2011中考数学专题复习（24部分打包下载）

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第20部分　多边形
第一课时：三角形的有关概念
课标要求
1、 了解三角形的内角、外角及三条重要线段（中线、高、角平分线）等概念.
2、 会画任意三角形的角平分线，中线和高（尺规作图或刻度尺等工具画图）
3、 了解三角形的稳定性.
4、 了解几种特殊的三角形与多边形的特征，并能加以简单地识别.
5、 探索并掌握三角形的外角性质与外角和.
6、 理解并掌握三角形的三边关系.
中招考点
1、三角形的分类.
2、三角形的内角和、外角和及外角的性质.
3、三角形的三边关系.
4、三角形的中线，高、角平分线（注意作图方法及性质）.
典型例题
例1：（1）已知三角形的两边长分别为3，5，则第三边a的取值范围是（ ）
A.2 ＜ a＜ 8 B. 2 ≤a ≤ 8 C.a＞ 2 D)a＜ 8
（2）若三角形三边的长分别为整数，周长为13，且一边的长为4，则这个三角形的最大边长为（ ）
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
（3）如图：∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点0，设∠BOC=，则∠A等于（ ）
A.90 -2　　B.90 -
C.180 -2　　D.180 -
（4）在△ABC中，已知∠A=2∠B=3∠C，则△ABC是（　　　　） 　　　　
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 　D.等腰三角形
（５）如图：AB=AC，∠BAD=30 ，AE=AD，则∠EDC等于(　　)
　　 A.30 　　　　B.15 　　　　C.22.5 　　　　D.10
解：（１）根据三角形三边关系有5-3＜a＜3+5
　　　　即2＜a＜8，故选A..
（２）设另两边长为x、y，且x＞y则有　
　　　　　x+y=13-4
　　　　x-y＜4　∴x＜
因为X为整数，取X=6，故选　B.
（评注）１、掌握三角形三边关系定理是解决此类问题的关键.
　　 ２、若已知三角形的两边长为a、b,则第三边长X的取值范围是|a-b|( 3 ) 因为∠ABC=180 -2∠1,∠ACB=180 -2∠2
所以∠ABC+∠ACB=360 -2(∠1+∠2)
又∠1+∠2=180 -∠0=180 -
∴ ∠A=180 -(∠ABC+∠ACB)
=180 -[360 -2(180 -)]
=180 -2
故选　C.　
( 4 ) 不防设∠C=,则∠A=3, ∠B=
由三角形的内角和等于180 可得：++3=180 ,=
∴∠A=3=＞90 , 所以△ABC是钝角三角形，故选C.
(５)不妨设∠EDC=X,则X=∠AED-∠C=∠ADE-∠B=(∠B+30 -X)-∠B=30 -X（∵AB=AC　∴∠B=∠C）
所以2X=30 　即∠EDC=X=15
评注：3、灵活运用三角形内角和定理是解决(3)题的关键；灵活设元(辅助字母)为解决第(4)题提供方便
４、将(5)题中△ABC变为特殊的等腰三角形，等边三角形；则∠A=∠B=60 .　　　　　　　　　　　　
　∠DAC=30 ,则∠ADE=(180 -30 )=75 且∠ADC=90 , 所以∠EDC=15 .
5、 若设(5)题中的∠BAD=α，则可得∠EDC=α可作为结论记住.
例２：一个三角形的两个外角和是第三个内角的３倍，求：第三个内角的度数.
　　　解：依题意画图８－３，由图及题意可得
　　　　　∠1+∠2=3∠A　…①
　　　∵∠1+∠3+∠2+∠4=360
∴∠1+∠2=36O -(∠3+∠4)…②　
　　　将②代入①得 360 -(∠3+∠4) =3∠A　　　　　　　　
　　　　 　　　即　360 =2∠A+(∠A+∠3+∠4) （图8-3）
　　　∴2∠A=180 　　∴∠A=90
评注：考查依题意画图能力及三角形的内、外角和定理的应用，同时也考查将几何计算问题转化为方程问题的能力.解题技巧在于将第三个角∠A看成未知数，依题列出方程，再用几何定理内容将方程中的各角之间关系沟通、代换，从而得解.
例3:如图8—4，在△ABC中，BD、CD、AE分别是三条外角平分线，试确定∠1与∠D的大小关系，并证明你的结论是正确的.
解：答：∠1与∠D相等.
证明：∵BD、CD、AE分别是△ABC三条外角平分线，
∴∠1+∠2+∠3
=(∠FAC+∠CBG+∠BCH)
=×360 =180 …①
在△ABD中，∵∠D+∠2+∠3=180 …②
由①②可得：∠1+∠2+∠3=∠D+∠2+∠3
∴∠1=∠D
评注：此题是在结论上探索性的题目，在答题步骤上，就先将正确的结论写在答题的最开始，然后再加以证明.今后，在解题当中可将此题的条件与结论作为课外知识直接用于填空，选择题去思考问题的答案.
例4、如图8—5，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点D，与外角平分线CE交于点E.求证：①∠BDC=90 + ②∠A=2∠E.
分析：本题是充分运用三角形的内角定理及外角性质的典型题，∠BDC是∠E的外角，∠AOE既是△AOB的外角，也是△OEC的外角，在本题中可以作为纽带建立相应的等式.
证明：①∵BD、CD是∠ABC，∠ACB的角平分线，
∴∠1=∠2=∠ABC，∠3=∠4=∠ACB
由三角形内角和定理，得：
∠A+∠1+∠2+∠3+∠4=180
∴∠2+∠4==90 -　　　　　　　 　　图8－5
在△BDC中，∠BDC+∠2+∠4=180
∴∠BDC=180 -（∠2+∠4）=180 -（90 -）=90 +
②由CE是△ABC的外角平分线，得：
∠OCE=(∠A+∠ABC）=∠A+∠ABC=∠A+∠1
∵∠AOE既是△ABO的外角，又是△OEC的外角，
∴∠A+∠1=∠AOE=∠E+∠OCE
∴∠A+∠1=∠E+∠A+∠1
∴∠A=2∠E.
评注：由该题的结果知，任意三角形的两条角平分线的夹角与第三角的数量关系，内角平分线与另一外角平分线夹角与第三角的数量关系的推导过程体现转化思想解决问题的方法.其结论具有普遍性，可灵活运用.
强化训练
一、填空题：
⒈ 在△ABC中，∠C=2(∠A+∠B),则∠C=____;三角形的内角中 至少有____个内角不小于60 ，三角形的三个外角中至少有____个钝角.
⒉ 若一个三角形的三个内角之比为4:3:2,则这个三角形的最大内角为_____.
⒊ Rｔ△ABC中，锐角∠A的平分线与锐角∠B的邻补角的平分线交于点D，则∠ADB等于_____.
⒋ 直角三角形的两个锐角的平分线AD、BE交于O,则∠AOB=_______.
⒌ 如图8—6，∠A+∠B+∠C +∠D+∠E=______.
⒍ 若三角形的每一个外角的度数都相等，那么这个三角形的三个内角度数分别是______.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
⒎ 若等腰三角形两边长ａ和ｂ满足｜ａ-3︱+=0则此三角形周长为______.
⒏ 已知：三角形三边的长为2、X、9，若X为奇数，则此三角形的周长是______.
⒐ 三角形的______线将一个三角形可以分成面积相等的两个三角形.
⒑ 小华要从长度分别为5㎝、6㎝、11㎝、16㎝的四根小棒中选出三根摆成一个三角形，那么她选的三根木棒的长度分别为__________.
二、选择题（四选一）
⒒ 以下不能构成三角形三边长的数据是（ ）
A.（1、、2 ）　　B.（、、） C. （3、4、5 ） D. （3 、4 、5 ）
⒓ 如图8—7工人师傅砌门时，常用木条EF固定矩形门框ABCD,使其不变形，这种做法的根据是（ ）
A.两点之间线段最短 B.矩形的对称性
C.矩形的四个角都是直角 D.三角形的稳定性
⒔ 如果一个三角形的三条高线的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） 　　　　　　　 　
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
⒕　三角形的角平分线是（ ）
A.直线 B.射线 C.线段 D.以上都不对
⒖ 等腰三角形三边上的中线、高、角平分线共有（ ）
A.9条 B. 7条 C. 5条 D. 3条
⒗ 已知△ABC的三边长为ａ、ｂ、ｃ,化简∣ａ+ｂ-ｃ∣-的结果是（ ）
A.2ｂ-2ｃ B.2ａ+2ｂ C.-2ｂ D.2ａ
⒘ 画△ABC一边上的高，下列画法正确的是（ ）
⒙　下列说法正确的是（ ）
A.直角三角形只有一条高
B.如果一个三角形有两条高与这个三角形的两边重合，那么这个三角形是直角三角形
C.三角形的三条高中，可能都在三角形的内部，也可能都在三角形外部
D.三角形的三条高中，在三角形的外部的最多只有一条
⒚　设三角形的三边长为3，1-2ａ、8则实数ａ的取值范围是（ ）
A.Ｏ＜ａ＜２ B.－５＜ａ＜－２ C.－２＜ａ＜５ D.ａ＜－５或ａ＞－２
⒛　已知等腰三角形一边长等于3，一边长等于6，则它的周长等于（ ）
A.12 B.15 C.12或15 D.15或18
三、解答下列各题：
21.如果等腰三角形的周长是25㎝，一腰上的中线把三角形分成两个三角形，其周长的差是4㎝，求这个等腰三角形的腰长及底边长.
22. 如图8-9，有一块模板规定∠A=90 ，∠B=52°，
∠C=21°，检验人员测得∠BDC=148°，请判断该模板是否合格，并说明理由. 　　　　　　
23. 如图8-12，已知DE交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，∠B=67°，
∠ACB=74°，∠AED=48°求∠BDF的度数
24. 如图8—13，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACD,点D在BC的延长线上，设∠p=y°,∠A=x°.
⑴试求∠p与∠A的函数关系；
⑵　∠A=40°时，求∠p的度数.
25. 如图8—14，△ABC中，AD⊥BC.AE平分∠BAC.
⑴若∠B=70°，∠C=34°，求∠DAE,∠AEC的度数
⑵若∠B＞∠C,试猜想 ∠DAE与∠B-∠C有何关系？并说明你猜想的理由.
26.⑴　思考题：已知正整数a、b、c，a≤b≤c，且c=6，问是否存在以a、b、c为边长的三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数？若不存在，请说明理由.
⑵如图8—15，△ABC的BC边上有2005个
点D、D、D……D，分别连结DA 、
DA……DA，试探索图中共有多少个三角形？
第二课时 (多边形的内、外角和平面图形的镶嵌)
课标要求：
1、 探索、归纳多边形的内角和与外角和公式，并能运用于解决计算问题.
2、 通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并且理解正多边形能够铺满地面的道理.
3、 会运用几种图形进行简单的镶嵌设计.
中招考点：
1、 多边形的内角和、外角和
2、 正多边形铺满地面的应用及几种图形进行简单的镶嵌设计.
典型例题：
例1、①若一个多边形的边数增加1,则这个多边形的内角和增加______度.
②若将n边形的边数增加一倍，则它的内角和增加______度.
③已知多边形的边数恰好是从一个顶点出发的对角线条数的二倍，则此多边形的边数为______
④商店出售下列形状的地砖：(1)正方形；(2)长方形；(3)正五边形；(4)正六边形，若只选购其中一种地砖铺地面，可供选择的地砖共有______种.
解：⑴设原多边形的边数为n，则它的内角和为(n-2)·180°,n+1边形的内角和为
(n+1-2)·180°,因此内角和增加(n+1-2)·180°-(n-2)·180°=180°.
⑵ 因为n边形与2n边形的内角和分别为(n-2)·180°和(2n-2)·180°.所以内角和增加
(2n-2)·180°-(n-2)·180°=180°· n
⑶　设多边形的边数为n，则从一个顶点出发的对角线的条数为(n-3)由题意得，n=2(n-3) 解得n=6
⑷　根据地砖铺满地面满足的条件，“当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面图形”.可以判断⑴⑵⑷符合，故共有3种.
评注：①利用多边形的内角和定理进行计算是解决问题①、②的关键.
②掌握从一个顶点出发的对角线总条数为(n-3)条，然后由题意可建立方程，尽而使问题得到解决.
③掌握地砖铺满地面满足的条件，是解决问题⑷的关键，不能认为长方形地砖不能铺满地面.
例2、已知两个多边形的内角和为1800°且两个多边形的边数之比为2∶5，求这两个多边形的边数.
分析：因为两个多边形的边数之比为2∶5，可设两个多边形的边数2x和5x,利用多边形的内角和可列出方程.
解：设这两个多边形的边数分别是2X和5X，则由多边形的内角和定理可得：
(2x-2) 180°+(5x-2) 180°=1800°
解得 x=2
∴ 2x=4, 5x=10
故这两个多边形的边数分别是4和10
评注：利用多边形的内角和定理，通过列方程求解，是计算多边形边数常用方法.
例3、已知一个正多边形的每个内角与其外角的差为90 ，求这个多边形每个内角的度数.
分析：由于正多边形的每一个外角和每一个内角都相等，从而可建立方程.
解：设这个正多边形为n边形，则正多边形的每一个内角为，正多边形的每一个外角为，由题意可列： -=90
解得： n=8
故这个正多边形的每一个内角度数为 =135°
评注：注意正多边形的每一个外角是相等的，而且都等于，同时将问题转化为方程或方程组来解决.
例4、小刚家装修房屋，准备用正三角形和正六边形两种地板铺地面，请你为他设计一下，共有几种不同的铺设方法，并画出草图.
分析：根据地砖铺满地面的条件，结合本题是正三角形和正六边形两种地板.尽而得到二元一次方程，注意只须求方程的正整数解，就可以得到铺设方法的情况.
解：设在一个顶点处周围有m个正三角形的角，有n个正六边形的角，则这些角的和应满足方程
m 60°+n 120°=36O° 即m+2n=6
于是这个方程的正整数解为 　 或
答：有两种不同的铺设方法：
一是每个顶点铺四块正三角形地砖与一块正六边形地砖；
二是每个顶点铺设正三角形、正六边形的地砖各两块.
评注：彼此无重叠，又无缝隙的平面密铺，必须使得拼点处各个内角的和等于36O°.
例5：如图8--16⑴、⑵…(m)是边长均大于2的三角形，四边形… 凸n边形，分别以
它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧、n条弧.
1 图⑴中3条弧的弧长的和为______；
图⑵中4条弧的弧长的和为______；
2 求图(m)中n条弧的弧长的和(用n表示).
分析：欲求图⑴、⑵…(m)中3条弧，4条弧…n条弧的弧长之和
由弧长公式L=可知，关键是找各个弧所对的圆心角的度数，因为半径都是1，而找每个圆心角的大小困难很大，几乎是不可能的.但仔细分析可得，求的是各段弧的弧长之和，而对于图⑴来说，三段弧所对圆心角的度数之和为18O°，对于图⑵来说四段弧所对圆心角的度数之和为36O，它们的半径均是1，尽而使问题得到解决.
解：①π、2π
②方法一：∵凸n边形的内角和为(n-2)·180°，而n条弧的弧长的和恰好为=(n-2)个以某定点为圆心，以1为半径的圆的周长.
∴n条弧的弧长的和为2π×1×(n-2)=(n-2)π
方法二：设∠A、∠A，…∠A的度数分别为、、…，
弧长分别为L、L，…L
∴　L+ L…+ L =++…+
=
而++…+=(n-2)·180°
∴　L+ L+…+ L =π=(n-2)π
故n条弧的弧长的和为(n-2)π
评注：通过观察图形，结合弧长公式，联想到求等半径的各段弧长之和就是求半圆、圆、(n-2)个圆的周长问题.尽而使问题得到解决.或者是把这些等半径的弧长集中起来，实际上就是这些弧所在圆的圆心角集中起来，再利用n边形内角和公式，使问题可解.
例6：一个多边形，除了一个内角之外，其余各个内角和为2750 求这个多边形对角线的条数.
分析：欲求这个多边形对角线的条数，关键是求多边形的边数，由题上条件，可设多边形的边数n，除去的内角为，尽而建立方程求解.注意0°＜＜180°的隐含条件.
解：设这个多边形的边数n，除去的内角为(O°＜＜180°)
根据题意得：(n-2)·180°=2750°+
化简整理得：ｎ==17+
∵ｎ为正整数，∴为整数
又∵O°＜α＜180° ∴α=130° ∴ｎ=18
故多边形对角线的条数为=18×=135(条)
强化练习
1、 填空题
⒈ 若正多边形一个外角等于450，则这个正多边形的内角和为______
⒉ 一个多边形恰好有三个内角是钝角，则这个多边形的边数最少是______
⒊一个多边形每个内角都是15O°，则这个多边形的内角和为______
⒋ 一个多边形的内角和比它的外角和2倍还大180°，则这个多边形的边数是______
⒌ 在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的，则这个多边形的每个内角为______度.
⒍　用三种不同的正多边形铺满地面，其中有正方形、正六边形，另一种为______
⒎　如果四边形有一个角为900，其余三角之比为3∶4∶5，则这三个内角的度数分别为______
⒏ 一个多边形共有54条对角线，则这个多边形的内角和为＿＿＿＿＿＿度
⒐　若凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是______
⒑ 如图8—17，是三个完全相同的正多边形进行的密铺设计的一部分，这种正多边形是______形.
⒒　已知：过m边形的一个顶点共有7条对角线，ｎ边形没有对角线，p边形共有p条对角线，则代数式m-Pｎ的值为______.
⒓　如图8—18，分别以四边形的各个顶点为圆心，半径为R作图(这些圆互不相交)，那么图中阴影面积的和为______.
二、选择题(四选一)
⒔　一个正多边形的每个外角都为360，则它是（ ）
A.正六边形 B.正八边形 C. 正九边形 D. 正十边形
⒕　某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设 无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（ ）
A.正三角形 B.矩形 C.正八边形 D. 正六边形
⒖　若多边形的边数由3开始增加，其外角和（ ）
A. 增加 B.为(n-2)·180° C.减少 D.不变
⒗　一个正多边形，它的一个外角等于与它相邻的内角的，则这个多边形是（ ）
A.正十二边形 B.正十边形 C. 正八边形 D.正六边形
⒘　为了美化城市，建设中的某休闲广场准备用边长相等的正方形和正八边形两种地砖镶嵌地面，在每一个顶点的周围，正方形、正八边形地砖的块数分别为（ ）
A.1、2 B.2、1 C.2、3 D.3、2
三、解答下列各题：
⒙　已知多边形的每一个内角都等于相邻外角的4倍，求这个多边形的边数.
⒚　是否存在一个多边形，它的每一个外角都等于相邻内角的，简述你的理由.
⒛ 一个多边形截去一个角后，所得的一个多边形的内角和是2520°求原多边形的边数.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
n=1 n=2 n=3
图8-19
21. 如图8—19，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设地面，请观察下列图形并解答关问题.
1 　在第n个图中，第一横行共有多少块瓷砖？每一竖列共有多少块瓷砖？(均用含n的代数式表示)；
2 　设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与①中的n的二元一次方程；
3 　按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
4 　若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题③中，共需花多少元钱购买瓷砖？
5 　是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明为什么？
22.如图8—20，是一种长30㎝，宽20㎝的长方形瓷砖，E、F、G、H分别为长方形边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2米，宽2.8米的墙壁准备贴这种瓷砖.
①这面墙最少要贴这种瓷砖多少块？
②全部贴满后，这面墙最多会出现多少个面积相等的菱形？其中有花纹的菱形多少个？
23. 小明和小红分别设计了一种求n边形的内角和(n-2)·180°(n 为大于2的整数)的方案：
①小明是在n边形内取一点P，然后分别连结PA1,PA2,…PAn(图8—21--1)
②小红是在n边形的一边A1A2上任取一点P，然后分别连结PA4,PA5,…PA1(图8—21--2)
请你判断这两种方案是否可行？如果不行，请说明理由；如果可行，请你沿着方案的设计思路把多边形的内角和求出来.
第20部分《多边形》 综合测试(A)
一、填空题：(每小题3分共30分)
1、一个三角形中有______条角平分线，______条中线，______条高.
2、若等腰三角形两边长分别为3、7，则它的周长为______
3、若a、b、c为三角形三边长，此三角形周长为18㎝，且a+b=2c,b=2a,则a=______，b= ______，c＝______.
4、直角三角形两个锐角平分线所夹钝角的度数为______
5、△ABC中，若∠A+∠B=∠C，则△ABC是______三角形.
6、有14条对角线的多边形为______边形，它的内角和为______
7、在△ABC中，AD为中线，AB=5㎝，AC=3㎝，那么△ABD的周长与△ACD的周长之差为______
8、过n边形的一个顶点有5条对角线，m边形有m条对角线， 则n-2m=______
9、三角形的三个内角之比为3：2：5，则该三角形最大的外角的度数为______
10、一个正多边形的内角和等于外角和的8倍，那么这个正多边形是______边形，每个内角是______
二、选择题(每小题3分共30分)<四选一>
11、下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A.3，3，6 B.3，7，11 C.2.5,4.5,2 D.,,
12、如图8—22，D、E分别为△ABC的边AC、BC的中点，下列说法不正确的是（ ）
A.DE是△BDC的中线
B.BD是△ABC的中线
C.AD=DC,BE=EC
D.图中∠C的对边是DE
13、多边形的内角中最少有（ ）个锐角
A.1 B.2 C.3 D.0
14、已知等腰△ABC的底边BC=8㎝，且|AC-BC|=2㎝，则腰AC的长为（ ）
A.10㎝或6㎝ B.10㎝ C.6㎝ D.8㎝或6㎝
15、如图8—23，△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于0，设∠BOC=α，则∠A等于（ ）
A.9O°-α B.9O°- C.180°-2α D.180°-
16、若△ABC的三边长分别为整数，周长为11，且有一边为4，则这个三角形的最大边长为（ ）
A.7 B.6 C.5 D.4
17、下列能铺满地面的正多边形的组合是（ 　　 ）
①正三角形与正方形　②正五边形与正十边形　③正六边形与正三角形
A.①③ B.①② C.②③ D.①②③
18、如图8—24，在四边形ABCD中，∠α、∠β分别是∠BAD、
∠BCD的相邻补角，且∠B+∠D=140°.则∠α+∠β=（ 　 ）
(A) 140° B.40° C.26O° D.不能确定
19、三角形的三边a、b、c均为正整数，且a≤b≤C，当b=2时，符合上述条件的三角形有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
20、观察下列图形和所给表格中的数据回答
梯形个数 1 2 3 4 ……
图形周长 5 8 11 14 ……
当梯形个数为n时，这时图形的周长为（ ）
A.3n B.3n+1 C.3n+2 D.3n+3
三、解答题(5 +5 +5 +5 +6 +7 +7 ，共40分)
21、如图8—25，在△ABC中，∠A: ∠B: ∠C=3:4:5,BE、CD分别是AC、AB边上的高且交于一点H. 求∠BHC的度数.
22、已知一个多边形的内角和与外角和之比为11：2，求该多边形的边数和内角和.
23、如图8—26，CE是△ABC的外角∠ACM的角平分线，CE交 BA的延长线于点E，试判断∠BAC与∠B的大小关系，并说明理由.
24、已知△ABC的三边长为三个连续偶数，①写出满足条件的最小三角形的边长，②画出△ABC，并说明它的形状.
25、已知一个等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分为12和9两部分，求这个三角形一条腰的长和底边的长.
26、如图8—27，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，根据下列条件求∠BIC的度数.
①若∠B=5O°,∠C=8O°则∠BIC=______；
②若∠B+∠C=130°则∠BIC=______；
③若∠A=5O°∠BIC= ______；
④若∠A=α则∠BIC=______.
通过解答以上各题，把你发现的结论用文字表述出来.
27.已知如图：
①请你用量角器量出∠BDC、∠A、∠B、∠C的度数，并据此猜测它们之间满足的关系式；
② 试说明你的猜测正确的理由；
③如果点D在线段BC的另一侧(请自己画图)，上面①中的猜测的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出此时这几个角之间满足一个的关系式，并说明理由.
第20部分《多边形》 综合测试(B)
一、填空题(每小题2分，共30分)
1、△ABC的一个外角等于150°，且∠A=∠B，则∠C=______
2、一个多边形的内角和是1260°，则这个多边形的边数是______
3、一个三角形中，至少有a个锐角，最多有b个钝角，最多有c个直角，则a+b+c=______
4、n边的各个内角都相等，且它的每个内角比其外角大100°，则n=______
5、如图8—29，△ABC中，∠A=80°两外角的平分线交于D，则∠BDC=______
6、已知△ABC中，三边的长为3、a、7，且a为偶数，则a=______
7、如图8—30，△ABC中BD是角的平分线，CE是高，∠DBC=32°则∠BFC=______
8、四边形ABCD中，若∠A+∠C=180°且∠B: ∠C：∠D=1：2：3，则∠A=_____
9、已知△ABC的三边a、b、c满足∣a-1∣+9-6b+b =O，则边c的取值范围是______
10、设在点A周围有a个正三角形，b个正六边形，恰好铺满地面，则a+b=______
11、如图8—31，∠A=7O°，
①若o为两角平分线的交点，则∠BoC=_____；
②若o为两条高的交点，则∠BoC=______
12、如图8—32，∠A+ ∠B+ ∠C+∠D+∠E+∠F=______
13、图8—33△ABC中，D 、E分别在AB、AC上,BE、CD交于　　　　　　　　　　　　　　　F. ∠A=62°, ∠ACD=35°, ∠ABE=2O°. 那么∠BFD的度数是______
14、如果等腰三角形周长为20，则腰长X的取值范围是______
底边y的取值范围是______
15、如图8-34，P是△ABC内一点,连结BP、CP, 连结AP并延长AP交BC于D,则∠BPC＞∠BAC
∵∠1＞∠3, ∠2＞∠4,
理由是_______________________________
∴∠BPC＞∠BAC
二、选择题(每小题3分,共30分)<四选一>
16、等腰三角形的两边长分别为5㎝和7㎝，则它的周长是（ ）
A.17㎝ B.19㎝ C.18㎝ D.17㎝或19㎝
17、一个n边形的内角和与外角和的比是4：1，则n=（ ）
A.8 B.9 C.10 D.12
18、如图8—35，AD⊥BC于D，那么以AD高的三角形有（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
19、过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
20、如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是1260°，那么原来多边形的边数是（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
21、在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B等于（ ）
A.50° B. 75° C. 100° D. 125°
22、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定
23、某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的，那么最省事的方法是（ ）
A.带①去B. 带②去C. 带③去 D. 带①②去
24、在各内角相等的多边形中，一个外角是它相邻内角的，则这个多边形是（ ）
A.四边形 B.六边形 C.八边形 D.十边形
25、下列叙述正确的是（ ）
A.三角形的角平分线是射线
B. 三角形的三条高都在三角形内部
C. 三角形一边上的垂线段是这边上的高
D. 三角形三条中线必在三角形内部
三、解答题：(6 +6 +6 +6 +6 +10 ，共40分)；
26、如图8—37，在△ABC中，∠A=60°，D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于O，
且∠BOD=55°, ∠ACD=3O°求∠ABE的度数.
27、如图：小明家住 A村，小亮家住
B村，学校在C处，两村与学校之间分别有一
条笔直的大道AC和BC.他俩常常上学时约好先在BC道路上与A、B两村距离相等的D处会合，然后结伴去学校.根据以上内容，判断路程BC和AC的大小，并说明理由.
28、如图8—39，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°BE平分∠ABC,DF平分∠ADC，试问BE和DF是否平行，为什么？
29、一个多边形截去一个角后，所得的一个多边形的内角和是2520°，求原多边形的边数.
30、今有一片正方形土地，要在上面修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同的四部分.若道路的宽度可忽略不计，请设计三种不同的方案，在给出的三种正方形图纸上分别画图.
31、如图8-41-1有一个五角形ABCDE，你能求出∠A+ ∠B+ ∠C+∠D+∠E=180°吗？如果B点向右移动到AC上(图8-41-2)或AC的另一侧时(图8-41-3)，上述结论是否仍然成立？
A
B
C
O
1
2
A
B
C
D
E
图8-2
（图8-1）
A
B
C
4
3
2
1
A
B
C
E
F
G
H
D （图8-4）
1
2
3
4
A
B
D
E
F
O
1
2
3
C
4
A
D
B
C
E
O
图8-6
A
B
C
D
E
F
图8-7
图（8-8）
(图8-9)
D
D
D
D
m=2
n=2
m=4
n=1
A
A
A
A
A
A
A
图8-16
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
I
B
A
D
C
(图8-28)
B
D
C
(图8-38)
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第3部分 整式的加减
第1课时 代数式
课标要求
1.掌握用字母表示数，建立符号意识.
2.会列代数式表示简单的数量关系，会正确书写代数式，会求代数式的值.
3.在数学活动中，体会抽象概括的数学思想方法和“特殊一般”相互转化的辨证关系.
中招考点
用字母表示数，列代数式，正确书写代数式，求代数式的值.
典型例题
例1 某市出租车收费标准为：起步价5元，3千米后每千米价1.2元，则乘坐出租车走x(x﹥3)千米应付______________元.
分析：因为x﹥3，所以应付费用分为两部分，一部分为起步价5元，另一部分为走（x-3）千米应付的1.2（x-3）元.
解：
注意：和、差形式的代数式要在单位前把代数式括起来.
例2 下列代数式中，书写正确的是（ ）
A. ab·2 B. a÷4 C. -4×a×b D. E. F. -3×6
分析：A：数字应写在字母前面 B：应写成分数形式，不用“÷”号 C：数与字母相乘，字母与字母相乘时，“×”号省略 D：带分数要写成假分数 E、F书写正确.
解：E、F.
例3 下列各题中，错误的是（ ）
A. 代数式
B. 代数式5(x+y)的意义是5与(x+y)的积
C. x 的5倍与y的和的一半，用代数式表示为
D. 比x的2倍多3的数，用代数式表示为2x+3
分析：选项C中运算顺序表达错误，应写成
友情提示：数学语言有文字语言、符号语言、图形语言.进行数学思维时，同学们要学会恰当使用各种语言推理分析，各种语言的互译是一种数学基本功.
例4 当x=1时，代数式的值为2005，求x=－1时，代数式 的值.
分析：当x=1时，=2005，p+q=2004,
当x=－1时，=－－（p+q）+1=－2004+1=－2003.
解：当x=1时，=2005
p+q=2004
当x=－1时，=－
=－（p+q）+1=－2004+1 =－2003.
提示：“整体”思想在数学解题中经常用到，请同学们在解题时恰当使用.
例5 下图是一个数值转换机的示意图，请你用x、y表示输出结果，并求输入x的值为3，y的值为-2时的输出结果.
解：输出结果用x、y表示为：
当x=3,y=-2时,
=
=-1.
提示：把图形语言翻译为符号语言的关键是识图，
弄清图中运算顺序.
例6 某餐饮公司为大庆路沿街20户居民提供早餐方便，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在何处，才能使这20户居民到P点的距离总和最小？
分析：面对复杂的问题，应先把问题“退”到比较简单的情形：
如图1，如果沿街有2户居民，很明显点P设在p1、、、p2之间的任何地方都行.
如图2，如果沿街有3户居民， 点P应设在中间那户居民、p2门前.
------
以此类推，沿街有4户居民，点P应设在第2、3户居民之间的任何位置，沿街有5户居民，点P应设在的第3户门前，------沿街有n户居民：当n为偶数时，点P应设在第、户居民之间的任何位置；当n为奇数时，点P应设在第户门前.
解：根据以上分析，当n=20时，点P应设在第10、11户居民之间的任何位置.
思维驿站： 请同学们认真体会“特殊一般”的辨证关系，掌握化归的思想方法，学会把复杂的问题化为简单的情形来解决.
强化练习
一、填空题
1. 代数式2a-b表示的意义是_____________________________.
2. 列代数式：⑴设某数为x,则比某数大20%的数为_______________.
⑵a、b两数的和的平方与它们差的平方和________________.
