为157，方差为；该校八年级学生身高的平均数为159，方差为，
那么 （填“3七年级”或“八年级”）学生的身高比较整齐。
2、水稻种植是某地的传统农业，为了比较甲，乙两种水稻的长势，农技人员从两块试验田中，分别随机抽取5棵植株，将测得的苗高数据绘制成下图：
请你根据统计图提供的数据，计算平均数和方差，并比较两种水稻的长势。
3、某养鸡场分3次用鸡蛋孵化出小鸡，每次孵化所用的鸡蛋数、每次的孵化率（孵化率=）分别如图（1），图（2）所示。
孵化率统计图
孵化所用的鸡蛋数统计图
（1） （2）
（1）求该养鸡场这3次孵化出的小鸡总数和平均孵化率；
（2）如果要孵化出2000只小鸡，根据上面的计算结果，估计该养鸡场要用多少个鸡蛋？
4、如图甲，乙两人在一起射击比赛中击中靶的情况（击中靶中心圆面为10环，靶中各数字表示该数所在圆环被击中所得的环数），每人射击了6次。
（1）请用列表法将他俩的射击成绩统计出来；
（2）请你用学过的统计知识，对他俩的这次射击情况进行比较。
甲射击的靶 乙射击的靶
5、把一副普通扑克牌中的4张：黑桃2，红心3，梅花4，黑桃5，洗均后正面朝下放在桌面上。
（1）从中随机抽取一张牌是黑桃的概率是多少？
（2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张。请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果。并求抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率。
6、在一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1，2，3，4的红色卡片和三张分别写有数字1，2，3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同。
（1）从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字1的概率。
（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒 子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数大于22的概率。
7、如图，有两个可以自由转动的均匀转盘，转盘A被分成面积相等的三个扇形，转盘B被分成面积相等的四个扇形，每个扇形内都涂有颜色。同时转动两个转盘，停止转动后，若一个转盘的指针指向红色，另一个转盘的指针指向蓝色，则配成紫色；若其中一个指针指向分界线时，需要重新转动两个转盘。
转盘A 转盘B
（1）用列表或画树状图的方法，求同时转动一次转盘A，B配成紫色的概率。
（2）小强和小丽要用这两个转盘做游戏，他们想出如下两种游戏规则：
①转动两个转盘，停止后配成紫色，小强获胜；否则小丽获胜。
②转动两个转盘，停止后指针都指向红色，小强获胜；指针都指向蓝色，小丽获胜。
判断以上两种规则的公平性，并说明理由。
8、某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑。希望中学要从甲，乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑。
（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）。
（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号
电脑被选中的概率是多少？
（3）现知希望中学购买甲，乙两种品牌电脑共36台（价格如表所示），
恰好用了10万元人民币，其中甲品牌电脑为A型号电脑，求购买的A
型号电脑有几台。
兴趣爱好内容
人数
2
6
8
4
10
球类
书画
音乐
其它
12
14
书画
球类35%
其它
音乐
兴趣爱好内容
人数
2
6
8
4
10
球类
书画
音乐
其它
12
14
公交车56%
自行车20%
电动车12%
步行6%
私家车6%
步行
电动车
自行车
公交车
私家车
0
50
100
150
200
250
300
人数
交通工具
步行
自行车
电动车
公交车
私家车
丙：35%
甲：25%
乙：40%
0
75
80
85
90
95
100
选手编号
1
2
3
43
53
63
73
83
93
10
七年级
八年级
一
二
三二
五二
四二
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
场次/场
得分/分
甲
场次/场
得分/分
一
二
三
四
五
80
110
86
90
95
83
91
87
98
80
甲队
乙队
一
二
三二
五二
四二
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
场次/场
得分/分
甲
乙
欢迎你来我公司应聘！我公司员工的月工资为2500元，薪水是较高的。
部分经理说：
小张：
这个经理的介绍能反映该公司员工的月工资实际水平吗？
黄
黄
红
绿
绿
绿
绿
2
5
8
3
9
6
4
1
7
A
A
A
B
B
A
B
B
A
A
B
B
A
B
第
一
次
第
一
次
0
10
20
30
40
140
145
150
155
160
6
12
18
32
165
170
175
10
4
植株
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
甲
乙
0
10
20
30
40
50
60
70
批次
鸡蛋数/个
第一次
第二次
第三次
40
50
60
40%
50%0
60%
70%
80%
90%
批次
鸡蛋数/个
第一次
第二次
第三次
80%
78%
82.5%%
6
8
7
9
6
8
7
9
红
黄
绿
红
蓝
红
蓝
电脑单位
（单位：元）
A型：6000
B型：4000
C型：2500
D型：5000
E型：2000
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中考高分冲刺－冲刺三
函数知识的三个支点
函数是“数与代数”部分最重要的内容之一，它在实际问题及综合性问题中都有着极为广泛的应用，而且在以后的数学乃至其他学科的学习中，也都发挥着基础性与工具性的作用。那么，怎样才算较好地掌握了函数知识呢？
从一道简单的数学题说起。
题目：若满足不等式组 那么，代数式
最大值和最小值分别是多少？
简解：由所给的不等式组解得
又
可将其中，看作是一段抛物线，该抛物线的对称轴为且开口向上，可知原式在时有最大值，21，在时有最小值—15。
析评：以上解法的思考基础可分为三层：第一层，认识到这是个求函数最值的问题；第二层，求得这个函数的标准表示式为第三层，用二次函数的性质解决原来的问题。
由此可以看出：把未指明的函数总题恰当地归为函数问题。再定出其表达式，进而应用函数的性质解决问题，正是掌握与运用函数知识的三大支点。
函数知识的三个支点：
一、明意义：指总能在需要的情况下恰如其分地将问题归结为函数，即形成“函数思想”；
二、定表达式；
三、用性质：指恰当地运用函数的性质解决相应的问题。
一、明意义
1、函数“明意义”的基本体现
对函数相关的问题，能够从以下两个方面来观察、认识和把握：
①能从“总体感知”和“具体对应方式”两个视角来认识与考虑问题；
②能从“整体过程”和某些“特殊值的对应情况”来认识与考虑问题；
例1 如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平纸上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为，大正方形内除去小正方形部分的面积为（阴影部分），那么与的函数图象大致应为（ ）
A B C D
【观察与思考】“总体感知”：大正方形的面积为4，小正方形的面积为1，在小正方形平移的整个过程中阴影部分面积变化的过程是
解：选A。
例2 已知：如图（1），点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒的速度沿图（1）的边线运动，运动路径为：
相应的的面积关于运动时间的函数图象如图（2），若则下列四个结论中正确的
个数有（ ）
A、 图（1）中的BC边长是8 B、 图（2）中的M点表示第4秒时的值为24
C、 图（1）中的CD长是4， D、 图（2）中的N点表示第12秒时的值为18
（2）
（1）
A、 1个 B、2个 C、 3个 D、 4个
【观察与思考】若把点 P由 对应的图象分别记为第Ⅰ段、
第Ⅱ段、第Ⅲ段、第Ⅳ段、第Ⅴ段，则从图（1）和图（2）的对应情况可知：
（1）由Ⅰ的两端点横坐标，知由G到C运动2秒，可得GD=4，即BC=8；
（2）M点的纵坐标等于
（3）图象Ⅱ两端点横坐标为2和4，可知；
（4）由Ⅲ的两端点横坐标为4和7，知DE=6，而EF=AB—CD=2，可知Ⅳ的右端点的横坐标为8，再由Ⅴ的
两端点横坐标为8和12，推得FH=8，从而
所以，N点的纵坐标等于
解：应选D。
【说明】对函数“明意义”，就要善于从自变量与函数值的对应关系入手，从原背景、关系式、图象三者的统一来认识和解决问题。
2、“明意义”的更高体现
对于函数意义的掌握，不仅是指对给定的函数能从恰当的角度对其进行研究，更为重要的是遇到具体问题时，能够而且善于把函数作为研究与解决的工具，即确立了这样的意识：
凡是涉及变化的量之间的对应关系的问题，就要想到用函数来研究和解决，这才是“明意义”的更高体现，才是“函数思想”深刻与强烈的表现。
例3 在五环图案内，分别填写五个数，如图 ，其中，是三个连续
偶数是两个连续奇数，且满足例如
请你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入下图：
【观察与思考】可以看作一个函数问题，因为：
设表示的三个连续偶数为表示的两个连续奇数为均为整数）。则有，得，只需和都是整数，如此一来，满足要求的、有无穷多对（只需取偶数即可）。如（这就得到题目中所举的例）；……而使五个数均在0和20之间的,除例子之外,就只有这两种情况了.
解:
或
例4 如图,四边形ABCD为边长等于4的菱形,,点M为边AD上一点,点N为边DC上一点,
且AM=DN.21世纪教育网
(1)当AM=DN=3时,求的面积.