3. 有一棵树苗，刚栽下去时，树高2.1米，以后每年长0.3米，则n年后的树高为________________，计算10年后的树高为_________米.
4. 某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在出租后的头两天每天收0.8元，以后每天收0.5元，那么一张光盘在出租后第n天（n＞2的自然数）应收租金_________________________元.
5. 观察下列各式：12+1=1×2，22+2=2×3，32+3=3×4------
请你将猜想到的规律用自然数n(n≥1)表示出来______________________.
6. 一个两位数，个位上的数是a，十位上的数字比个位上的数小3，这个两位数为_________，当a=5时，这个两位数为_________.
二、选择题
1. 某品牌的彩电降价30%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价为（ ）
A. 0.7a元 B.0.3a元 C. 元 D. 元
2. 根据下列条件列出的代数式，错误的是（ ）
A. a、b两数的平方差为a2-b2 B. a与b两数差的平方为(a-b)2
C. a与b的平方的差为a2-b2 D. a与b的差的平方为(a-b)2
3. 如果那么代数式(a+b)2005的值为（ ）
A. –2005 B. 2005 C. -1 D. 1
4. 笔记本每本m元，圆珠笔每支n元，买x本笔记本和y支圆珠笔，共需（ ）
A. （ mx+ny）元 B. (m+n)(x+y) C. （nx+my ）元 D. mn(x+y) 元
5. 当x=-2,y=3时,代数式4x3-2y2的值为（ ）
A. 14 B. –50 C. –14 D. 50
三、解答题
1. 已知代数式3a2-2a+6的值为8, 求的值.
2. 当a=-1,b=-,c=时，求代数式b2-4ac的值，并指出求得的这个值是哪些数的平方.
3. 人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关.如果用a表示一个人的年龄，用b表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么b=0.8(220-a).
⑴ 正常情况下,在运动时一个14岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？
⑵ 一个45岁的人运动时10秒心跳的次数为22次，请问他有危险吗？为什么？
反馈检测
一、填空题（每小题5分，共25分）
1. 某机关原有工作人员m人，现精简机构，减少20%的工作人员，则剩下_____人.
2. 结合生活经验作出具体解释：a-b__________________________________.
3. 甲以a千米/小时、乙以b千米/小时（a＞b）的速度沿同一方向前进，甲在乙的后面8千米处开始追乙，则甲追上乙需_____________小时.
4. 若梯形的上底为a，下底为b，高为h，则梯形的面积为____________;当a=2cm，b=4cm，h=3cm时，梯形的面积为____________.
5. 按下列程序计算x=3时的结果__________.
二、选择题（每小题5分，共25分）
1. 下列式子中符合代数式的书写格式的是（ ）
A. x· B. C. D.
2. 一个长方形的周长是45cm，一边长acm，这个长方形的面积为（ ）cm2
A. B. C. D.
3. 代数式x2-7y2用语言叙述为（ ）
A.x与7y的平方差 B.x的平方减7的差乘以y的平方
C.x与7y的差的平方 D. x的平方与y的平方的7倍的差
4. 当a=-2,b=4时，代数式的值是（ ）
A.56 B.48 C. –72 D.72
5. 一个正方体的表面积为54 cm2，它的体积是（ ）cm3
A. 27 B.9 C. D. 36
三、解答题（每题10分，共50分）
1. 列代数式
⑴ 若一个两位数十位上的数是a，个位上的数是b，这个两位数是_________.
若一个三位数百位上的数为a,十位上的数是b，个位上的数c，这个三位数是_________.
⑵ 某品牌服装以a元购进，加20%作为标价.由于服装销路不好，按标价的八五折出售，降价后的售价是__________元，这时仍获利________________________元.
⑶电影院第一排有a个座位，后面每排比前一排多2个座位，则第x排的座位有____________个.
⑷A、B两地相距s千米，某人计划a小时到达，如果需要提前2小时到达，每小时需多走___________________千米.
2. 已知代数式的值为7，求代数式的值.
3. 当时，求代数式的值.
4. 若，求的值.
5. 给出下列程序：
若输入x=1时，输出的值为-2，求输入x=-2时，输出的值是多少？
第2课时 整式的加减
课标要求
1. 了解单项式、多项式、整式的有关概念，弄清它们与代数式之间的联系和区别.
2. 理解同类项的概念，会判断同类项，熟练合并同类项.
3. 掌握去括号法则、添括号法则，能准确地进行去括号与添括号.
4. 熟练地进行整式的加减运算.
中招考点
单项式、多项式、整式的有关概念，同类项的概念，去括号法则、添括号法则，整式的加减运算.
典型例题
例1 判断下列各代数式是否是单项式.如果不是，请简要说明理由；如果是，请指出它的系数和次数：
⑴ a+2 ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ m ⑹ -3×104t
分析：同学们要弄清题中涉及到的几个概念，即：数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式（单独一个数或一个字母也是单项式）；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.
解：⑴ 不是.因为原代数式中出现了加法运算. ⑵ 不是.因为原代数式是1与x的商. ⑶ 是.它的系数是，次数是2. ⑷是.它的系数是-，次数是3. ⑸是.它的系数是1，次数是1. ⑹是.它的系数是-3×104，次数是1.
注意：圆周率是常数；当一个单项式的系数是1或-1、次数是1时，“1”通常省略不写；单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如⑷中.
例2 指出多项式的项、次数，是几次几项式，并把它按x降幂排列、按y的升幂排列.
分析：解本题的关键是要弄清几个概念：多项式的项、次数，按某一字母降幂排列、按某一字母的升幂排列.
解：多项式的项有：2x3y,-4y2,5x2; 次数是4；是四次三项式；
按x降幂排列为：2x3y+5x2- 4y2；按y的升幂排列为：5x2+2x3y- 4y2.
提示：多项式的次数不是所有项的次数之和，而是次数最高项的次数；多项式的每一项都包括它前面的符号.
例3 请写出-2ab3c2的两个同类项_______________.你还能写多少个？________.它本身是自己的同类项吗？___________.当m=________,3.8是它的同类项？
分析：本题是一道开发题，给同学们很大的思维空间，对同类项的正确理解是解题的关键.
解：2.1ab3c2 、-6ab3c2等； 还能写很多（只要 在ab3c2前面添加不同的系数）；它本身也是自己的同类项；m=-1.∵且2-m=3∴m=-1.
例4 如果关于字母x的二次多项式-3x2+mx+nx2-x+3的值与x无关，求m、n的值.
分析：本题的“题眼”——多项式-3x2+mx+nx2-x+3的值与x无关，这一条件说明了：关于字母x的二次项系数、一次项系数都为零.
解：∵ -3x2+mx+nx2-x+3=（-3+n）x2+(m-1)x+3
∴ -3+n=0,m-1=0
∴ m=1,n=3.
例5 a＞0＞b＞c，且 化简
分析：求绝对值首先要判断代数式是正数或0或负数.本题中可用赋值法、数形结合法判断a+c、a+b+c、a-b、b+c的符号.
解：如图知，a、b、c在数轴上的位置.
∵ a＞0，b＜0，c＜0，
∴ a+c＞0，a+b+c＞0，a-b＞0，b+c＜0
∴
=（a+c）+（a+b+c）-（a-b）-（b+c）
=a+c+a+b+c-a+b-b-c
=a+b+c.
反思总结：解含有字母的题目通常在字母取值范围赋值，可以把抽象问题直观化.
强化练习
一、填空题
1. 单项式的系数是_______，次数是_________.
2. 多项式的次数是______，三次项系数是________.
3. 把多项式按x升幂排列是_________________.
4. 下列代数式：.其中单项式有_______________________________，多项式有___________________________.
5. 多项式b2-8ab2+5a2b2-9ab+ab2-3中，________与-8ab2是同类项，5a2b2与_______是同类项，是同类项的还有_____________________________.
6. 3a-4b-5的相反数是_______________.
二、选择题
1. 如果多项式是关于x的三次多项式，那么（ ）
A. a=0,b=3 B. a=1,b=3 C. a=2,b=3 D. a=2,b=1
2. 如果，则A+B=( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. –1
3. 下列计算正确的是（ ）
A. 3a-2a=1 B. –m-m=m2 C. 2x2+2x2=4x4 D. 7x2y3-7y3x2=0
4. 在3a-2b+4c-d=3a-d-( )的括号里应填上的式子是（ ）
A. 2b-4c B. –2b-4c C. 2b+4c D. –2b+4c
5. 如果一个多项式的次数是4，那么这个多项式任何一项的次数应（ ）
A. 都小于4 B. 都不大于4 C. 都大于4 D. 无法确定
三、解答题
1. 如果0.65x2y2a-1 与–0.25xb-1y3是同类项，求a,b的值.
2. 先化简，再求值.，其中a=-5,b=-3.
3. 把多项式写成一个三次多项式与一个二次三项式之差.
4. 计算：
反馈检测
一、填空题（每小题5分，共25分）
1. 在一次募捐活动中，某校平均每名同学捐款a元，结果一共捐款b元，则式子可解释为_________________________________________________________.
2. 在某地，人们发现蟋蟀叫的次数与温度有某种关系.用蟋蟀1分钟叫的次数除以7，然后再加上3，就可以近似地得到该地当时的温度（0C）.设蟋蟀1分钟叫的次数为n,用代数式表示该地当时的温度为_______0C；当蟋蟀1分钟叫的次数为100时，该地当时的温度约为________0C（精确到个位）.
3. k=______时，-与的和是单项式.
4. 在括号内填上适当的项：(a+b-c)(a-b+c)=.
5. 多项式的次数是____,常数项为_____,四次项为_______.
二、选择题（每小题5分，共25分）
1. 某宾馆的标准间每个床位标价为m元，旅游旺季时上浮x%，则旅游旺季时标准间的床位价为（ ）元.
A.mx% B.m+x% C.m(1+x%) D.m(1-x%).
2. 用代数式表示“a与-b的差”，正确的是（ ）
A.b-a B.a-b C.-b-a D.a-(-b)
3. 当x=-2,y=3时，代数式4x3-2y2的值是（ ）
A.14 B.-50 C.-14 D.50
4. 下列运算正确的是（ ）
A.3a+2b=5ab B.3a2b-3ba2=0 C.3x2+2x3=5x5 D.5y2-4y2=1
5. 下列说法中，错误的是（ ）
A.单项式与多项式统称为整式 B.单项式x2yz的系数是1
C.ab+2是二次二项式 D.多项式3a+3b的系数是3
三、解答题（每题10分，共50分）
1. ⑴ 若，请指出a与b的关系. ⑵ 若25a4b4是某单项式的平方，求这个单项式.
2. 化简求值：4a2b-2ab2-3a2b+4ab2，其中a=-1,b=2.
3. 在计算代数式（2x3－3x2y－2xy2）－(x3－2xy2+y3)+(-x3+3x2y－y3)的值，其中x=0.5,y=－1时，甲同学把x=0.5错抄成x=－0.5，但他计算的结果也是正确的.试说明理由，并求出这个结果.
4. 你一定知道小高斯快速求出：1+2+3+4+…+100=5050的方法.现在让我们比小高斯走得更远，求1+2+3+4+…+n=_______________.
请你继续观察：13=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…
求出：13+23+33+…+n3=_______________________.
5. 如果A=3x2-xy+y2,B=2x2-3xy-2y2,那么2A-3B等于多少
《整式的加减》综合检测（A）
一、填空题（每题3分，共30分）
1.光明奶厂1月份产奶m吨，2月份比1月份增产15%，则2月份产奶______吨.
2.代数式6a表示_____________________________________________.
3.单项式-4xy2的系数是_______，次数是__________.
4.多项式的二次项是___________.
5.三个连续偶数中间一个是2n，第一个是______，第三个是_______，这三个数的平方和是_____________（只列式子，不计算）
6.若2a3b-0.75abk+3×105是五次多项式，则k=__________.
7.单项式-5xm+3y4与7x5y3n-1是同类项，则nm=_____，这两个单项式的和是___________.
8.2ab+b2+__________=3ab-b2 .
9.一长方形的一边长为2m+n,比另一边多m-n（m＞n），则长方形的周长是____________.
10.x是两位数，y是三位数，y放在x左边组成的五位数是______________.
二、选择题（每题4分，共20分）
1. 下列说法中，正确的是（ ）
A.若ab=-1，则a、b互为相反数 B.若，则a=3
C.-2不是单项式 D.-xy2的系数是-1
2. 多项式的项是（ ）
A.2a2,-a,-3 B. 2a2,a,3 C. 2a2,-a,3 D. 2a2,a,-3
3. 下列代数式，其中整式有（ ）个
A.4 B.3 C.2 D.1
4. 若a＜0, 则2a+5等于（ ）
A.7a B.-7a C.-3a D.3a
5. 看下表，则相应的代数式是（ ）
x 0 1 2 3
代数式值 2 -1 -4 -7
A.x+2 B.2x-3 C.3x-10 D.-3x+2
三、解答题（每小题10分，共50分）
1．已知，则________.
计算：
探究：.
2. 已知A=3a2-2a+1 B=5a2-3a+2 C=2a2-4a-2, 求A-B-C.
3. 如果关于x的多项式与3xn+5x是同次多项式，求 的值.
4. 化简5a2－（用两种方法）
5. 按下列要求给多项式-a3+2a2-a+1添括号.
⑴ 使最高次项系数变为正数；
⑵ 使二次项系数变为正数；
⑶ 把奇次项放在前面是“－”号的括号里，其余的项放在前面是“＋”号的括号里.
《整式的加减》综合检测（B）
一、填空题（每题3分，共30分）
1根据生活经验，对代数式a-2b作出解释：_____________________________________.
2.请写出所有系数为-1，含有字母x、y的三次单项式_________________________.
3.如果多项式x4-(a-1)x3+5x2+(b+3)x-1不含x3和x项，则a=_____,b=___________.
4.试写出一个关于x的二次三项式，使二次项系数为2，常数项为-5，一次项系数为3 ， 答案是_______________________.
5.指出代数式-a2bc2和a3x2的共同点，例如：都含字母a，.①________________,
②_____________.
6.如果x与2y互为相反数，则
7.一个多项式加上-5+3x-x2得到x2-6，这个多项式是___________，当x=-1时，这个多项式的值是________.
8.代数式-3+(x-a)2的最小值为_______，这时x=_______.
9.把多项式2a-b+3写成以2a为被减数的两个式子的差的形式是___________________.
10.五·一广场内有一块边长为a米的正方形草坪，经过统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米.改造后的长方形的面积为___________平方米.
二、选择题（每题4分，共20分）
1. 下面列出的式子中，错误的是（ ）
A.a、b两数的平方和：(a+b)2 B.三数x、y、z的积的3倍再减去3：3xyz-3
C. a、b两数的平方差：a2-b2 D. a除以3的商与4的和的平方：（）2
2. 下列各组单项式中是同类项的为（ ）
A.3xy,3xyz B.2ab2c,2a2bc C.-x2y2 ,7y2x2 D. 5a,-ab
3. 下列代数式a+bc,5a,mx2+nx+p,-x.,1,5xyz,,其中整式有（ ）个
A.7 B.6 C.5 D.4
4. 一个正方形的边长减少10%，则它的面积减少（ ）
A.19% B.20% C.1% D.10%
5. 当m、n都为自然数时，多项式am+bn+2m+2的次数是（ ）
A.2m+n+2 B.m+2 C.m或n D.m、n中较大的数
三、解答题（每小题10分，共50分）
1. 先化简，再求值：(4x2-3x) +(2+4x-x2 ) - (2x2+x+1), 其中x= -2 .
2. 已知x2+y2=7,xy= -2. 求5x2-3xy-4y2-11xy-7x2+2y2的值.
3. 已知A=2x2+3xy-2x-1, B= -x2+xy-1, 且3A+6B的值与x无关，求y的值.
4. 若，求：值.
5. 规定一种新运算：a＊b= ab+a-b, 求 a＊b+(b-a)＊b.
输入x
输入y
×2
( )3
+
÷2
输出结果
.
p1
.
p
.
p2
图1
.
p1、
.
p2（p）
.
p3
图2
(x+1)2-1
(x+1)2
x+1
x
输入x
kx
输出
O.
a.
b.
c.
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第14部分 统计的初步认识
课标要求
1.学会选择合适的调查方式
2.会利用抽样调查的结果计算或估计总体
3.了解平均数、中位数、众数的意义，会求一组数据的平均数、中位数、众数.
4.了解必然事件与随机事件，并能确定它们发生机会的大小.
中招考点
1.平均数，中位数和众数的意义与计算
2.随机事件的概率
典型例题
例1 某商场4月份随机抽查了6天的营业额，结果分别如下（单位：万元）：2.8、3.2、3.4、3.7、3.0、3.1，试估计该商场4月份的营业额大约是_____
解：分析：抽查的这6天的营业额相当于一个样本，由样本的6个数据可求出样本平均数，由此估计总体的平均数（4月份30天），然后用这个平均数乘以30，即得4月份的总营业额.
∵xˉ=1/6(2.8+3.2+3.4+3.7+3.0+3.1)
=3.2
3.2 × 30= 96(万元)
例2 口袋中有15个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球.甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜.则当x=____时，游戏对甲乙双方公平.
解：请同学们自己讨论解答
例3 （2003年安徽省中考题）某风景区对5个旅游景点的门票进行了调整，据统计调价前后各景点的游客人数基本不变，有关数据如下表所示：
景点 A B C D E
原价（元） 10 10 15 20 25
现价（元） 5 5 15 25 30
平均日人数（千人） 1 1 2 3 2
(1) 该风景区称调价前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平，问风景区是怎样计算的？
(2) 另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4％，问游客是怎样计算的？
(3) 你认为风景区和游客哪一个说法较能反映整体实际？
解：（1）风景区是这样计算的：
(10+10+15+20+25)/5=16（元）.
调整后的平均价格
(5+5+15+25+30)/5=16(元)
调整前后的平均价格不变，平均日人数不变，因而平均日总收入持平.
（2）游客是这样计算 ：
原平均日总收入10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160（千元），
现平均日总收入5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175（千元）
所以，平均日总收入增加了(175—160)/160≈9.4％
（3）游客的说法较能反映整体实际.
例4 一个口袋中有4个红球，3个黑球，2个白球，如果小明邀请小华玩一个“摸球”游戏，游戏的规则是：摸出一个红球，小华赢得1分；摸出其它球，小明赢得1分，这个游戏公平吗？
分析:口袋中共有9个球，每个球被摸到的可能性相同，都为1/9，然后根椐规则计算双方获胜的机人大小，若相同，则公平，若不相同，则不公平.
解：小华赢的可能性为1/9+1/9+1/9+1/9=4/9,
小明赢的可能性为1/9+1/9+1/9+1/9+1/9=5/9
5/9＞4/9,小明获胜机会大.
强化练习
1.关于众数的说法错误的是( )
A .一组数据总有众数 ； B .众数是出现频数最多的数据值 C.众数不一定是整数 ； D.众数可能不止一个.
2.有100个数的平均数是78.5，将其中的两个数82和26去掉，则剩余数的平均数是_______.
3.小华和小明进行抽牌游戏，规定每人分别抽10次，抽到黑桃的牌价为1分，小华抽出了4张黑桃，成功了______次，得____分；小明抽出了2张黑桃，失败了___次，得_____分；两人的成功率分别是_____和_____.
4. 某校在一次考试中，甲乙两班学生的数学成绩统计如下：
分数 50 60 70 80 90 100
人数 甲 1 6 12 11 15 5
乙 3 5 15 3 13 11
请根据表格提供的信息回答下列问题：
(1) 甲班众数为______分，乙班众数为______分，从众数看成绩较好的是______班.
(2) 甲班的中位数是_______分，乙班的中位数是______分.
(3) 若成绩在85分以上为优秀，则成绩较好的是______班.
反馈检测A卷
一、选择题
1.下列事件中，属于确定事件的是（ ）
A.发射运载火箭成功
B. 2008年， 中国女足取得冠军
C.闪电、雷声出现时，先看到闪电，后听到雷声
D.掷骰子时，点数“6”朝上
2.下列事件中，属于不确定的事件的是（ ）
A.英文字母共28个
B.某人连续两次购买两张彩票，均中头奖
C.掷两个正四面体骰子（每面分别标有数字1，2，3，4）接触地面的数字和为9
D.哈尔滨的冬天会下雪
3.下列事件中属于不可能的事件是（ ）
A．军训时某同学打靶击中靶心 B．对于有理数x，∣x∣≤0
C．一年中有365天 D．你将来长到4米高
二、填空题
1.将一枚硬币抛出，则有一面向上是___＿＿事件，两面都向上是＿＿＿事件，正面向上是__________事件，反面向上是________事件.
2.当实验次数比较少时，实验的成功率变动较＿＿＿，表现为“＿＿＿”；当实验次数较多时，实验的成功率变动较＿＿＿，表现为“＿＿＿”
3.两人玩掷骰子游戏，规定当抛出偶数时，甲得分，分数是这个偶数值；当抛出奇数时，乙得分，分数是这个奇数值，最后以得分多少定输赢，那么， 这是一个＿＿＿游戏，其中甲获胜的机会＿＿＿乙获胜的机会.
4.(2004年黑龙江中考题)一组数据5，7，7，x的中位数与平均数相等，则x的值为_____________.
三、解答题
1.三个小组共进行1500次抛币实验，结果如下
实验组别 抛币次数 反面朝上 正面朝上
第一组 400 213 187
第二组 500 231 269
第三组 600 311 289
a.分别计算三组正面朝上的成功率； 哪一组的成功率更为可取？为什么？
b.小明提出把三个组的成功率取出平均值，得到的成功率最贴近实际，你认为是否可行？你打算怎样得到最为稳定的成功率？
2.甲、乙两人各自掷一枚普通的正方体骰子，如果两者朝上的一面的点数之积为奇数，那么甲得1分，如果两者朝上的一面的点数之积为偶数，那么乙得1分，连续投掷20次，谁得分高，谁就获胜，这个游戏公平吗？若将“点数之积”改为“点数之和”这个游戏公平吗？
3.（2003年海南省中考题）圆圆和双双玩一个游戏，游戏规则如下：将分别
写有数字1、2、3、4、5的五张卡片放在一个盒子里搅匀，然后随机抽取两张，把这两张卡片上的数字相加，如果和为偶数，双双获胜；如果和为奇数，圆圆获胜，请你评判一下这个游戏公平吗？如果不公平，谁容易获胜？请说明理由.
4.（2004年北京市海淀区中考题）下面是五届奥运会中国获得金牌的一览表：
23届洛杉 24届汉城 25届巴塞 26届 27届悉尼
矶奥运会 奥运会 罗那奥运会 亚特兰大 奥运会
奥运会
15块 5块 16块 16块 28块
在15，5，16，16，28这组数据中，众数是_______________,中位数是＿＿＿.
反馈检测B卷
一、选择题
1.教科书中的“抢32”游戏，其他规则不变，那么采取适当策略，结果是（ ）
A．先报数者胜 B．后报数者胜
C．两者都可能胜 D．很难判断
2.在一次向“希望工程”捐款的活动中，若已知小明的捐款数比他所在的学习小组中13人捐款的平均数多2元，则下列判断中，正确的是（ ）
A．小明在小组的捐款中不可能是最多的
B．小明在小组的捐款中可能排在第12位.
C．小明在小组的捐款中可能是最少的.
D．小明在小组的捐款中不可能比捐款数排在第7位的同学少.
3.某班一次语文测试的成绩如下：得100分的3人，得95分的5人，得90分的6人，得80分的12人，得70分的16人，得60分的5人，则该班这次语文测试的众数是（ ）
A 70分 , B 80分 , C 16人 , D 10人
4.5个整数从小到大排列，其中位数是4，如果这组数据唯一的众数是6，则这5个整数可能的最大和是（ ）
A 21 ; B 22 ; C 23 ; D 24
5.要使计算器进入统计功能状态，应首先是显示屏上出现下列四种字符中的（ ）
A． STAT, B． DATA， C． ＲＡＤ ， D．　ＤＥＴ
二、填空题
1.若样本数据为5，6，15，20，30，32，则样本的容量为_______,样本的平均数为____.
2.一台机床生产某种零件，在10天中，这台机床每天出的次品数如下（单位：个）：2，0，1，1，3，2，1，1，0，1 在这10天中，这台机床每天生产零件的次品数的中位数是_____,众数是_________.
3.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的若干名运动员的成绩如下表示
成绩（米） 1．50 1．55 1．60 1．65 1．70
人数 2 8 5 6 3
在这次运动会上，男子跳高人数有____，运动员的平均成绩是_________.
4.为了调查某年级学生的身高情况，对该年级指定100名学生进行身高测试，在这个问题中，总体是______________,个体是_ _______ , 样本是 ______ 这种调查方式是__ ______
5.王老汉为了与客户签订购销合同，对自己鱼塘中的鱼的总重量进行估计，第一次捞出100条，称的重量为184千克，并将每条鱼作出记号放入水中，当它们完全混合与鱼群后，又捞出200条，称的重量为416千克，且带有记号的鱼有20条，王老汉鱼塘的鱼估计有___________条，共重______千克.
三、解答题
1.一学生小学毕业考试中，语文、数学、外语、自然、社会的平均分为85分，自然、社会的平均分为82分，则他语文、数学、外语的平均分为多少？
2.有一组数据共5个数，其众数为6，8，平均数为6，则中位数为多少？
3.某公司销售人员有15人，销售部为了制定某种商品的月销售量，统计了15人某月的销售量如下：
每人销售的件数 1800 510 250 210 150 120
人数 1 1 3 5 3 2
a：求这15位营销人员该月销售数量的平均数，中位数和众数.
b：假设销售部负责人把每位营销员的月销售额定为320件，你认为合理吗？为什么？请你制定一个合理的销售定额，并说明理由.