（2）是否存在点M和点N，使的面积等于？若存在，请指出点M和点N的位置；若不存在，请说明理由。
【观察与思考】问题（1）和问题（2）都涉及到的面积和AM（相应地DN）之间的对应关系，而的面积和AM的值具有函数关系，因此如果把它们之间的函数关系搞清楚了，问题（1）、（2）就可迎刃而解了。
解：菱形的长为4，，菱形的高为。
设AM的长为的面积为S。则
（1）当时，由S与的函数关系式得
（2）由S与的函数关系得。这说明的面积最小值为，因此不存在
点M，N使
——正是函数意识我们看到问题（1）、（2）的共同基础，并借助函数将问题顺利而明快地解决。
由以上诸可知：
时时刻刻都注意从函数的角度来认识研究问题中变量之间的关系，恰当地建立函数关系，并运用函数的性质
将问题解决，这样的“主动精神”和“自觉行动”正体现了“函数思想”的极好确立。
二、定关系式
要用函数，就要善于确定函数关系式，而确定函数关系式的方法，基本上有三种：
1、用待定系数法确定函数关系式
用待定系数法确定函数关系式，应具备以下两个条件：
条件一，已知知道这个函数是一次函数、二次函数、或是反比例函数；
条件二，知道该函数满足的若干组对应值；一次函数需两组；二次函数需三组，反比例函数需一组。
实际上，待定系数法就是通过构造关于函数关系表达式中各项系数的方程，求出它们的值，从而使函数关系的表达式确定下来。
用待定系数法求函数关系地表达式，可分为这们两个层次：基本形式与复合形式。
（1）基本形式的待定系数法
这类问题的条件是直接地给出了确定函数所需要的对应值。现仅举一例。
例1 为了迎接暑期旅游，某旅行社推出了一种价格优惠方案：从现在开始，各条旅游线路的价格每人（元）是原来价格每人（元）的一次函数。现知道其中两条旅游线段原来旅游价格分别为每人2100元和2800元，而现在旅游的价格为每人1800元和2300元。
（1）求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）
（2）王老师想参加该旅行社原价格为5600元的一条线路的暑期旅游，请帮王老师算出这条线路现在的价格。
【观察与思考】满足这个一次函数的两组数值为（1800，2100）和（2300，2800）。可用待定系数法求得解析式。
解：（1）设与的函数关系式为，
由题意，得 解之，得
与的函数关系式为[21世纪教育网
（2）当时，元。
王老师旅游这条线路现在的价格是4300元
（2）复合形式的待定系数法
所谓复合形式的待定系数法是指满足函数关系的“对应值”组，并未直接悉数给出，而是要先从条件中求出需要
的“对应值”，而后再由待定系数求出函数关系表达式；或者通过其他条件直接构造关于函数系数的方程，得出表达式。
例2 如图，已知双曲线经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则 。
【观察与思考】因为点F，E均在双曲线上，则
。
设点F的坐标为
解：应填2 。
【说明】本题的解答需要对反比例函数性质以及与之相关矩形及其面积间的关系有深入的认识。
例3 如图，是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在轴上，点B在轴上，。将折叠，使BO边落在BA边上，点O与点D重合，折痕为BC；
（1）求直线BC的解析式；
（2）求经过B，C，A三点的抛物线的解析式；若抛物线的顶点为M，试判断点M是否在直线BC上，并说明理由。
【观察与思考】对于（1），先求出点C的坐标，再用待定系数法求BC的解析式；
对于（2），用待定系数法求出过B，C，A三点的抛物线的解析式，再验证它的顶
点是否在BC上。
解：（1）[来源:21世纪教育网
∽
,点C的坐标为（1，0）。
设直线BC的解析式为，则由 解得
（2）设过点B（），C（1，0），A（3，0）的抛物线的解析式为，
由，解得
所以抛物线的解析式为，
其顶点M的坐标为，
，
点M不在直线BC上。
【说明】由以上两例可以看出，用待定系数法求函数关系式的多种变化与复合形式，解法的恰当选择基于对相关知识的融会贯通。
2、用“列式法”确定函数关系式
所谓用列式法确定函数关系的表达式，就是根据问题中的数量关系直接列出用自变量的代数式来表示函数，这样的情况也是很多的。
例4 学校体育室准备添置20副乒乓球拍和若干乒乓球，两家体育用品商店的零售价都是每副乒乓球拍20元，每个乒乓球元，且都表示对集体购买优惠：甲店买一副乒乓球拍赠送5个乒乓球，再对总价打9折；乙店统一按定价的8折出售。
（1）设体育室外除了买20副乒乓球拍外，再需购买个乒乓球，若在甲店购买付款数额为（元），在乙店购买付款数额为（元），分别写出，关于的函数关系式。
（2）就购买乒乓球数讨论在哪个店购买较合算？
[来源:21世纪教育网
【观察与思考】对于（1），可用直接列式法求出，关于的函数关系式。
对于（2），实际是比较在什么范围时，两个函数中哪个函数值较小。
解：（1）
（2）假设购买个乒乓球时，甲商店合算，即，也即
，解得。
同理可得 。
这就是说，当购买的乒乓球个数不超过233个时，在甲商店买合算；当购买的乒乓球个数超过233个时，在乙店买合算。
【说明】与实际相关的问题需建立函数关系式时，大都需要借助直接列式法。21世纪教育网
例5 如图，在P为AC上一个动点，四边形PQRC为矩形，其中点Q，R分别在AB，BC上，设AP的长为，矩形PQRC的周长为，求关于的函数关系式。
【观察与思考】只需用表示出QP和PC即可。
解：∽21世纪教育网
。
【说明】相当多的几何图形中变量的对应关系，在建立函数关系式时，也多是利用“直接列式法”。
3、从某个等量关系中导出函数关系式
有时不易用自变量及已知数量把函数直接表示出来，可根据所给条件先建立包括“函数”、自变量、与已知数量的某个（或某些）等式，再从中导出函数关系式来。
例6 如图，已知直角坐标系中三点A（2，0），B（0，2），P。连结BP，过P作交过点A的直线（它与轴垂直）于点C。求之间的函数关系式。
解：在中，
），
∽。
从中解得
【说明】几何图形中有关函数关系式的建立，有不少情况需借助这种“等式导出法”。
例7 某中学足球队参加全市中学足球联赛，比赛记分规则如下表。联赛共进行了12轮（即每队比赛了12场），该中学足球队共得19分。若胜的场数为，负的场数为，求关于的函数关系式。
胜一场 平一场 负一场
积分 3 1 0
【观察与思考】可借助胜、平、负 的场数以及得分的关系导出关于的函数关系表达式。
解：设平的场数为，则根据条件有
从两个等式中消去，得。
【说明】本题是从三个变量的两个等量关系中导出两个变量间的函数关系式。
当我们需要建立函数关系式时，可从以下三条途径中选择：
1、借助“待定系数法”；
2、运用“直接列式法”；
3、运用“等式导出法”。
三、用性质
函数的性质，主要是指一次函数、二次函数和反比例函数增减性和二次函数、反比例函数图象的对称性，以及二次函数图象的顶点坐标等。
对函数性质的考查，主要有两个层面：一是对给定的函数确定其某个方面的性质，二是利用函数的性质，解决某相关的问题。
1、确定指定函数的性质
例1 写出一个图象经过点（-2，1），随的增大而减小的一次函数。
【观察与思考】要使一次函数具有“随的增大而减小”这一性质，且其图象经过点（-2，1），则只需这个一次函数的图象还经过点有无穷多个。因此，本题是开放性的题目，正确的答案有无穷多个，如选过点（0，0），则直线的解析式为。
解：如。
例2 下表给出了代数式与的一些对应值：
… 0 1 2 3 4 …
…21世纪教育网 3 -1 3 …
(1)请在表内的空格中添入适当的数;
(2)设=,当取何值时, >0
【观察与思考】当时,均有代数式的值=3,可知对应的抛物线的对称轴为=2,顶点坐标为(2,-1),
因此有以下的解:
解:(1)由已知令,
.
(2),可知抛物线开口向上,并与轴交于点(1,0)和(3,0),
【说明】由以上两例看出,熟练而恰当地运用函数的性质,可使问题的解决思路明晰,过程简捷.
2、运用函数的性质解决相关的实际问题或数学问题
例3 按右图所示的流程，输入一个数据，根据与的关系式就输出
一个数据，这样可将一组数据变换成另一组新的数据。要使任意一组都在
20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：
（ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；
（ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应
的新数据也较大。
（1）若与的关系式是，请说明：当时，这种变换
满足上述两个要求；
（2）若按关系式将数据进行变换，请写出一个满足上
述要求的这种关系式，（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的
主要过程）。
【观察与思考】对于（1），只要根据一次函数的性质即可说明。
对于（2），实际上是依据（ⅰ）、（ⅱ）两条要求去确定中的系数。
解：（1）原式即该函数随的增大而增大，满足（ⅱ），又，当=20时，=60，当=100时，
=100，满足（ⅰ）。可知，当时，这种变换满足要求。
（2）可有多种答案。现取
令
解得 满足要求。
【说明】Ⅰ.对于本题的(2).只要抛物线开口向上,对称轴,横坐标在20～100之间的抛物线段夹在直线之间,都是满足要求的.
Ⅱ.由本题可以看出:对函数“明意义”, “定关系式”, “用性质”的统一结合是多么重要和有效!
例4 草莓种植大户张华现在有22吨草莓等售,有两种销售渠道,一是往省城直接批发给零售商,二是在本地市场零售,经过调查分析,这两种销售渠道每天销量及每吨获纯利润见下表:
销售渠道 每日销量(吨) 每吨所获纯利润(元)
省城批发 4 1200
本地零售 1 2000
受客观因素影响,张华每天只能采用一种销售渠道,草莓必须在10日内售出.
(1)若一部分草莓运往省城批发给零售商,其余在本地市场零售,请写出销售22吨草莓所获纯利润(元)与运往省城直接批发给零售商的草莓量(吨)之间的函数关系式;
(2)怎样安排这22吨草莓的销售渠道,才使张华所获纯利润最大 并求出最大纯利润.
【观察与思考】先求出关于的函数关系式,再借助函数的性质,解决相应的实际问题.