4.赵强是班里的篮球特招生，身高足有1.94米，平时总是“鹤立鸡群”.一次学校抽样调查各班同学的平均身高，每个班抽5个同学，赵强正好被抽中.5位同学的身高结果如下：
赵强：1.94米，于鑫：1.65米，丁超：1.74米，杨明：1.72米，刘海：1.69米，据此算出班平均身高估计值为1.75米.李超认为赵强太高，去掉赵强的身高后，根据另外4个同学算出的平均值1.70米更能反映实际情况.对此你是怎样分析的？
5.(2005年黑龙江省)
为了了解业余射击队队员的射击成绩，对某次射击比赛中每一名队员的平均成绩(单位：环，环数为整数)进行了统计．分别绘制了如下统计表和频率分布直方图，请你根据统计表和频率分布直方图回答下列问题：
平均成绩 0 l 2 3 4 5 6 7 8 9 10
人数 O 1 3 3 4 6 1 0
(1) 参加这次射击比赛的队员有多少名
(2) 这次射击比赛平均成绩的中位数落在频率分布直方图的哪个小组内
(3) 这次射击比赛平均成绩的众数落在频率分布直方图的哪个小组内
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第11部分 函数及其图象
第一节 变量与函数
第1课时 变量、函数及函数表示法
课标要求
1．探索具体问题中的数量关系和变化规律．
2．通过简单实例，了解常量．变量的意义．
3．能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例．
4．能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析．
中招考点
1．用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系．
2．结合对函数关系的分析，对变量的变化规律进行预测．
典型例题
例1 下图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．
（1）由图象可知，下列说法中错误的是（ ）
A．这天15时的温度最高
B．这天3时的温度最低
C．这天的最高温度与最低温度相差13℃
D．这天21时的温度是30℃
（2）在__________范围内温度逐渐上升，在_______________范围内温度逐渐下降．
分析：关键是能够找准关键点并按照自左向右的顺序观察图象，挖掘图象中的有效信息．
解：（1）C．（2）3时到15时；0时到3时，15时到24时．
例2 苹果熟了，小明帮助妈妈到集贸市场去卖刚刚采摘下来的苹果．已知销售数量x与售价y的关系如下：
数量x（千克） 1 2 3 4 5
售价y（元） 2．1 4．2 6．3 8．4 10．5
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）根据表格中的数据，售价y是怎样随销售量的变化而变化的？
（3）估计当x＝15时，y的值是多少？
（注：这里的售价y是指总价，不是指单价）
分析：认真审题，全面观察表格，抓住线索，分析规律是做好这类题的关键．
解：（1）数量与售价，数量是自变量，售价是因变量．
（2）y＝2．1x，y随x的增大而增大．（3）当x＝15时，y＝31．5．
思考：通过上面例题你感觉到函数关系的表示方法通常有几种？分别是什么？
答：函数关系的表示方法通常有3种，分别是(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．
例3 如图，分别给出了变量y与x之间的函数关系，其中y不是x的函数的是（ ）
分析：本题目的是考查函数的概念，仔细观察图象，抓住“对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应”，本题迎刃而解．答案：B．
反思归纳
1．函数概念包含：
(1)两个变量；
(2)两个变量之间的一一对应关系．
2．函数关系三种表示方法：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．
强化练习
一、选择题
1．函数是研究( )
A．常量之间的对应关系的 B．常量与变量之间的对应关系的
C．变量与常量之间对应关系的 Ｄ．变量之间的对应关系的
2．下列说法中不正确的是（ ）
Ａ．函数Ｖ＝πr3中，是常量，r是自变量，Ｖ是πr的函数
Ｂ．代数式πr3是它所含字母r的函数
Ｃ．公式Ｖ＝πr3可以看作球的体积是球的半径的函数
Ｄ．函数Ｖ＝πr3，当r＝0时，Ｖ＝0
3．正常人的体温一般在37℃左右，但一天中的不 同时刻不尽相同．下图反映了一天24小时内小明体温的变化情况，下列说法错误的是（ ）
A．清晨5时体温最低 B．下午5时体温最高
C．这一天中小明体温T(单位：℃)的范围是 36．5≤T≤37．5
D．从5时至24时，小明体温一直是升高的．
4．一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为300米，小军先走了一段路程，爸爸才开始出发，图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程s（米）与登山所用的时间t（分钟）的关系（从爸爸开始登山时计时）．根据图象，下列说法错误的是（ ）
A．爸爸开始登山时，小军已走了50米
B．小军比爸爸晚到山顶
C．爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸的前面
D．爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟之 后登山的速度比小军快
5．一辆公共汽车从车站开出，加速一段时间后开始匀速行 驶，过了一段时间，发现没多少油了，开到加油站加了油，几分钟后，又开始匀速行驶．下面哪一幅图可以近似的刻画出该汽车在这段时间内的速度变化情况（ ）
6．某人骑车外出，所行的路程S（千米）与时间t（小时）的关系如图所示，现有下列四种说法：
①第3小时中的速度比第1小时中的速度快；
②第3小时中的速度比第1小时中的速度慢；
③第3小时后已停止前进；
④第3小时后保持匀速前进．
其中说法正确的是（ ） A．②③ B．①③ C．①④ D．②④
7．为了增强公民的节水意识，某制定了如下用水收费标准：
用水量（吨） 水费（元）
不超过10吨 每吨1．2元
超过10吨 超过的部分按每吨1.8元收费
（1）该市某户居民5月份用水x吨（x＞10），应交水费y（元）表示为 ；
（2）如果5月份该户居民交了 30元的水费，他实际用了 吨水．
A．（1）y=1．8x；（2）20 B．（1）y=1．8x-6；（2）20
C．（1）y=1．2x；（2）20 D．（1）y=1．8x＋12；（2）20
8．一个球被竖直向上抛起，球上升到最高点，垂直下落，直到地面，在此过程中，球的高度与时间的关系可以用哪幅图来近似的刻画（ ）
9．小明骑自行车上学，从家里出发后以某一速度匀速前进，中途由于自行车出了故障，停下修车耽误了一段时间．为了按时到校，小明加快速度 (仍保持匀速)前进，结果准时到达学校．下列能大致表示小明行进路程s(千米)与行进时间t(小时)之间关系的图象为( )
10．一件工作，甲、乙两人合做5小时后，甲被调走，剩余的部分由乙继续完成，设这件工作的全部工作量为1，工作量与工作时间之间的函数关系如图所示，那么甲．乙两人单独完成这件工作，下列说法正确的是 （ ）
A．甲的效率高 B．乙的效率高 C．两人的效率相等 D．两人的效率不能确定
11．小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图，若返回时上、下坡的速度仍保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是（ ）
A．37．2分钟 B．48分钟 C．30分钟 D．33分钟
12．如图，过点A的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点B，能表示这个一次函数的解析式为 （ ）
A．2x-y+3=0 B.x-y-3=0 C．2y-x+3=0 D．x+y-3=0
13．水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量与时间的关系
如图丙所示．下列论断：①0点到1点，打开两个进 水口，关闭出水口；
②1点到3点，同时关闭两个进水口和—个出水口；
③3点到4点，关门两个进水口，打开出水口；
④5点到6点．同时打开两个进水口和一个出水口．其中，可能正确的论断是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题：
14．如图，AB为⊙O的直径，点P为其半圆上任意一点，（不含A、B），点Q为该圆的另外半圆上一个定点，若∠POA=x°，∠PQB=y°．则y与x的关系式为 ．
15．如图,ΔABC中,∠ABC和∠ACB的角平分线交于一点I,如果∠A=x°,∠BIC=y°,则写出y与x的关系式是 ．
16．如图是小明在6-8点时速度与时间的图象,则他在6-8点的路程是 千米．
17．如图,假设圆柱的高是5cm,当圆柱的底面半径由小到大变化时,
(1)圆柱的体积如何变化 ,在这个变化过程中,自变量、因变量分别是 ．
(2)如果圆柱底面半径为r(cm),那么圆柱的体积V(cm3)可以表为 ．
（3）当r由1cm变为10cm时,V由 cm3变为 cm3．
18．如图，OA、BA分别表示甲、乙两个人的运动图象，请根 据图象回答下列问题：
（1）如果t表示时间，s表示路程，则甲乙两人的路程与 时间的关系式是：甲： ，乙： ；
（2）甲的运动速度是 ；
（3）两人同时出发，相遇时，甲比乙多走 千米．
（4）到第6小时时，谁在前面？ ；领先 千米．
三、解答题：
19．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间有如下关系（其中0≤x≤30）
提出概念所用时间(x) 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接受能力(y) 47．8 53．5 56．3 59 59．8 59．9 59．8 58．3 55
（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？那个是自变量？哪个是因变量？
（2）当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？
（3）根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？
（4）从表格中可知，当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
(5) 根据表格大致估计当时间为23分钟时，学生对概念的接受能力是多少．
20．将若干张长为20cm．宽为10cm的长方形白纸，按下图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为2cm．
（1）求4张白纸粘合后的总长度；
（2）设x张白纸粘合后的总长度为 ycm，写出y与x之间的关系式，并求当x＝20时，y的值．
第2课时 自变量的取值范围及函数值
课标要求
能确定简单的整式．分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求出函数值．
中招考点
确定简单的整式、分式、二次根式和简单实际问题中函数自变量的取值范围，求函数值．
典型例题
例1 设某种电报收费标准是每个字0．1元，写出电报费y(元)与字数x(个)之间的函数关系式，并求自变量x的取值范围．
解：y=0．1x(x是正整数)
思考：如果让你画出例2中函数的图象，你应该在什么范围内画？试试看，该函数的图象有什么特点？
注意：为了防止因忘记自变量的取值范围而产生错误，可以把画函数图象的“三步法”改成“四步法”：确定自变量的取值范围，列表，描点，连线．
例2 求下列函数当x = 2时的函数值：
(1)y = 2x-5 ； (2)y =－3x2 ； (3)； (4)．
分析 函数值就是y的值，因此求函数值就是求代数式的值．
解：(1)当x = 2时，y = 2×2－5 =－1； (2)当x = 2时，y =－3×22 =－12；
(3)当x = 2时，y == 2； (4)当x = 2时，y == 0．
归纳小结
1．自变量的取值范围（只要使式子有意义）
函数形式 自变量的取值范围
整式 全体实数
分式 分母不为零的实数
偶次根式（如二次根式） 被开方数≥0
奇次根式（如三次根式） 全体实数
实际问题 使实际问题有意义
2．求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值．
强化练习
一、选择题：
1．已知等腰三角形的周长为10cm，将底边长y(cm)表示成腰长x(cm)的函数关系式是y＝10－2x，则其自变量x的取值范围是（ ）
Ａ．00
2．在下列函数关系式中，对于x>0的一切实数，y都是大于0的函数是（ ）
Ａ．y＝2x－3 Ｂ．y＝－3x2 Ｃ．y＝ Ｄ．y＝
3．函数y＝中自变量的取值范围是（ ）
Ａ．x≥3 Ｂ．x>3 Ｃ．x≥3且x≠4 Ｄ．x≠3
4．函数y＝中当x＝3时，对应的函数值为（ ）
Ａ．－1 Ｂ．0 Ｃ．1 D．
5．下列函数中，自变量x的取值范围错误的是（ ）
Ａ．y＝x2中，x取全体实数； Ｂ．y＝＋中，x≥1且x≠2；
Ｃ．y＝中，x>2； Ｄ．y＝中，x≥－1且x≠2．
6．下列函数中，与y＝x表示同一个函数的是（ ）
Ａ．y＝ Ｂ．y＝ Ｃ．y＝()2 Ｄ．y＝
7．一根弹簧原长12cm，它所挂的重量不超过10kg，并且挂重1kg就伸长1．5cm，写出挂重后弹簧长度y（cm）与挂重x（kg）之间的函数关系式是（ ）
Ａ．y＝1．5（x+12）(0≤x≤10) Ｂ．y＝1．5x+12 (0≤x≤10)
Ｃ．y＝1．5x+12 (0≤x) Ｄ．y＝1．5(x－12) (0≤x≤10)
8．下列关系式中，不是函数关系的是（ ）
Ａ．y=(x<0) Ｂ．y=±(x>0) Ｃ．y=(x>0) Ｄ．y=－(x>0)
9．函数y= +(x－1)0的自变量的取值范围是（ ）
Ａ．全体实数 Ｂ．x≠0且x≠1 Ｃ．x≠0或x≠1 Ｄ．x≥0
10．汽车由Ａ地驶往相距120km的B地，它的平均速度是30km/h，则汽车距Ｂ地路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系式及自变量t的取值范围是（ ）
Ａ．S=120－30t (0≤t≤4) Ｂ．S=120－30t (t>0)
Ｃ．S=30t (0≤t≤40) Ｄ．S=30t (t<4)
11．函数y=的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x＞1 C．x≥1 D．x＞0
12．函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠-1 B．x＞-1 C．x≠1 D．x≠0
二、填空题：
13．函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
14．函数y＝的自变量取值范围是 ．
15．函数y＝x0++的自变量的取值范围是 ．
16．如果函数y＝－2x+3的自变量取值范围是－117．函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
18．两个变量y与x之间的函数图象如图所示，则y的取值 范围是__________．
19．函数y＝中，自变量x的取值范围是________．
20．函数－（x-3）的自变量x的取值范围是 ．
21．函数中自变量x的取值范围是______________．
22．当x= 时，有意义．
23．函数ｙ＝ｘ＋中自变量ｘ的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
24．当x=6时，函数的值为 ．
25．设打字收费标准是每千字4元，写出打字费y（元）与千字数x之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范围是 ．
三、解答题：
26．如图，是一张面积为630 cm2 的矩形张贴广告，它的上、下、左、右空白部分的宽度都是2 cm．设印刷部分(矩形)的一边为x cm，印刷面积为y cm2．
(1) 试用x的代数式表示y；
(2) 若印刷面积为442 cm2 时，求张贴广告的长和宽．
第二节 函数的图象
平面直角坐标系
课本要求
1．能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系．
2．结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测．
中招考点
1．画出直角坐标系，根据点的坐标找出它的位置．由点的位置确定点的坐标．
2．根据直角坐标系中各象限内的点的坐标特征和点的对称性的特征，确定某些字母的符号及某点关于原点和坐标轴的对称点的坐标．
3．求平面直角坐标系内某点到坐标轴和原点的距离．
4．判断某点是否在某个函数的图象上．
典型例题
例1 写出图中的点A．B．C．D．E．F的坐标．观察你所写出的这些点的坐标，回答：
（1）在四个象限内的点的坐标各有什么特征？
（2）两条坐标轴上的点的坐标各有什么特征？
分析:关键是仔细观察每个象限和坐标轴上点的横坐标与总坐标的符号．
解： A(－1,2)，B (2,1)，C (2,－1)，D (－1,－1)．E (0,3)，F (－2,0)．
(1)在第一象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是正数；
在第二象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是正数；
在第三象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是负数；
在第四象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是负数；
(2)x轴上点的纵坐标等于零；y轴上点的横坐标等于零．
例2 点M在第四象限，它到x轴，y轴的距离分别为4，3．则M点的坐标为（ ）．
A．（4，3）；B．（3，-4）；C．（-3，4）；D．（-4，3）
分析:应先考虑第四象限点的坐标特征以及点到x轴，y轴的距离与坐标的关系．
答案：B
例3 在直角坐标系中描出点A(2,－3)，分别找出它关于x轴．y轴及原点的对称点，并写出这些点的坐标．观察上述写出的各点的坐标，回答：
(1)关于x轴对称的两点的坐标之间有什么关系？
(2)关于 y轴对称的两点的坐标之间有什么关系？
(3)关于原点对称的两点的坐标之间又有什么关系？
解：如图所示
(1)关于x轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标绝对值相等，符号相反；
(2)关于y轴对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标相同；
(3)关于原点对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标也绝对值相等，符号相反．
思考：点P（－3，－1）在第 象限，它关于原点的对称点的坐标是 ，关于x轴的对称点坐标是 ,它到x轴，y轴的距离分别是 和 ．
例4 在直角坐标平面内，(1)第一．三象限角平分线上点的坐标有什么特点？
(2)第二．四象限角平分线上点的坐标有什么特点？
分析：如图，P为第一．三象限角平分线上位于第一象限内任一点，作PM⊥x轴于M，在Rt△PMO中，∠1＝∠2＝45°，所以｜OM｜=｜MP｜，则P点的横坐标，纵坐标绝对值相等，又因为P点位于第一象限内，OM为正值，MP也为正值，所以P点横坐标与纵坐标相同．同样若P点位于第三象限内，则OM为负值，MP也为负值，所以P点横坐标与纵坐标也相同．若P点为第二．四象限角平分线上任一点，则OM与MP一正一负，所以P点横坐标与纵坐标互为相反数．
解：(1)第一．三象限角平分线上点：横坐标与纵坐标相同；
(2)第二．四象限角平分线上点：横坐标与纵坐标互 为相反数．
例5 如果A(1－a，b＋1)在第三象限，那么点B(a，b)在( )
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
分析：若要判断点在第几象限，关键是看横纵坐标的符号，从这题来看，就是要判断a．b的符号．答案：D
例6 试判断点A（1，2）．B（－1，－2）是否在直线y＝3x＋1上．答案：A不在，B在．
例7 已知点（2，1）在函数y＝的图象上，求a的值．答案：a=-8．
例8 在直角坐标系中，0为坐标原点，A(1，1)，在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
分析：要全面考虑，注意分情况讨论．答案：D
归纳小结
1． 点的坐标与有序实数对
坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．
2． 坐标的符号特征
点所在的象限 坐标符号特征 坐标
第一象限 x>0,y>0 （+，+）
第二象限 x<0,y>0 （—，+）
第三象限 x<0,y<0 （—，+）
第四象限 x>0,y<0 （+，—）
x轴上的点 y=0 （x，0）
y轴上的点 x=0 （0，y）
对称点类别 对称点作标
与点P（x,y）关于x轴对称 P'（x,—y）
与点P（x,y）关于y轴对称 P'（—x,y）
与点P（x,y）关于原点对称 P'（—x,—y）
3． 对称点的坐标特征
4．函数的图象
在函数解析式中，用x的值作横坐标，y的值作纵坐标，在平面直角坐标系中描出一系列的点，用平滑的曲线连接起来，就是函数的图象．
5．画函数图象的步骤
（1）分析确定自变量的取值范围，（2）列表，（3）描点，（4）连线．
6．判断一个点是否在函数的图象上的方法：
将这个点的坐标代入函数解析式，如果“左边”＝“右边”，这个点就在函数图象上，如果不相等，就表示不在函数的图象上．
强化练习
一、选择题：
1．和有序实数对一一对应的是（ ）
A．x轴上所有的点 B．y轴上所有的点
C．坐标轴上所有的点 D．平面直角坐标系内所有的点
2．点A（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（3，﹣2） C．（2，﹣3) D．（﹣2，﹣3）
3． 若点M(x,y)满足xy=0，则点M只能位于（ ）
A．原点 B．x轴或y轴上 C．x轴上 D．y轴上
4．点p(-1,2)在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
5．下面两点中，关于y轴对称的是（ ）
A．（-1，3）和（1，-3）； B．（3，-5）和（-3，-5）；
C．（-2，4）和（2，-4）； D．（5，-3）和（5，3）．
6．点（0，1），（,0），（-1，-2），（-1，0）中，在x轴上的点有（ ）．
A．1个 B．2个； C．3个； D．4个．
7．如图，点A关于y轴的对称点坐标是( )
A．（3，3） B．（－3，3） C．（3，－3） D．（－3，－3）
8．下列说法错误的是( )
A．(2，3)和(3，2)表示同一点；
B．点(－4，1)与点(4，－1)关于原点对称；
C．坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0；
D．第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数．
9．点A（-4，y）在二象限，且AO=5，则y等于（ ）
A．3； B．-3； C．4； D．5．
10．点P（x,y）在二象限，且|x|=1，|y|=2．则P点坐标为（ ）
A．（-1，-2）； B．（-1，2）； C．（1，-2）； D．（-1，-2）
11．点P(x,y)坐标满足xy<0，则p点在第（ ）象限．
A．一或三； B．二或四； C．三； D．四．
12．点M（3x-2,2-x）在第四象限，则x取值范围是（ ）
A．x＞2 B． x＞ C． ＜x＜2 D． x＜
13．点P（x,y）在四象限，且|x|=5,|y|=3，则P点关于原点的对称点坐标为（ ）
A．（-5，3）； B．（5，-3）； C．（-5，-3）； D．（5，3）
14．点A（1，0），B（0，2），点P在x的负半轴上，且ΔPOB∽ΔBOA，则P点坐标为（ ）．
A．（-4，0） B．（-1，0） C．（-4，0）或（-1，0） D．无法确定
15．在平面直角坐标系中，点（－2，4）所在的象限是 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
16．在直角坐标系中，A（1，2）点的横坐标乘以－1，纵坐标不变，得到A′点，则A与A′的关系是（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．将A点向x轴负方向平移一个单位
二、填空题：
17．点P（-1，-3）到x轴距离为 ，到y轴距离 为 ．
18．点P（x,y）到原点距离为5，到点（0，3）距离也是5，则P点坐标为 ．
19．点A（a+b,3）和B(-2,3a-b)关于原点对称，则关于x的方程ax2-2x+b=0的根为 ．
20．菱形边长为10，一内角为60°，对称轴与坐标轴重合， 则菱形顶点坐标为 ．
21．如图，点A、B、C、D、E、F、G的坐标分别为： ．
22．若A(a－2，3)和A1(－1，2b＋2)关于原点对称，则a＝ ，b＝ ．
23．已知：P(，)点在y轴上，则P点的坐标为 ．
24．通过平移把点（2，－3）移到点A′（4，－2）,按同样的方式，点B(3,1)移到B′，则B′的坐标是 ．
三、解答题：
25．正ΔABC中，点A（-2，0）．B（2，0），SΔABC=4,求C点坐标．
26．已知正ΔABC的两个顶点坐标为A（-4，0）．B（2，0）．求第三个顶点C的坐标及ΔABC的面积．
27．已知点A（a+1,1-a）关于原点的对称点在第三象限，且6a2-5a-1=0，求a的值．
28．已知点A（-5，5）．B（7，0），C（-3，0）求sin∠ABC及ΔABC的面积．
29．如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心．此时，M是线段PQ的中点．
如图，在直角坐标系中，⊿ABO的顶点A、B、O的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0）．点列P1、P2、P3、…中的相邻两点都关于⊿ABO的一个顶点对称：
点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，
点P3与P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，…．对称中心分别是A、B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环．已知点P1的坐标是（1，1），试求出点P2、P7、P100的坐标．
30．如图，在直角坐标系中，
(1)描出下列 各点，并将这些点用线段 依次连接起来．(-5，0),(-5，4)，
(-8，7)，(-5，6)，(-2，8)，(-5，4);
(2)把(1)中的图案向右平移10个单位，作出平移后的图案．
第三节 一次函数
第1课时 一次函数的概念
课标要求
①结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数的表达式．
②会画一次函数的图象，根据一次函数的图象和解析表达式y=kx+b（k≠0）探索并理解
其性质（k＞0或k＜0时，图象的变化情况．）
③理解正比例函数．
中招考点
①结合具体情境，根据已知条件确定一次函数表达式．
②直接或间接应用一次函数性质解决相关问题．
典型例题
例1 已知函数y＝(k－2)x＋2k＋1，若它是正比例函数，求k的值．若它是一次函数，求k的值．
分析:根据一次函数和正比例函数的定义,易求得k的值．
解：若y＝(k－2)x＋2k＋1是正比例函数,则2k＋1＝0,即k＝．
若y＝(k－2)x＋2k＋1是一次函数,则k－2≠0,即k≠2．
例2 已知y=（m-2），当m取什么值时，y是x的正比例函数？
解：要是y是x的正比例函数，必须有
∴m=－2，∴当m=－2时y是x的正比例函数，这时解析式为y=－2x．
反思：对一次函数y＝kx＋b来说，k≠0起关键作用．
例3 已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(-1,1)和(1，-5),求当x＝5时，函数y的值．
分析：1．图象经过点(-1,1)和点(1，-5)，即已知当x＝-1时，y＝1；x＝1时，y＝-5．代入函数解析式中，求出k与b．
2．虽然题意并没有要求写出函数的关系式，但因为要求x＝5时，函数y的值，仍需从求函数解析式着手．
解：由题意，得解这个方程组，得
这个函数解析式为y＝-3x-2．当x＝5时，y＝-3×5-2＝-17．
例4 已知一次函数的图象如图，写出它的关系式．
分析：从“形”看，图象经过x轴上横坐标为2的点，y轴上纵坐标是-3的点．从“数”看，坐标(2,0),(0,-3)满足解析式．
解：设所求的一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．
直线经过点(2,0),(0,-3),把这两点坐标代入解析式,得
解得
所以所求的一次函数的关系式是．
例5 已知A、B两地相距30千米，B、C两地相距48千米．某人骑自行车以每小时12千米的速度从A地出发，经过B地到达C地．设此人骑行时间为x（时），离B地距离为y（千米）．
(1)当此人在A．B两地之间时，求y与x的函数关系及自变量x取值范围．
(2)当此人在B．C两地之间时，求y与x的函数关系及自变量x的取值范围．
分析:(1)当此人在A．B两地之间时，离B地距离y为A．B两地的距离与某人所走的路程的差．
(2)当此人在B．C两地之间时，离B地距离y为某人所走的路程与A．B两地的距离的差．
解： (1) y＝30－12x(0≤x≤2．5)．(2) y＝12x－30(2．5≤x≤6．5)．
归纳反思
1．一次函数．正比例函数以及它们的关系：函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的，统称它们为一次函数．一次函数通常可以表示为y＝kx＋b的形式，其中k．b是常数，k≠0．特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx（常数k≠0）出叫正比例函数．正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例．
2．求一次函数的解析式往往用待定系数法，即根据题目中给出的两个条件确定一次函数解析式y＝kx＋b(k≠0)中两个待定系数k和b的值．
3．利用待定系数法确定正比例函数和一次函数的解析式的一般步骤是:
①先设出函数的一般形式，如求正比例函数解析式时，先设，求一次函数的解析式时，先设．
②将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组．
③解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
(注意：求正比例函数，只要一对的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数则需要两组的值．）
强化练习
一、选择题
1．已知是正比例函数，且图象经过第二、四象限，则m的值一定是（ ）
A．m=0 B． m=1 C． m=-2 D． m=1或m=-2
2．下列函数（1）y=πx，(2)y=2x-1，(3)y=，(4)y=2-1-3x，(5)y=x2-1中，是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．已知一次函数y=kx+b，当x增加3时，y减小2，则k的值是( )
A． B． C． D．
4．已知变量y与x之间的函数关系的图象如图中的线段AB所示，则正确的函数关系式是( )
A．y=- B．y=
C．y=-(0≤x≤3) D．y=(0≤x≤3)
5．弹簧的长度y cm与所挂物体的质量x(kg)的关系是一次 函 数,图象如右图所示,则弹簧不挂物体时的长度( ) A．9cm B．10cm C．10．5cm D．11cm
6．已知一次函数y=ax+4与y=bx-2的图象在x轴上相交于同一点,则的值是( )
A．4 B．-2 C． D．-
7．一支蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的高度h(厘米)与燃烧时间t(时)的函数关系的图象是( )
二、填空题：
8．函数y=2x3n－2,当n=____时, y是x的正比例函数．
9．函数Y=2mx+3-ｍ是正比例函 数,则m=____．
10．“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事，如图表示路程S(米)与时间t(分)的关系.①赛跑中，兔子共睡了 分钟；②乌龟在这次赛跑中的平均速度为 米/分钟．
11．点A(2，4)在正比例函数的图象上，这个正比例函数的解析式是 ．
12．点A为直线y＝－2x＋2上的一点，点A到两坐标轴的距离相等，则点A的坐标为 ．
13．在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度 y(cm)与燃烧时间x(h)的关系如图12所示．请根据图象所提供的信息解答下列问题：
⑴甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ，从点燃到燃尽所用的时间分别是 ；
⑵甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式分别是 ；
⑶当x＝ 时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等．
14．已知正比例函数的图象经过点（-2，4），则这个正比例函数的表达式是 ．
15．若函数y=-2xm+2是正比例函数，则m的值是 ．
16．已知一次函数y=kx+5的图象经过点（-1，2），则k= ．
17．某种储蓄的月利率为0．15%，现存入1000元，则本息和y（元）与所存月数x之间的函数关系式是 ．
18．某商店出售一种瓜子，其售价y（元）与瓜子质量x（千克）之间的关系如下表
质量x（千克） 1 2 3 4 ……
售价y（元） 3．60+0．20 7．20+0．20 10．80+0．20 14．40+0．2 ……
由上表得y与x之间的关系式是 ．
19．某人用充值50元的IC卡从A地向B地打长途电话，按通话时间收费，3分钟内收费2．4元，以后每超过1分钟加收1元，若此人第一次通话t分钟（3≤t≤45），则IC卡上所余的费用y（元）与t（分）之间的关系式是 ．
20．如图，已知A地在B地正南方3千米处，甲乙两人同时分别从A．B两地向正北方向匀速直行，他们与A地的距离S（千米）与所行的时间t（小时）之间的函数关系图象如图所示的AC和BD给出，当他们行走3小时后，他们之间的距离为 千米．
21．一次函数y=kx+3的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为5， 则k的值为 ________．
22．若点M（n，4）在函数y＝－x＋上，则n＝ ．
三、解答题：
23．写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
①汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程中y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系式；
②圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；
③一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y（厘米）．
24．新龟兔赛跑（问题探讨）这一次兔子全力以赴拿下了比赛．
下图l 1， l 2 分别是龟兔赛跑中路程与时间之间的函数图象．根据图象可以知道：
（1）这是一次 米赛跑．
（2）表示兔子的图象是 ．
（3）这一次先到达终点的是 　 ．
（4）当兔子到达终点时，乌龟距终点还有 　米．
（5）乌龟要与兔子同时到达终点，乌龟要先跑 米．
（6）乌龟要先到达终点，至少要比兔子早跑 分钟．
25．已知y－3与x成正比例，且x＝2时，y＝7．
(1)写出y与x之间的函数关系．
(2)y与x之间是什么函数关系．
(3)计算y＝－4时x的值．
第2课时 一次函数的图象和性质
例1 画出函数y＝-2x＋2的图象，结合图象回答下列问题：
(1)这个函数中，随着x的增大，y将增大还是减小？它的图象从左到右怎样变化？
(2)当x取何值时，y＝0
(3)当x取何值时，y＞0？
分析：(1)由于k＝-2＜0,y随着x的增大而减小．
(2) y＝0,即图象上纵坐标为0的点,所以这个点在x轴上．
(3)y＞0,即图象上纵坐标为正的点,这些点在x轴的上方．
解：(1)由于k＝-2＜0,所以随着x的增大，y将减小． 当一个点在直线上从左向右移动时，点的位置也在逐步从高到低变化,即图象从左到右呈下降趋势．
(2)当x＝1时, y＝0 ．
(3)当x＜1时, y＞0．
例2 今年入夏以来，全国大部分地区发生严重干旱．某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，若某户居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，当0≤x≤5时，y＝0．72x,当x＞5时，y＝0．9x-0．9．
(1)画出函数的图象；
(2)观察图象，利用函数解析式，回答自来水公司采取的收费标准．
分析：画函数图象时，应就自变量0≤x≤5和x＞5分别画出图象，当0≤x≤5时，是正比例函数，当x＞5是一次函数，所以这个函数的图象是一条折线．
解：(1)函数的图象是：
(2)自来水公司的收费标准是：当用水量在5吨以内时，每吨0．72元；当用水量在5吨以上时，每吨0．90元．
例3 已知一次函数y＝(1-2m)x＋m-1，若函数y随x的增大而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限,求m的取值范围．
分析：一次函数y＝kx＋b(k≠0)，若函数y随x的增大而减小，则k＜0,若函数的图象经过二、三、四象限，则k＜0,b＜0．
解: 由题意得: 解得，．
例4 （2005山西）已知一次函数y＝(3m-8)x＋1-m图象与y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数．
(1)求m的值；(2)当x取何值时，0＜y＜4？
分析：一次函数y＝kx＋b(k≠0)与y轴的交点坐标是(0,b)，而交点在x轴下方，则b＜0,而y随x的增大而减小,则k＜0．
解：(1)由题意得：，
解之得，,又因为m为整数,所以m＝2．
(2)当m＝2时，y＝-2x-1．又由于0＜y＜4．所以0＜-2x-1＜4．
解得：．
例5 直线y=mx+n如图所示，化简＝ ．
分析：本题的关键是确定的符号，比较m、n的大小，切入点就是一次函数的性质．
答案：n．
例6 已知一次函数y＝(2m-1)x＋m＋5,当m是什么数时，函数值y随x的增大而减小？
分析：一次函数y＝kx＋b(k≠0)，若k＜0，则y随x的增大而减小．
解：因为一次函数y＝(2m-1)x＋m＋5，函数值y随x的增大而减小．
所以，2m-1＜0,即．
例7 已知AB两地相距90千米．某人骑自行车由A地去B地，他平均时速为15千米．
(1)求骑车人与终点B之间的距离y(千米)与出发时间x(小时)之间 的函数关系；
(2)画出函数图象：
分析：在这个问题中有两个已知量．一个是两地之间的距离90千米，一个是骑车人的速度．而骑车人与终点的距离y及出发时间x则都是未知量．我们能否找到这两个已知量与两个未知量之间的等量关系呢？找到后还要把它写成函数的形式，即把y写在等号的左边，其他的量则写到等号的右边．
解：y与x之间的函数关系式为y＝90－15x．
思考：写到这里是否就写完了呢？还没有．我们知道一次函数的自变量取值范围是全体实数，而这个问题是实际问题，时间、距离都不会取负值，因此，有一个x的取值范围问题，请同学们想，x应在什么范围内取值？得出x的取值范围是 0≤x≤6．
然后取点画函数的图象．取x＝0，得y＝90，
取x＝6，得y＝0．画点A(0，90)，B(6，0)，然后连线段AB即为所求．
注意：由于函数图象是函数关系的反映，因此所画函数图象要与自变量取值范围相一致．本例中自变量x的取值范围是0≤x≤6，因此它的图象只是直线y＝90－15x上的一条线段．
例8 已知一次函数y＝k2x－b2，其中k和b为非零常数，那么它的图象在下面四个图中只可能是 ( )
分析：请同学们想，解析式中一次项的系数与直线有怎样的关系？常数项与直线有怎样的关系？在解析式y＝k2x－b2中一次项的系数是正？是负？还是不确定？常数项呢？
解：由于当k和b不为零时，k2＞0，b2＞0，则一次函数y＝k2x－b2的一次项系数为正值，常数项为负值，根据数与形的关系，(B)正确．
例9 如图所示是函数的一部分，利用这部分函数图象回答：
① 自变量x的取值范围为多少？
② 当x为多少时，函数有最小值？最小值是多少？
③ 在x 的取值范围内，y随x 的增大而怎样变化？
解：①0≤x≤5；②x＝5时有最小值2．5；
③x＝0时有最大值5．
归纳反思
1．一次函数图象的特征（y=kx+b,b≠0）
①一次函数的图象不过原点，和两坐标轴相交，它是一条直线．
②一次函数图象中：
当k>0时，y的值随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升．
当k<0时，y的值随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降．
③作一次函数y=kx+b的图象时，一般找（0,b）和（-，0）两点，作正比例函数y=kx的图象时，一般找（0，0）和（1，k）两点．
2．当b>0,直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，直线与y轴交于负半轴；当b=0时，直线与y轴交于坐标原点．
3．k＞0,b＞0时，直线经过一、二、三象限；k＞0,b＜0时，直线经过一、三、四象限；
k＜0,b＞0时，直线经过一、二、四象限；k＜0,b＜0时，直线经过二、三、四象限．
4．（1）正比例函数y=kx的图象有什么特点？（都经过原点）
（2）你作正比例函数y=kx的图象时描了几个点？（至少两点）
（3）直线y=x，y=x，y=3x中，哪一个与x轴正方向所成的锐角最大？哪一个与x轴正方向所成的锐角最小？
5．正比例函数的图象有以下特点：
（1）正比例函数的图象都经过坐标原点．
（2）作正比例函数y=kx的图象时，除原点外，还需找一点，一般找（1,k）点．
（3）在正比例函数y=kx图象中，当k>0时，k的值越大，函数图象与x轴正方向所成的锐角越大．
（4）在正比例函数y=kx的图象中，当k>0时，y的值随x值的增大而增大；当k<0时，y的值随x值的增大而减小．
强化练习
一、选择题：
1．下列一次函数中，y的值随x值的增大而增大的是（ ）
A．y=-5x+3 B．y=-x-7 C．y=- D．y=-+4
2．下列一次函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ）
A．y=x-8 B．y=-x+3 C．y=2x+5 D．y=7x-6
3．已知点（-4，y1），（2，y2）都在直线y=- x+2上，则y1，y2大小关系是( )
A．y1 >y2 B．y1 =y2 C．y1 4．已知一次函数y=kx+b，y随着x的增大而减小，且kb<0，则在直角坐标系内它的大致图象是( )
5．点A（5，y1）和B（2，y2）都在直线y＝－x上，则y1与y2的关系是（ ）
A．y1≥ y2 B．y1＝ y2 C．y1 ＜y2 D．y1 ＞y2
6．关于函数y=-2x+1，下列结论正确的是＿＿．
A．图象必经过点（﹣2，1） B．图象经过第一、二、三象限
C．当时， D．随的增大而增大
7．已知动点P在边长为2的正方形ABCD的边上沿着A—B—C—D运动，x表示点P由A点出发所经过的路程，y表示△APD的面积，则y与x的函数关系的图象大致为＿＿．
8．已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,则k,b的符号是( )
A．k>0,b>0 B．k>0,b<0 C．k<0,b>0 D．k<0,b<0
9．在同一直角坐标系中，反比例函数和一次函数 y2=x-1的图象如图，以下不符合图象提供的信息是 （ ）
A．y2随x的增大而增大 B． 点D的坐标为(0，-1) C． k< 0 D． x=2时，y2>y1
10． 若一次函数的图象经过一、二、三象限,则应满足的条件是( )
A． B．
C． D．
11． 已知：是正比例函数,则的值是：
A．=1 B．=-2
C．=1或=-2 D．0
12． 函数,如果,则的相应的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：
13．函数y＝3x＋1，y随x的增大而 ．
14．函数y＝－3－2x，y随x的增大而 ．
15．已知函数,当m= 时，这个函数是一次函数．并且图象经过第二、三、四象限．
16．已知关于x的一次函数y＝(-2m＋1)x＋2m2＋m-3．
(1)若一次函数为正比例函数，且图象经过第一．第三象限，则 m= ；
(2)若一次函数的图象经过点(1，-2),则m= ．
17．下列三个函数y= -2x, y= - x, y=(- )x共同点是（1） ;
（2） ;（3） ．
18．写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式（写出一个即可） ．
（1）y随着x的增大而减小． （2）图象经过点（1，-3）
19．（1）函数y=3x+2的图象是一条自左向右______的直线，且y随x的增大而________；
20．函数y=-x-1的图象是一条自左向右_______的直线，且y随x的增大而 ________．
21．已知函数y=（m+3）x+2，当m= 时，y随x的增大而减少．
22．函数的图象经过点(1,-3),则b=____,它的图象经过第____象限,随的增大而____．
23．函数y=4x的图象经过点（0，__）与点（1，__）且y随着x 的增大而____ ．
24．作函数y=1-5x的图象通常取点（0,__)与（__,0）画直线，直线经过第__ 象限．
25．函数的图象经过点(1,-3),则b=____,它的图象经过第____象限,随的增大而____．
26．某个一次函数的图象位置大致如下图所示,则 k,b的符号分别是 ，函数分别有 性质．
第3课时 一次函数图象的位置关系
课标要求
①会求函数图象与两个坐标轴的交点坐标．
②会求2个一次函数图象的交点坐标．
③能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解．
中招考点
①求2个一次函数图象的交点坐标，函数图象与坐标轴围城的三角形的面积等．
②与图形变换结合考查综合能力．
③根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解．
例1 求函数与x轴、y轴的交点坐标，并求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
分析：求直线与x轴、y轴的交点坐标，根据x轴、y轴上点的纵坐标和横坐标分别为0，可求出相应的横坐标和纵坐标；结合图象，易知直线与x轴、y轴围成的三角形是直角三角形，两条直角边就是直线与x轴、y轴的交点与原点的距离．解这类题目时应先画出图象，增加直观性．
解：当y＝0时，x＝2，所以直线与x轴的交点坐标是A(2,0)；当x＝0时，y＝-3,所以直线与y轴的交点坐标是B(0，-3)．．
例2 画出直线y＝-2x＋3，借助图象找出:
(1)直线上横坐标是2的点；
(2)直线上纵坐标是-3的点；
(3)直线上到y轴距离等于1的点．
分析：准确画出图象是做好这类题目的前提和保证．
解：(1)直线上横坐标是2的点是A(2,-1)；
(2)直线上纵坐标是-3的点B(3,-3)；
(3)直线上到y轴距离等于1的点C(1,1)和 D(-1,5)．
例3 已知两条直线y1＝2x-3和y2＝5-x．
(1)在同一坐标系内作出它们的图象；
(2)求出它们的交点A的坐标；
(3)求出这两条直线与x轴围成的三角形ABC的面积；
(4)k为何值时，直线2k＋1＝5x＋4y与k＝2x＋3y的交点在第四象限．
分析：(1)这两个都是一次函数，所以它们的图象是直线，通过列表，取两点，即可画出这两条直线．
(2)两个函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数关系式．而两个函数关系式可以组成方程组，所以两条直线的交点坐标就是两个解析式组成的方程组的解．
(3)求出这两条直线与x轴的交点坐标B、C，结合图形易求出三角形ABC的面积．
(4)先求出交点坐标，根据第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负，可求出k的取值范围．
解：(1)
(2) 解得
所以两条直线的交点坐标A为．
(3)当y1＝0时，x＝．所以直线y1＝2x-3与x轴的交点坐标为B(，0)；
当y2＝0时，x＝5，所以直线y2＝5-x与x轴的交点坐标为C(5,0)．过点A作AE⊥x轴于点E，则．
(4)两个解析式组成的方程组为
解这个关于x，y的方程组，得
由于交点在第四象限，所以x＞0,y＜0．
即 解得．
例4 直线分别是由直线经过怎样的移动得到的？
分析：只要k相同，直线就平行，一次函数y＝kx＋b(k≠0)是由正比例函数的图象y＝kx(k≠0)经过向上或向下平移个单位得到的．b＞0，直线向上移；b＜0，直线向下移．
解:是由直线向上平移3个单位得到的；而是由直线向下平移5个单位得到的．
例5 说出直线y＝3x＋2与；y＝5x-1与y＝5x-4的相同之处．
分析:k相同，直线就平行．b相同，直线与y轴交于同一点，且交点坐标为(0,b)．
解：直线y＝3x＋2与的b相同，所以这两条直线与y轴交于同一点，且交点坐标为(0,2)；
直线y＝5x-1与y＝5x-4的k都是5，所以这两条直线互相平行．
例6 若直线y＝-kx＋b与直线y＝-x平行，且与y轴交点的纵坐标为-2，求直线的表达式．
分析：直线y＝-kx＋b与直线y＝-x平行，可求出k的值,与y轴交点的纵坐标为-2,可求出b的值．
解：因为直线y＝-kx＋b与直线y＝-x平行，所以k＝-1,又因为直线与y轴交点的纵坐标为-2,所以b＝-2,因此所求的直线的表达式为y＝-x-2．
例7 利用图象解方程组
分析:准确地画出图象是利用图象解方程组 的关键．第一步是画图象；第二步是过图象交点分别作两坐标轴的垂线，确定交点坐标；第三步是写出方程组的近似解．通常可以用直接解方程组的方法加以检验．
解：如图所示：在直角坐标系中画出两条直线．
两条直线的交点坐标是(2,-1)，所以方程组的解为
例8 利用图象解不等式(1)2x－5＞－x＋1，(2) 2x－5＜－x＋1．
解：设y1＝2x－5，y2＝－x＋1，
在直角坐标系中画出这两条直线，如图所示．
两条直线的交点坐标是(2, －1) ，由图可知：
(1)2x－5＞－x＋1的解集是y1＞y2时x的取值范围，为x＞－2；
(2)2x－5＜－x＋1的解集是y1＜y2时x的取值范围，为x＜－2．
归纳反思
1．两个一次函数，当k相等，b不相等时，共同之处是直线平行，都是由直线y＝kx(k≠0)向上或向下移动得到，不同之处是它们与y轴的交点不同．
2．两个一次函数，当k不相等时，无论b值是否相等，两个一次函数的图象都相交，交点坐标就是以两解析式为方程的方程组的解．
3．两个一次函数，当b相等，k不相等时，共同之处是它们与y轴交于同一点(0,b)．
4．利用图象求方程组的近似解主要分三步：第一步画图象；第二步过图象交点分别作两坐标轴的垂线，确定交点坐标；第三步写出方程组的近似解．通常可以用直接解方程组的方法加以检验．
强化练习
一、选择题：
1．对于直线y＝kx＋b，若b减少一个单位，则它将（ ）
A．向左平移一个单位； B．向右平移一个单位；
C．向下平移一个单位； D．向上平移一个单位．
2．如果函数的图象与函数的图象交于轴上的同一点,则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：
3．已知直线y＝2x－5和直线y＝－x＋1相交于点A，则A点的坐标是 ，它们与y轴围成的三角形的面积是 ．
4．一次函数y= -2x+4的图象与x轴交点坐标是 ，与y轴交点坐标是
图象与坐标轴所围成的三角形面积是 ．
5．直线y＝2x－4与直线y＝2x＋3的位置关系是 ．
6．直线y＝2x－5与直线y＝－3x＋5的位置关系是 ，且过点（ ）．
7． 如图，在△AOB中，AO=AB，在直角坐标系中，点A的坐标是(2，2)，点O的坐标是(0，0)，将△AOB平移得到△A'O'B'，使得点A'在y轴上．点O'．B'在x轴上．则点B'的坐标是___ _ ．
8．如图，把矩形OABC放置在直角坐标系中，OA＝6，OC＝8，若将矩形折叠，使点B 与O重合，得到折痕EF．
(1)可以通过________办法，使四边形AEFO变到四边形BEFC的位置（填“平移”．“旋转”或“翻转”）；
（2）点E的坐标为 ；
（3）若直线l把矩形OABC的面积分成相等的两部分，
则直线l必经过点的坐标是______．
9．已知直线y＝2x－5向上平移5个单位长度后，直线的解 析式变为 ．
10．函数y＝kx-4的图象平行于直线y＝-2x，则函数的表达式为 ．
11．一次函数y＝kx＋b的图象与y轴交于点(0,-2)，且与直线平行，它的函数表达式为： ．
12．已知一次函数的图象与轴交点A(a,0)和B(0,b),且a,b是方程．则该函数的解析式是____ ．
三、解答题:
13．求直线y＝2x和y＝x＋3的交点坐标．
14．已知的图象与轴交于A,它与的图象交于C,C点的横坐标是3，与轴交于B,且SΔABC=,求函数的解析式．
15．已知直线的图象经过点(1,6)和(-3,-2)，它和轴,轴的交点分别是B,A；直线的图象经过点(2,-2)且与轴交于C(0,-3),它与轴的交点是D．
求:(1)两直线的解析式．
(2)S四边形ABCD．
(3)若直线,求SΔBCE:S四边形ABCD．
16．如图,已知直线PA：与轴交于A,与轴交于Q,另一条直线x轴交于B且经过点P．求:
(1)A,B,Q,P四点的坐标(用或表示)；
(2)若AB=2,且S四边形PQOB=,求两个函数的解析式．
第4课时 一次函数与实际问题
课标要求
能用一次函数解决实际问题．
中招考点
①用一次函数解决实际问题．
②与图形变换结合考查综合能力．
典型例题
例1某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束的全过程，开始时风暴平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，一段时间，风暴保持不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减小1千米，最终停止．结合风速与时间的图象，回答下列问题：
（1）在y轴（ ）内填入相应的数值；
（2）沙尘暴从发生到结束，共经过多少小时？
（3）求出当x≥25时，风速y（千米/时）与时间x（小时）之间的函数关系式．
（4）若风速达到或超过20千米/时，称为强沙尘暴，则强沙尘暴持续多长时间？
分析：（1）从图象中可得到如下信息：沙尘暴分四个阶段：0～4小时，风暴平均每小时增加2千米；4～10小时，风速平均每小时增加4千米；10～25小时，风暴速度保持不变；25小时后风暴速度平均每小时减小1千米，最终停止．
（2）对于第（3）题，观察图象可知：当x≥25时，风速y（千米/时）是时间x（小时）的一次函数．
（3）第（4）题是应用数学知识解决实际问题．
解：（1）∵2×4＝8，∴ A处填8；∵4（10－4）＝24，8＋24＝32，∴B处填32．
（2）∵当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减小1千米，最终停止，
∴沙尘暴速度从32千米/小时停止，持续32小时．
∴沙尘暴从发生到结束，共经过57小时．
（3）y＝32－1×（x－25）＝57－x （25≤x≤57）．
（4）设线段AB所在直线的解析式为y＝kx+b,把(4,8),(10,32)代入则有
∴y=4x-8．4x-8≥20,得x≥7．
再由y＝57－x≥20,得x≤32．
33-6=26．所以,强沙尘暴持续时间为26小时．
说明：通过这两题可以初步知道识图的一般步骤是:
（1）观察图象，捕捉有效信息；
（2）对已获信息进行加工，分清变量之间的关系；
（3）选择适当的数学工具，通过建模来加以解决．
例2 某市通过电脑拨号上因特网的费用是由电话费和上网费两部分组成．以前该市上因特网的费用为电话费0．18元/3分钟，上网费为7．2元/小时，后根据信息产业部调整因特网资费的要求，该市上因特网的费用调整为电话费0．2元/3分钟，上网费为每月不超过60小时，按4元/小时计算；超过60小时部分，按8元/小时计算．
(1)根据调整后的规定，将每月上因特网的费用y(元)表示为上网时间x(小时)的函数；
(2)资费调整前，网民晓刚在其家庭经济预算中，一直有一笔每月70小时的因特网费用支出，因特网费用调整后，晓刚要想不超过其家庭经济预算中的因特网费用支出，他现在每月至多可上网多少小时？
(3)从资费调整前后的角度分析,比较该市网民因特网费用的支出情况．
分析：本题重点考察对分段函数的理解和应用．第一小题应分情况进行讨论建立两个不同的函数关系式；第2小题关键是求出调整前上网70小时所需的费用，然后根据新函数建立不等式求出解；第3小题是一个综合分析题，重点要学会分析的方法．
解：（1）当0≤x≤60时，y=〔0．2×（60÷3）+4〕x ，即y=8x;
当x>60时，y=60×8+（8+4）（x-60），即y=12x-240．
（2）调整前y=〔7．2+0．18×（60÷3）〕×x，即y=10．8x．
当x=70时，y=10．8 x=10．8×70=756．
y=12x-240=756，得，x=83．
他现在每月至多最多可上83小时．
（3）由12x-240=10．8x，得x=200．
所以，当上网时间等于200小时时，调整前后费用一样；
由12x-240＜10．8x，得x＜200，
所以，当上网时间少于200小时时，调整后费用少；
由12x-240＞10．8x，得x＞200．
所以，当上网时间大于200小时时，调整前费用少．
反思归纳
利用一次函数解决实际问题的关键是把实际问题抽象成数学问题．一次函数的图象和性质是各地中考命题的一个热点，是中考中重点考查的知识，纵观近年来的中考试题，从能力层面上加强了对一次函数考查的力度，它往往结合实际知识，用一次函数的有关知识解决应用问题，如在实际问题中去确定变量y与x之间的函数关系式，求函数自变量x的取值范围及画出相应的图象等等，是常见的命题要求，试题可以有选择、填空和解答题等各种形式．
强化练习
一、选择题：
1．张大伯出去散步，从家走了20分钟，到了一个离家900米的阅报亭，看了10分钟报纸后，用了15分钟返回到家．下面（ ）图形表示张大伯离家时间与距离之间的关系.（ ）
2．汽车由南京驶往相距300千米的上海，当它的平均速度是100千米/时，下面哪个图形表示汽车距上海的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系？（ ）
3．已知地面温度是20℃，如果从地面开始每升高1km，气温下降6℃，那么气温t（℃）与高度h（km）的函数关系用图象表示是（ ）
4． 如下图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝5，BC＝3，点P从起点D出发，沿DC．CB向终点B匀速运动．设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD,AP所围成图形的面积为y，y随x的变化而变化．在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（ ）
　
5．一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（ ）
A．20分钟 B．22分钟 　　C．24分钟 D．26分钟
6．父亲节，学校“文苑”专栏登出了某同学回忆父亲 的小诗：“同辞家门赴车站，别时
叮咛语千万，学子满载信心去，老父怀抱希望还．”如果用纵轴表示父亲和学子在行进中离家的距离，横轴t表示离的时间，那么下面与上述诗意大致相吻的图象是( )
二、填空题：
7．某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开发．该地区一家供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费．月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数图象如图所示．
（1）月用电量为100度时，应交电费 元；
（2）当x≥100时，则y与x之间的函数关系式是
；
（3）月用电量为260度时，应交电费 元．
8．某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利y（元）是1吨水的价格x（元）的一次函数．
（1）根据下表提供的数据，则 y与x之间的函数关系式为 ；
1吨水的价格x（元） 3 4 6
用1吨水生产的饮料所获得的利润y（元） 201 200 198
（2）当水价为每吨10元时，该饮料厂若想获得2万元的利润，则至少需用水 吨．
（精确到个位）
9．声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）是气温x（℃）的一次函数，下表列出了一组不同气温时的音速．
气温x（℃） 0 5 10 15 20
音速y（米/秒） 331 334 337 340 343
（1）y与x之间的函数关系式为 ；
（2）当气温x=22℃时，某人看到烟花燃放5秒后，才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距 米．
三、解答题：
10．阅读下列函数图象，并根据你所获得的信息回答问题：
(1)折线OAB表示某个实际问题的函数图象，请你编写一 道符合该图象意义的应用题；
(2)根据你所给出的应用题分别指出x轴、y轴所表示的意义，并写出A、B两点的坐标；
(3)求出图象AB的函数解析式，并注明自变量x的取值 范围．
11．某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间的关系如折线图所示：
根据图象解答下列问题：
（1）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水 量是多少升？
（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19升，
①求排水时y与x之间的关系式．
②如果排水时间为2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量．
12．某电信公司手机的收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴频道占用月租费60元，另外，每通话1分钟收费0．3元．
(1)写出每月应缴费用Y（元）与通话时间x（分钟）之间的函数关系式．
(2)某手机用户这个月的通话时间为172分钟,他应缴费多少元
(3)如果该手机用户本月预缴了150元的话费,那么该用户可通话多少时间
13．如图是某汽车行驶的路程S(km)与时间t(min)
的函数关系图．观察图中所提供的信息，解答下列问题：
（1）汽车在前9分钟内的平均速度是多少？
（2）汽车在中途停了多长时间？
（3）当16≤t≤30时，求S与t的函数关系式．
14．某企业有甲．乙两个长方体的蓄水池，将甲池中的水以每小时6立方米的速度注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y(米)与注水时间x(时)之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：
(1) 分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式；
(2) 求注水多长时间甲、乙两个蓄水池水的深度相同；
(3) 求注水多长时间甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同．
15．某产品每件成本价20元，试销阶段产品的日销售量y(件)与每件产品的销售价x(元)之间的关系如下表:
x(元) 25 30 40 …
y(件) 25 20 10 …
(1) 若日销售量y(件)是每件产品的销售价x(元)的一次函数，求日销售量y(件)与每件产品的销售价x(元)的函数关系式;
(2) 要使日销售利润W(元)最大，每件产品的销售价x(元)应定为多少，此时每日销售利润是多少
16．一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：
节约用水．保护水资源，是科学发展观的重要体现．依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元．下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系．
请你解答下列问题：
（1） 根据图象，用简洁的文字语言表述本市收取水费的方案；
（2） 写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（3） 按上述方案，一家酒店四．五两月用水量及缴费情况如下表：
　
月份 用水量（吨） 水费（元）
四月 35 59．5
五月 80 151
那么，这家酒店四．五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出的值．
17．下图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千 米）随时间x（分）变化的图象．根据图象回答问题；
（1）求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇．
（2）求这次比赛全程是多少千米．
（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇．
18．某博物馆每周都吸引大量的中外游客前来参观．如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响，但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入．因此，博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数，在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系，在这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价格应是多少元？
19．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6米3时，水费按0．6元/米3收费；每户每月用水量超过6米3时，超过部分按1元/米3收费．设每户每月用水量为x米3，应缴水费y元．（1）写出每月用水量不超过6米3和超过6米3时，y与x之间的函数关系式，并判断它们是否为一次函数．（2）已知某户5月份的用水量为8米3，求该用户5月份的水费．
20．如图,在平面直角坐标系中,∠AOB=60°,点B 坐标为（2，0），线段OA的长为6． 将△AOB绕点O逆时针旋转60°后,点A落在点C处,点B落在点D处．
⑴请在图中画出△COD;
⑵求点A旋转过程中所经过的路程（精确到0．1）；
⑶求直线BC的解析式．
21．在一次蜡烛燃烧实验中，甲．乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(cm)与燃烧时间x(h)的关系如图所示．请根据图象所提供的信息解答下列问题：
⑴甲．乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ，从点燃到燃尽所用的时间分别是 ；
⑵分别求甲．乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；
⑶当x为何值时，甲．乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等？
22．小明在银行存入一笔零花钱．已知这种储蓄的年利率为n％，若设到期后的本息和（本金＋利息）为y（元），存入的时间为x（年），那么
（1）下列哪个图象更能反映y与x之间的函数关系？从图中你能看出存入的本金是多少元？一年后的本息和是多少元？
（2）根据（1）的图象，求出y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围），并求出两年后的本息和．
一次函数检测题
一、选择题（4分×10＝40分）
1． 函数是正比例函数，则a的值是 （ ）
A． 1 B．－1 C． 1或－1 D． 2
2． 一次函数y=-2x+3的图象不经过的象限是 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3． 一次函数y=kx+b的图象如图，则k，b的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
4． 一次函数y=kx+b的图象经过点(m,1)和点(-1,m),其中m>1，则k,b应满足的条件是（ ）
A．k>0且b>0 B．k<0且b>0 C．k>0且b<0 D．k<0且b<0
5． 若一次函数y=(1-2k)x-k的函数值y随x的增大而增大，且此函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围是 （ ）
A． k＜ B． k＞0 C． 0＜k＜ D． k＜0或k＞
6．关于函数y=kx+b(k，b都是不等于0的常数)，下列说法正确的是 ( )
A．y与x成正比例 B．y与kx成正比例
C．y与x+b成正比例 D．y－b与x成正比例
7．双曲线经过点（3，a）则a的值为 （ ）
A. 9 B. C. 3 D.
8．函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥0 B．x＞0且x≠1 C．x＞0 D．x≥0且x≠1
9．某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0．5小时后，用1小时爬上山顶．游客爬山所用时间与山高间的函数关系用图形表示是（ ）
10．关于一次函数，下列结论不正确的是（ ）
A．图象与直线平行 B．图象与y轴的交点坐标是（1，0）
C．图象经过第一、二、四象限 D．y随自变量x的增大而减小
二、填空题（4分×6＝24分）
11．当m=_____时，函数y=3+(m－2)x m+3是一次函数
12．写一个图象经过点（－1，2）的一次函数的解析式 ．
13．反比例函数经过点P（-2， ）．
14．若直线y=－x+a和直线y=x+b的交点坐标为（m，8），则a+b= ．
15．若点A（―5，y1）,B（―2，y2）都在直线y=上，则 （填“>”或“<”）．
16．如图，先观察图形，然后填空：
（1）当x 时，＞0；
（2）当x 时，＜0；
（3）当x 时，≥．
三、解答题（17－21每小题9分，22题12分，共56分）
17．在某一电路中，保持电压不变，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例，当电阻R=5Ω时，点流I=2A．
（1）求I与R之间的函数关系式；
（2）当电流I=0．5A时，求电阻R的值．
18．已知y+2与x－1成正比例，且x=2时，y=5．当x=5时，求y的值．
19．如图，大拇指尽量张开时，两指尖的距离成为指距，某项研究发现：一般情况下，人的身高h是指距d的一次函数，下面是测得的指距与身高的一组数据:
指距d(cm) 20 21 22 23
身高h(cm) 160 169 178 187
（1）求出h与d之间的函数关系式（不要求写出自变量d的取值范围）．
（2）某人身高196cm，一般情况下，它的指距应该是多少？
20．已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过P(0，-12)，且直线与两条坐标轴围成的三角形面积为24，求这个一次函数的解析式．
21．某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者．果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回．已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．
(1)分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与所买的水果量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由．
22．转炉炼钢产生的棕红色烟尘会污染大气，某装置可通过回收棕红色烟尘中的氧化铁从而降低污染．该装置的氧化铁回收率与其通过的电流有关，现经过试验得到下列数据：
如图建立直角坐标系，用横坐标表示通过的电流强度，纵坐标表示氧化铁回收率．
(1)将试验所得数据在上图所给的直角坐标系中用点表示（注：该图中坐标轴的交点代表点(1,70)）；
(2)用线段将题(1)所画的点从左到右顺次连结，若用此图象来模拟氧化铁回收率y关于通过电流x的函数关系式，试写出该函数在1．7≤x≤2．4时的表达式；
(3)利用题(2)所得的关系，求氧化铁回收率大于85%时，该装置通过的电流应该控制的范围（精确到0．1A）．
第四节 反比例函数
课标要求
①结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式．
②能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式y=kx（k≠0 ）探索并理解其性质（k>0或k<0时，图象的变化）．?
③能用反比例函数解决某些实际问题．
中招考点
①根据已知条件确定反比例函数的解析式．
②与一次函数、二次函数、图形变换、三角形、四边形等相结合考查学生综合分析问题、解决问题的能力．
③利用反比例函数的定义和性质解决某些实际问题．
典型例题
例1 下列函数关系中，哪些是反比例函数？
(1)已知平行四边形的面积是12cm2，它的一边是acm，这边上的高是hcm，则a与h的函数关系；
(2)压强p一定时，压力F与受力面积s的关系；
(3)功是常数W时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系．
(4)某乡粮食总产量为m吨，那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x的函数关系式．
分析:判断某个函数是否为反比例函数，就是看它的解析式经过整理后是否符合(k是常数，k≠0)．所以此题必须先写出函数解析式，然后再判断．
解：(1)，是反比例函数；(2)F＝ps，是正比例函数；
(3)，是反比例函数；(4)，是反比例函数．
例2 若反比例函数的图象在第二、四象限，求m的值．
分析:由反比例函数的定义可知： ,又由于图象在二、四象限，所以m＋1＜0，由这两个条件可解出m的值．
解:由题意，得 解得．
例3 将下列各题中y与x的函数关系求出来．
(1)，z与x成正比例；
(2)y与z成反比例，z与3x成反比例；
(3)y与2z成反比例，z与成正比例；
分析：尽管题目拐弯抹角地绕圈子，关键要分清正比例函数和反比例函数的一般形式．
解：(1)根据题意，得z＝kx(k≠0)．
把z＝kx代入，得，即．因此y是x的反比例函数．
(2)根据题意，得(k1，k2均不为0)．
把代入，得，即．
因此y是x的正比例函数．
(3)根据题意，得．把，得
，即y＝．因此y是x的反比例函数．
例4 已知反比例函数的图象过点(1,－2)．(1)求这个函数的解析式，并画出图象；
(2)若点A(－5,m)在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？
分析: (1) 反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x＝1时，y＝－2．由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；
(2)由点A在反比例函数的图象上，易求出m的值，再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上．
解：(1)设反比例函数的解析式为：(k≠0)．
而反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x＝1时，y＝－2．
所以，k＝－2．
即反比例函数的解析式为：．
(2)点A(－5,m)在反比例函数图象上， 所以，点A的坐标为．
点A关于x轴的对称点不在这个图象上；
点A关于y轴的对称点不在这个图象上；
点A关于原点的对称点在这个图象上．
例5 已知函数为反比例函数．
(1)求m的值；
(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y随x的增大如何变化？
(3)当－3≤x≤时，求此函数的最大值和最小值．
分析：反比例函数中k的限定条件是做对这类题的关键．
解：(1)由反比例函数的定义可知： 解得，m＝－2．
(2)因为－2＜0，所以反比例函数的图象在第二、四象限内，在各象限内，y随x的增大而增大．
(3)因为在每个象限内，y随x的增大而增大，
所以当x＝时，y最大值＝；
当x＝－3时，y最小值＝．
所以当－3≤x≤时，此函数的最大值为8，最小值为．
例6 （2005年海淀区中考题）已知反比例函数的图象经过点，若一次函数y=x+1的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B（2，m），求平移后的一次函数图象与x轴的交点坐标．
分析：本题的题目看似简单，但涉及的知识点较多，必须静下心来，理清头绪，找准关键，方可切入．要确定平移后的一次函数图象与x轴的交点坐标，必须先确定一次函数的解析式，这就需要通过反比例函数来确定点B的坐标，同时还必须清楚“一次函数的图象平移后k值不变，而b值一定变化”这个规律．
解：由于反比例函数的图象经过点，所以
所以反比例函数的解析式为
又因为点B（2，m）在反比例函数图象上，所以所以B（2，1）．
设一次函数y=x+1的图象平移后的解析式为y=kx+b．
由题意知道：一次函数y=x+1的图象平移后经过的点B（2，1），
所以1=2+b,b=-1．
故一次函数y=x+1的图象平移后的解析式为y=x－1．
令y＝0，得x-1=0,x=1．
所以平移后的一次函数图象与x轴的交点坐标为（1，0）．
例7 一个反比例函数在第二象限的图象如图所示,点A是图象上的任意一点，过点A作ABx轴于点B,△AOM的面积为．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）如果OB=,且一次函数y=ax+1的图象经过点A,并且与x轴相交于点M．求AO:AM的值．
分析：（1）要求反比例函数的解析式就必须知道k值，怎样确定k值呢？可用的条件就是反比例函数的图象在第二象限，点A是图象上的任意一点，△AOM的面积为．
（2）要求AO:AM的值，就必须知道M点的坐标，从而需要确定一次函数y=ax+1中的a值，这就必须求出A点的坐标．
解：（1）设点A的坐标为（x,y）,则S△AOM=．
所以∣xy∣=2,xy=±2．
因为点A在反比例函数的图象上，所以k=∣xy∣,所以k=±2．
因为反比例函数的图象在第二象限，所以k＜0．所以k=－2,所以
（2）因为OB=，所以A点的横坐标为－，进而求出A(－，2)．
因为一次函数y=ax+1的图象经过点A(－，2)，
所以．
所以．当y=0时，x=．所以M(,0)．
所以，
所以，AO:AM＝:4．
反思：通过本题，你有什么新的收获吗？
例8 一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是5厘米，高是x厘米．
(1)写出用高表示长的函数关系式；
(2)写出自变量x的取值范围；
(3)画出函数的图象．
分析：实际问题中的图象一定要在自变量的取值范围内画．
解： (1)因为100＝5xy,所以．
(2)x＞0．
(3)图象如图：
说明 由于自变量x＞0,所以画出的反比例函数的图象只是位于第一象限内的一个分支．
归纳反思
1．通常用待定系数法求反比例函数的解析式．
2．反比例函数的图象是双曲线，但实际问题往往只有第一象限内的一个分支．
3．反比例函数有如下性质：
(1)当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；
(2)当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加．
4．反比例函数与一次函数的联系和区别.