解：（1）所求函数关系式为：
即 。
（2）由于草莓必须在10天内售完，
则有解之，得。
在函数中，随的增大而减小，
当=16时，有最大值31200（元）。
。
答：用4天时间运往省城批发，6天时间在本地零售，可使纯利润最大，最大利润为31200元。
【说明】本题实际问题的解决，正是借助了所求出的函数性质。
借助于函数性质解决实际问题或数学中的问题，主要使用：
1、一次函数在某个范围的增减性；
2、抛物线顶点坐标的意义，抛物线的对称性，抛物线和横轴交点的意义，二次函数的增减性；
3、反比例函数的增减性；
4、函数和方程、 不等式之间的关系。
练习题
1、在物理实验课上，小明用弹簧测力计将长方体铁块A悬于盛有水的水糟中，使铁块完全浸没于水中，（如图所示），然后匀速向上提起。直至铁块完全露出水面一定高度，则图中能反映弹簧测力计的读数（单位：N）与铁块被提起的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A
B
D
C
2、如图是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，，点B，C，E，F在同一直线上，现从点C，E重合的位置出发，让在直线EF上向右作匀速运动，而位置不动，设两个三角形重合部分面积为，运动的距离为，下面表示与的函数关系的图象大致是（ ）
A B C D
3、如图，要使输出值 大于100，则输入最小正整数是 。
4、温度与我们的生活息息相关，你仔细观察过温度计吗？如图是一个温度计
实物示意图，左边的刻度是摄氏度（℃），右边的刻度是华氏温度（℉），
设摄氏温度为（℃），华氏温度为（℉），则是的一次函数。
（1）仔细观察图中数据，试求出与之间的函数表达式；
（2）当摄氏温度为15℃时，求华氏温度为多少？
5、如图，矩形ABCD中，其中BC=2AB，P为边BC上任意一点，（不与B，C重合），连结AP，作，交射线CD于点Q。
探究：当点P在BC边上运动时，点Q可能在边CD的延长线上吗？并说明理由。
6、如图，直线与轴和轴分别交于点A（4，0），点B（0，5），现将直线绕坐标原点O沿顺时针方向
旋转90°，得到直线，则直线的解析为 。
[来源:21世纪教育网
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7、已知一次函数与的部分对应值如下表所示：
-2 -1 0 1 2 3
3 2 1 0 -1 -2
那么不等式的解集是（ ）
A、 B、 C、 D、
8、鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长的对应数值：
鞋长 16 19 24 27
鞋码 22 28 38 44
（1）分析上表：“鞋码”和鞋长之间的关系符合你学过的哪种函数？
（2）设鞋长为，“鞋码”为，求与之间的函数关系式？
9、已知抛物线经过点（2，-3），对称轴为，与轴的两个交点距离为4，求这条抛物线的解析式。
10、为了方便市民乘车，公共汽车公司推出了公共IC卡业务，并给予购卡人以下优惠：每购买10元便赠送2元（即卡上显示金额为12元）。但第一次购买需交办卡费10元，以后可直接往上充值，不再交办卡费。
（1）写出首次办卡，卡上显示金额（元）与实际付款（元）之间的函数关系式；
（2）小李用200元新办了这种公共IC卡，发现卡上金额比自己估计的少了2元，你知道小李是怎样计算的吗？卡上显示的会是多少呢？
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11、在边长为6的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别按
的方向同时出发，以的速度匀速运动。
（1）证明四边形EFGH是菱形；
（2）写出四边形EFGH的面积关于运动时间的函数关系式，取何值时四边形EFGH的面积最小？最小值是多少？
12、在⊙的内接中，AB+AC=12，垂足为D，且AD=3，设⊙的半径为，AB的长为。
（1）求与的函数关系式；
（2）当AB的长等于多少时，⊙的面积最大，并求出⊙的最大面积。
减至
4
3
3
定值
4
增值
G
C
D
E
F
H
2
4
7
12
N
M
A
B
G
C
E
F
D
H
G
C
D
E
F
H
2
4
6
5
7
10
122
142
172
192
6
8
10
11
13
A
B
C
D
M
N
1、 用待定系数法；
2、 用直接列式法；
3、 借助等式导出法。
C
A
B
F
E
C
D
B
A
A
C
B
Q
P
R
C
A
P
B
Q
开始
输入
与的关系式
输入
结束
A
(cm)
(N)
EMBED Equation.3
（N）
(cm)
(cm)
(N)
A
B
C
E
D
F
输入正整数
奇数
偶数
？
+13
输出
-20
0
20
40
-4
32
68
104
℃
℉
A
C
D
B
P
Q
B
A
A
B
，
B
C
，
C
D
，
D
A
A
H
G
E
C
F
B
D
B
C
O
D
A
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中考高分冲刺－冲刺四
基本图形性质与功能的再认识
所有几何图形问题的解决，几乎都要回归到基本图形的性质，而能否得心应手地运用基本图形，则要靠以下两点：第一点，对基本图形性质掌握的深刻程度；第二点，基本图形的各性质都是以怎样的方式发挥着作用的。
正是为了帮助同学们学好、用好这两点，我们特将最重要的一些基本图形性质与功能加以梳理和解析，以便为各类几何图形问题的解决打下牢固的基础。
一、线段的性质和线段中点的功能
应掌握好：
1、线段的两种变换性质；
2、线段中点的三项功能。
1、线段的变换性质
从“变换”的角度说，线段既是轴对称图形（它所在的直线和它的垂直平分线都是对称轴），又是中心对称图形（中点就是对称中心）
例1 如图，是任意三角形，请画出和具有全等的关系。
【观察与思考】如果把要画的看作是由变换而来的，那么这个变换使线段BC变成自身，联想到线段的变换性质，就应有三种结果。
（1）[来源:21世纪教育网]
（2）
解：如图（2）（其中直线是BC所在的直线，点为点A关于直线的对称点；直线是线段BC的垂直平分线，点为点A关于直线的对称点；点O是线段BC的中点，点和点A关于点O为对称。都和全等。
【证明】正是线段的变换性质成为本题解法的基础和向导的。
2、线段中点的三项功能
（1）构造三角形的中线，特别是直角三角形的中线
三角形的中线，特别是直角三角形斜边上的中线，在相关问题的解决中常有重要的作用。
例2 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AG//DB，交CB延长线于点G。
若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论。
【观察与思考】首先，由，GB//AD，AG//DB，知四边形AGBD已是平行四边形，其次，
由四边形BEDF是菱形，而点E是AB的中点，即ED是中AB边上的中线，且
DE=EB=AE，立刻知道，即四边形AGBD是矩形。
解：（略）
【说明】正是由对直角三角形斜边上中线性质的深刻认识，直接诱发出
从DE=EB=AE，导出。
（2）构造三角形的中位线
例3 如图（1），已知，AD是的中线，E是AD上一点，连结CE并延长交AB于点F。
（1）若E是AD的中点，则 ；
（2）若AE：ED ；
（3）若AE：ED，则 ； （1）
【观察与思考】（1）如图（2），作DM//CF，交AB于点M，EF为的中位线，得AF=FM，
DM为的中位线，得BM=MF。可知。
（2）如图（3），作DM//CF，交AB于点M，易知，∽,
得。又DM为的中位线，得DM=FM， （2）
（3）类比于（1）和（2），应有（其实可有与（2）类似的推演过程）
【说明】本题解决的关键就在于构造出的中位线DM。
（3）构造中心对称图形
线段的中点是该线段的对称中心，这一性质的延伸，就是以它为基础作“中心对称构造” （3）
（特别是中心对称型 全等三角形）来使相关问题获得解决。
例4 已知，如图D是的边BA延长线上一点，有AD=BA，E是边AC上一点，且DE=BC
求证：
【观察与思考】以BD及其中点A为基础，构造“中心对称型”三等三角形。
解法提示：如下面图（1），（2），（3）。
（2） （3）
（1）
方法一：如图（1），延长CA到F，使FA=CA，连结FD，有，DF=BC=DE，得
方法二：如图（2），分别作交CA的延长线于N，垂足为M，则有得，DN=BN，进而推得，得
方法三：如图（3）延长CA到G，使得AG=EA，则得再由BG=DE=BC，得。
特别说明：我们借助基本图形的变换性质，能更好更快地发现图形或图形元素之间的关系，但要证明还需要按教材上的演绎形式来论述。简单说就是“借变换发现，按原格式证明”。本书均按此方式来做，以后不再重申。
21世纪教育网
例5 操作： 如图，点O为线段MN的中点，直线PQ与线段MN相交于点O，利用图（1）画出一对以点O为对称中心的全等三角形。
根据上述操作得到的经验完成下列探究活动。
（1） （2）
探究：如图（2），在四边形ABCD中，AB//CD，E为BC边的中点，与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论。
【观察与思考】对于图（1），只要在直线PQ上点O的两侧分别取点E，F使OE=OF，就有（图略）对于图（2），延长AE到G，使EG=EA，连结CG，如图（2`）。由“操作”的结论可知，
得AB=GC，即CG//AB，而CF//AB，可知点F在GC上，而由，得AF=GF。这样就有
解：（略）
（2`）
由以上题目的解法研究看出：
凡是涉及线段（包括多边形的边）及其中点的的问题，应注意从线段的变换性质和它的中点的三项功能考虑。
二、角平分线的功能
角平分线主要功能有：
1、以角平分线的对称性质作轴对称构造；
2、角平分线与平行线结合构造出等腰三角形。
1、角平分线所在直线为轴构造轴对称图形
角平分线最重要的性质是它所在直线为“角”这个图形的对称轴，其他的性质都可以看作是由此导出的。因此，遇有角平分线的问题时，首先应当想到它的轴对称功能。
例1 如图，在中，，AD，CE分别为的平分线，求证：AC=AE+CD
【观察与思考】根据角平分线轴对称功能，首先想到在AC上作出AE关于AD的
的对称图形AF（如图（2）），进而希望有CF和CD也关于CE对称，这就引导我们
获取了如下的证法。
证明：取AC上的点F，使AF=AE，连结OF。
在中，AF=AE，AO公用，
（1）
又因为
（2）
在中CO公用。
。
【说明】本题的关键步骤就是以“角平分线的轴对称功能”为基础去构造全等三角形。
例2 如图，已知点A（0，1）是轴上一个定点，点B是轴上一个动点，以AB为边，在外部作过点B作交AE于点C，设点C的坐标为（），当点B在轴上运动时，求关于的函数关系式。
【观察与思考】先从几何图形的角度来看，为此作轴
于点D（如图（2）），当点B在的正半轴上时，现
考虑CD与OD之间的函数关系式。
再由AB为的平分线，沿着它是对称轴思考：若作CB的延长线交轴于，由可知和CB关于AB对称，即B为的中点，再结合轴，轴，则关于点B为中心对称，得，。再由的相似关系即可导出欲求的函数关系式。
解：作轴于点D，延长CB，交轴于点，则
的平分线，且，得。 （2）
在中，
。
在（同为的余角）。
∽ 得，
。
容易知道，这个关系在和取负数值时，也是成立的。
可以看出：不论在什么样的综合题中，角平分线的“轴对称功能”，都常是解法获得的有力指导，因此，应当时刻注意发挥角平分线这一功能的重要作用。
2、角平分线与平行线结合构造出等腰三角形
我们知道，若OP是的平分线，则与OA平行，与OB平行，与OP平行的直线，就会分别与另外两直线相交出等腰三角形来：即
情形一，与OA平行的直线MN和OB，OP所在的直线相交如图（1）和（2）：
（1）MN和OB，OP交出等腰三角形COD， （2）MN和OP，OB的反向延长线交出等腰三角形COD，