反比例函数反馈检测
一、选择题
1．下列各点中，在函数y=－的图象上的是（ ）
A．（3，1） B．（－3，1） C．（，3） D．（3，－）
2．函数y=的自变量x的取值范围是
A．x≠0 B．x＞1 C．x≥1 D．x＞0
3．反比例函数y= (k>0)在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点，MP垂直x轴于点P，如果△MOP的面积为1，那么k的值是( )
A．1 B．2 C．4 D．
4．反比例函数 与正比例函数y=2kx在同一坐标系中的图象不可能是（ ）
5．如图，函数与在同一坐标系内的图象大致是（ ）．
6．若点（），，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．某闭合电路中，电源电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例，图中表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为( )
A． B．
C． D．
8． 若点（3,4）是反比例函数的图象上一点则此 函数图象必须经过点（ ）
A．（2，6） B．（2，-6） C．（4，-3） D．（3，-4）
9．如果反比例函数在其象限内，y随x的增大而减小，那么它的图象分布在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D． 第二、四象限
10． 若反比例函数的图象经过点A（2，m），则m的值是
A． B． C． D．
二、填空题
11．如果反比例函数的图象经过点（1，-2），那么这个反比例函数的解析式为______．
12．若反比例函数的图象在所在象限内，y随 x的增大而增大，则n的值为 ．
13．已知反比例函数经过点A(2,－m)和B(n,2n)，则 m= ,n= ．
14．如果反比例函数的图象经过点（1，-2），那么这个反比例函数的解析式为______ ．
15．双曲线y＝和一次函数y＝ax＋b的图象的两个交点分别是A(－1，－4)，B(2，m)，则a＋2b＝____________．
16．两个反比例函数，在第一象限内的图象如图所示, 点P1，P2，P3，…，P2 005在反比例函数图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，…，x2 005，纵坐标分别是1，3，5，…，共2 005个连续奇数，过点P1， P2，P3，…，P2 005分别作y轴的平行线，与的图象交点依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），…，Q2 005（x2 005，y2 005），则y2 005= ．
17．函数y=的图象如图所示，在同一直角坐标系内，如果将直线y=－x+1沿y轴向上平移2个单位后，那么所得直线与函数y=的图象的交点共有 个．
18．请你写出一个点的坐标，使这点在反比例函数的图象上，则这个点的坐标为 ．
19．当k=________时,反比例函数的图象在第一象限．只需填一个数）
20．如图，P是反比例函数图象在第二象限上一点，且矩形PEOF的面积是3，则反比例函数的解析式为 ．
21．设P(a，b)，M(c，d)是反比例函数在第一象限内的图象上关于直线y =x对称的两点，过P，M作坐标轴的垂线(如图)，垂足为Q，N，若MON =30，则= ．
22．反比例函数中，在每个象限内，y随x增大而 ．
三、解答题
23．当m为何值时，函数是反比例函数，并求出其函数解析式．
24．已知反比例函数(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大．请你确定一次函数y＝kx－k的图象经过的象限．
25．已知y与x2成反比例，并且当x＝3时，y＝2．求x＝1．5 时y的值．
26．已知y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x2成反比例，且x＝2与x＝3时，y的值都等于19．求y与x间的函数关系式．
27．如图，点P是直线与双曲线在第一象限内的一个交点，直线与x轴，y轴的交点分别为A，C；过P作PB垂直x轴于B，若AB＋PB＝9．(1)求k的值；(2)求△PBC的面积．
28．如图,已知正比例函数y＝ax和反比例函数的图象相交于点(1,2)，求两函数的解析式．
29．如图,已知直线y＝x＋b经过点A(3,0)，并与双曲线 的交点为B(－2，m)和C，求k,b的值．
30．已知反比例函数的图象与一次函数y＝k2x－1的图象交于A(2,1)．
(1)分别求出这两个函数的解析式；
(2)试判断A点关于坐标原点的对称点与这两个函数图象的关 系．
31．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．
(1)利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析 式；
(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围．
32．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(0,1)和点B(a,－3a),a＜0，且点B在反比例函数的的图象上．
(1)求a的值．
(2)求一次函数的解析式，并画出它的图象．
(3)利用画出的图象，求当这个一次函数y的值在－1≤y≤3范围内时，相应的x的取值范围．
(4)如果P(m,y1)、Q(m＋1,y2)是这个一次函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小．
33．制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．
（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；
（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
函数及其图象检测题(A)
一、精心选一选，相信自己有能力选得又快又准（每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号字母填入题后括号内3分×10＝30分）
1．下列函数中，图象一定经过原点的是（ ）
A． B． C． D．
2．点P(2,3)关于x轴的对称点为（ ）
A．(－2,3) B．(2,－3) C．(－2,－3) D．以上都不对
3．函数的图象一定经过的点的坐标是（ ）
A．（0，0） B．（0，4） C．（4，1） D．（4，0）
4．图象经过点（2，3）的反比例函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
5．若点A（a,b）既在反比例函数的图象上，又在一次函数y=－x－2的图象上，则=（ ）
A． 1 B． 2 C ．-1 D –2．
6．如果函数y=的图象经过点（1，-2），那么函数y=kx+1的图象不经过（ ）
A． 第一象限． B．第二象限． C． 第三象限． D． 第四象限．
7．若是反比例函数,则m的值是( )
A．0 B．-1 C．1 D．1/2
8．已知点（a，b）在第二象限，那么（a，－b）在（ ）象限．
A．第一象限． B．第二象限．
C．第三象限． D．第四象限．
9．一次函数y=ax+b的图象如图所示，则下面结论中正确的是（ ）
A．a＜0,b＜0 B．a＜0,b＞0
C．a＞0,b＞0 D．a＞0,b＜0
10．某乡的粮食总产量为a（a为常数）吨，设该乡平均每人占有粮食为y（吨），人口数为x,则y与x间的函数关系的图象为( )
二、用心填一填，把正确答案填在横线上（3分×10＝30分）
11．如果丨x+2丨+=0，则点P（x,y）在第 象限．
12．若函数是正比例函数，则m的值是 ．
13．函数y=中，自变量x的取值范围是 ．
14．直线y= -x+m过点（4,-1）,则m= ．
15．如图，菱形ABCD顶点恰落在坐标轴上，若AC = 8,
BD = 6, 则A、B、C、D四点的坐标分别是是 ．
16．已知直线(m为常数)经过点A（－3，a）和点B（－5，b），则a b （填“＞”，“＜”或“＝”）
17．反比例函数 的图象在_____象限．
18．写出一个图象经过点(1，一1)的函数解析式： ．
19．点A(3,-1) 在第 象限,它到x轴的距离是 个单位长度,到y轴 的距离是 个单位长度．
20．直线y=2x-4与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 ．
三、沉着思考，认真解答下列各题，请给出必要的演算过程或推理步骤（每小题12分，共60分）
21． 正比例函数与双曲线的一个交点坐标为A（2，）．
（1） 画出的图象；
（2）求出点A的坐标；
（3）求反比例函数关系式；
22．某班同学打算去峨嵋山旅游，据导游介绍当地山区海拔每升高100m，气温就下降0．6℃，现山测得山脚下气温为34℃，他们打算乘缆车登到山的顶峰．
（1）请你求出山的高度h（m）与相应处的气温t（℃）之间的函数关系式；
（2）若山顶高度约为2450m，则山顶气温为多少度？
（3）你认为该班同学是否需要带防寒衣服？为什么？
23．下图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象）．根据图象解答下列问题：
(1)请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式 （不要求写出自变量的取值范围）；
(2)轮船和快艇在途中（不包括起点和终点） 行驶的速 度分别是多少？
(3)问快艇出发多长时间赶上轮船？
24．画出函数y=2x+1的图象：
（1）利用图象求:方程2x+1=0的解；
（2）求图象与坐标轴的两个交点A、B之间的距离；
（3）求图象与坐标轴围成的三角形的面积．
25．某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y(元)与上网时间x（小时）的函数关系式如右下图所示，其中BA是线段，且BA∥x轴，AC是射线．
（1）当x≥30时，求y与x之间的函数关系式；
（2）若小李4月份上网20小时，他应付多少元的上网费用？
（3）若小李5月份上网费用为75元，则
他在该月份的上网时间是多少小时？
函数及其图象测试题（B）
一、选择题（3分×10＝30分）
1．点P（-3，5）关于x 轴对称的点的坐标是 （ ）
A．（3，5） B．（5，-3） C．（3，-5） D．（-3，-5）
2．当自变量x由小到大时，函数y的值反而减少的是（ ）
A． B．y=2x C． D．y=-2+5x
3．经过点（2，-3）的双曲线是 （ ）
A． B． C． D．无法确定
4．已知一次函数y=kx+b的图象如图,当x<0时,y的取值范围是( )
A．y >0 B．y<0 C．-25．一条直线平行于直线y=2x-1,且与两坐标轴围成的三角形面积是4，则这条直线的解析式是 （ ）
A．y=2x+4 B．y=2x-4 C．y= 2x±4 D．y=x+2
6．函数y= -x-1的图象不可能经过（ ）
A．第一象限期 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．无论m为何实数，直线y=x+2m与y= -x+4的交点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示
（图中实线为甲的路程与时间的 关系图象，虚线为乙的路程与时间的关系图象）小王根据图象得到如下四个信息，其中错误的是（ ）
A．这是一次1500米的赛跑
B．甲、乙两人中乙先到达终点
C．甲、乙同时起跑
D．甲的这次赛跑中的速度为5米/秒
9．一段导线，在0℃时的电阻为2欧，温度每增加1℃，电阻增加0．008欧，那么电阻R(欧)表示为温度t(℃)的函数关系为（ ）
A．R= B．R= C．R= D．R=
10．下列函数的关系式中，分别注明了自变量的取值范围，其中有误的是（ ）
A．（x为任意实数） B． （x≥－3）
C． （x≠2） D．多边形内角和公式s=(n-2)×180°（n≥3)
二、填空题（3分×10＝30分）
11．已知点M（a-3,a+2）在y轴上，则a= ．
12．点P（-6，4）到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ．
13．函数中的自变量x 的取值范围是 ．
14．函数的图象与y轴的交点是 ，与x轴的交点是 ．
15．若反比例函数 的图象经过点（3，-4），则此函数的解析式为 ．
16．若点P(a,b)在第四象限,则点(b,-a)在第 象限．
17．一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，且kb>0，则这个函数的图象一定经过第
象限．
18．写出一个y随x的增大而减小的正比例函数的表达 式 ．
19．近视眼镜的度数y（度）与镜片的焦距x（米）成反比例，已知400度近视眼镜片的焦距为0．25米，则眼睛度数为y（度）与镜片焦距x之间的函数关系式为 ．
20．机动车出发前油箱内有油42升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量Q（升）与行驶时间（t）之间的函数关系如图所示，根据图回答问题：
(1)机动车行驶__________小时后加油；
(2)加油前油箱余油量Q与行驶时间t的函数关系式是__________ ;中途加油____升；(3)如果加油站距目的地还有230千米，车速为40千米/时，要达到目的地，油箱中的 油_________（填“是”或“否”）够用．
三、解答题（每小题12分，共60分）
21．已知函数y1=x-1和y2=．
（1）在所给的坐标系中画出这两个函数的图象;
（2）求这两个函数图象的交点坐标;
（3）观察图象,当x在什么范围内时y1＞y2
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第16部分 数据的整理与初步处理
课标要求
1.选择合适的图表进行数据处理，会制作扇形统计图、频数分布直方图和频数折线图.
2.理解极差、方差、标准差的概念，会求方差和标准差.
3.能比较一些事件发生的机会，会用树状图或列表的方法列举某些实验中的所有可能结果.
4.能用统计知识解决一些实际问题.
中招考点
1.求一组数据的方差和标准差.
2.给出数据，画出扇形统计图、频数统计图.
3.能用统计知识解决一些简单的实际问题.
典型例题
例1 （2003年济南市）新华社4月3日发布了一则由国家安全生产监督管理局统计的信息：2003年1月至2月全国共发生事故17万多起，各类事故发生情况具体统计如下：
事故类型 事故数量 死亡人数 死亡人数占各类事故总死亡人数的百分比
火灾事故（不含森林火灾） 54773 610
铁路外伤亡事故 1962 1409
工矿企业伤亡事故 1417 1639
道路交通事故 115815 17290
合计 173967 20948
(1)请你计算出各类事故死亡人数占总死亡人数的百分比，填入上表.（精确到0.01）
(2)为了更清楚地表示出问题（1）中的百分比，请你完成右下图中的扇形统计图.
(3)请根据你所学的统计知识提出问题（不需做解答，
也不要解释，但所提的问题应是利用表中所提供的数据
能求解的）
解：（1）3%；7%；8%；82%
（2）略
（3）如各类事故的死亡率等.
例2 甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，他们命中环数的平均数相等，但方差不同，S 甲=4，S 乙=2.5，则射击成绩稳定的是（ ）
A 甲 B 乙 C 甲、乙一样稳定 D 不能确定
解：∵S 甲＞S 乙 ，∴乙射击的成绩比较稳定.
例3 小丁和小王一起玩掷筛子游戏.小王说：我们轮流掷两颗筛子，如果点数之和为2、3、4、5、10、11、12，就算我获胜，如果点数之和为6、7、8、9，就算你胜.小丁则认为小王在7种情况下可以获胜，而自己只有在4种情况下才获胜，因此获胜的机会较小.你支持小丁的想法吗？为什么？如果请你作裁判，你能设计出合理的游戏吗？
和 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
解：小丁的想法不对.有列表可知，小丁获胜的机会较大，为了公平，将原来规则中的9和3对换且删掉2是其中一种方法.
强化练习
1.初二（3）班共有50位同学，为了举行大型接力比赛，选了两名同学当裁判，剩下的3/4同学分为甲、乙两组进行比赛，其余同学充当“拉拉队”，那么“拉拉队”的人数占全班人数的百分数为____________，如果用扇形统计图表示各部分人数占总人数的百分比，那么表示甲组人数占总人数的百分比的扇形的圆心角为___________.
2.1955年我国城镇人口占总人口的13.23%，1964年占总人口的18.30%，1982年占20.60%，1990年占26.23%，2002年占39.10%，用统计图表示我国城镇化人口的变化情况，适宜的统计图是 ( )
A.扇形统计图 B.折线统计图 C.条形统计图 D.频数分布直方图
3.为了了解甲乙两种小麦的长势，分别在两块实验田任取10株麦苗，测得麦苗高如下（单位：厘米）：
甲：12,13,14,15,13,10,11,16,15,11 乙：11,16,17,8,10,19,6,14,13,16
请比较两种小麦哪种长的整齐？说明理由？
4.如图，有6张牌，从中任意抽取两张，点数和是奇数的概率是 ________
5.如图是连续十周测试甲、乙两名运动员体能训 练情况的折线统计图.教练组规定：体能测试成绩70分以上（包括70分）为合格.
⑴请根据图中所提供的信息填写右表：
⑵请从下面两个不同的角度对运动员体 能测试结果进行判断：
①依据平均数与成绩合格的次数比较甲和 乙， 的体能测试成绩较好；
②依据平均数与中位数比较甲和乙， 的体能测试成绩较好.
⑶依据折线统计图和成绩合格的次数，分析哪位运动员体能训练的效果较好.
平均数 中位数 体能测试成绩合格次数
甲 65
乙 60
反馈检测A卷
一、选择题
1.经过调查，某市居民用水来源于三部分：自来水占85%，地下水占12%，其他方式用水占3%，用统计图表示这组数据，适宜选择的统计图是 （ ）
A.条形统计图 B.折线统计图 C.扇形统计图 D.频数分布折线图
2.高黄村是皖西南山区的一个长寿村，为了解这个村高龄人的分布情况，对80位高龄老人的年龄进行了登记，用统计图表示这组数据，适宜选择的统计图是 （ ）
A．频数分布直方图 B.条形统计图 C.扇形统计图 D.折线统计图
3.经调查得知：鸡的孵化期是21天，鹅的孵化期是30天，鸭的孵化期是30天，鸽子的孵化期是16天，用统计图表示这组数据，适宜选择的统计图是 （ ）
A 扇形统计图 B 折线统计图 C 条形统计图 D 频数分布直方图
4.某中学调查学生上学的方式时得知：骑自行车的占75%，步行的占12%……在表示这组数据的扇形统计图中，骑自行车上学的扇形圆心角的度数是 （ ）
A.120° B.150° C.255° D.270°
二、解答题
1.根据表提供的世界七大洲陆地面积（近似值），绘制各洲陆地面积占地球陆地总面积的扇形统计图
洲名 亚洲 非洲 北美洲 南美洲 南极洲 欧洲 大洋州
面积（×105Km2） 4.4 3.0 2.4 1.8 1.4 1.1 0.9
2.某市消费者协会在“3·15”期间的一周内，将接到的热线电话绘成如图20.7所示的统计图，其中关于环境保护的问题电话共有70个，根据统计图回答下了问题：
(1)本周热线电话共有多少个？
(2)有关表扬建议的电话有多少个？
3.同时投掷两枚质地均匀的普通筛子，试比较点数之积是偶数与点数之积是奇数的机会哪种大？简单说明你的理由.
4.某报社为了解读者对本报社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成如下的条形统计图：
（1）请你写出从条形统计图中获得的一条信
（2）请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图，并说明这两幅统计图各有什么特点？
（3）请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议.
反馈检测B卷
一、选择题
1.某市2001年国内生产总值为60亿元，2002年为120亿元，2003年为180亿元，如图所示的统计图中表示正确的是 （ ）
A. B. C.
2.参加同等水平的测试（满分100分），甲5次的平均分是86分，乙6次的平均分是92m分，甲的方差是0.65，乙的方差是0.70，成绩好的是 （ ）A.甲 B.乙 C.甲或乙 D.无法确定
3.在射击比赛的选拔赛中，甲50次平均射击的环数是9.65环，方差是18.45，乙50次平均射击的环数是9.64环，方差是10.24，应选择参加正式比赛的选手是 （ ）
A.甲 B.乙 C.甲乙谁参加都一样 D.无法确定
4.如下图所示的五个口袋中，分别装有颜色不同的10个球，具体颜色球的个数如口袋中数字，则第一次摸到红球的可能性由小到大的顺序是 （ ）
EMBED Photoshop.Image.8
1 2 3 4
A. 1.2.3.4 B. 4.3.2.1 C. 1.2.4.3 D. 1.3.2.4
5.同时抛掷两枚硬币，可能出现的结果有（ ）
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
二、解答题
1.观察如下图所示的统计图，回答问题：
(1)哪幅统计图能够反映出中国近几届奥运奖牌数的变化情况？
(2)哪幅统计图能够反映出俄罗斯在27届奥运会中获得金牌的具体数目？
(3)从哪幅统计图中可以直接看出哪些国家在第27届奥运会中获得的金牌数超过10%？
27届奥运会金牌扇形统计图 27届奥运会金牌条形统计图 中国各届奥运会奖牌折线图
2.将一副扑克牌（去掉大小王），任意抽出一张，把下列事件按出现机会从小到大排列在直线上.（1）抽到4的机会；（2）抽到黑桃4的机会；（3）抽到红桃的机会；（4）抽到红牌的机会；（5）抽到大王的机会.
3.甲乙两人利用如图所示的两袋不同颜色的球通过摸球进行游戏，规则是：两人在不同袋中每次各摸出一个球，再放回原袋中，如果两人摸出的球的颜色相同，则甲胜，如果摸出的球颜色不同，则乙胜，你认为这种游戏规则公平吗？简要说明理由.
EMBED Photoshop.Image.8
4.某班同学参加国庆知识竞赛，将成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图中的信息，回答问题：
（1） 该班共有多少学生参加竞赛？
（1） 若80分以上为优，则优秀率为多少？
（1） 这次竞赛成绩的中位数落在哪个小组？
（1） 估计该班竞赛成绩的平均分在什么范围？
5.交通信号灯，俗称红绿灯，至今已有一百多年的历史了.“红灯停，绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则，这样才能保障交通的顺畅和行人的安全.下面这个问题你能解决吗？小刚每天骑自行车上学都要经过三个安装有红灯和绿灯的路口，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么，小刚从家随时出发去学校，他至少遇到一次红灯的概率是多少？不遇红灯的概率是多少？（请用树状图加以分析）
6.如图是从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是黑桃1、2、3、4和方块1、2、3、4，将它们背面朝上，分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张，那么摸出的两张牌的牌面数字之和等于5的概率是多少？请你用列举法（列表或画树状图）加以分析说明.
7.下图反映了被调查用户对甲、乙两种品牌空调售后服务的满意程度(以下称：用户满意程度)，分为很不满意、不满意、较满意、很满意四个等级，并依次记为1分、2分、3分、4分.
⑴、分别求甲、乙两种品牌用户满意程度分数的平均值(计算结果精确到0.01分)；
⑵、根据条形统计图及上述计算结果说明哪个品牌用户满意程度较高？该品牌用户满意程度分数的众数是多少？
8、小明拿着一个罐子来找小华做游戏，罐子里有四个一样大小的玻璃球（如图），两个黑色，两个白色.小明说：“使劲摇晃罐子，使罐子中的小球位置打乱，等小球落定后，如果是黑白相间地排列(如图所示)，就算甲方赢，否则就算乙方赢.”他问小华要当甲方还是乙方，请你帮小华出主意，并说明理由.
9.杨华和季红用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样，将他们被面朝上搅匀后，同时抽出两张.规则如下：
当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得1分；
当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，季红得1分；（如图2）
问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由.若你认为不公平，如何修改游戏规则才公平？
（4张方块）
（4张黑桃）
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第12部分 二次函数
第1课时 二次函数的意义
课标要求
通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义.
中招考点
二次函数的概念及意义.
典型例题
例1 下列函数中，哪些是二次函数？
（1）； （2）；
（3）； （4）.
分析：形如y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)的函数是二次函数，在判别某个函数是否为二次函数时，必须先把它化成y=ax2+bx+c的形式，如果a≠0，那么它就是二次函数；否则，就不是二次函数.
例2 m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？
分析：若函数是二次函数，须满足的条件是：．
解：若函数是二次函数，则 ．
解得且．
因此，当且时，函数是二次函数．
归纳反思
形如的函数只有在的条件下才是二次函数．
探索：若函数是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？
例3 写出下列各函数关系，并判断它们分别是什么类型的函数？
（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；
（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；
（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；
（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
解：（1）由题意，得 ，其中S是a的二次函数；
（2）由题意，得 ，其中y是x的二次函数；
（3）由题意，得 （x≥0且是正整数），
其中y是x的一次函数；
（4）由题意，得 ，其中S是x的二次函数．
例4 正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．
(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；
(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．
解:（1）；
（2）当x=3cm时，（cm2）．
强化练习
一、选择题：
1．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式中，y是x的二次函数的是 （ ）
A．xy=x 2＋1 B.x 2+y–2= 0 C.y 2–ax =–2 D.x 2–y 2+1=0
3．若二次函数y =（m + 1）x 2 + m 2 – 2m – 3的图象经过原点，则m的值必为 （ ）
A．– 1和3 B.– 1 C.3 D.无法确定
4.对于抛物线y=x2+2和y=x2的论断：
(1)开口方向不同；(2)形状完全相同；(3)对称轴相同.其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
5.根据如图的程序计算出函数值，若输 入的x的值为，则输出的结果为（ ）.
A． B. C. D.
二、填空题：
6．当 时，函数是二次函数.
7．当k为 值时，函数为二次函数.
8．如果函数是二次函数，那么m的值为 .
9．已知函数是二次函数，则m的值为 ．
10．已知抛物线y =（m – 1）x 2，且直线y = 3x + 3 – m经过一、二、三象限，则m的范围是 .
11．若函数y =（m 2 – 1）x 3 +（m + 1）x 2的图象是抛物线，则m = .
12．已知函数，当m= 时，它是二次函数；当m= 时，抛物线的开口向上；当m= 时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数．
13．抛物线，开口向下，且经过原点，则k= ．
14．点A（-2，a）是抛物线上的一点，则a= ； A点关于原点的对称点B是 ；A点关于y轴的对称点C是 ；其中点B、点C在抛物线上的是 ．
15．若抛物线的顶点在x轴上，则c的值是 ．
16．已知函数．当m 时，函数的图象是直线；当m
时，函数的图象是抛物线；当m 时，函数的图象是开口向上且经过原点的抛物线．
第2课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
课标要求
1．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质.
2．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题.
中招考点
1． 二次函数的图象及性质，尤其是二次函数图象的增减性和对称性.
2． 利用数形结合、整体思想、图形变换等解决相关问题.
第一类 二次函数y=ax2的图象和性质
典型例题
例1 已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴．
分析：我们知道：二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，对称轴是y轴，顶点是原点，a的绝对值越大，图象越靠近y轴.
①当a>0时，抛物线的开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，函数图象有最低点（0，0）.
②当a<0时，抛物线的开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，函数图象有最高点（0，0）.
基于上述性质，我们逆向推理很快就能得出结论.
解：（1）由题意，得，解得k=2．
（2）二次函数为，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．
例2 已知正方形的周长为Ccm，面积为S cm2．
（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；
（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；
（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2．
分析：此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内．
解：（1）由题意，得．
列表：
C 2 4 6 8 …
1 4 …
描点、连线，图象如图．
（2）根据图象得S=1 cm2时，正方形的周长是4cm．
（3）根据图象得，当C≥8cm时，S≥4 cm2．
归纳反思
（1）此图象原点处为空心点．
（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y．
（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分．
强化练习
一、选择题
1．在同一坐标系中，作y = 2x 2，y = – 2x 2，y = x 2的图象，它们的共同特点是（ ）
A.都是关于x轴对称，抛物线开口向上
B.都是关于y轴对称，抛物线开口向下
C.都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点
D.都是关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点
2．已知原点是抛物线y =（m + 1）x 2的最高点，则m的范围是 （ ）
A．m＜– 1 B.m＜1 C.m＞– 1 D.m＞– 2
3．已知二次函数y = – a x 2，下列说法不正确的是 （ ）
A．当a＞0，x≠0时，y总取正值
B．当a＜0，x＜0时，y随x的增大而减小
C．当a＜0时，函数图象有最低点，即y有最小值
D．当a＜0时，y = – a x 2的图象的对称轴是y轴
4．对于y = ax 2（a≠0）的图象，下列叙述正确的是（ ）
A.a越大开口越大，a越小开口越小 B.a越大开口越小，a越小开口越大
C.| a |越大开口越小，| a |越小开口越大 D.| a |越大开口越大，| a |越小开口越小
5.直线y = ax与抛物线y = ax 2（a≠0） （ ）
A.只相交于一点（1，a） B.相交于两点（0，0），（1，a）
C.没有交点 D.只相交于一点（0，0）
6.在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为x cm的圆面，剩下圆环的面积为y cm 2，则y与x的函数关系式为 （ ）
A.y = πx 2 – 4 B.y =π(2 – x ) 2 C.y = – ( x + 4 ) 2 D.y = –πx 2 + 16π
二、填空题
7．函数的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .
8．当m= 时，抛物线开口向下．
9．已知函数是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y随x的增大而增大．
10．已知抛物线中，当时，y随x的增大而增大，则k值为 .
11．已知抛物线经过点（1，3），当y=9时，x的值为 ．
12．如果抛物线y = ax 2和直线y = x + b都经过点P（2，6），则a = ，b = .
13．把函数y = – 3x 2的图象沿x轴对折，得到的图象的解析式是 .
14．经过A（0，1）点作一条与x轴平行的直线与抛物线y = 4x 2相交于点M、N，则M、N两点的坐标分别为 .
15．函数y = - ( x ) 2的图象是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向 ，当x = 时，函数有最 值；在对称轴左侧，y随x的增大而 ，在对称轴右侧，y随x的增大而 .
第二类 y=ax2+k的图象和性质
回顾：通过怎样的平移，可以由抛物线y=ax2得到抛物线y=ax2+k？
仔细梳理，认真填写：
（a.k是常数，a≠0） 开口方向 对称轴 顶点坐标 如何由y=ax2得到
k＞0
K＜0
归纳反思 抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k）.
（1）当k＞0时，抛物线是由抛物线y=ax2向上平移k个单位得到的；
（2）当k＜0时，抛物线是由抛物线y=ax2向下平移－k个单位得到的.
这个结论很重要，要在理解的基础上加深记忆.
典型例题
例 一条抛物线的开口方向和对称轴都与相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．
解：由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，-2），
因此所求函数关系式可看作.
又因为抛物线经过点（1，1），所以，，解得．
故所求函数关系式为．
强化练习
一、选择题
1．（宁安市实验区2004年中考）函数的图象与轴的交点坐标是 （ ）
A.（2，0） B.（，0） C.（0，4） D.（0，）
2．在同一坐标系中，函数，，的图象的共同特点是（ ）
A.都是关于x轴对称，抛物线开口向上
B.都是关于y轴对称，抛物线开口向下
C.都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点
D.都是关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点
3．在同一直角坐标系中，y=ax2+b与y=ax+b(a、b都不为0)的图象的大致位置是( )
二、填空题
4．抛物线的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线向 平移 个单位得到的．
5．函数，当x 时，函数值y随x的增大而减小．当x 时，函数取得最 值y= ．
6．如果将二次函数的图象沿y轴向上平移1个单位，那么所得图象的函数解析式
是 .
第三类 y=a（x－h）2的图象和性质
回顾：抛物线与抛物线y=ax2有什么关系？
归纳反思
（a.h是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：
开口方向 对称轴 顶点坐标 如何由y=ax2得到
h＞0
h＜0
典型例题
不画出图象，你能说明抛物线与之间的关系吗
解：抛物线的顶点坐标为（0，0）；抛物线的顶点坐标为（-2，0）．
因此，抛物线与形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y轴和直线．抛物线是由向左平移2个单位而得的．
强化练习
填空题
1．抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线向 平移 个单位得到的．
2．函数，当x 时，函数值y随x的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．
3．将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为-2，且新抛物线经过点
（1，3），则的值为 ．
第四类 y=a（x－h）2＋k的图象和性质
回顾：抛物线+k与之间存在什么样的平移规律？
仔细梳理，认真填写：
+k 开口方向 对称轴 顶点坐标 如何由y=ax2得到
h＞0，k＞0
h＞0，k＜0
h＜0，k＞0
h＜0，k＜0
归纳反思
二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数+k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变.所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．
典型例题
例1 把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b，c的值．
分析：把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，也就意味着把抛物线向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线．
解：根据题意得，y=(x-4)2-2=x2-8x=14, 所以
例2 第一象限内的点A在一反比例函数的图象上，过A作AB⊥轴，垂足为B，连AO，已知△AOB的面积为4.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点A的纵坐标为4，过点A的直线与轴交于P，且△APB与△AOB相似，求所有符合条件的点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点P，O，A的抛物线是否可由抛物线平移得到？若是，请说明由抛物线如何平移得到；若不是，请说明理由.
解：（1）设反比例函数的解析式为，点A的坐标为（，），
∵S△AOB= 4， ∴，∴，∴.
（2）由题意得A（2，4），∴B（2，0）.
∵ 点P在x轴上，设P点坐标为（，0），∴∠ABO=∠ABP=900.
∴△ABP与△ABO相似有两种情况：
①当△ABP∽△ABO时，有.∴BP=BO=2，∴P（4，0）.
②当△PBA∽△ABO时，有，即，∴PB=8.∴P（10，0）或P（－6，0）.
∴ 符合条件的点P坐标是（4，0）或（10，0）或（－6，0）.
（3）当点P坐标是（4，0）或（10，0）时，过点P，A，O三点的抛物线的开口向下，
∴不能由的图象平移得到.
当点P坐标是（－6，0）时，设抛物线解析式为.
∵抛物线过点A（2，4），∴，∴，∴.
∴该抛物线可以由向左平移3个单位，向下平
移个单位得到.
强化练习
一、选择题
1．将抛物线如何平移可得到抛物线（ ）
A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
2．二次函数的图象可由的图象（ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
B．向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
C．向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到
D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
3．把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，则有（ ）
A．b =3，c=7 B．b= -9，c= -15 C．b=3，c=3 D．b= -9，c=21
二、填空题
4．把函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的二次函数解析式是 .
5．抛物线的顶点在轴上，其顶点坐标是 ，对称轴是 .
6．把抛物线向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 ．
7．抛物线可由抛物线向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到．
第五类 二次函数y=ax2＋bx+c的图象和性质
回顾：
1.对于任意一个二次函数，如，怎么知道它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并快速地画出图象呢？
2．你能用配方法求出二次函数的对称轴和顶点坐标并完成填空吗？
二次函数的对称轴是 ，顶点坐标是 ．
典型例题
例1 通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．
解：
因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．
由对称性列表：
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
… -10 0 6 8 6 0 -10 …
描点.连线，如图所示．
归纳反思
1．通过本题你能总结出配方的要点和关键吗？
2．列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到．
3．描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．
例2 已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值．
分析：顶点在坐标轴上有两种可能：
（1）顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；
（2）顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0．
解：，
则抛物线的顶点坐标是．
当顶点在x轴上时，有，解得，．
当顶点在y轴上时，有，解得，或．
所以，当抛物线的顶点在坐标轴上时，有三个值，分别是–2，4，8.
强化练习
一、选择题
1.二次函数y=x2-2x+1的顶点在（ ）
A．第一象限 B.x轴上 C.y轴上 D.第四象限
2.下列关于抛物线y=x2+2x+1的说法中, 正确的是（ ）
A．开口向下 B.对称轴是直线x=1 C.与x轴有两个交点 D.顶点坐标是(-1,0)
3.若抛物线y=x2-2mx+m2+m+1的顶点在第二象限，则常数m的取值范 围是（ ）
A．m<-1或m>2 B.-11
4.二次函数y=1-6x-3x2的顶点坐标和对称轴分 别是（ ）
A.顶点(1,4) 对称轴x=1 B.顶点(-1,4) 对称轴x= -1
C.顶点(1,4) 对称轴x=4 D.顶点(-1,4) 对称轴x=4
5.如图,观察二次函数y=ax2+bx+c的图象可知点（b，c）一定在第（ ）象限.