其中CO=CD。（） 其中CO=CD。（）
情形二，与OP平行的直线MN和OA，OB所在的直线相交如图（3）和（4）
（3）MN和OB的反向延长线及OA交出等腰三角形 （4）MN和OA的反向延长线及OB交出等腰三角形
DCO，其中OC=OD，（） OCD，其中OC=OD。（）
情形三，与OB平行的直线MN和OA，OP所在的直线相交，与情形一完全类似，也可得两种形式的等腰三角形。21世纪教育网
由此可知：
①角平分线除了造出“等角之外”，它在许多情况下还可以造出“等边”。
②平行四边形（包括菱形，矩形，正方形）和梯形，本身就有平行线，因此，当这些图形中再有角平分线时（菱形的对角形已经是角平分线），必然就会形成等腰三角形，这对解决许多相关问题提供了依据。
角平分线这一功能有许多应用，如下边的例子；21世纪教育网
例3 如图（1），在平行四边形ABCD中，线段AE，BF分别平分，交CD于点E，F，线段AE，BF相交于点M。
（1）试说明：；
（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明。
【观察与思考】注意到平行四边形对边平行和角平分线的功能，解法易得。
解：（1）
。
（2）有结论：DF=CE，理由如下：
在中，。
同理有CF=CB。
由以上的例题可以看出：
当题目中有直接给出或隐含的角平分线条件时，除了构成等角外，还应特别注意从角平分线两个方面的功能来分析和认识图形：
Ⅰ。以角平分线为轴，构成怎样的对称图形？
Ⅱ。以角平分线和平行线结合，构成怎样的等腰三角形？思考若以这样的功能作指导，大都会导到问题的恰当的解决方法。
三、等腰三角形的变换性质
等腰三角形具有这样的变换性质
1、等腰三角形是轴对称图形；
2、等腰三角形两腰绕顶点的旋转重合性。
1、等腰三角形的轴对称图形
等腰三角形是以底边上的中线（底边上的高线，顶角的平分线）所在的直线为轴对称的。如图（1）
凡是涉及等腰三角形的问题，都首先应当沿着“轴对称”这一特征去分析，去认识，去寻找解决的方法。
（1）
（2）
例1 如图（2），中，AB=AC，过A作GE//BC，角平分线BD，CF相交于点H，它们的延长线分别与GE交于点E，G，试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明。
【观察与思考】找全等三角形，实际上是去找图中关于的对称轴（尽管没有把它画出来）为对称的三角形。
解：全等的三角形有：
以证为例：
在中，BC公用，
，
。
在中，
，
AF=AB-BF=AC-CD=AD，
。
【说明】三角形全等本来只是图形“形状和大小”的问题，现在，在等腰三角形这一特殊（轴对称）背景下，可以借助于“位置的对称”来寻找和认识它们，这就为我们研究和利用它们提供了一个新的视角，新的途径，无疑是非常有帮助的。
例2 如图（1），中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF//AB，连结BP并延长，交AC于点E，交CF于点F。
求证：
（1） （1`）
【观察与思考】若作PB关于AD的对称线段PC，则PC=PB，而易知∽，可使问题获解。
证明：连结PC（如图（1`））
在中，AP公用，AB=AC，，
。
在
∽，
。
【说明】可以看出，当问题的基本背景为等腰三角形时，以该三角形的对称轴去探索问题的解决途径，常常是很有效的。
2、等腰三角形的“两腰的旋转重合性”
如图，在等腰三角形ABC中，若顶角，则显然有：
腰AB 与腰AC重合，反之有
腰AC 与腰AB重合。
等腰三角形这一特征，我们称之为等腰三角形“两腰的旋转重合性”，等腰三角形的这一特征，也是解决某结与等腰三角形相关问题的向导。
例3 如图（1），是等边三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作
60°的角，它的两边分别与AB，AC交于点M和N，连结MN。
（1）探究：之间的关系，并加以证明；
（2）若点M，N分别在射线AB，CA上，其他条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，在图（2）中画出相应的图形，并就结论说明理由。
（1）
（2）
【观察与思考】对于（1），这时在中，有
为了把BM，MN，NC集中到一个三角形中去，
作： （如图（1`），从而有MB=GC，而此时恰又有，
得。
（2`）
（1`）
对于（2），此时的图形（2`），仍作（1）中的的旋转，类似地可以推得MN=CN—BM
解：（1）关系为MN=BM+NC。
证明：延长AC到G，使CG=BM，连结DG，如图（2`）
。同理也有。
在，BM=CG。
。
在中，ND公用，DM=DG，
。
。
（2）此时，图形如图（2`），有关系式：MN=CN—BM。理由如下：
在CN上截取CG=BM，连结DG，如图（2`）。
与（1）中情况类似，可推得
仍与（1）中情况类似，可推得。
【说明】由本题可以看出，恰当地运用等腰三角形的“两腰的旋转重合性”，可在一定的条件下实现图形
（线段、角）的“转移”，从而使问题解决。
当题目背景为等腰三角形时，应注意充分运用其“轴对称性”和“两腰的旋转重合性”。
四、等边三角形的变换性质
等边三角形是特殊的等腰三角形，因而具有轴对称性，且有三条对称轴，但是，等边三角形具有更为特殊的变换性质，并更多地成为相关问题展开的焦点，那么，充分运用这些变换性质，便成为打开相关问题解决之门的钥匙。
等边三角形具有如下的变换性质
1、它是轴对称图形（有三条对称轴）；
2、它是绕中心的的旋转对称图形；
3、它的两邻边具有60°旋转重合性；
1、等边三角形的“的旋转对称性”
如果一个图形沿某一条直线作轴对称图形与它本身重合，就称这个图形为轴对称图形，完全类似地，如果一个图形以某一点为中心旋转角（）后与它本身重合，就称这个图形为“角的旋转对称图形”。比如说，平行四边形就是“180°的旋转对称图形”（“180°的旋转对称图形”也称“中心对称图形”）。
可以知道，任意的等边三角形ABC，以它的中心（三条中线的交点，也即中心、内心、垂心、外心）为中心旋转，就与自身重合，所以，“等边三角形是的旋转对称图形。”如图
重合于等边三角形BCA，等边三角形的这一变换性质，可以帮助
我们更好地发现与找到许多问题的解决方法。
例1 如图（1），扇形DOE的圆心角为120°，等边三角形ABC的中心恰好为扇形 的圆心，且点B在扇形内
（1）请连结OA，OB，并证明；
（2）求证：与扇形DOE重叠部分的面积等于面积的。
（1）
【 观察与思考】注意到点O为等边三角形ABC的中心，而恰为120°，即
重合于OG。因此，
（1）有 重合于。
（2）由（1）的结论可推得。
【证明】（1）连结OA，OB（如图（1`）。
点O是等边的中心，
。
又知。
。
（2）
【说明】由本题的结论及其推导过程可以进一步概括出：在等边三角形ABC中，
①任意顶点在的中心的120°的角的两边，截下的的部分的面积，都等于面积的。
②任意以的中心O为端点的射线（如上图中的OD），以O为中心旋转120°以后（如上图中的OE），与的边交出的对应线段有着同样的旋转对称关系，当然也就相等（如上图中OF=OG，AF=BG，BF=CG）。
例2 如图，已知，点D是边长为1的等边三角形ABC的内心，点E，F分别在边AB，AC上，且满足。求的周长。
【观察与思考】的三边的长不可能通过分别计算求得，因此，第一个想法
就是把它的三条边等长转化到同一条直线上，利用等边三角形120°的旋转对称性，
先把AF转化到AB上，为此，如图（1`），连结DA（注意到点D就是的中心） （1）
作变换：
重合到。
当然就有AF=BG。在这种情况下，又诱发我们看到，
即有EF=EG，这时就可以看出，的周长应当等于的一条边长。 （1`）
解：如图（1`），连结DA，DB，并在BA上截取BG=AF，连结DG，
在中，
（因为D为的内心）
在中，DE公用，DF=DG，，而
的周长
【说明】正是等边三角形的120°的旋转对称性，启发了整个的解题思路和辅助线的作法。
2、等边三角形“两邻边的60°旋转重合性。
因为等边三角形的每个角都是60°，且三边相等，所以，以其一个顶点（如图的A）为中心，将过该顶点的一条边（如AB）沿适当的方向旋转60°（如这里逆时针旋转60°）就能与顶点的另一条边（如AC）重合。
等边三角形的这一性质，我们可称之为等边三角形“两邻边的60°旋转重合性”。
这一性质，在不少与等边三角形相关的题目中，也有关着很重要的作用。
例3 如图，已知AD和BC相交于点，且均为等边三角形，
以平行四边形ODEB，连结AC，AE和CE。
求证：也是等边三角形
【观察与思考】借助于等边三角形“两邻边的60°旋转重合性”，容易发现：
Ⅰ、 重合于；
Ⅱ、 重合于。[来源:21世纪教育网
由以上旋转重合中任选一个，都不难使本题获解。
证明方法一：在中，
，
。
又
是等边三角形。
方法二：通过证和全等，请同学们自己完成。
【说明】由上例进一步看出，熟悉并善于运用等边三角形“两邻边的60°旋转重合性”，能更快速、更准确地发现与等边三角形相关问题中的全等关系，进而解决许多有关的问题。
以等边三角形为背景的题目，绝大部分是依以上三种变换性质展开或衍生的。因此，依这三种变换性质去寻找解法，既是正路，也是捷径。
五、等腰直角三角形的变换性质
从变换的视角来看，等腰直角三角形有如下的三种特征：
特征一：它是以斜边上的中线所在直线为轴的对称图形（这是由“等腰”决定的）；
特征二：它是以斜边上的中点为中心的90°旋转重合图形（意义见下文）；
特征三：它的两条直角边关于直角顶点具有90°的旋转重合性。
特征一的应用亦如一般的等腰三角形一样，而与等腰直角三角形相关的问题，更多的却是由其特征二和特征三所引发的，相应地，这些问题的解决也便多以特征二和特征三为思考的依据及落实的线索，以下举例来说明。
1、等腰直角三角形“以斜边中点为中心的90°旋转重合性”。
我们知道，在等腰直角三角形ABC中，若AO是斜边AB的中线（或高线，或顶角的平分线）——即O为斜边的中点，那么，将绕点O顺时针旋转90°，则它与重合（点A重合于点C处，点C重合于点B处）。如图所示，同样地，将绕点O逆时针旋转90°，则它与重合（点C重合于点A处，点B处重合于点C处）。
等腰直角三角形以上的性质，我们称之为“等腰直角三角形以斜边中点为中
心的90°旋转重合性”（以下简称“90°旋转重合性”）。这一性质可以说是
等腰直角三角形最为本质的特征，因此有着极为广泛的应用。
例1 在中，AC=BC，，将一块直角三角板的顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC，CB于D，E两点，图（1），（2），（3）是旋转三角板得的图形中的三种情况。
探究并证明：线段PD和PE之间有什么数量关系？写出结论并证明。
（1） （2）
（3）
【观察与思考】根据题目的条件和要回答的问题，我们首先考虑到等腰直角三角形的“90°旋转重合性”。为此，在三种情况的图形中均连结CP，如下面各图：
（3`）
（1`） （2`）
在图（1），图（2），图（3）中均有：
[21世纪教育网
重合于，从而，得PD=PE，即3种情况有统一的结论
和统一的证法。
解：在3种情况中，均有结论，PD=PE。证明如下：
在图（1），图（2），图（3）中，都连结CP，在和中，CP=BP，（在图（1）和
图（2）中，这两个角都为45°，而在图（3）这两个角都为135°）（在图（1）和图（2）中这两个角同为的余角，而图（3）中，这两个角同为的余角。
，可得PD=PE。
【说明】在本题中，等腰直角三角形的“90°旋转重合性”）引导我们找到如上的既统一又简捷的解决方法，这就是本质特征所揭示的规律的普遍化作用。
例2，如图，在中，，直线经过点C，且于点D，
于点E。
（1）当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：DE=AD+BE；
（2）当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE=AD—BE；