A.一 B.二 C.三 D.四
6.为了备战世界杯，中国足球队在某次集训中，一 队员在距离球门12米处挑射，正好射中了2.4米高的球门横梁.若足球运行的路线是抛物线（如图），则下列结论：①a＜；②＜a＜0； ③a-b+c＞0；④0＜b＜-12a.其中正确的是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
二、填空题
7．二次函数的对称轴是 ．
8．二次函数的图象的顶点是 ，当x 时，y随x的增大而减小．
9．抛物线的顶点横坐标是-2，则= ．
10．抛物线的顶点是，则＝ ，c＝ .
11.若抛物线y=(m-1)x2+2mx+2m-1的图象的最低点的纵坐标为零，则m=_______.
12.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2，7)，B(6，7)，C(3，-8)，则该抛物线上纵
坐标为-8的另一点的坐标是_________.
第3课时 二次函数的最值
例1 求下列函数的最大值或最小值．
（1）； （2）．
分析：由于函数和的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．
解：（1）因为二次函数中的二次项系数2＞0，
所以抛物线有最低点，即函数有最小值．
因为=，
所以当时，函数有最小值是．
（2）因为二次函数中的二次项系数-1＜0，
所以抛物线有最高点，即函数有最大值．
因为=，
所以当时，函数有最大值．
归纳反思
最大值或最小值的求法：
第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；
第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．
例2 某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高40%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元/件）符合一次函数，且时，；时，；
（1）求出一次函数的解析式；
（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？
分析：日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量．
解：（1）由题意得： ,∴
∴一次函数的解析式为：.
（2）
∵抛物线开口向下，∴当时，随的增大而增大；
而60≤≤84，∴当时，.
答：当销售价定为84元/件时，商场可以获得最大利润，最大利润是864元.
归纳反思
解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，一定要考虑在自变量的取值范围内得出正确结果．
例3 如图，在Rt⊿ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E.F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．
（1）用含y的代数式表示AE；
（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值．
解：（1）由题意可知，四边形DECF为矩形，因此，．
（2）由∥，得，即，
所以，，x的取值范围是．
（3），
所以，当x=2时，S有最大值8．
强化练习
一、选择题
1．已知二次函数有最小值–1，则a与b之间的大小关系是（ ）
A．a＜b B．a=b C．a＞b D．不能确定
2．二次函数，当x=1时，函数y有最大值，设，（ 是这个函数图象上的两点，且，则（ ）
A. B. C. D.
3．抛物线的顶点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A.（-1，3） B.（-1，-3） C.（1，3） D.（1，-3）
二、填空题
4．抛物线的开口向 ；对称轴是 ；顶点为 .
5．对于二次函数，当x= 时，y有最小值．
6．已知二次函数的最小值为1，则m＝ ．
7．如图，矩形ABCD的长AB=4cm，宽AD=2cm.
O是AB的中点，OP⊥AB，两半圆的直径分别为AO与OB.抛物线的顶点是O，关于OP对称且经过C、D两点，则图中阴影部分的面积是 cm2.
8．二次函数的对称轴是 ，在对称轴的左侧，随的增大而 .
9．抛物线的对称轴是 ，根据图象可知，当x 时，y随x的增大而减小．
三、解答题：
10．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：
x（元） 130 150 165
y（件） 70 50 35
若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？
11.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝2，DC＝2，点P在边BC上运动(与B、C不重合)，设PC＝x，四边形ABPD的面积为y.
⑴求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
⑵若以D为圆心，为半径作⊙D，以P为圆心，以PC的长为半径作⊙P，当x为何值时，⊙D与⊙P相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD的面积.
12．某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，统计销售情况发现：当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个.在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个.考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角.
设这种面包的单价为x（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）.
⑴用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；
⑵求y与x之间的函数关系式；
⑶当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？
第4课时 用待定系数法确定二次函数的解析式
课标要求
会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．
中考考点
确定二次函数的解析式.
典型例题
回顾：大家知道：一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数的关系式，又需要几个独立的条件呢？
例1 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1），B（1，0），C（-1，2）；
（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；
（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0），（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；
（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4．
分析：（1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为的形式；
（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；
（3）根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；
（4）根据已知抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入，即可求出a的值．
解:（1）设二次函数关系式为，由已知，这个函数的图象过（0，-1），可以得到c= -1．又由于其图象过点（1，0）.（-1，2）两点，可以得到
解这个方程组，得a=2，b= -1．
所以，所求二次函数的关系式是．
（2）因为抛物线的顶点为（1，-3），所以设二此函数的关系式为，
又由于抛物线与y轴交于点（0，1），可以得到
，解得．
所以，所求二次函数的关系式是．
（3）因为抛物线与x轴交于点M（-3，0）.（5，0），
所以设二此函数的关系式为．
又由于抛物线与y轴交于点（0，3），可以得到，解得 ．
所以，所求二次函数的关系式是．
（4）根据前面的分析，本题已转化为与（2）相同的题型，请同学们自己完成．
归纳反思
确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：
（1）一般式：，给出三点坐标可利用此式来求．
（2）顶点式：，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．
（3）交点式：，给出三点，其中两点为与x轴的两个交点.时可利用此式来求．
例2 有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6 m，
跨度为8 m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．
(1) 求这条抛物线所对应的函数关系式；
(2) 若要在隧道壁上点P (如图)安装一盏照明灯，灯离地
面高4.5 m．求灯与点B的距离．
分析：先观察图象，挖掘已知条件，确定设适当的解析式.
解：(1) 由题意，设抛物线所对应的函数关系为
y = ax2 + 6 (a＜9)，
∵ 点A(－4，0)或B(4，0)在抛物线上，∴ ， 得 ．
故抛物线的函数关系式为．
(2) 将 y = 4.5代入中，得x = 2．
∴ P (－2，4.5)，Q(－2，0)，于是∣PQ∣= 4.5，∣BQ∣= 6，
从而．所以照明灯与点B的距离为7.5 m．
强化练习
一、选择题
1．已知：函数的图象如图：那么
函数解析式为（ ）
A． B．
C． D.
2．若所求的二次函数的图象与抛物线有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的函数关系式为 （ ）
A．y=-x2+2x-4 B.y=ax2-2ax-3(a＞0) C．y=-2x2-4x-5 D. y=ax2-2ax+a-3(a＜0)
二、解答题
3.如图，在直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A(0，2)，O(0，0)，B(4，0)，把△AOB绕O点按逆时针方向旋转90°得到△COD.
(1) 求C，D两点的坐标;
(2) 求经过C，D，B三点的抛物线的解析式;
（3）设(2)中抛物线的顶点为P，AB的中点为M，试判断△PMB是钝角三角形.直角三角形还是锐角三角形，并说明理由.
4.已知抛物线的图象的一部分如图所示，抛物线的顶点在第一象限，且经过点A(0，-7)和点B.
(1)求a的取值范围；
(2)若OA=2OB，求抛物线的解析式.
5．已知二次函数的图象与轴相交于A.B两点，与轴交于C点（如图所示），点D在二次函数的图象上，且D与C关于对称轴对称，一次函数的图象过点B，D.
（1）求点D的坐标；
（2）求一次函数的解析式；
（3）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围；
6．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？
7．如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是，问此运动员把铅球推出多远？
8．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元.市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克.在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）.设销售单价为x元，日均获利为y元.
（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；
（2）将（1）中所求出的二次函数配方成的形式，写出顶点坐标；在直角坐标系画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？
9．某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：
X（十万元） 0 1 2 …
y 1 1．5 1．8 …
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；
（3）如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？
10．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点(点E与点A，D不重合)．BE的垂直平分线交AB于M，交DC于N．
(1)设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函 数关系式；
(2)当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大 最大值是多 少
11.已知抛物线y＝x2－2x＋m与x轴交于点A（x1，0）,B（x2，0）（x2＞x1），
(1) 若点P（－1，2）在抛物线y＝x2－2x＋m上，求m的值；
（2）若抛物线y＝ax2＋bx＋m与抛物线y＝x2－2x＋m关于y轴对称，点Q1（－2，q1）,Q2（－3，q2）都在抛物线y＝ax2＋bx＋m上，则q1,q2的大小关系是
（请将结论写在横线上，不要求写解答过程）；
（3）设抛物线y＝x2－2x＋m的顶点为M，若△AMB是直角三角形，求m的值.
12．某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其它生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品.
(1)如果增加台机器，每天的生产总量为个，请你写出与之间的关系式；
　　(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？
13．某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m.
（1）建立如图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？
14. 已知抛物线y=x2+(2n-1)x+n2-1 (n为常数).
(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时， 求出它所对应的函数关系式；
(2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方.且在对称轴左侧的一个动点，过A作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C.
①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；
②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由.
15．甲车在弯路作刹车试验，收集到的数据如下表所示：
速度x（千米/小时） 0 5 10 15 20 25 …
刹车距离y（米） 0 2 6 …
（1）请用上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，
在图10所示的坐标系中画出甲车刹车距离y（米）与
速度x（千米/时）的函数图象，并求函数的解析式.
（2）在一个限速为40千米/时的弯路上，甲、乙两车相向
而行，同时刹车，但还是相撞了.事后测得甲、乙两车的刹车距离分别为12米和10.5米，又知乙车的刹车距离y（米）与速度x（千米/时）满足函数，请你就两车的速度方面分析相撞的原因.
16．已知二次函数.
(1）当a=1，b=一2，c=1时，请在如图的直角坐标系
中画出此时二次函数的图象；
（2）用配方法求该二次函数的图象的顶点坐标．
第5课时 二次函数的图象与坐标轴的交点
课标要求
没有明确要求.
中招考点
1．求二次函数与坐标轴的交点坐标.
2．解决有关实际问题.
3．以二次函数为基架综合考查.二次函数的开放性试题是中考开放性问题中的亮点，其新颖独特的试题鼓励学生探索、创新，对引导中学数学重视创新精神和实践能力的培养起到了很好的导向作用.函数的综合题，也是中考压轴题的主要内容之一，许多题目条件并非传统地给出，而是通过现实背景、表格、图象等给出信息，需从所提供的信息抽象出函数模型并解决实际问题，函数的思想与方程、不等式等知识紧密联系.就其知识结构可分为两大类：一类是以几何图形为主干，综合代数知识的综合题；另一类是以函数图象为主干，综合几何或其他知识的综合题.这些题目均与函数有紧密联系，并跨越了代数、几何、三角等多个知识点，囊括了整个初中数学的重要知识和重要思想方法，而且重视函数题目中存在性问题、分类讨论、数形结合等开放、半开放性问题，对学生综合运用知识解题的能力要求较高.
例1 画出函数的图象，根据图象回答下列问题．
（1）图象与x轴，y轴的交点坐标分别是什么？
（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程有什么关系？
（3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？
解：图象如图.
（1）图象与x轴的交点坐标为（-1，0）.（3，0），与y轴的交点坐标为（0，-3）．
（2）当x= -1或x=3时，y=0，x的取值与方程的解相同．
（3）当x＜-1或x＞3时，y＞0；当 -1＜x＜3时，y＜0．
归纳反思
（1）二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．
（2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集．
例2 （1）已知抛物线，当k= 时，抛物线与轴相交于两点．
（2）已知二次函数的图象的最低点在x轴上，则a= ．
分析：（1）抛物线与x轴相交于两点，相当于方程有两个不相等的实数根，即根的判别式⊿＞0．
（2）二次函数的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程的两个实数根相等，即⊿=0．
请同学们完成填空．
归纳反思 二次函数的图象与x轴有无交点的问题，可以转化为一元二次方程有无实数根的问题，这可从计算根的判别式入手．
例3 已知二次函数，试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；
分析：要说明不论m取任何实数，二次函数的图象必与x轴有两个交点，只要说明方程有两个不相等的实数根，即⊿＞0．
解：⊿=，由，
得，所以⊿＞0，即不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点．
例4 已知二次函数的顶点坐标（，）及部分图象如图，由图象可知关于的方程的两个根分别是和.
分析：只要知道对称轴和图象与横轴的一个交点，就可以利用对称性确定图象与横轴的另一个交点.
答案：－3.3.
强化练习
一、选择题：
1.二次函数y=x2-3x的图象与x轴两个交点的坐标分别为（ ）
A.(0，0)，(0，3) B.(0，0)，(3，0)
C.(0，0)，(-3，0) D.(0，0)，(0，-3)
2.y=x2-7x-5与y轴的交点坐标为（ ）.
A．-5 B.(0，-5) C.(-5，0) D.(0，-20)
3．抛物线的图象与轴交点为（ ）
A．二个交点 B．一个交点 C． 无交点 D．不能确定
4．函数（m是常数）的图象与x轴的交点有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
5．若抛物线的所有点都在x轴下方，则必有 （ ）
A. B.
C. D.
二、填空题
6．抛物线与y轴的交点坐标为 ，与x轴的交点坐标为 ．
7．已知方程的两根是，-1，则二次函数与x轴的两个交点间的距离为 ．
三、解答题
8．函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值及交点坐标．
第6课时 用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
课标要求
会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
中招考点
用二次函数图象求一元二次方程的近似解．
例1 阅读材料回答问题：
有如下一道题：画图求方程的解.两位同学的解法如下：
甲：将方程化为，画出的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解．
乙：分别画出函数和的图象，观察它们的交点， 把交点的横坐标作为方程的解．
你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．
归纳反思
上面甲、乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，两线交点的横坐标即为方程的解．所以建议同学们以后尽量用乙的方法.
例2利用函数的图象，求下列方程的解：
（1） ；
（2）．
解：（1）先把方程化成x2=-2x+3.
如图：在同一直角坐标系中分别画出
函数和的图象，
得到它们的交点（-3，9）和（1，1），
则方程的解为x=–3或x=1．
（2）先把方程化为
，然后在同一直角
坐标系中画出函数和
的图象，如图，得到它们的交点（，）和（2，4），
则方程的解为 ，2．
归纳反思
一般地，求一元二次方程的近似解时，通常先把方程化成的形式，然后在同一直角坐标系中分别画出y=x2和两个函数的图象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解．
例3 利用函数的图象，求下列方程组的解：
(1) （2）
分析：（1）可以通过直接画出函数和的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解；（2）也可以同样解决．
解：（1）在同一直角坐标系中画出函数和的图象，如图.得到它们的交点（，）和（1，1），
则方程组的解为:
（2）在同一直角坐标系中画出函数和的图象，如图.得到它们的交点（-2，0）.（3，15），
则方程组的解为．
思考：（2）中的抛物线画出来比较麻烦，你能想出更好的解决此题的方法吗？比如利用抛物线的图象，请尝试一下．
强化练习
1．已知二次函数的图象如图，
（1）则方程的解是 ，
（2）不等式的解集是 ，
（3）不等式的解集是 ．
2．利用函数的图象，求方程组的解.
二次函数检测（Ａ）
一、耐心填一填（9×3分=27分）
1．抛物线y=-4(x+2)2+5的顶点坐标和对称轴分别是 　 .
2．对于二次函数y=3x2-1,当y=1时，x的值是 .
3．点（－２,３） 抛物线Y=2x2+x+3上.
4．写出一个二次函数的解析式，使它的顶点恰好在直线y=x+2 上，且开口向下，你写的函数是 .
5．抛物线y= -x2+3 的开口 ，当x 时,其y随x的增大而增大.
6．抛物线y=x2+(m-4)x-4m，若顶点在y轴上，则m= ，若顶点在x轴上，则m= .
7．要使函数y=6x２+x-2的值大于零，则x的取值范围应是 .
8．当k= 时，是二次函数.
9．图象的对称轴是y轴的二次函数有无数个，请写出两个不同的二次函数解析式，使这两个函数图象的对称轴是y轴．你写的函数是 .
10．抛物线y=x2-3x+2与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 .
二、精心选一选（8×3=24分）
1．函数y=x2-2x+3的图象顶点坐标是（　　　　）
A．（1，-4） B.（-1，2） C.（1，2） D.（0，3）
2．直线y=3x-3与抛物线y=x2-x+1的交点的个数是(　　 )
A．0　　　 B．1　 　　　C．2　 　　　D．不确定
3．二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ满足a+b+c=0，则它的图象必过（ ）
A．（-1，0）　　B．（0，-1）　 C．（0，1）　 D．（1，0）
4．要从抛物线y=x２-3得到y=x２的图象，则抛物线y=x２-3必须(　 )
A．向上平移3个单位 　　B．向下平移3个单位
C．向左平移3个单位 　　D．向右平移3个单位
5．如图，抛物线与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，如果，那么b的值为（　 　）
　 A．-2 B.2 C. D.
6．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（ ）
7．抛物线的部分图象如图所示，图象再次与x轴相交时的坐标是（ ）
A．（5，0） B.（6，0） C.（7，0） D.（8，0）
三、细心算一算（第1-4每小题11分，第5小题12分，第6小题13分，共69分）
1．如果二次函数y＝x2－2 x＋c的图象经过点（1，2），求这个二次函数的解析式，并写出该函数图象的对称轴.
2．二次函数的图象如图示：
（1）请你用精练的语言描述此二次函数的特征；
（2）方程ax2+bx+c=0的根有什么特征？
3．有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为y，且y是x的二次函数.已知输入值为-2,0,1　时,相应的输出值分别为5,-3,-4.
（1）求此二次函数的解析式；
（2）画出函数的图象，并根据图象写出当输出值y为负数时输入值x的取值范围.
4．如图，抛物线与x轴的负半轴交于A、B两点，与y轴的正半轴交于C点，与双曲线的一个交点是（1，m），且OA=OC，求抛物线的解析式.
5．在排球比赛中，小明站在边线发球，发球方向与边线垂直，球出手时距离地面1.9米,当球飞行距离为9米时达到最大高度5.5米,已知他所在的排球场长18米, 裁判判他出界，支持小明的观众怨声载道，指责裁判黑哨，请你用充分的理由说明小明这次发球是否真的打出边线 你能给小明提一些建设性的意见吗
6．如图，一张边长为16㎝的正方形硬纸板，把它的四个角都剪去一个边长为x㎝的小正方形，然后把它折成一个无盖的长方体，设长方体的容积为V㎝3，
请回答下列问题：
（1）若用含有X的代数式表示V，则V= .
（2）完成下表：
x(㎝) 1 2 3 4 5 6 7
V(㎝3) 196 288 180 96 28
(3) 观察上表，容积V的值是否随x值得增大而增大？当x取什么值时，容积V的值最大？
7．如图，宜昌西陵长江大桥属于抛物线形悬索桥，桥面（视为水平的）与主悬钢索之间用垂直钢拉索连接.桥两端主塔塔顶的海拔高度均是187.5米,桥的单孔跨度（即两主塔之间的距离）900米，这里水面的骇拔高度是74米.
若过主塔塔顶的主悬钢索（视为抛物线）最低点离桥面（视为直线）的高度为0.5米，桥面离水面的高度为19米.请你计算距离桥两端主塔100米处垂直钢拉索的长.(结果精确到0.1米)
二次函数检测（B）
一、耐心填一填（8×4分=32分）
1．已知一次函数y=(m2-4)x+1-m与y=(m2-2)x+m2-3的图象与y轴的交点关于原点对称，则m的值为 .
2．在距离地面2米高的某处把一物体以初速度v0（米/秒）竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s（米）与抛出时间t（秒）满足：（其中g是常数，通常取10米/秒2）.若v0＝10米/秒，则该物体在运动过程中最高点距地面 米.
3．若抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-2，则= .
4．老师给出一个函数,甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：
甲：函数的图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：当ｘ＜2时，ｙ随ｘ的增大而减小；丁：当ｘ＜2时，ｙ＞0．已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数： .
5．函数y=x2+3x+2，当 时，y＞0；当 时，y＜0.
6．已知抛物线的顶点在坐标轴上,则a=_____________.
7．函数y=(x+3)2+2的图象可以通过把y=x2的图象向 平移 个单位，再向 平移_____ 个单位而得到.
8．开口向上的抛物线y=a(x+2)(x-8)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若
∠ACB=90〇，则A的值是 .
二、精心选一选（8×4分=32分）
1．二次函数y=-x2+bx+c的图象的最高点为（1，-4），则b、c的值为（ ）
A．b=2，c=-5　　B．b=2，c=5　　　C.．b=-2，c=5　　　D． b=-2，c=-5　
2.抛物线=x2-4x+3的顶点坐标和对称轴分别是(　 　)
　A.(1,2)，x=1　　B.(-1,2)，x=-1　　　C.(-4,-5)，x=-4　　D.(4,-5)，x=4
3．不论x为何值时，y=ax２+bx+c恒为正值的条件是(　　)
　A. a＞0，△＞0　 B.a＞0，△＞0　 C. a＞0，△＜0　 D. a＜0，△＜0
4.苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落的时间t满足s=gt2(g是不为0的常数)，则s与t的函数图象大致是(　 　)
5．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关于a、b、c间的关系判断正确的是（ ）
A．ab<0 B．bc<0 C．a+b+c>0 D．a-b+c<0
6．一学生推铅球，铅球行进的高度y（m）与水平距离x（m）的函数关系为则该学生的成绩是（ ）
A． B．3m C．12m D．10m
7．妈妈想考考小红的数学能力，故意把一道数学题遮盖一部分，仅让他看到如下文字：已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点（1，0）……，求证：这条抛物线关于直线x=2对称.根据以上信息,题中的抛物线不具有的特征是( )
A．经过点(3,0)
B．顶点是（2，-2）
C．在x上截得的线段长是2
D．与y轴的交点是（0，3）
8．抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1，），
平行于x轴的直线CD交抛物线于点C、D，以AB
为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE+FD的值是 （ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
三、细心算一算（1-2每小题10分，3-5每小题12分，共56分）
1．请你在所学的函数中选择一个函数，使它的图象经过点 （A（1，3）和B（3，1）.
（1）求出所选函数的解析式，并画出图象；
（2）根据图象，说出函数的三条性质（或图象的特征）.
2．行驶中的汽车刹车后由于惯性还会继续向前滑行一段距离，这段距离叫做“刹车距离”.司机小王驾驶的汽车的刹车距离s（m）与车速x（km/h）间的关系为：s=0.01x+0.002x2.一天，该车在限速140 km/h的高速公路上与前边的卡车追尾相撞，交警测得他当时的刹车距离是46.5m，就断定他因超速行驶应负主要责任.他不服遂诉诸法院，如果你是法官，应该怎样裁决？
3．求抛物线y=x2-6x+5
（1）关于y轴对称图象的解析式；
（2）关于x轴对称图象的解析式；
（3）关于原点对称图象的解析式.
（4）认真观察上面三个小题的结果，分别对比这三个函数的系数与原函数系数的关系，你能猜出抛物线,分别关于y轴、x轴和原点对称的图象的解析式吗
(5) 随便举一个例子验证(4)中所得结论的正确性.
4.某农场种植一种蔬菜，销售经理根据 往年的销售情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图，图中的抛物线(部分)表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系.观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？
答题要求：(1)请提供四条信息；
(2)不必求函数的解析式.
　
　　
5．如图，直线c经过点A(4,0)和点B（0，4）两点，它与抛物线y=ax2在第一象限内交于点P，又知△AOP的面积为，求a的值.
6．路在山腹行是沪蓉西高速公路的显著特点之一，全线共有隧道37座，共计长达742421.2米.下图是正在修建的庙垭隧道的截面，截面是由一抛物线和一矩形构成，其行车道CD总宽度为8米，隧道为单行线2车道.
(1)建立恰当的平面直角坐标系,并求出隧道拱抛物线的解析式;
(2)在隧道拱的两侧距地面3米高处各安装一盏路灯，在（1）的平面直角坐标系中用坐标表示其中一盏路灯的位置;
(3)为了保证行车安全，要求行驶车辆顶部 （设为平顶）与隧道拱在竖直方向上高度之差至少有0.5米.现有一辆汽车，装载货物后，其宽度为米，车载货物的顶部与路面的距离为2.5米，该车能否通过这个隧道？请说明理由.
近几年各省二次函数中考题摘要
一、精心选一选（每题4分，共20分）
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（2，0） B.（-2，0） C.（1，-3） D.（0，-4）
2．若（2，5），（4，5）是抛物线上的两个点，则它的对称轴是 （ ）
A． B. C. D.
3．已知反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而减小，则函数 的图象经过的象限是（ ）
A．第三、四象限 B.第一、二象限
C．第二、三、四象限 D.第一、二、三象限
4．抛物线与x轴的两个交点为（-1，0），（3，0），其形状与抛物线 相同，则的函数关系式为（ ）
A． B.
C． D.
5．把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线，则（ ）
A．b=2，c= -2 B.b= -6，c=6 C.b= -8，c=14 D.b= -8，c=18
二、细心填一填（每空3分，共45分）
6．若是二次函数，则m= .
7．二次函数的开口向 ，对称轴是 .
8．抛物线的最低点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大.
9．已知二次函数的图象经过点（1，-1），则这个二次函数的关系式为 ，它与x轴的交点的个数为 个.；
10．若y与成正比例，当x=2时，y=4，那么当x= -3时，y的值为 .
11．抛物线与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 .
12．有一长方形条幅，长为a m，宽为b m（b＜a＝，四周镶上宽度相等的花边，求剩余面积S（m2）与花边宽度x（m）之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 .
13．抛物线与直线只有一个公共点，则b= .
14．已知抛物线与x轴交点的横坐标为 –1，则= .
15．已知点A（1，4）和B（2，2），试写出过A,B两点的二次函数的关系式（任写两个） . .
三、认真答一答（第16-19题每小题10分，第20题12分,共52分）
16．（梅州市2004年中考）已知一个二次函数的图象经过点A（－1，0）.B（3，0）和C（0，－3）三点；（1）求此二次函数的解析式；（2）对于实数m ，点M（m ，－5）是否在这个二次函数的图象上？说明理由.
17.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：
x(元) 15 20 30 …
y(件) 25 20 10 …
若日销售量y是销售价x的一次函数.
（1）求出日销售量y（件）与销售价x(元)的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
18．如图：矩形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，A，D在抛物线上，矩形的顶点均为动点，且矩形在抛物线与x轴围成的区域里.
（1）设A点的坐标为（，），试求矩形周长关于变量的函数表达式；
（2）是否存在这样的矩形，它的周长为9，试证明你的结论.
19. 如图.在矩形OABC中,OA=8,OC=4,OA.OC分别在x,y轴上，点O在OA上，且CD=AD.
(1)求直线CD的解析式；
(2)求经过B.C.D三点的抛物线的解析式;
(3)在上述抛物线上位于x轴下方的图象上，是否存在一 点P,使△PBC的面积等于矩形的面积 若存在,求出点P的坐标,若不存在请说明理由.
20. （2005年北京市）已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx-4k的图象与x轴交于点A，抛物线经过O.A两点.
（1）试用含a的代数式表示b；
（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分.若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；
（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
输入x
y=x+2
－2≤x≤－1
y=x2
－1＜x≤1
y=x+2
1＜x≤2
输出y值
第5题图
A
O
B
x
y
第5题图
A
C
B
D
P
O
x
y
（第6题）
x
y
8 m
6 m
A
O
B
P
3
o
-1
3
y
x
第1题图
A
B
第6题图
x
O
第7题图
第10题图
X（千米/时）
5
O
15
10
20
25
第15题图
y（米）
第16题图
Ｏ
Ｂ
Ａ
ｙ
ｘ
Ｃ
第5题图
x
y
O
A
x
y
O
B
x
y
O
C
x
y
O
D
第6题图
y
x
0
2
1
3
4
5
6
7
-2
-1
-3
-4
1
2
第7题图
ｙ
Ｏ
ｘ
1
5
-1
2
3
1
第2题图
ｙ
Ｏ
Ｂ
Ａ
ｘ
Ｃ
第4题图
第6题图
直角坐标系供思考用
O
x
y
x
y
O
第5题图
y
C
E
F
D
A
B
O
x
第8题图
第4题图
第4题图
A
B
P
O
x
y
第5题图
第18题图
B
O
D
C
x
A
y
第19题图
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第6部分 二元一次方程组
课标要求
1．了解二元一次方程组及其解的概念，会将二元一次方程化为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，会检验未知数的一组对应值是否为二元一次方程的解.
2．了解二元一次方程组、方程组的解、解方程组等基本概念，掌握用消元法解方程组的基本思想；通过“消元”，转化为一元一次方程.
3．会灵活应用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组.
4．能应用二元一次方程组解决简单的实际问题.
中招考点
二元一次方程概念及解法，代入法和加减法解方程组，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，会检验未知数的一组对应值是否为二元一次方程的解，能应用二元一次方程组解决简单的实际问题.
典型例题
例1 解下列方程组：
（1） （2）
分析：要结合方程组中方程的系数特征，合理选择消元的方法.通常方程中系数比较简单，尤其当一个未知数系数的绝对值是1时，可选用代入消元法，一般常采用加减消元法.
解：（1）由②得 .
代入，得 .
解得 .
代入，得
所以方程组的解是
（2），得
即
代入，得
所以方程组的解是
例2 已知关于、的方程组与有相同的解，求m、n值.
分析：这里两个方程组中都有待定系数，但并未知道具体的解，不能应用方程解的定义，代入后转化为关于m、n的方程来解.注意到两个方程组中都有一个方程的系数是已知的.且根据方程组的解的定义，本题“相同的解”也就是方程组的解，因此，这个解可以先予求出：这时再将它代入另两个方程组，得
解这个方程组，得
例3 某公园的学生门票价格如下：
购 票 人 数 1~50 51~100 100以上
每 人 票 价（元） 13 11 9
（1）初一甲、乙两个班共104人，若分别购票，需1240元.两个班合起来购票，能否节约一些？或已知甲班人数稍多一些，请求出两班各有多少人？
（2）若不知道两班学生总数及各班人数的多少，你能求出各班人数吗？
分析 本题具有较大的开放性.在第（1）个问题中，首先应根据题意，判断各班人数的大致范围：两班共104人，则至少有一个班级人数50，但总票价1240元不是11的倍数，说明另一个班级人数不超过50.根据这些信息，可以着手应用列方程组求解.
在第二个问题中，减弱了条件，两班学生的总数也是未知数.比较上述分析，共同之处是两班人数不可能是同一范围内的数（因为1240不是13、11、9的倍数），不同之处是少了一个方程.则应该用到求二元一次方程的整数解的知识，同时还应根据实际情况，选取合适的解.
解（1）设初一甲班学生x人，初一 乙班学生y人，根据题意，两班票价总数1240不是13或11的倍数，所以甲班人数大于50，乙班人数小于50.可得方程组
解这个方程组，得 经检验，符合题意.
答：初一甲班学生56人，初一乙班学生48人.
（2）设两个班级人数分别为人和y人，根据实际情况，其中x、y的值是不超过100的正整数，且＜y.根据题意，得方程
.
将方程变形为含x的代数式表示y,得
所以是11的倍数，依次取
求出对应的
根据实际情况，我们选取甲、乙两班人数分别为37人、69人、69人、37人、48人、56人或56人、48人四种比较合理的解答.
强化训练
1.填空题
（1）已知,用含x的代数式表示y,得______________________.
当时，x=_____________________________.
（2）已知是关于x、y的方程的解，则：m=__________.
（3）已知，则_________.
（4）已知关于x、y的方程组的解x与y相等，则.
2．解下列方程组：
（1） （2）
（3） （4）
3．已知关于x、y的方程组的解是求a、b的值.
4．已知当时，代数式的值等于2；当时，代数式的值是1.求当时，这个代数式的值.
5．甲、乙两件商品成本共400元，甲商品按30%的利润定价，乙商品按20%的利润定价.后应顾客的要求，两种商品都按定价的90%出售，商店仍获利55.4元.求两种商品的成本各是多少？
6．求方程的正整数解.
7．探索用适当的方法解下列方程组：
（1） （2） （3）
8．某校课外阅读小组同学每人订甲、乙两份杂志，甲杂志是月刊，每月一期定价2.2元；乙杂志是双月刊，两个月一期定价2.6元.每位同学都是一份杂志订半年，另一份杂志订全年.经统计，甲杂志订费858元，乙杂志订费429元，求这个阅读小组的人数.