（3）当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，试问：DE，AD，BE有怎样的等量关系？请写出等量关系，并加以证明。
（1）
（2） （3）
【观察与思考】首先想到借助等腰直角三角形的“90°旋转重合性”来探究：
在图（1），图（2），图（3）中，都取斜边AB的中点P如下面的图（1`），图（2`），图（3`）则容易看到：
（1`） （2`） （3`）
在这三个图中均有：
重合于，即， 由此推得：
AD=CE，CD=BE。据此不仅立刻得到图（1）和图（2）情况的结论，并且也使我们很快看到在图（3）的情况应当有DE=BE—AD。
解：在图（1），图（2）和图（3）中，同时考查和
（同为的余角）。
CD=BE。
（1）在图（1）的情况下，DE=CE+CD=AD+BE；
（2）在图（2）的情况下，DE=CE—CD=AD—BE；
（3）在图（3）的情况下，结论为DE=BE—AD，理由是：此时DE=CD—CE=BE—AD
【说明】由于我们从等腰直角三角形的“90°旋转重合性”这一特征出发，就抓住了图（1），图（2）和图（3）各种情况的本质（和关于点P成90°旋转重合），因此，三种情况下不同的结论只是共同性质的不同反映而已，可见，最为优化的解法是由最恰当地运用最为本质的性质而得到的。
2、等腰直角三角形两直角边以直角顶点为中心的90°旋转重合性
如图，等腰直角三角形ABC中，CA，CB是直角边，显然有
有 重合于CB，当然亦有CB绕点C顺时针旋转90°则与CA重合。
我们将等腰直角三角形的这一性质简称为“两直角边90°旋转重合性”。等腰直角三角形的这一特征也有着广泛的应用。
例3 如图，在中，已知D，E为AB上的两点，且。
求证：
【观察与思考】由要证的结论立刻想到应将AD，BE，DE三条线段转化成同一个直角三角形的三条边（且与DE相等的边斜边）。
若作 重合于，如图（1），连结， （1）
这时易知中。
证明：在的外侧作截取连结如图（1`）。
在和中，CA=CB，，
′， （1`）
′′
又在和′中，CE公用，CD=CD′。
′′
在中，有即
【说明】这里就是恰当地运用了等腰直角三角形两直角边关于直角顶角的90°旋转重合性。成功地实现了对线段AD，DE的“转移”，将原本在一条直线的三条线段转化成了同一个直角三角形的三条边。
3、等腰直角三角形的轴对称性
等 腰直角三角形的轴对称图形（斜边上的中线所在的直线为其对称轴），有的题目的解决，
需要借此作“轴对称构造”。
例4 如图，在中，D是内一点，
且 （1）
求证：BD=BA。
【观察与思考】由，启发我们利用等腰直角三角形的轴对称性，作，且取AE=AD，如图（1`），易知而为等边三角形。从中推得进而可有 ，得BA=BD。
证明：在内作，且取AE=AD，连结BE，DE，如图（1`），这时为等边三角形。
在和 中，AB=AC，AE=AD，
在和中，BE公用，AD=DE。 （1`）21世纪教育网
【说明】 在本题，尽管没有画出对称轴，但并不妨碍我们利用“等腰直角三角形的轴对称性”去思考问题，这恰恰说明了“变换性质”做为观察和研究图形的一个“视角”，一种“思想意识”，是多么有力有效。
通过以上几例可以看出，等 腰直角三角形的三大特征：“绕斜边中点90°旋转重合性”、“两直角边的90°旋转重合性”、“轴对称性”，是认识等腰直角三角形和解决与之相关问题的重要基础和有力武器。
六、平行四边形的变换性质
从变换的视角来看，平行四边形的基本特征反映在如下的两个方面：
特征Ⅰ：平行四边形是“中心对称图形”，两条对角线的交点就是它的对称中心；
特征Ⅱ：平行四边形的两组对边，分别具有“平移重合”的关系。
与平行四边形有关的的问题，大都可以沿着如上的两个特征去观察、研究，并获得解决。
1、平行四边的“中心对称性”和其应用
如图，若O是平行四边形ABCD对角线的交点，那么平行四边形ABCD 重合于平行四边形CDAB。
在上述的180°旋转变换中，不仅有 , , , ,
还有关于点O所有中心对称的元素都是相互重合的。
平行四边形的这一特征，有着极为广泛的应用。
例1 如图 ，四边形ABCD为平行四边形，于点E，
于点F，在DB的延长线上和BD的延长线上分别有点G和点H，且BG=DH。
（1）请写出图中所有的全等三角形。
（2）请选一个全等三角形给出证明（除外）
【观察与思考】显然，BD的中点O为整个图形的对称中心，即有 ，
，
， 。这样，当任取其中的三点在图中构成三角形时，则分别与它们中心对称的
三点也在图中构成三角形，并且这样的两个三角形是全等的，因此，图中的全等三角形有：
；；
；；。
这些全等三角形的每条依据也是是关于点O为中心对称的。
解：（2）现在证明和全等。
（内错角）
，得AE=CF，BE=DF。
。
【说明】本题中不仅全等三角形是中心对称的，而且应按中心对称去寻找相等的对应元素。
例2 如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交 于点O，点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，以图中的任意四点（即点A，B，C，D，E，F，G，H，O中的任意四点）为顶点画出两种不同的平行四边形，并说明理由。
第二种：
第一种：
【观察与思考】当然，用试着画的方法，不难解答本题，但如果按平行四边形的中心对称性来思考，则可有序地得到全部可能的答案。A，B，C，D，E，F，G，H这八个点关于点O有如下的对称关系：
， ， ， 共四对。从这四对中任意取出两对，
（共四个点），当它们不在同一条直线时，则必构成平行四边形，这就是：
平行四边形ABCD（已知），平行四边形AFCH，平行四边形BEDG，平行四边形EFGH。
【说明】这样依变换性质指导下的思考既有秩序又全面。
2、平行四边形的对边平行关系的应用
平行四边形的对边平行且相等（即可经过平移后重合），其作用常体现在以下两个方面：
Ⅰ、构造相似三角形；
Ⅱ、进行等积变换。
（1）平行四边形基础上的相似三角形
例3 如图，已知平行四边形ABCD中，过点B的直线顺次与AC，AD以及CD的延长线相交于点E，F，G，若BE=5，EF=2，则FG的长是 。
【观察与思考】在图中，由AB//CG，可得∽，从中推得①
而由AF//BC，易知∽，从中推得②。
由①和②得
而
解：。
（2）平行四边形基础上的面积问题
例4 已知如图，平行四边形ABCD中，，点F为线段BC上的一点（端点B，C除外），连结AF，AC，连结DF，并延长DF交AB的延长线于点E，连结CE。
（1）当F为BC的中点时，求证与和面积相等；
（2）当F为BC上任意一点时，与的面积还相等吗？说明理由。
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【观察与思考】由四边形ABCD是平行四边形，不难发现
这样一来，（1）和（2）的解决途径同时被发现了，其实，点F为BC上任意一点时被证明了，当然（1）的情况已包含于其中了。
解；在情况（1）和情况（2）中，均有。证明如下：
设F为BC上任意一点，则有
，
（这是因为AE//CD）=。
【说明】如上的解法，一是恰当地运用了“平行四边形对边平行”所带来的三角形面积的转换；二是把不易直接沟通的两个三角形的面积同时加上后，便与原平行四边形的面积巧妙地联系起来了。
七、正方形变换性质
从变换的角度来看，正方形的本质特征可以反映在以下三个方面；
特征Ⅰ、正方形是以其中心（即对角线的交点）为中心的“90°旋转对称”图形；
特征Ⅱ、正方形的邻边以其公共顶点为中心“90°旋转重合”；
特征Ⅲ、正方形是轴对称图形，对边中点连线和两条对角线，都是它的对称轴。
与正方形有关的许多问题，正是要以这些特征为解决的依据和思考的线索。
1、正方形的“90°旋转对称性”及其应用
如图，正方形ABCD的对角线交于点O，若以O为中心，按顺时针（或逆时针）旋转90°，则
，B C， C D， D A。即旋转后的图形与原正方形重合，这就是正方形的“90°旋转对称性”。
这一性质是正方形本质特征的最为典型的表现，因此有着极广的应用。
例1 如图，在正方形ABCD中，O是对角线，AC，BD的交点，过点O作，
OE，OF分别交边AB，BC于点E和F，若AE=4，CF=3。
（1）求EF的长；
（2）求的面积
【观察与思考】（1）根据正方形的“90°旋转对称性”，易知在本题中有： 重合于，在中，可求出EF的长。
（2）由正方形的“90°旋转对称性”，可知：
。
解：（1）在和中，（同为的余角）
在
（2）
【说明】对于正方形的“90°旋转对称性”的认识，不仅帮我们顺利地发现了问题的解决思路，并借助“90°旋转对称性”，规则地找到了全等三角形的对应元素。另外，在求的面积时更是借助正方形的“90°旋转对称性”巧妙而有效地沟通了该面积与正方形ABCD的面积及面积的关系，使问题快速得解。
例2 如图（1），四边形ABCD是正方形，直线，分别经过A，B，C三点，且，若与的距离为的距离为则正方形ABCD的面积等于 。
（1`）
【观察与思考】关键是要把正方形的边长和两个距离沟通起来。
若作点E，作点F，则（如图（1`）），这时容易看到：
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可知，在中，由可推得
解：填
【说明】在本题的解法思考中，正方形的“90°旋转对称性”发挥着关键的引导作用。
2、正方形邻边的“90°旋转重合性”及其应用
如图，正方形ABCD中，若以顶点A为中心，将边AB逆时针旋转90°，则与边AD重合，这一性质可简称为正方形邻边“90°旋转重合性”，这一性质在一些关于正方形题目有着很好的作用。
例3 在平面直角坐标系中，四边形OEFG为正方形，点F的坐标为（1，1）。
将一个最短边长大于的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上。
（1）如图（1），当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直线边落在直线FO上时，这个三角形纸片与正方形
OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为 。
（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O，F重合，且两条
直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形
OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角
形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时 （1）
的图形。
【观察与思考】对于（1），易知对于（2），容易想到符合条件的两种情况，图（11）和 （22），其中均有，这时，阴影正方形的边长为。
（11）
（22）
再根据正方形邻边的“90°旋转重合性”，图（11）和图（22）可分别（等积地）演变成一般情况如图（111）和
图（222）。
解：（1）；
（2）直角顶点的坐标为或此时的图形如图（11`）和图（22`）
（22`）
（11`）
【说明】正是对正方形邻的“90°旋转重合性”的深刻认识，使本题的解决顺畅而简捷
3、正方形轴对称性及其应用
我们知道，正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，正方形的这一性质，也在许多题目中起着很好的作用。
例4 如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，E，F分别是垂足。
求证：。
（1`）
（1）
【观察与思考】注意到BD是正方形ABCD的一条对称轴，点C和A关于该对称轴对称，立刻有如下的解。
解：如图（1`）连结PC。
根据已知条件四边形CEPF是矩形，得CP=EF。
而在中，DP公用， ，
，有AP=CP，进而有AP=EF
以正方形为背景的题目：大都是沿正方形如上的三种变换性质生成的，其相应的解法从三种变换性质入手，再合适不过，恰当不过！
练习题
1、如图，在中，于D，M为BC的中点，，则MD的长为 。
（1） （2）
（3）
2、如图，在中，，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使连结DE，DF。[来源:21世纪教育网
（1）求证：AF与DE互相平分； （2）若BC=4，求DF的长。
3、如图，在中，，D为斜边BC的中点，E为AB上任意一点（ 不与A，B重合），于D，交AC于点F。
求证：
4、如图，在中，，AD，CE分别是的平分线，AD，CE相交于点F。请你判断FE和FD之间的数量关系。并说明理由。
5、已知：如图，平行四边形ABCD中，的平分线交AB于E，交DA的延长线于F。
求证：AE=AF
6、如图，D为等边三角形ABC内一点，E为外部一点，满足：。求的度数。
7、如图，D为等边三角形ABC的BC边上一点，以AD为边作等边三角形ADE，连结BE。
探究：BE和AC有怎样的位置关系？并说明理由。
8、如图，在等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC的中点，以P为直角顶点的两边分别与边AB，AC，交于点
E，F，当绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），也始终是等腰直角三角形，请你说明理由。
9、如图，在等腰直角三角形ABC中，，D为BC的中点，垂足为E，过点B作BF//AC交DE的延长线于点F，连结CF交AD于G。
（1）求证：；
（2）连结AF，试判断的形状，并说明理由。
10、如图，中，，AC=BC，CO为中线。现将一直角三角板顶点放在点O上并绕点O旋转，若三角板的两直角边分别交AC，CB的延长线于点G，H。
（1）试写出图中除AC=BC，OA=OB=OC外其他所有相等的线段。
（2）请你选一组你写出的相等线段给予证明。
11、D是等腰直角内一点，BC是斜边，如果将绕点A按逆时针方向旋转到的位置，则的度数是 。
12、已知，如图，在平行四边形ABCD中，，对角线AC，BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F。
（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形。
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC
绕点O顺时针旋转的度数 。
13、如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE。
求证：（1）；
（2）若AE平分的度数。
14、已知，如图（1），在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过O的直线MN交直线AB于点M，交直线CD于点N，过O的一条直线PQ交直线AD于点P，交BC于点Q，连结PN，MQ。
（1）试证明与全等；
（2）若点O为直线BD上任意一点，其他条件不变，则与又有怎样的关系？试就点O在图（2）的位置，画出图形，证明你的猜想。
（1）
（2）
15、如图，已知正方形ABCD的对角线AC和BD相交于O，点M，N分别在OA，OD上，且MN//AD。
探究：线段DM和CN之间的数量关系，写出结论并给出证明。
16、如图，在四个动点，P，Q，E，F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样的速度向B，C，D，A各点移动。
（1）判定四边形PQEF的形状；
（2）PE是否总是经过某一个定点，并说明理由；
（3）四边形 PQEF的顶点位于何处时，其面积最大，最小？各是多少？
17、已知，在的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB（或它们的反向延长线）相交于点D，E。
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图（1），易证：。
（1）
（2）
（3）
当三角形绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在如图（2），图（3）这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD，OE，OC之间又怎样的数量关系？写出你的猜想，并写出理由。
B
A
C
A
B
C
O
C
A
D
G
B
E
F
A
B
D
C
E
F
B
A
D
C
E
F
M
B
A
D
C
E
F
M
A
B
C
E
D
A
B
C
E
D
F
A
B
C
E
D
G
A
B
C
E
D
N
M
A
B
E
C
M
N
P
Q
O
D
F
A
B
E
C
G
F
D
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
O
F
A
B
E
C
A
B
E
C
D
O
B
P
A
M
N
C
D
1
2
3
1
B
P
A
O
2
C
N
M
D
3
4
O
B
P
A
N
M
C
D
1
2
2
4
O
B
P
N
M
A
D
C
2
1
3
4
A
B
C
D
M
F
E
A
C
B
A
G
E
H
F
D
B
C
A
B
C
D
F
E
P
A
B
C
D
F
E
P
A
B
C
绕点A逆时针
旋转
绕点A顺时针
旋转
A
B
C
D
A
B
C
D
N
M
绕点D顺时针
旋转角
C
D
A
B
M
N
G
C
D
A
B
M
N
绕点O顺（逆）时针
旋转120°角
A
B
C
O
A
O
C
B
E
D
G
F
OF
绕点O逆时针
旋转120°角
A
O
C
B
E
D
G
F
绕点O逆时针
旋转120°角
A
B
C
D
F
E
EMBED Equation.3
绕点D逆时针
旋转120°角
A
B
C
D
F
E
G
A
B
C
O
B
E
D
C
A
O
绕A沿逆时针方向
旋转60°
绕C沿顺时针方向
旋转60°
A
O
B（C）
C（A）
A
B
C
E
P
D
A
B
C
E
P
D
A
B
C
E
P
D
A
B
C
E
P
D
A
B
C
E
P
D
A
B
C
E
P
D
绕点P逆时针
旋转90°
B
C
M
N
E
D
A
B
C
N
M
D
E
A
B
C
N
M
D
E
A
B
C
N
M
D
E
P
B
C
M
N
E
D
P
A
A
B
C
N
M
D
E
P
绕点P顺时针
旋转90°
CA
以C为中心逆时针
旋转90°
A
B
C
A
D
E
B
C
绕点C逆时针
旋转90°
A
D
E
B
C
A
B
C
D
D
E
A
B
C
绕点O逆（顺）时针
旋转180°
OB
OD
OA
OC
A
C
B
D
A
B
C
D
O
B
D
A
C
G
H
EE
FE
A
G
B
C
D
H
F
E
A
B
C
D
O
F
G
E
H
A
B
C
D
O
F
G
E
A
F
H
EE
GE
A
C
B
D
A
B
C
D
G
E
F
D
A
C
F
B
E
A
B
O
A
B
C
D
O
A
D
C
B
F
E
绕点O逆时针
旋转90°
A
B
D
C
A
B
D
C
O
E
F
绕点O顺时针
旋转90°
重合于 EMBED Equation.3
A
B
C
D
G
E
1
1
F
G
E
F
G
E
F
G
E
F
1
1
G
E
1
F
1
A
B
C
D
E
P
F
A
B
C
D
E
P
F
C
A
B
D
F
E
A
B
C
D
M
A
C
B
D
E
F
A
C
D
E
F
B
A
B
D
C
E
F
A
B
C
D
E
A
C
B
D
E
A
B
C
P
E
F
A
B
C
D
E
F
G
A
O
B
H
C
G
C
D`
A
D
B
A
D
C
B
O
E
F
A
B
C
D
E
A
B
C
D
O
N
M
Q
P
H
A
B
C
D
O
A
D
B
C
O
N
M
A
B
C
D
F
P
Q
E
A
B
M
C
D
E
O
A
B
M
C
O
D
E
A
B
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C
D
E
O
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中考高分冲刺－冲刺二
充分发挥方程的工具性作用
方程是重要的数学工具，它可以干什么用呢？结论是：
凡是有关“求值”的问题，不管是怎样的背景下和情境中，绝大多数情况都可以借助构造方程来解决。
一、方程用于实际问题中的求值
这方面的题目，同学们做的已经很多，这里只举一例。
例1 秋末，由于冷空气入侵，某地区地面气温急剧下降到0℃以下的天气称为“霜冻”。由霜冻所导致的植物生长受到影响或破坏的现象称为霜冻灾害。
秋末某天，气象台发布了该地区如下的降温预报：午夜0时至次日5时气温将匀速地由3℃降到—3℃，然后从次日5时至次日8时，气温将又匀速地由—3℃升到5℃，一种农作物在0℃以下持续超过3小时就会造成霜冻灾害，根据气象台的预报信息，你认为是否有必要对该农作物采取防冻措施？并说明理由。
【观察与思考】
第1， 这实际是要求出两个数值：一是0时至次日5时气温下降过程中在哪个时刻达到0℃；二是在次日5时至次日8时气温上升过程中，在哪个时刻达到0℃，显然是求值总问题。应分别构造方程来解决。
第2， 可以用“匀速”所包含的“相等关系”来导出方程，即
（事实上，只要把本问题的“温度差”看作“路程”，它就相当于行程问题了。）
简解：设在0时至次日5时之间的时，气温降到0℃，则依题意有：
（时）
设在次日5时至次日8时之间的时气温升到0℃，依题意有：
，解得（时）
。
气温在0℃以下的时间为3.625小时（大于3小时）因此，会对该农作物造成霜冻灾害，所以应对它采取防冻措施。
二、方程用于数学问题中的价值
数学问题中有形形色色或显或隐的求值问题，大都可借助方程来解决。
1、借助方程，解决某些“数与式”的问题
例1 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么，称这个正整数为“神秘数”。如：，因此4，12，20这三个数都是神秘数，21世纪教育网
（1）28和2008这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？
【观察与思考】根据题中规定知道，若（※），(其中是整数，为正整数)，则就是“神秘数”。正整数是不是“神秘数”，就看使（※）式成立的整数是不是存在，存在时就是“神秘数”；不存在，就不是“神秘数”。这就是说，研究是不是“神秘数”的问题，就变成了研究（※）这个关于的方程有无整数解的问题。
解：（1）方程有非负整数解3。即
28是神秘数。
方程，没有整数解，2008不是神秘数。
（2），[来源:21世纪教育网]
令解得不是整数。
两个连续奇数的平方差（取正数）不是神秘数。
例2 按下面的程序计算，若开始输入的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的的不同值最多有（ ）
A、2个 B、3个 C、 4个 D、5个
【观察与思考】本题相当于按如下规律构造的方程：，
有正整数解的共有多少个。可验证只有上述4个方程有正数解。
解：选C。
对于许多有关特定要求的数，式问题，常需要借助方程来解决。
2、借助方程，解决某些几何图形的求值问题
例3 图1是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长为，则六边形的周长是
【观察与思考】拼成六边形的9个等边三角形按大小共分为5类，从大到小边长逐减小，因此，可通过构造最大的等边三角形的边长的方程来求得它的值。
从图2中可以看到最大三角形的边长是第四大三角形边长的2倍，易如：设最大的等边三角形的边长为，则有。
图中六边形的六条边依次为：
解：