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第19部分图形的初步认识
第一讲 简单的立体图形 线段与角
课标要求
（1）点、线、面。通过丰富的实例，进一步认识点、线、面（如交通图上用点表示城市，屏幕上的画面是由点组成的）。 完成基本作图：作一条线段等于已知线段.
（2）角。①通过丰富的实例，进一步认识角。
②会比较角的大小，能估计一个角的大小，会计算角度的和与差，认识度、分、秒，会进行简单换算。
③了解角平分线。
④了解补角、余角，知道等角的余角相等、等角的补角相等。
（3）视图
①会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图），会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型。
②了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。
③了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系；通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装）。
④观察与现实生活有关的图片（如照片、简单的模型图、平面图、地图等），了解并欣赏一些有趣的图形（如雪花曲线、莫比乌斯带）。
中考考点要求
1.了解线段、射线、直线的区别与联系。掌握它们的表示方法.
2.掌握“两点确定一条直线的”的性质，了解“两条直线相交只有一个交点”.
3.理解线段的和与差的概念，会比较线段的大小，理解“两点之间线段最段”的性质.
4.理解线段的中点和两点间距离的概念.
5.会用尺规作图作一条线段等于一直线段.
6.理解角的概念，理解平角、直角、周角、锐角、钝角的概念。
7掌握度、分、秒的换算，会计算角度的和、差、倍、分.
8.掌握角的平分线的概念，会画角的平分线.
9.会解决有关余角、补角的计算问题；会用“同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等”进行推理。
10.建立初步的空间观念，会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图，会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型.
11.了解旋转体和多面体的概念.
12.会计算圆柱、圆锥的侧面展开图的面积.
典型例题
例1.判断正误，并说明理由
①．两条直线如果有两个公共点，那么它们就有无数个公共点； （ ）
②．射线AP与射线PA的公共部分是线段PA； （ ）
③．有公共端点的两条射线叫做角； （ ）
④．互补的角就是平角； （ ）
⑤．经过三点中的每两个画直线，共可以画三条直线； （ ）
⑥．连结两点的线段，叫做这两点间的距离； （ ）
⑦．角的边的长短，决定了角的大小；
⑧．互余且相等的两个角都是45°的角； （ ）
⑨．若两个角互补，则其中一定有一个角是钝角； （ ）
⑩大于直角的角叫做钝角. （ ）
解：①．√．因为两点确定唯一的直线．
②．√，因为线段是射线的一部分．如图：
显然这句话是正确的．
③．× ， 因为角是有公共端点的两条射线组成的图形．
④．×．互补两角的和是180°，平角为180°．就量数来说，两者是相同的，但从“形”上说，互补两角不一定有公共顶点，故不一定组成平角．如下图
⑤．×．平面内三点可以在同一条直线上，也可以不在同一条直线上．
⑥． ×．连结两点的线段的长度，叫做这两点的距离．
⑦．×．角的大小，与组成角的两条射线张开的程度相关，或者说与射线绕着它的端点旋转过的平面部分的大小相关，与角的边画出部分的长短无关．
⑧．√，互余”即两角和为90°．
⑨．×． “互补”即两角和为180°．想一想：这里的两个角可能是怎样的两个角？
⑩×.钝角是大于直角而小于平角的角.
【注意】1.第⑤题中三个点的相互位置共有两种情况，如图
再如两角互补，这里的两角有两种情形，如图：
图（1） 图（2）
因此，互补的两个角中，可能有一个是钝角，也可能两个角都是直角，因此在作出判断前必须全面地考虑，这就要求有“分类讨论”的思想，“分类讨论”是数学中重要的思想方法之一．
2.注意数和形的区分与联系：“线段”表示的是“图形”，而“距离”指的是线段的“长度”，指的是一个“数量”，两者不能等同．
例2.如图：是一个水管的三叉接头，试画出它的三视图。
【注意】画三视图的原则是：长对齐，宽相等，高平齐。
例3.下面是正方体的展开图，每个平面内都标注了字母，请根据要求回答问题：
（1）和面A所对的会是哪一面？
（2）和B面所对的会是哪一面？
（3）面E会和哪些面平行？
答：（1）和面A所对的是面D；（2）和B面所对的是面F；（3）面E和面C平行。
例4.（1）线段DE上有A、B、C三个点，则图中共有多少条线段？
（2）若线段DE上有n个点呢？
解：（1）10条。
方法一：可先把点D作为一个端点，点A、B、C、E分别为另一个端点构成线段，再把点A作为一个端点，点B、C、E分别为另一个端点构成线段……依此类推，数出所有线段求和，即得结果．
方法二：5个点，每个点与另外一个点为端点可以组成一条线段，共有5×4条，但不计重复的应有条，即10条。
（2）(n＋1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝（条）
例5．计算：（1）37°28′＋44°49′；（2）23．118°12′－37°37′×2；
（3）132°26′42″－41.325×3；（4）360°÷7（精确到分）．
解：（1）37°28′＋44°49′
＝81°77′
＝82°17′
（2）118°12′－37°37′×2
＝118°12′－75°14′
＝117°72′－75°14′
＝42°58′．
（3）法一 132°26′42″－41.325°×3
＝132.445－123.975
＝8.47．
法二 132°26′42″－41.325×3
＝132°26′42″－123.975
＝132°26′42″－12358′30″
＝131°86′42″－12358′30″
＝8°28′12″．
（4）360°÷7
＝51°＋3°÷7
＝51°＋25′＋5′÷7
＝51°＋25′＋300″÷7
≈51°＋25′＋43″
≈51°26′．
【注意】⑴1°＝60′，1′＝60″，低一级单位满“60”，要向高一级单位进“1”，由高一级单位借“1”要化成“60”加入低一级单位参与运算．
⑵在“度”、“分”、“秒”的混合运算中，可将“分”、“秒”化成度，也小数部分的度数可化成”“分”“秒”进行计算。
例6.已知∠α与∠β互为补角，且∠β的比∠α大15°，求∠α的余角．
解：
由题意可得
解之得
∴ ∠α的余角＝90°－∠α＝90°－63°＝27°．
答：∠α的余角是27°．
【注意】通过列方程或方程组解决几何问题是常用的方法，关键是选取适当的未知数。
强化训练
一．填空题
1．用一副三角板可以作出大于0°而小于180°的角的个数是 _________.　　　
2．时钟的分针每60分钟转一圈，那么分针转900需________分钟，转1200需_______分钟，25分钟转________度.
3．如图，四点A、B、C、D在一直线上，则图中有______条线段，有_______条射线；若AC=12cm，BD=8cm，且AD=3BC，则AB=________，BC=________，CD=________
4．已知有共公顶点的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=1200，
∠BOC=300，则∠AOC=_________
5．已知点A、B、C三个点在同一条直线上，若线段AB=8，BC=5，
则线段AC=_________
6．如图，已知OA⊥OB，直线CD经过顶点O，若
∠BOD：∠AOC=5：2，则∠AOC=_______∠BOD=__________
7．计算（1）23030′= ,;
（2） ;.
8.要把木条固定在墙上至少要钉两颗钉子，这是因为___________________________。
9.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图,是一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面, “锦”表示右面, “程”表示下面.则“祝”、 “你”、 “前”分别表示正方体的______________________.
10.如图，B、O、C在同一条直线上，OE平分AOB，DO平分上AOC，则EOD＝_______．
二、选择题
1．下列各图中，分别画有直线AB，线段MN，射线DC，其中所给的两条线有交点的是( )
2．如果在一条直线上得到10条不同的线段，那么在这条直线上至少要选用（ ）个不同的点.
A、20 B、10 C、7 D、5
3．平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为m个，最多为n个，则m+n等于（ ）
A、12 B、16 C、20 D、以上都不对
4.在下列立体图形中，不属于多面体的是（ ）
A．正方体 B．三棱柱 C．长方体 D．圆锥体
5．（2004年河北省课程改革实验区）图中几何体的主视图是（ ）
三．解答题
1．(1) 一个角的余角比它的补角还多1°，求这个角.
(2)已知互余两角的差为20°,求这两个角的度数.
2．已知如图，设A、B、C、D、为4个居民小区，现要在四边形ABCD内建一个购物中心，试问应把购物中心建在何处，才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小？试在图中画出这个中心（用点P表示），不必说明理由
第二讲 相交线和平行线
课标要求
①了解对顶角，知道对项角相等。
②了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。
③知道过一点有且仅有一条直线垂直干已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。
④知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质
⑤知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
⑥体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。
中考要求及考点
1.中考要求
⑴灵活运用对顶角和垂线的性质；
⑵掌握并灵活运用平行线的性质和判定进行有关的推理和计算；
⑶理解和识别方向角 。
2.知识要点
⑴垂直：两条直线相交的四个角中有一个为直角时，称这两条直线互相垂直，交点叫垂足。
⑵在同一平面内，经过直线外(上)一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。
直线外这个点到垂足间的线段叫做点到直线的距离。
⑶
两条直线被第三条直线所截，出现的三种角：同位角，内错角，同旁内角。
直线m截直线a,b成如图所示的8个角，在图中：
同位角：∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8；
内错角：∠3和∠5，∠4和∠6；
同旁内角：∠3和∠6，∠4和∠5。
⑷.平行线：在同一平面内不相交的两条直线。
平行公理 经过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
⑸.平行线的识别方法：
同位角相等，两直线平行;内错角相等，两直线平行;同旁内角互补，两直线平行。
另外，平行于同一直线的两条直线互相平行。
垂直于同一直线的两条直线互相平行。
⑹.平行线的特征:
两直线平行，同位角相等。两直线平行，内错角相等。 两直线平行，同旁内角互补。
典型例题
1.判定与性质
例1 判断题：
1)不相交的两条直线叫做平行线。　　　　　　　　　　　(　　　)
2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。　　　　　　(　　　)
3)两直线平行，同旁内角相等。　　　　　　　　　　　　(　　　)
4)两条直线被第三条直线所截，同位角相等。　　　　　　(　　　)
答案：(1)错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”。
(2)错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。
(3)错，应为“两直线平行，同旁内角互补 ”。
(4)错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”。
例2 已知：如图，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED。
分析：可以考虑把∠BED变成两个角的和。如图5，过E点引一条直线EF∥AB，则有∠B=∠1，再设法证明∠D=∠2，需证
EF∥CD，这可通过已知AB∥CD和EF∥AB得到。
证明：过点E作EF∥AB，则∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）。
∵AB∥CD（已知），
又∵EF∥AB（已作），
∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∴∠D=∠2（两直线平行，内错角相等）。
又∵∠BED=∠1+∠2，
∴∠BED=∠B+∠D（等量代换）。
变式1已知：如图6，AB∥CD，求证：∠BED=360°-（∠B+∠D）。
分析：此题与例1的区别在于E点的位置及结论。我们通常所说的∠BED都是指小于平角的角，如果把∠BED看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例1的结论是一致的。因此，我们模仿例1作辅助线，不难解决此题。
证明：过点E作EF∥AB，则∠B+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵AB∥CD（已知），
又∵EF∥AB（已作），
∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性质）。
又∵∠BED=∠1+∠2，
∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换）。
∴∠BED==360°-（∠B+∠D）（等式的性质）。
变式2已知：如图7，AB∥CD，求证：∠BED=∠D-∠B。
分析：此题与例1的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同。模仿例1与变式1作辅助线的方法，可以解决此题。
证明：过点E作EF∥AB，则∠FEB=∠B（两直线平行，内错角相等）。
∵AB∥CD（已知），
又∵EF∥AB（已作），
∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∴∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等）。
∵∠BED=∠FED-∠FEB，
∴∠BED=∠D-∠B（等量代换）。
变式3已知：如图8，AB∥CD，求证：∠BED=∠B-∠D。
分析：此题与变式2类似，只是∠B、∠D的大小发生了变化。
证明：过点E作EF∥AB，则∠1+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵AB∥CD（已知），
又∵EF∥AB（已作），
∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∴∠1+∠2+∠D=180°。
∴∠1+∠2+∠D-（∠1+∠B）=180°-180°（等式的性质）。
∴∠2=∠B-∠D（等式的性质）。
即∠BED=∠B-∠D。
例3 已知：如图9，AB∥CD，∠ABF=∠DCE。求证：∠BFE=∠FEC。
证法一：过F点作FG∥AB ，则∠ABF=∠1（两直线平行，内错角相等）。
过E点作EH∥CD ，则∠DCE=∠4（两直线平行，内错角相等）。
∵FG∥AB（已作），AB∥CD（已知），
∴FG∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
又∵EH∥CD （已知），
∴FG∥EH（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）。
∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）
即∠BFE=∠FEC。
证法二：如图10，延长BF、DC相交于G点。
∵AB∥CD（已知），
∴∠1=∠ABF（两直线平行，内错角相等）。
又∵∠ABF=∠DCE（已知），
∴∠1=∠DCE（等量代换）。
∴BG∥EC（同位角相等，两直线平行）。
∴∠BFE=∠FEC（两直线平行，内错角相等）。
如果延长CE、AB相交于H点（如图11），也可用同样的方法证明（过程略）。
证法三：（如图12）连结BC。
∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）。
又∵∠ABF=∠DCE（已知），
∴∠ABC-∠ABF =∠BCD-∠DCE（等式的性质）。
即∠FBC=∠BCE。
∴BF∥EC（内错角相等，两直线平行）。
∴∠BFE=∠FEC（两直线平行，内错角相等）。
强化训练
一.填空
1.完成下列推理过程
①∵∠3= ∠4（已知），
__∥___（ ）
②∵∠5= ∠DAB（已知），
∴____∥______（ ）
③∵∠CDA + =180°（ 已知 ），
∴AD∥BC（ ）
2. 如图,已知DE∥BC,BD是∠ABC的平分线，∠EDC＝109°，
　∠ABC＝50°则∠A 度，∠BDC＝ 度。
3. 如图，AB∥CD,BE,CE分别平分∠ABC，∠BCD,
则∠AEB＋∠CED= 。
4、将点P(-3，y)向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q(x，-1)，则xy=___________ 。
5、已知：如图，直线AB和CD相交于O，OE平分∠BOC，
且∠AOC=68°，则∠BOE=
二.选择题
1.在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40度方向，那么这艘船位于这个灯塔的（ ）
A 南偏西50度方向； B南偏西40度方向 ；
C 北偏东50度方向 ； D北偏东40度方向
2.如图,AB∥EF∥DC，EG∥BD, 则图中与∠1相等的角共有( )个
A 6个 B .5个 C .4个 D.2个
3、同一平面内的四条直线若满足a⊥b,b⊥c,c⊥d,则下列式子成立的是（ ）
A、 a∥d B 、b⊥d C、a⊥d D、b∥c
4、如图,∠1和∠2互补,∠3=130°,那么∠4的度数是( )
A. 50° B. 60° C.70° D.80°
5.已知：AB∥CD，且∠ABC=20°，∠CFE=30°,
则∠BCF的度数是 ( )　
A. 160° B.150° C.70° D.50°
6（2003南 通 市）判断题已知，如图，下列条件中不能判断直线l1∥l2的是（ ）
（A）∠1＝∠3 （B）∠2＝∠3
（C）∠4＝∠5 （D）∠2＋∠4＝180°
7.（ 北京市海淀区2003年）. 如图，直线c与直线a、b相交，且a//b，则下列结论：(1)；(2)；(3)中正确的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8.（2004年浙江省富阳市）下列命题正确的是（　　）
A、两直线与第三条直线相交，同位角相等；B、两线与第三线相交，内错角相等；
C、两直线平行，内错角相等；　　　 D、两直线平行，同旁内角相等。
9.（2003年安徽省）如图，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有……（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.( 日照市2004年)如图，已知直线AB∥CD，当点E直线AB与CD之间时，有∠BED＝∠ABE＋∠CDE成立；而当点E在直线AB与CD之外时，下列关系式成立的是 （　　）
A　∠BED＝∠ABE＋∠CDE或∠BED＝∠ABE－∠CDE;
B　∠BED＝∠ABE－∠CDE
C　∠BED＝∠CDE－∠ABE或∠BED＝∠ABE－∠CDE;
D　∠BED＝∠CDE－∠ABE
三.解下列各题：
1.如图，已知OA⊥OC，OB⊥OD，∠3=26°，求∠1、∠2的度数。
2、已知AD∥BC，∠A= ∠C，求证：AB∥CD。
3.如图,AB∥CD,求∠BAE＋∠AEF＋∠EFC＋∠FCD的度数.
4.已知,如图AC⊥BC,HF⊥AB,CD⊥AB, ∠EDC与∠CHF互补, 求证：DE⊥AC.
5.如图，已知AB∥ED，∠ABC=135°,∠BCD=80°，求∠CDE的度数。
6.已知：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，AE =AF.求证：AD平分∠BAC。
四、如图A、B是两块麦地，P是一个水库，A、B之间有一条水渠，现在要将水库中的水引到A、B两地浇灌小麦，你认为怎样修水渠省时省料经济合算？请说出你的设计方案，并说明理由。
第21部分复习检测题
一 、选择题（每题3分，共30分）
1.如图，从A地到B地有多条道路，一般地，人们会走中间的直路，而不会走其他的曲折的路，这是因为（ 　）
（A）两点之间线段最短（B）两直线相交只有一个交点
（C）两点确定一条直线（D）垂线段最短
2. 下面是空心圆柱体在指定方向上的视图，正确的是 （ ）
3.右图是正方体分割后的一部分，它的另一部分为下列图形中的（ ）
4. 一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）
A、第一次向左拐300，第二次向右拐300 B、第一次向右拐500，第二次向左拐1300
C、第一次向右拐500，第二次向右拐1300 D、第一次向左拐500，第二次向左拐1300
5.如图是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个正方形A、B、C内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面上的数互为相反数，则填在A、B、C内的三个数依 次是（ ）．
A 0，－2，1 B 0，1，－2 C 1，0，－2 D －2，0，1
6. 如图6，AB⊥BC，∠ABD的度数比∠DBC的度数的两倍少15°，设∠ABD和∠DBC的度数分别为x、y，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是( )
A． B．　
C. D．
7.（2003浙江宁波）．如图是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（ ）
（A）25 （B）66 （C） 91（D）120
8．（2004年浙江省嘉兴市）若AB∥CD，∠C＝60 ，
则∠A＋∠E＝（ ）
（A）20 （B）30 （C）40 （D）60
9. 如图，所示，红安卷烟厂有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在龙乡大道上（A、B、C三点共线），已知AB=100米，BC=200米．该厂为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（ ）
A．点A B．点B C．AB之间 D．BC之间
10.（2005年杭州市）在平行四边形ABCD中, ∠B=110O,延长AD至F,延长CD至E,连接EF,则∠E+∠F的值为 ( )
(A)110O (B)30O (C)50O (D)70O
二、填空题（每题3分，共30分）
1. (2004年福建省泉州市)如果一个角的补角是120°，那么这个角的余角为_________.
2.（泸州市2004年）如图2，从边长为10的正方体的一顶点处挖去一个边长为1的小正方体，则剩下图形的表面积为________.
3.（2003年湖南省湘潭市）如图，甲、乙两地
之间要修一条公路，从甲地测得公路的走向是
北偏东，如果甲、乙两地同时开工，要使
公路准确接通，那么在乙地施工应按
为______度的方向开工.
4.（2004年大连市）将一个底面半径为2cm高为4cm的圆柱形纸筒沿一条母线剪开，所得到的侧面展开图的面积为______________________________cm2；
5.（2004年郴州市）一个圆锥形的蛋筒，底面圆直径为7cm，母线长为14cm，把它的包装纸展开，侧面展开图的面积为__________________cm2(不计折叠部分).
6.（河南省2003年）如图，直线L1//L2，AB⊥L1，垂足为O，BC与L2相交于点E，
若∠1=30°，则∠B=___.
7．（2004年长春）如图，直线c与直线a、b相交，且a//b，若∠1=40°则∠2=____度.
8.（2003年杭州）如图所示立方体中，过棱BB1和平面CDD1C1垂直的平面有_______个.
9.（2004宁波）如图，AB∥CD，CE平分∠ACD交于E，∠A =118°，则等于_____度．
10. 某军事行动中，对军队部署的方位，采用钟代码的方式来表示。例如，北偏东30°方向45千米的位置，与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东30°的时刻是1∶00，那么这个地点就用代码010045来表示。按这种表示方式，南偏东60°方向78千米的位置，可用代码表示为 。
三、解下列各题（每题10分，共30分）
1.(2005广东中考题)如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，∠1＝40°，求∠2的度数。
2.如图，已知AB//DE，说明.
3.(2004台州、温州市)如图,已知AB∥CD,AD,BC相交于E,F为EC上一点,且∠EAF=∠C.
求证：(1) ∠EAF=∠B； (2)AF2=FE·FB
四、（本题满分10分）
(山东省2003年)给出两块相同的正三角形纸片（如图（1），图（2）），要求用其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个上下底面为正三角形的直三棱柱模型，使它们的表面面积都与原三角形的面积相等．请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图（1）、图（2）中，并作简要说明：
_
A
_
D
_
B
_
C
C
A
B
E
D
第3题
第1题
第2题
3
2
1
F
D
E
A
B
C
G
第4题
第5题
第6题
图7
第1题
第2题
第3题
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第2部分 有理数
课标要求
1．通过具体情境的观察、思考、探索，理解有理数的概念，了解分类讨论思想；
2．借助数轴理解数形结合思想，学会用数轴比较数的大小，解决一些数学问题；
3．理解互为相反数的意义、绝对值的意义、倒数的意义，会进行与之有关的计算；
4．掌握有理数加、减、乘、除、乘方的法则，会进行加、减、乘、除及混合运算；
5．掌握科学记数法的意义及表示方法；
6．了解近似数及有效数字的意义，会按题目要求取近似数.
中招考点
1．用数轴比较数的大小，解决 一些实际问题
2．互为相反数、倒数的有关计算.
3．有理数的加、减、乘、除、乘方的有关计算.
4．科学记数法、近似数的有关应用题.
5．灵活运用本章知识解决实际问题.
典型例题
在例题前，我们来了解一下本章的知识结构与要点.
例1 小红家、学校和小华家自东向西依次坐落在一条东西走向的大街上，小红家距学校1千米，小华家距学校2千米，小明沿街从学校向西走1千米，又向东走2千米，此时小明的位置在________.
分析：本题可借助数轴来解，如图所示，以学校为原点，学校以西为正方向，这样把实际问题转化为数学问题，观察数轴便可知此时小明的位置在小红家.
例2 若a与-7.2互为相反数，
则a的倒数是___________.
解：这道题既考察了相反数的概念，又考察了倒数的概念.
-7.2的相反数是7.2,所以a=7.2，a的倒数是.
例3 如图是一个正方体纸盒的展开图，在其中的四个正方形内分别标有1，2，3和-3，要在其余正方形内分别填上-1，-2，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则A处应填_______.
解∶因为A的对面是2，所以正确答案是-2.
例4 已知有理数a,b满足条件a>0，b<0，|a|<|b|,
则下列关系正确的是（ ）.
A.-aD.b<-a<-b解：这一题考察了绝对值的意义，和有理数大小比较，我们可借助数轴帮助解决问题，请同学们自己解答.
例5 计算–(+2.5)–(–41/4)+3.75–（+91/2）
解：原式=–2.5+4.25+3.75–9.5
=–(2.5+9.5)+(4.25+3.75)
=–12+8
=–4
说明：本题可以全部化成分数，通过通分来做；也可把所有整数部分相加，所有分数部分相加，最后在计算.
例6 如图：a , b , c在数轴上的位置如图所示，
试化简：︳a-b|-2c-|c+b|+|3b|
分析：本题考察的是绝对值的意义与运用，关键是如何判断绝对值里面数值的符号，从而去掉绝对值.
解：略
例7 2004年全年国内生产总值按可比价格计算，比上年增长9.5％,达到136515亿元.136515亿元用科学记数法表示（保留4个有效数字）为
A.1.365×1012元 B.1.3652×1013元 C.13.65×1012元 D.1.365×1013元
解：本题考察的是科学记数法和有效数字.
136515亿元=1.365×105亿元=1.365×1013元
注：科学记数法是把某一个数写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10,n为整数.
例8 计算：
（1）-5 (2)(- ) （3）(-1)2005 （4）(-1 )
解：本题考察乘方的意义和简单的乘方运算，应按照乘方的意义来进行运算，注意符号.
-5 =-25 (- ) =-（ ） = -
(-1)2005 =-1 (-1 ) = （ ）2 =
例9 （- ）-2-23×0.125+20040+|-1|
解：原式=4-8×0.125+1+1
=4-1+2
=5
例10 　已知：a、b均为负数，c为正数，且|b|>|a|>|c|，化简.
解：依题意，画数轴、标出各数.
b-a<0, 所以得b原式=│b+c│＋│a-c│＋│b-a│
＝-（b+c）-(a-c)-(b-a)
＝-2b
说明：通过构造数轴，将表示a、b、c的点标在数轴上后，便能直观地看出b+c<0 , a-c<0,b-a<0，再来化简代数式就不易出错了.
强化练习
一、填空题
1．甲、乙两厂三月产值与上月相比，甲厂增产3%，可记作________，乙厂减产1.2%,可记作_________.
2．将下列各数填在相应的表示数集的大括号内：
+3，-1，0.81，315，0，-3.14，-21/7，-12.9，+400%，+81/9，5.15115.
分数集∶｛ …｝
负数集∶｛ …｝
非负整数集∶｛ …｝.
3．1nm等于十亿分之一米，用科学记数法表示：2.5m=_____nm.
4．近似数2.428×105有______个有效数字，精确到_ ____位.
5．（–4）3=_______.
二、选择题
1．下列说法不正确的是 ( )
A.没有最大的有理数 B.没有最小的有理数 C.有最小的正有理数 D.有绝对值最小的有理数
2． 在数轴上表示-12的点与表示3的点，这两点间的距离为（ ）
A.9 B.-9 C.-15 D.15
3. 若a的平方是4，则a的立方是( )
A.6 B.8 C.-8 D. –8和8
4． 如果ab>0,a+b<0,那么a,b的符号是( )
A.a>0,b>0 B.a>0, b<0 C.a<0 ,b>0 D. a<0, b<0
三、计算题
1． -1-5-1+3-4.5+2
2． 已知有理数a,b,c的和为0，且a=7,b=-2,则c为多少？
3． 2÷（-）×÷（-5） 4．4-（-2） -3÷(-1) +0×(-2)
5． （-1）2005+（-3） ×|-|-（-4） ÷（-2）5
四、简答题
1．某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量（不含包装）可以有0.0021升的误差，现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数，检查结果如下：+0.0018,-0.0023,-0.0025,-0.0015,+0.0012,+0.0010.请用绝对值的知识说明：（1）哪几瓶是符合要求的（即在误差范围内的）？(2)哪一瓶的净含量最接近规定的净含量
2． 出租车司机小李某天下午的营运路线是在东西走向的一条大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，那么他这天下午行车的里程如下（单位：千米）：+16，-18，-3，+15，-11，+14，+10，+4，-12，-15.请回答下列问题：
(1)将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车地点的距离是多少千米？
(2)如果汽车耗油量为a升/千米，则这天下午汽车共耗油多少升
反馈检测A卷
一、选择题
1．下列各式不正确的是（ ）
A．︱-2.4︱=︱2.4︱ B．(-3)4=34 C. -8< -9 D.x2+1≥0
2. 如果一个有理数的平方是正数，那么这个有理数的立方是（ ）
A．正数 B．负数 C.非零数 D.非负数
3．计算（-1）2003+（-1）2003÷︱-1︱+（-1）2000的结果为（ ）
A.1 B． -1 C. 0 D. 2
4．数a,b,c在数轴上的位置如图所示，则a,b, -c由小到大的顺序是（ ）
A. a,-c,b B.b,a,-c C.a,b,-c D.b,-c,a
5．已知一个多位数的个位数字为m,且这个多位数的
任何次幂的个位数字仍为m,那么这个数字m( )
A.可能是0和1 B.只能是0 C.只能是1 D.以上都不对
6．下列说法错误的是（ ）
A.相反数与本身相等的数只有0 B.倒数与本身相等的数只有1和-1
C.平方与本身相等的数只有0和1 D.立方与本身相等的数只有0和1
7． 点A在数轴上距原点5个单位长度，将A点先向左移动2个单位长度，再向右移动6个单位长度，此时A点所表示的数是（ ）
A. –1 B.9 C. –1或9 D. 1或9
8． 若a+b<0,且ab<0,则（ ）
A.a,b同号 B. a,b异号 C.a,b都是负数 D.a,b都是正数
9． 如果一个数与它的相反数在数轴上对应点间的距离为8个单位长度，那么这个数是( )
A.+8和–8 B.+4和–4 C.+8 D. –4
二、填空题
1．大于-5的负整数是_______________.
2．已知今天早晨的气温是–14℃，中午的气温比它高5℃，则今天中午的气温是_________.
3．已知一列按一定规律排列的数：–1，3，–5，7，–9，…，–17，19，如果从中任意选出若干个数相加，使它们的和为0，那么至少要选_______个数，请列出算式________(写出一个正确的即可)
4．若x,y满足︱2x-1︱+︱y+2︱=0,那么-x +y =__________.
5. 绝对值不小于3但小于6的负整数有_______个，他们分别是___________.
6．（1）若x =x,则x=___ ； (2)若x = x ,则x=____ ；
（3）若x = x,则x=____.
7． 一根长50厘米的弹簧，一端固定，另一端挂上物体，在正常情况下，物体的质量每增加1千克，弹簧就伸长3厘米，在正常情况下（即弹性限度内），若弹簧挂x千克的重物，则弹簧伸长到______ 厘米.
三、解答题
1． 一货车司机小张某天上午的营运路线全部是在南北走向的向阳大街上进行的，如果规定向南为正，那么他在这天上午的行车路程如下（单位：千米）：+18,-15，+36，-48，-3.
（1） 上午停工时，小张在上午出车地点的什么位置上？
（2）若货车的耗油量为0.3升/千米，则这天上午该货车共耗油多少升？
2． 已知圆环的外圆半径为40mm，内圆半径为27mm，求圆环的面积.（π取准确值）
3． 某厂的一个冷冻仓库的室温是-12℃，现有一批食物需要在-25℃冷藏，如果每小时仓库的温度降低2℃，则经过多长时间仓库能降到所需温度？
4． 用“<”号将下列各数连接起来，并求出它们的相反数和倒数.
2，0.3,-3, - , 3
5. 比较大小（填“＞”“=”或“＜”号＝
（1）1 +5 _______2×1×5；(2)(-2) +3 ____2×(-2)×3；
（3）(-4) +(-4) ______2×(-4) ×(-4)
通过观察、归纳，探索出反映这一规律的一般结论，并用字母表示这一规律.
6． 已知a,b互为倒数，c,d互为相反数，且︱x︱=3，求2x -（ab-c-d）+︱ab+3︱的值.
7． 计算
（1）-2 +(-2) ×(-1)-(-2) ÷(-2) (2)- ×(- 1 )× ÷(-4)
（3）-(-1) -(-1 - )× ÷(-4)
反馈检测B卷
一、填空题
1．绝对值大于1而小于4的整数是________
2．如果两个数互为相反数，那么它们的和等于_______；如果两个数互为倒数，那么它们的积等于_________.
3．通过测量得到某同学的身高是1.64米，意味着他的身高的精确值h满足_______.
4． 3745≈__________ (保留两个有效数字)；1.4105≈______（精确到千分位）.
5. ______的绝对值等于1.3,______的相反数等于0.
6. 四个互不相等的整数的积是9，那么这四个整数的和等于（ ）
A.27 B.9 C.0 D.以上答案都不对
二、计算题
(1)(-9)-(-21) （2）( - )+ (- )
（3）(-1 )×(- )÷
（4）(-1)+ (-1) + (-1) +(-1)4 + … +(-1)99+(-1)100+(-1)101
（5） ( + - )÷(-24) （6）-99 ×9
三、问答题
1． 什么数等于它的倒数？什么数等于它的相反数？什么数等于它的绝对值？
2． 大于0而小于1的整数有没有？大于0而小于1的有理数有多少个？试写出十个这样的有理数.