例4 如图，这是由五个边长为1的正方形组成的图形，过顶点A的一条直线和CD，ED分别相交于点M，N。假若直线MN绕过A旋转的过程中存在某一位置，使得MN将图形分成的两部分面积恰好相等，求这时线段EN的长。
【观察与思考】可借助来构造关于EN的方程求其长。
解：。
∽
得关于EN的方程
解得（不合题意，舍去）。
许多图形的求值问题，可借助方程来解决，事实上，包括解直角三角形和用相似三角形的性质求边长，也是特定形式的方程，是方程思想的一种具体化表现。
3、借助方程，解决函数相关的问题
例5 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于点E和F。从点A（1，0）和
B（3，0）作轴的垂线，分别与直线交于点C和点D。已知，
求直线的解析式。
【观察与思考】若设直线的解析式为。现在要求出
的值，为此去构造关于的方程组。而所给条件
“”就是这两个方程组所依据
的等量关系。
解：设直线的解析式为，易知：
依题意有方程组：
解得
直线的解析式为：
例6 早晨，小丽与妈妈同时从家出发，步行与骑自行车到方向相反的两地上学与上班，图中所示是她们离家的路程（米）与时间（分）的函数图象。妈妈骑自行车走了10分钟接到小丽的电话，即以原速度骑车前往小丽的学校，并与小丽同时到达学校。已知小丽步行速度为每分50米，求小丽家与学校的距离及小丽早晨上学需要的时间。
【观察与思考】点B的横坐标就是小丽早晨小学需要的时间
其纵坐标就是小丽家与学校的距离。本题的实质是求点B的坐标，
也就是由OB，AB确定的函数关系式做成的方程组的解。而OB，OA
对应的函数易知。
解：OB对应的函数关系式为：。
因为妈妈10分钟骑自行车走了2500米，其速度为250米/分钟，
所以，AB对应的函数关系式为：
将（10，2500）代入，求得
解方程组 得
小丽家与学校的距离为1250米，小丽早晨上学需要25分钟。
【说明】本题是将方程的思想和函数图象的意义紧密结合，才有如此简明的解决方法。
许多和函数相关的问题，只要涉及到求值，常需要考虑借助方程。
4、和运动有关的图形问题，凡属运动过程中的特定形状，特定数量以及特定位置关系的，大都需要借助构造方程来解决
例7 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，，开始沿AD边向D点运动，速度为1厘米/秒，同时点N从点C开始沿CB向点B运动，速度为2厘米/秒，设运动的时间为秒。
（1） 当为何值时，四边形MNCD 是平行四边形？
（2） 当为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？
【观察与思考】对于（1），当四边形MNCD是平行四边形时，
MD=NC，就以这一相等关系构造关于的方程。
对于（2），画出四边形MNCD是等腰梯形的草图，如图（2），
作垂足为G，作垂足为H，此时应有NG=CH，
也即CN=MD+2CH。可以用这一相等关系的构造关于的方程来求解。
解：（1）MD=15—，CN=2，令MD=NC，得的方程
。解得=5
即=5（秒）时四边形MNCD是平行四边形。
（2）令得关于的方程
解得
即（秒）时，四边形MNCD是等腰梯形。
例8 如图，在□ABCD中，AB=4，AD=3，点P和点 Q同时从点A出发，以每秒1个单位的速度运动，点P沿AD→DC→CB向点B运动，点Q沿射线AB的方向运动。当点P运动到点B处时，两点的运动同时结束。设运动时间为秒。
（1）当点P在边AD上运动时， 求使成为以D Q为底边的等腰三角形的时刻；
（2）当点P在边DC上运动时，是否存在时刻，使线段PQ和对角线BD互相平行？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）当点P在边CB上运动时，可能成为直角三角形吗？写出你的判断，并说明理由；
【观察与思考】以上三个问题，实际都归于建立关于的方程来解决。
解：（1）点P在边AD上运动时，。总有为等边三角形，即。
令PD=PQ，即。
（秒）时，是以DQ为底边的等腰三角形。 （1）
（2） 当点P在边DC上运动时，。
若有PQ//BD，则四边形DBQP为平行四边形，即PD=BQ，如图（1），也即，该方程无解。
不存在这们的时刻，使PQ//BD。
（3）点P在边CB上运动时，
若为直角三角形，只有如图（2），此时。
令
当，为直角三角形。
（2）21世纪教育网
运动中变化着的图形或图形关系凡属“特殊图形”、“特定关系”、“特殊存在”类的问题，大都可通过构造相应的方程来解决。
5、借助方程解决某些探索性问题[来源:21世纪教育网]
例9 如图，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含的等式表示第个正方形点阵中的规律是 。
……
…….
【观察与思考】不难发现这样的规律:第个点阵点的总数为,被分成的两部分有关系:下边部分比上边部分多个点.如此一来,可用构造方程来确定要求的规律:
设第个正方形点阵分成的两部分是个点,个点,则
解得
解：应填： 。
例10 欣赏下列的等式：
写出一个由7个连续整数组成，前4个数的平方和等于后3个数的平方和的等式为： ；
【观察与思考】关键是如何既简练又确切地表示“7个连续整数”，考虑到要计算“平方和”，那么最好的方法是，设为整数，则7个连续整数表示为：如此一来，可借助方程求出满足要求的和7个整数来。设有
则
即解得
解： 。
[来源:21世纪教育网]
【说明】某些探索性问题，用方程来解决更准确、更迅速。关键是要善于发现问题有无构造方程的条件，以及如何恰当地应用方程。
其实，方程的作用远不止这些。
由上可知，必须确立如下的深刻认识：
1、对于求未知数量值的问题，不管是具有实际背景的，还是纯数学的；不管是代数方面的，还是几何图形方面的；不管是显性的，还是较为隐含的，第一条思考解决的途径都应当是考虑“构造方程”和解方程。
2、列出方程的关键是在深入分析题目情景后捕捉到“事关全局的相等关系”，以它为基础再具体化为方程。
如上的深刻认识和有效的落实，才是“方程思想”的深刻表现，才能真正发挥方程的工具性作用。
练习题
1、某水果批发市场香蕉的价格如下表：
购买香蕉数（千克） 不超过20千克 20千克以上且不超过40千克 40千克以上
每千克价格 6元 5元 4元
某人共两次购买50千克香蕉（第二次多于第一次），共付款264元，请问他第一次，第二次分别购买香蕉多少千克？[来源:21世纪教育网]
2、某人在电车路轨旁与路轨平行的路上骑车行走，他留意到每隔6分钟有一部电车从他后面驶向前面，每隔两分钟有一部电车从对面驶向后面。假设电车和此人行驶的速度都不变（分别为表示），请你根据右面的示意图，求电车每隔几分钟（用表示）从车站开出一部？
[来源:21世纪教育网]
21世纪教育网
3、为确保信息安全，信息需要加密伟输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为：明文对应的密文为。例如，明文1，2对应的密文是-3，4。那么当接收方收到的密文是1，7时，解密得到的明文是（ ）
A、 —1，1 B、1，3 C、 3，1 D、1，1
4、直线轴分别交于点A和点B，若直线AB的长度等于，求直线的解析式，并在直角坐标系中画出它的图象。
21世纪教育网
5、如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，，BC=16，DC=12，AD=21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，设运动时间为（秒）。
（1）当为何值时，以B，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？
（2）是否存在时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
6、如图，抛物线和轴交于A，B两点，（点B在点A的右侧）。和轴交于点C，在轴上是否存在点P，使以点P，A，O为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
7、如图在，E，F分别为边AB，AC上的点，当沿EF将折叠，恰使点A落在BC上的点D处，并且有时，点E，F分别在边AB上和AC上的什么位置？
21世纪教育网
8、如图AC=6，BC=8，点D在AC上，（不与点A，C重合）。点E在AB上（不与点A，B重合）。如果线段DE把的周长和面积都平分成相等的两部分，请求出AD和AE的长。
9、星期天，小强骑自行车到郊外与同学一起游玩。从家出发2小时到达 目的地，游玩3小时后按原路返回，小强离家4小时40分钟后，妈妈驾车沿相同路线迎接小强，如图是他们离家的路程（千米）与时间（时）的函数图象。已知小强骑车的速度为15千米/时，妈妈驾车的速度为60千米/时。
（1）小强家与游玩地的距离是多少千米？
（2）妈妈出发多长时间与小强相遇？
10、根据以下10个乘积，回答答问题：
； ； ； ；
； ； ； ； ；
试将以上各乘积分别写成一个“□—○”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；
11、已知正边形的周长为60，边长为。
（1）当时，请直接写出的值；
（2）把正边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍然是正多边形，它的边数为+7，周长为67，边长为；有人分别取等于3，20，120。再求出相应的与，然后断言：“无论取任何大于2的正整数，与一定不相等”。你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的的值。
输入
计算的值
输出结果
是
否
A
B
C
D
E
F
G
N
M
O
A
B
C
D
E
F
（分）
（米）
B
A
10
—2500
A
B
C
D
M
N
A
B
D
M
N
H
G
C
A
B
C
D
Q
P
A
D
P
C
Q
B
A
B
C
D
P
Q
A
B
人车同向示意图
A
B
C
人车异向示意图
A
D
C
B
P
Q
C
A
B
A
B
C
F
D
E
A
B
C
D
E
（时）
（千米）
2
5
C
D
A
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中考高分冲刺－冲刺五 几何计算方法与作用的归纳
当以比单纯逻辑论证宽泛得多的思想和视角来研究几何图形及其和相关的问题时，“几何计算”的意义和作用，就被大大地加强了。
第一，几何图形的大小及形状、几何图形间的位置关系，在许多时候本来就需要运用相关的数量来表示，无疑地就会涉及到几何量的计算；
第二，当我们注重研究图形的动点问题，图形的变换及运动问题，在坐标系里研究图形的一些问题时，就愈是不可避免地要借助几何量的计算；
第三，那些基于实际而模型化为几何图形的应用类问题，更是必须依靠几何量的计算来解决。
因此，《课标》理念下的几何学习，几何计算的份量加大了，层次提高了。
在本关节，我们先将几何计算的基本方法加以归纳，为而后的应用作好充分准备。
一、掌握好几何计算的两种主要方法
几何计算的两种主要方法是：
Ⅰ、借助于解直角三角形；
Ⅱ、借助于三角形的相似关系。
1、善于用解直角三角形的方法完成几何计算
（1）要善于依题情恰当地构造直角三角形
例1 如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为，则它们重叠（如图中阴影）部分的面积是（ ）
（1`）
（1）
A、 B、 C、 D、
【观察与思考】将原问题抽象为图（1`），在菱形ABCD中，，顶点A到直线CD和直线CB的距离都为1，求菱形ABCD的面积。
为此，作交CD的延长线于点H，则有
其中
解：应选A。
例2 如图，在中，。将绕点C逆时针旋转30°得到， 与AB相交于点D。求BD的长。
【观察与思考】注意到若作于点G，如图（1`）则 （1）
可得中，DG=BG，同时在，而CB=1，
从而可构造关于BD的方程，求得其值。
解：如图（1`），作于点G，设BD=，[来源:21世纪教育网]
中，
在中，， （1`）
。
即解得。
的长为。
【说明】通过以上两例可以看出，凡涉及到几何图形中量的计算时，应当首先考虑借助于解直角三角形，而在这许多情况下，就需要恰当地构造出相应的直角三角形。
（2）在图形较为复杂的情况下，要善于恰当地将相关数量转化到某直角三角形[来源:21世纪教育网]
例3 如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结CE，若于点F，且AF平分求的值。
【观察与思考】首先，在中，剩下的任务
就是去求CF和AC之间的数量关系，如去求出CF用AC表示的代数
式。为此，去研究相应的条件：
①由ABCD为等腰梯形，BECD为平行四边形（BE//CD，BE=CD），可知：AC=BD=EC；
②由知 且AF平分得是等腰三角形，设AF交BD于点G，则
③由BG//EC，知∽,
如此一来，
当然就有。
例4 如图，把一副三角板如图（1）放置，其中，斜边把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到如图（2）， 这时AB与相交于点，与AB相交于点F。
（1）求的度数；
（2）求线段的长；
（3）若把三角形绕着点C顺时针再旋转30°得到，这时点B在的内部，外部，还是边上？证明你的判断。
（1） （2）
【观察与思考】对于（1），如图（2`），设CB与相交于点G，则可通过与内角的关系，求得的值；
对于（2），可先推出，并导出的长；
对于（3），设直线CB交于，应在中计算出的长，为此为基础进行判断。
解：（1）设CB与相交于点G，如图（2`），则：
（2`）
。
（2）连结，
又。
在
。
（3）点B在内部，理由如下：
设BC（或延长线）交于点，
在，
又，即点B在内部。
【说明】从这两个例子可以看出，在图形复合，情况比较复杂时为了在直角三角形中完成计算，还常需要和题目的条件，图形的其他特征相结合，通过有关的性质及定理，把一些数值和数量关系转化到这个直角三角形中去，因此，这样的计算也必须以熟练地掌握几何图形的基本性质为基础。21世纪教育网
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2、掌握好用两个三角形相似关系实施与完成几何计算
当两个三角形相似时，就会构成相关线段的比例等式，而在比例等式当中，若有一条线段是未知的，而其他线段是已知的或是未知线段的代数式，那么这样的比例等式就成了未知线段的方程，借此方程求出未知线段，因此，用两个三角形之间的相似关系，也可以实施与完成许多几何计算。
（1）要有借助相似三角形完成几何计算的高度意识
例5 已知，三个边长分别为2，3，5的正方形如图排列，则图中阴影分部的面积为 。
【观察与思考】可以用直接法或间接法，但都需要计算出有关线段的长，这就
需要借助于图中的直角三角形的相似关系。
解：如图（1`），∽∽
则
。 （1）
（1`）
【说明】正是借助于图中的相似三角形，使得线段CM，EN，从而线段GM，FN的计算得以落实。
例6 如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于O，于点E，连结ED，交OC于点F，作于点G。
（1）CG和CB有怎样的数量关系？说明理由；
（2）若想在CB上确定一点H，使，请依据（1）得出的结果，说出画图的方法（不必说明理由）
【观察与思考】显然，图中有一些相似三角形，比如：
∽∽（Ⅰ组）；∽（Ⅱ组） （1）
∽（Ⅲ组）；∽（Ⅳ组）等。21世纪教育网21世纪教育网
通过分析可知，应用到第Ⅰ组，因为其中含有线段CG和CB（即与 ）
而其中的CF又包含在第Ⅲ组的三角形中，这样就有：
解：（1）有结论在和中，由OE//CD，易知∽，
即也即。
在和中，
∽，得 （1`）
（2）应这样确定点H，连结DG，交CO于点M，作于H，则应用 如图（1`）。
【说明】从以上两例可以看出，在不少情况，需从较多的三角形相似关系中选取最为直接的能够实现计算目的的两对或几对相似三角形，这既需要对图形性质有深刻的认识，也需要善于对问题情意及要达到的目的的进行深入分析。
（2）要善于发现和构造相似三角形
例7 如图，已知中，，点E，F在AB上，设的面积为。
求证：
【观察与思考】注意到，就容易发现有
∽。
【证明】在和中，
，[来源:21世纪教育网
∽，得，即。
。
【说明】利用相似三角形解决问题，首先就要善于从图形中找到相似三角形，这就需要对三角形相似的条件不仅熟悉，且能灵活运用。
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例8 如图，在边长为8的正方形ABCD中，P为AD上一点，且BP的垂直平分线分别交正方形的边于点E，F，Q为垂足，则EQ：EF的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
【观察与思考】容易看出∽得既 （1）
。
而根据正方形的性质，易知，如图（1`），把FE平移至CG的位置，
由有，
解：选C。
【说明】在本题是将三角形相似、三角形全等结合起来，分别将线段EQ，EF借助BP表示出来，从而算出这两条线段的比。
例9 某装修公司要在如图（1）所示的五角星图形中，沿边每隔20厘米装一盏闪光灯，若米，则共需要装闪光灯（ ）
A 、100盏 B、101盏 C、 102盏 D、103盏
【观察与思考】研究，由计算出AB的长来，如图（2）
在中，（正五边形的外角）=72°，
作交AC于点D，则AD=BD=BC，又∽， （1）
得：，
即，也既 （2）
解得。
。
灯的盏数应为
解：选A。
【说明】在本题，关键是根据特定条件，构造出∽。
可以看出：认识到相似三角形的计算功能，善于选用相似三角形，进而适时又恰当地构造出相似三角形，是充分发挥相似三角形在几何计算中重要作用的思想基础和知识基础。
二、重新认识几何计算的数学功能
通过几何计算，不仅仅是求出几条线段的长，几个角的度数，几个图形的面积，其更多的作用：
几何计算是深入研究图形性质和图形间关系的重要手段；
几何计算是用代数形式刻划变动中图形性质的主要凭借。
也就是说，许多以图形为基础的研究性问题，许多几何与代数相结合的问题，许多图形的变换及其它形式运动的问题，都是以计算为基础，为依据，为桥梁。这里，我们只举两个较简单的例子，实为而后进一步探讨与研究的提示。
例1 如图（1），是边长为4的等边三角形，D为BC边上一个动点，作DE//CA，交AB于点E，于点F，当BD的长取什么值时，可使？
【观察与思考】本题是研究数量与位置关系的对应性，可借助“逆向探究”的方法。如图（1`），假若，则必有从而有∽。由此求出BD的长，再逆过来予以判定。
解：如图，若则进而又有
∽。 （1）
设则，
又。
，解得 （1`）
成立。
【说明】在本题，虽用了直角三角形一些数量关系，但更主要是要借助于三角形相似。
例2 在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=AD=6，，点E，F分别在线段AD，DC上，（点E与点A，D不重合）且设。
（1）求的函数表达式；
（2）当为何值时，有最大值，最大值是多少？
【观察与思考】这是由数量关系刻画几何量之间的对应关系，或说是几何
与代数结合的问题，其解决的依据就是通过“几何计算”。
解：（1）在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=AD=6，，
∽。
的函数表达式是
；
（2）。
时，有最大值，最大值为。
【说明】象本题这样的几何与代数综合题，正是以“几何计算”作为主要解决工具的。
充分重视解直角三角形和两三角形相似的数学功能吧，让它们在更多的综合型问题中发挥更大的作用！
练习题
1、 已知，如图平行四边形ABCD中，于E，于F，AB=8，AD=6，平行四边形ABCD的面积为40，求的值。
2、一副三角尺如图摆放在一起，连结AD，求的余切值。
3、如图，在正方形ABCD中，M为DC的中点，N为BC上的一点，且BN=3NC，求。
4、如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB//CD，AD=BC，翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF。已知。
（1）求证：EF//BD；
（2）若AB=7，CD=3，求线段EF的长。
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5、如图，在中，E为斜边AB上一点，AE=2，E B=1，四边形DEFC为正方形
则阴影部分的面积为 。
6、如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，P为BC上一点，连结AP，过点P作PE交DC于点E，使得。
（1）求AB的长；
（2）和是否相似，并说明理由；
（3）若求BP的长。
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7、已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，一圆过A，D，E三点，求该圆的半径的长。
8、如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，过点B作BC//OP交⊙O于点以C，连结AC。
（1）求证：∽；
（2）若求BC的长。（结果保留根号）
9、如图，AB是半圆O的直径，四边形CDEF是内接正方形，在正方形CDEF的右侧有一正方形FGHK，点G在AB上，H在半圆上，K在EF上，已知正方形CDEF的面积为16，请计算出正方形FGHK的面积。
A
B
C
D
H
A
C
B
D
D
A
C
B
D
D
G
A
B
E
D
C
F
G
A
C
B
F
O
A
C
B
D
E
A
C
B
F
O
G
2
3
5
G
J
A
F
I
H
N
E
D
M
C
B
A
B
C
D
O
E
G
F
A
B
C
D
O
E
G
F
H
M
A
C
B
F
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A
B
C
D
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P
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Q
A
B
C
D
F
P
E
Q
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A
B
C
A
B
C
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A
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D
C
A
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D
C
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A
E
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C
B
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F
C
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A
B
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C
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C
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