3． 赵先生将甲、乙两种股票同时卖出，其中甲种股票进价是1000元，获利20%，一种股票进价也是1000元，获利-20%，则赵先生在这次买卖中是赚是赔？
4． 小红家春天粉刷房间，雇用了5个工人，干了10天完成；用了某种涂料150升，费用为4800元；粉刷的面积是150m ,最后结算工钱时，有以下几种方案：
方案一：按工算，每个工30元；（1个工人干1天是一个工）
方案二：按涂料费用算，涂料费用的30%作为工钱；
方案三：按粉刷面积算，每平方米付工钱12元.
请你帮小红家出主意，选择方案________付钱最合算（最省）.
5． 草履虫可以吞噬细菌，使污水净化，一只草履虫每小时大约能够形成60个食物泡，每个食物泡中大约含有30个细菌，那么100只草履虫每天大约能够吞噬多少个细菌？（用科学记数法表示）.
6． 某超市对顾客进行优惠购物，规定如下：①若一次购物少于200元，则不予优惠；②若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；③若一次购物超过500元，其中500元以下部分(包括500元)给予九折优惠，超过500元部分给予8折优惠.小李两次去该超市购物，分别付款198元和554元，现在小张决定一次性地购买和小李分两次购买同样多的物品，他需付款多少元？
7． 我国宇航员杨利伟乘“神舟五号”绕地球飞行了14周，飞行轨道近似看作圆，其半径为6.71×10 千米，总航程约为多少千米？（π取3.14，保留3个有效数字）
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第17部分 样本与总体
课标要求
1． 过实例，体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，经历用不同规模的样本估计总体的平均数、标准差的过程.
2． 具体情景中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率.
3． 过实验，获得事件发生的概率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值.
4． 过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题.体会概率对制定决策的重要作用.
中招考点
用样本的平均数、方差来估计总体的平均数、方差；运用列举法计算简单事件发生的概率，通过逻辑分析的方法预测概率.
典型例题
例1 为了了解某地区职工的收入状况，对某一中学九年级的全部学生家长进行统计调查，你认为调查结果有普遍代表性吗？为什么？
分析：这样抽查是不合适的，没有普遍代表性.虽然调查的人数很多，但是因为排除了所在地区那些没有中学生的学生家长，所以调查结果不能推广到所在地区的所有职工的收入状况.
反思总结：这个实例告诉同学们，随机抽样时，要留意样本在总体中是否具有代表性.样本的选取不仅容量要足够大，更要避免遗漏某一群体.
例2 某饮食店认真统计了一周中各种点心的销售情况，统计结果如下表所示.你认为这样的统计对该店的管理人员有用吗？请说明你的理由.
一周中各种点心的销售情况统计表
点心种类 拉面 包子 豆浆 油条 混沌
销售数量 650（碗） 14000（个） 5400（碗） 8600（根） 4550（碗）
分析：如果这是普通的一周，表中的统计结果将对该店的管理人员决策有用.因为这些数据可以帮助管理人员进行原料预算、安排服务人员、设施准备，从而提高服务质量、减少浪费.如果是特殊的一周（如有特别会议），表中的数字没有多大参考价值.
反思总结：用样本估计总体时，应注意样本的代表性.
例3 北方人喝酒时有一种规则是：一方手握火柴棒，另一方猜有、无确定输赢.小明认为：二人手指数相加或相乘，效果是一样的，你同意吗？
分析：猜有、无的概率各为50%，二人手指数相加中所有机会均等的结果（奇、偶）、（奇、奇）、（偶、偶）、（偶、奇），和或为奇数或为偶数，概率也各为50%，二人手指数相乘中所有机会均等的结果（奇、偶）、（奇、奇）、（偶、偶）、（偶、奇），积为奇数或为偶数的概率各为25%、75%.因此二人手指数相加时，效果是一样的，二人手指数相乘时，效果不一样.
反思总结：分析预测概率时，要能够看清所有机会均等的结果以及其中所关注的结果.
例4 从写有1、2、3、4、5、6、7、8、9的9张卡片中任取一张，求下列事件发生的概率；⑴抽得偶数；⑵抽得3的倍数；⑶抽得不是合数.
分析：根据例3的总结 ⑴中所有机会均等的结果有9个，所关注的结果有2、4、6、8共4个，所以P（抽得偶数）=.⑵中所有机会均等的结果有9个，所关注的结果有3、6、9共3个，所以P（抽得3的倍数）=.⑶中所有机会均等的结果有9个，所关注的结果有1、2、3、5、7、共5个，所以P（抽得不是合数）=.
强化练习
一、填空题
1.用抽签的办法决定哪些个体进入样本，这种理想的抽样方法叫做简单的_________.
2.随机抽样时，样本的选取⑴____________，⑵要避免_________________________.
3.当样本足够大时，样本的平均数、标准差与_____的平均数、标准差很接近，因此可以通过抽样调查，用样本估计_______.
4.概率的计算可以用_________的办法估计概率；也可以通过_________用计算的办法预测概率.
5.某次考试中，5名学生的成绩如下：86、80、91、66、67，其平均数是_______,标准差是____________(精确到0．１).
6.抛掷两枚硬币，写出所有机会均等的结果______________________________________.
7.从一副没有大小王的扑克牌中随机抽一张是梅花的概率为_____，是黑桃2的概率为____，抽出5的可能性为_______________.
8.投掷一个均匀的正八面体骰子，每个面上依次标有1、2、3、4、5、6、7、8，掷得6的概率为_____，这个数表示_________________________.
二、下列调查是采用普查方式还是抽样调查方式来收集数据的？如果是抽样调查，是否为简单的随机抽样.
1.最早参加新课程实验的学生2004年参加中招考试，教育部随机抽取三个学校的师生作问卷调查，来了解对新课程的意见和建议.
2.为了了解某纯净水厂生产的纯净水的质量，采购人员用计算器产生了3个随机数：3、6、5，于是他从仓库堆放的纯净水中，抽取第3排的第6层的第5箱检验其质量.
3.某厂家为了了解其维修人员的服务质量和消费者的意见，坚持电话回访每一个接受服务的消费者.
4.某电视节目中需要抽取幸运观众，在两个箱子中，一个放有标注排号的小球，一个放有标注座号的小球，搅匀后由主持人从中随机地各抽取一个，即确定几排几号.
三、小华、小明拿出4张扑克牌：梅花8、方块8、红桃8、黑桃8.洗牌后从中随机抽取2张，若2张同色，则甲方胜，否则乙方赢.小明当甲方还是乙方取胜机会大，请你给小明出个主意.
反馈检测
一、填空题（每空4分）
1.投掷一枚均匀的六面体骰子，出现数字3的概率为______，记作______________.
2.如果旋转如图所示的转盘上的指针，那么指针停留在空白区域
的机会是_________.
3.抛掷2枚普通的硬币，所有机会均等的结果为______________
_______________________________________________.
4.在分别写有1到20的20张卡片中，随机地抽出1张卡片，计算以下事件的概率.
该卡片上的数字是5的倍数；________. 该卡片上的数字不是5的倍数；_______.
该卡片上的数字是素数；____________. 该卡片上的数字不是素数；__________.
5.“为调查一个省的环境污染情况，调查省会城市的环境污染情况”.这个抽样调查选取样本的方法（是或不）____合适，因为__________________________________.
二、某电视台开展智力竞赛直播活动，必答题共有六组：A、B、C、D、E、F，它们分别写好在卡片上，请你随意抽取一张进行回答，恰好抽中A组题的机会有多大？请你写出两种模拟实验的方法.（8分）
三、请你为李明和王红设计一个游戏，使李明获胜的机会为，王红获胜的机会为.说明你设计的游戏道具和游戏规则.（8分）
四、判断下列几个抽样调查选取样本的方法是否合适，并说明理由.（每小题6分）
1. 某出版社欲了解少儿书籍的销售情况，随机调查几个路边书摊少儿书籍的销售情况.
2. 某环保网站正在对“如何看待使用一次性筷子”进行在线调查，了解人们的环保意识.
3. 电视节目根据热心观众的身份证号码、手机号码抽取幸运观众，采用滚动号码的现场开奖方式.
4. 小强想了解人们的属相规律，从本校七、八、九三个年级随机各抽取一个班进行调查.
五、对下列说法谈谈你的看法（每小题6分）
1. 某彩票的中特等奖机会是1%，所以买1注不可能中特等奖，买100注一定能中特等奖.
2. 抛掷两个普通的正方体骰子，掷得两个5的概率是的一半.
六、专家提醒：目前我国儿童、青少年的健康存在着五个必须重视的问题：营养不良和肥胖、近视、龋齿、贫血以及心理卫生.请回答：（8分）
1. 上述结果是用普查还是抽样调查得到的？
2. 设计一份调查卷，了解你所在的学校学生是否普遍存在这五个问题以及严重程度.
3. 你设计的抽样调查方案是：
《样本与总体》综合测试（A卷）
一、填空题（每题4分，共36分）
1. 了解某电视台新闻的收视率，可采用________________调查.
2. 样本数据10、11、12、13、14的标准差_________.
3. 有10张卡片，分别写有0~9这10个数字，洗匀后任意抽出一张.
抽到数字6的概率=___________ ； 抽到两位数的概率=____________；
抽到数字大于7的概率 =_______； 抽到数字是合数的概率=________.
4. 为了检查一批保险丝的安全性能，从成品中随机的取出10根进行破坏性试验，这种抽样调查_______ 代表性.
5. 一枚普通的八面体骰子各面标有1~8中的某一个数字，则P（掷得“6”）=______.
6. 袋子内有10个球，5个红球，3个蓝球，2个白球，从中任取一个，则P（红）=____， P（蓝）=_______，P（白）=___________.
7. 从54张的一副扑克牌中，任意抽取一张，恰好抽到大王的概率=______，恰好抽到10的概率=________，恰好抽到一张黑桃的概率=_________.
8. 由2、3、4三个数组成一个三位数，则组成偶数的概率为______，组成奇数的概率为______.
9. 如图，一转盘被平均分成8个扇形，涂上几种颜色，飞标打转盘，若击中黄色，则中一等奖；击中绿色，则中二等奖；击中粉色，则中三等奖.
中一等奖的概率为_________；
中二等奖的概率为_________；
中奖的概率为_____________.
二、选择题（每题3分，共24分）
1. 一个袋子中放有红球、绿球若干个，黄球5个，如果袋子中任意摸出黄球的概率为0.25，
那么袋子中共有球的个数为（ ）
A.15 B. 18 C.20 D.25
2. 在一副没有大小王的扑克牌中任意抽取一张，抽到10的概率为（ ）
A. B. C. D.
3. 某学校九年级6班有女生28人，男生26人，从中任选一个，则找到男生的概率为（ ）
A.0 B. C. D.
4.小明掷一枚硬币玩游戏，一连5次都掷出正面朝上，请问他第6次掷硬币时正面朝上的概率为（ ）
A.1 B.0 C. D.不确定
5.老师从小明、小刚、小红三位同学中选一名同学参加数学竞赛，则小刚选不上的概率为（ ）
A. B. C.0 D.
6.一盒橡皮有20个，橡皮的合格率为87．5%，从中任选一个是次品的概率为（ ）
A. B.87．5% C.12．５％　　　D.
７.一箱饮料（24瓶）中，有4瓶的盖内印有“奖”字，连续打开4瓶均未中奖，那么在剩下的饮料中任意拿出一瓶会中奖的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.抛掷一枚普通的正方体骰子，下列说法错误的是（ ）
A． 抛掷60次一定会出现10次数字1
B． 掷得任一数字的概率都相等
C． 奇数、偶数出现的机会均等
D． 出现数字2和3的概率为
三、解答题（第1、5题每题8分，其他题每题6分，共40分）
1．有两组卡片，第一组三张卡片上分别写有A、C、C；第二组五张卡片上分别写有A、B、B、C、C.试利用树状图和列表法，求从每组卡片中各抽出一张，两张都是C的概率.
内容 质量 广告 价格
品牌 A B C A B C A B C
满意的用户 194 121 117 163 172 107 98 96 100
2．小明和小强按如下规则做游戏：桌面上放有5枝铅笔，每次取1枝或2枝，由小明先取，最后取完铅笔的人获胜.如果小明获胜的概率为1，小明第一次应该取走几枝？
3．袋中有3个黑球和3个白球，每次任摸出三个，求摸出两白一黑的概率.
月用水量（吨） 10 13 14 17 18
户数 2 2 3 2 1
4．为了了解某小区居民的用水情况，随机抽查了该小区10户家庭的月用水量，结果如下：
⑴计算这10户家庭的平均月用水量；
⑵如果该小区有500户家庭，根据上面的计算结果，估计该小区居民每月共用水多少吨？
5．亚西亚商场对销售量较大的A、B、C三种品牌的洗发精进
行了问卷调查，发放问卷270份（问卷由单选和多选题组成）
对收回的238份问卷进行了整理，部分数据如下：
（一）最近一次购买各品牌洗发精用户的比例（右图）
（二）用户对各品牌洗发精满意情况汇总表：
根据上述信息回答下列问题：
⑴A品牌洗发精的主要竞争优势是什么？你是怎样看出来的？
⑵广告对用户选择品牌有影响吗？请简要说明理由.
⑶你对厂家有何建议？
6．质量检查员准备从一批产品中抽取10件进行检查，如果是随机抽取，为了保证每件产品被检的机会均等.
⑴请采用计算器模拟实验的方法，帮质检员抽取被检产品；
⑵如果没有计算器，你能用什么方法抽取被检产品？
《样本与总体》综合测试（B卷）
一、填空题（每题4分，共36分）
1． 某市区有3000名初中毕业生参加毕业考试，为了考察他们的数学考试情况，从中抽取了100份试卷进行成绩分析，在这一问题中，总体________________，样本_______________________.
1． 为了了解某中学全体学生的身高情况，从中抽取了80名学生，测得这80名学生的平均身高为1．72米，则全校学生的平均身高约为________.
2． 掷两枚硬币，出现两个反面的概率=_____，一正一反的概率=________.
4． 在一个袋子内有相同的球20个，其中蓝球8、红球6个，从中任意抽取一个，则取到蓝球的概率为_________，取到红球的概率为________.
5． 小明从家出发到学校，共计经过3个路口，每个路口都有红绿灯，他在每个路口遇到红灯的概率都是，则他从家到学校一路通行无阻的概率为________.
6． 有五只灯泡，其中2只是次品，从中随机抽取一只，恰为合格品的概率为______.
7． 如图，转盘被分成4个全等的扇形，转动转盘，当转盘
停止后，指针指向红色区域的概率为______.
8． 同时抛掷两枚正四面体骰子，出现点数之和为5的概率为_____.
9． 某商场6月份随机抽查了其中5天的营业额（如下表，
单位：万元），估算该商场6月份的总营业额，约为_______万元.
日期 2 7 16 23 29
营业额 ２．４ ３．５ ３．３ ２．６ ３．８
二、选择题（每题3分，共24分）
1．下列情况，适合用抽样调查的是（ ）
A. 了解某校考生的高考录取率 B. 了解一批种子的成活率
C. 了解某学科教材编印的错误率 D. 了解某飞行学员视力的达标率
2． 用下列抽样的统计的结果能估计总体情况的是（ ）
A.商场6月份的销售情况进行统计，估算全年销售额
B.学校三（4）班学生的身高进行测量，估算全校学生的平均身高
C. 从50名学生中随机抽取3名学生，测量他们的视力，估算这50名学生视力
D. 从一批灯泡中随机抽取10只进行试验，估算这批灯泡的使用寿命
3．为2cm、3cm、4cm、5cm的四条线段中，随机取出三条，能构成三角形的概率为（ ）
A. 0.2 5 B. 0. 5 C. 0. 75 D. 1
4．1、2--120这120个整数中随机取一数x，则x既能被2整除，又能被5整除的概率为（ ）
A. B. C. D.
5．有5只白球，n只红球，从中任取一只，恰好为红球的概率是，n的值为（ ） A. 16 B. 10 C. 20 D. 12
6．九年级（6）班同学在一起玩报数游戏，第一位同学从1开始报数，当报到5的倍数时，则必须跳过该数报下一个数，依次类推，第26位置上的小强应报出的数是（ ）
A. 28 B. 29 C. 30 D. 31
7．下列事件概率与其他三个不相同的是（ ）
A. 下雨天，街上行人打伞的概率
B. 抛掷一枚普通的骰子，出现点数不大于6的概率
C. 随机画一菱形，对角线互相垂直平分的概率
D. 三角形中两边之和大于第三边的概率
三、解答题（第5、6每题8分，其他题各6分，共40分）
1．甲、乙两人在玩抛掷两枚硬币的游戏，如果两枚硬币朝上的图案相同，则甲获胜，否则乙获胜，有同学认为：甲获胜的概率大.你同意吗？说明理由.
2．盒子中装有均匀的三个球，其中2白1黑.
⑴从盒子中随机摸出一个球，记录下颜色后放回盒中，摇匀后再摸出一个球，两次摸出的都是白球的概率是多少？
⑵从盒子中随机摸出两个球，那么两个球都是白球的概率是多少？
3． 良蔬菜品种，可用基因技术将甲、乙两个系列的优质品种配对杂交，形成强强优势.已知甲系列有a1、、a2、、a3、、a4、a5、、a6六个优质品种，乙系列也有b1、b2、b3、b4、b5、b6六个优质品种.则随机配对时，则下标相同（如a5 b5）配对的概率是多少？
4． 举办有奖销售活动，办法如下：凡购买100元者，得奖卷一张，多购多得，每10000张奖卷为一个开奖单位，设：特等奖1个，奖金1万元；一等奖10个，各得奖金1000元；二等奖100个，各得奖金100元.问：
⑴1张奖卷的中奖概率为多少？
⑵这种促销方法与商品打九五折相比，哪种方法向顾客让利更多？请计算说明.
5．甲、乙两人手中分别拿着写有1、2、3、4、5、6数字的6张卡片，两人各自将手中的卡片任意混合后，各随机拿出一张，要求丙计算其和.
⑴用表格列举出所有可能的结果；
⑵每一种结果出现的机会是否均等？
⑶出现和为8的概率有多大？各种结果出现的概率之和是多少？
6. 进行项目投资时，通常先进行期望值预测，在许多情况下，人们总是投资期望值较高的项目（期望值=成功的概率×成功所产生的利润—失败的概率×失败所造成的亏损）.某厂生产A、B两种新产品，各需投资50万元，在确定选哪一种新产品之前，分别对两种新产品进行了50次小型的试制实验，其中A产品试制成功次数为40次，B产品试制成功次数为30次，A、B两产品如果生产成功，当年可分别赢利75万元和100万元，如果失败将亏损全部投资.假如你是该厂厂长，你将选择投资哪一个项目？为什么？
2400
黑
黑
黑
黑
粉
粉
绿
黄
A
41%
B
31%
C
22%
其他
6%
红
红
绿
黄
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第18部分 数据分析与决策
课标要求
1、 能根据问题查找有关资料，获得数据信息；对日常生活中的某些数据发表自己的看法.
2、 根据统计结果作出合理判断和预测，体会统计对决策的作用，能比较清晰地表达自己的观点，并进行交流.
3、 认识到统计在社会生活及科学领域中的应用，并能解决一些简单的实际问题.
中招考点
根据具体问题的需要从媒体中获取数据、处理数据、合理判断和预测 ，比较清晰地表达自己的观点；能够设计调查方案；会用统计和概率知识进行决策.
典型例题
例1 某药品广告称：该药品在治疗一种疾病中的有效率达90%，你对这则广告有何看法？
分析：药品治疗疾病的有效率是靠临床获得的，因此数据是否可靠，主要看抽样的样本是否合理.
解： 如果样本不是随机选取或选取的样本较小，则该广告中结论就不大可靠.
方法技巧：样本对总体的估计中，应注意样本的代表性和样本的容量.
例2 某校九年级8名数学教师，拟从4名学生中选拔2名参加全国数学竞赛，为了使所选拔的学生符合多数教师的意愿，请你帮助设计一个选拔方案，说明调查和决策的方法.
分析：由于8名数学教师人数较少，可采用问卷调查的方式，用唱票或赋分的方式解决.
解： 对8名数学教师进行问卷，用唱票的方法，统计4名学生的得票，取前两名；或用赋分的方法，每位老师对4名学生排序，第一名计5分，第二名计3分，第三名计2分，第四名计1分，每位学生所得分相加，前两名学生入选.
方法技巧：对调查收集到的数据有时可用几种方式加以整理，其中赋分法是常用的一种方法.
例3 小明的爸爸买天天彩的时候，特地查询了前8期的中奖号码，分别是：296、972、627、379、176、461、078、208，认为下一期的中奖号码中含9的可能性非常大，你同意吗？说说你的理由.
分析：彩票摇奖时各数字出现的概率相同，不存在数字出现机会大小的问题.
解： 不同意，因为每次摇奖时，各数字出现的概率是相同的.
反思：正确看待彩票问题，不能沉迷其中.
例4 调查员希望了解某水库中鱼的养殖情况；
⑴怎样了解鱼的平均质量？
⑵怎样了解鱼的总尾数？
分析：进行统计时，用样本估计总体是常用的思想方法.希望同学们能够理论联系实际，在理论知识指导下进行决策.
解：⑴可以用样本估计总体的方法，随机抽取水库中的一部分鱼，通过计算它们的平均质量估计整个水库中鱼的平均质量.⑵随机抽取水库中的m条鱼，做好标记后放回；待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再随机抽取水库中的n条鱼，假如有p条身上带有标记，即可估计水库中有条鱼.
强化练习
1、 一则广告称：据调查，使用本厂牙膏可以使蛀牙
率减少10%，如图是调查得到的数据，
你怎样看待这则广告？
2、 以下是一些来自媒体的信息，读后你有什么想法？
⑴某个学生网站进行的一次网上调查显示：中学生经常吃肯德鸡的比例超过80%，这个数据可信吗？为什么？
⑵某高校在招生广告上称：本校研究生毕业就业率为100%，本科毕业生就业率为96%，专科毕业生就业率为90%，总的毕业生就业率为95%.
⑶某房产广告称：本地区居民年收入8万元.（事实上该地区居住了许多普通工人家庭，只有几户富翁）
3、 小明就本班同学的学习习惯进行一次调查，他设计了以下三个问题；
⑴每天你有多少时间来做作业？
⑵你上课认真听讲吗？
⑶你抄袭别人作业吗？
说说他的调查中存在的问题和你的建议.
4、 从甲、乙两种玉米苗中各抽取10株，测量株高如下：（单位：cm）
甲：26、40、40、37、22、14、19、39、21、42
乙：27、16、44、27、44、16、40、40、16、40
通过计算判断：哪种玉米长得高？哪种玉米长得整齐？
5、 某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评，A、B、C、D、E五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班50位同学参与了民主测评，结果如下表所示：
演讲答辩得分表（ 单位：分）
A B C D E
甲 90 92 94 95 88
乙 89 86 87 94 91
民主测评票数统计表（ 单位：张）
“好”票数 “较好”票数 “一般”票数
甲 40 7 3
乙 42 4 4
规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；
民主测评得分=“好”票数×2分+“较好”票数×1分+“一般”票数×0分；
综合得分=演讲答辩得分×（1-a）+民主测评得分×a（0．５≤a≤0．８）.
⑴当a=0．6时，甲的综合得分是多少？
⑵a在什么范围时，甲的综合得分高？a在什么范围时，乙的综合得分
反馈检测
一、填空题（每空4分，共64分）
1、 媒体是获取信息的一个重要渠道，主要媒体有__________________________.
2、 天气预报说：明天下雨的可能性是90%，那么明天出门应带上___________.
3、 媒体中有大量的数据，利用这些数据可以获取大量信息，但这些信息有时是____可靠的.
4、 对数据进行分析通常要考虑：调查的对象是否具有_____，调查的数量是否足够___.
5、 把各指标在总结果中所占的______称为每个指标获得的权重，各指标乘以相应的权重后所得的平均数叫做___________.
6、 标准分是以群体的_____为参照，以_____为度量单位的一种分数，它能够直接反映个人在群体中的________水平状况，标准分=________________________________________.
7、 随机抽取某城市一年（以360天计）中的日平均气温状况统计如下：
温度(0C) 10 14 18 22 26 30 32
天数t 3 5 5 7 6 2 2
请根据上述数据填空：
⑴该组数据的中位数是______0C；
⑵该城市一年中日平均气温为260C的约有______天；
⑶若日平均气温在170C~230C为市民“满意温度”，则该城市一年中达到市民“满意温度”的约有________天.
8、 五个正整数从小到大排列，中位数为4，唯一众数为5，这五个正整数的和是__________.
9、 为了了解我国14岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高为1.60米, 从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50厘米,由此可推断我国14岁男孩的平均身高约为____________.
10、一个植树小组共6名同学，其中2人各植树20棵，3人各植树16棵，有1人植树14棵，那么平均每人植树_______棵.
二、解答题（每题9分，共36分）
1、 某厂家在其产品电视广告中说：其产品的合格率比其他同类产品的合格率高20%，你对此有何看法？你一定选用该厂产品吗？
2、 学校准备成立排球、篮球、舞蹈、美术特长班，就这个问题进行了一次抽样调查，甲、乙两同学对得到的数据进行了整理，甲得出的结论是：喜欢美术的人数最多；乙得出的结论是：男生中喜欢篮球的人比女生中的多.这两个结论中一定有一个错误吗？他们得出的结果为什么不同？
3、 某厂生产一种中学生使用的学具，想在电视台做销售广告，但不知道哪类节目的中学生收视率高，就这个问题他们想在中学生中开展调查，请你帮助他们做一个调查设计：⑴怎样选择调查对象？⑵怎样设计问卷？⑶怎样整理调查数据和给出结论？
4、 学校组织领导、教师、学生、家长等人对教师的教学质量进行综合评分，满分为100分，李老师的得分情况如下：领导平均打分80，教师平均打分76，学生平均打分90，家长平均打分80.如果按照1:2:4:1的权重进行计算，李老师的综合得分应为多少？
《数据分析与决策》综合测试（A卷）
解答题（每题10分）
1. 炒股者可通过哪些渠道了解股市行情，进行股票买卖决策？
2. 某个磁带专卖店，最近老板想购进一批磁带.于是他上网查询了哪种磁带最畅销，获得截止2005年第三季度的最新数据，如下表所示：（单位：万盒）
流行歌曲 中国民族器乐 国外钢琴曲
2003 1050 180 176
2004 1140 184 180
2005前三季度 960 144 150
你认为该怎样进货？
3. 报纸上刊登了一则新闻：在工商部门的检查中，某食品的合格率为80%.
⑴这则新闻是否说明了市面上所有的这种食品中恰有20%的不合格？
⑵你认为这则消息源于普查还是抽样调查？
⑶如果已知在这次检查中的这种食品有400件是合格的，你能算出共有多少件这种食品接受检查了吗？
4. 某学校在媒体上发布广告称，该学校师资力量雄厚，教学设备先进，用一种独特的教学方法可以使高考落榜生通过一年时间复习，100%升入大学，你如何评价这则广告？
5. 某风景区对5个旅游景点的门票价格进行调整，要求调价前后各景点的旅游人数基本不变. 在价格听证会上，景点出示了如下数据：
景点 A B C D E
原价（元） 10 10 15 20 25
现价（元） 5 5 15 25 30
平均日人数（千人） 1 1 2 3 2
在听证会上该风景区称调价前后这5个旅游景点的门票的平均收费不变，平均日总收入持平.问风景区是怎样算出来的？你同意这种说法吗？若不同意，你认为调价前后，风景区的平均日总收入相对于调价前，实际增加了多少？
6. 某旅行社进行一次抽样调查，调查问题如下：
⑴你的月收入：A．1000元以下 B．1000元~3000元
C．3000元~5000元 D．5000元以上
⑵你平均每年用于旅行的支出（不包括公费）：
A．1000元以下 B．1000元~3000元 C．3000元~5000元 D．5000元以上
请你设计一张统计表，用以整理以上问题的结果.
7. 某服装公司想就其产品的价格以及质量进行一次简单的调查，调查的问题为：
你不认为我公司的产品质优价廉吗？A．是 B．不是.
你认为调查问题的设计有什么值得改进吗？你有更好的问法吗？
8. 内蒙古赤峰地区为估计该地区黄羊的数目，先捕捉20只黄羊给他们分别作上记号，然后放还，待有标记的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉40只黄羊，发现其中2只有标记，请你估计该地区黄羊的数目.
9. 某商店选用每千克28元的甲种糖3千克，每千克20元的乙种糖2千克，每千克12元的丙种糖5千克，混合后杂拌出售，请你帮助商店给出这种杂拌糖的出售价格.
10. 某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售额，统计了这15人某月的销售量如下：
每人销售件数 1800 510 250 210 150 120
人数 1 1 3 5 3 2
⑴求这15位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数.
⑵假设销售部负责人把每位营销员的月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较为合理的销售方案，并说明理由.
《数据分析与决策》综合测试（B卷）
解答题（每题10分）
1. 某校举行了一次演讲比赛，由7位评委现场打分，已知7位评委给某位演讲者的打分如下：
9.2 9.8 9.6 9.5 9.5 9.4 9.3
请你利用所学的统计知识，给出这位演讲者的最后得分（精确到0. 01）.
2. 某中学要召开运动会，决定从九年级全部150名女生中选30人，组成一个彩旗方队（要求参加方队的同学的身高尽可能接近）.现在抽取了10名女生的身高，结果如下（单位：厘米）：
166 154 151 167 162 158 158 160 162 162
⑴依据样本数据估计，九年级全体女生的平均身高约是多少厘米？
⑵这10名女生的身高的中位数、众数各是多少？
⑶请你依据样本数据，设计一个挑选参加方队的女生的简要方案.
3. 某企业在招工广告中称：本企业所有员工的平均月工资为3000元，你愿意受聘于该企业吗？为什么？
4. 一次科技知识竞赛，两组学生成绩统计如下：
分数 50 60 70 80 90 100
人数 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
已经算得两个组的人均分都是80分，请根据所学的统计知识，进一步判断这两个组这次竞赛成绩谁优谁劣，并说明理由.
5. 某公司招聘新职员，按学历、经验、工作态度三方面评分.从众多的应征者中选出了三位，有关数据如下表：
甲 乙 丙 平均分 标准差
学历 60 65 70 60 8
经验 65 60 50 55 10
工作态度 78 78 70 60 12
请你根据每个人的标准分录取一人.
6. 某班进行个人投篮比赛，受污损的下表记录了在规定时间内投进n个球的人数分布情况：
进球数n 0 1 2 3 4 5
投进n个球的人数 1 2 7 2
已知进3个球及3个以上的人平均投进3. 5个球；进4个球或4个以下的人平均投进2. 5个球，问投进3个球和 4个球的各有多少人？
7. 某专业户要出售100只羊，现在市场上羊的价格为每千克11元，为了估计这100只羊能买多少钱，该专业户从中随机抽取5只羊，重量记录如下：（单位：千克）
26 31 32 36 37.
⑴估计这100只羊每只的平均重量；
⑵估计这100只羊一共能买多少钱？
8. 为了了解某市高速公路入口的汽车流量，一考察组在某天上午在该入口处，每隔相等的时间，对3分钟内通过的汽车的数量作一次统计得到如下数据：
记录次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次
3分钟内通过的汽车数 49 50 64 58 53 56 55 47
⑴求平均每分钟通过汽车多少辆？
⑵试估计：这天上午，该入口处平均每分钟通过汽车多少辆？
9. 如下图，是根据央视网站提供的信息，绘制的我国北方沙漠化土地成因的数据条形图，请根据这些信息，提出你关于治理沙漠化的一些建议.
10. 小强家想购买一套商品房，他爸爸通过媒体查询，获得以下信息：
位置 面积（平方米） 房价（万元） 到小强学校的距离
A处 82 20 0.5
B处 67 13.2 2
C处 73 14.6 1
D处 84 16 0.8
已知小强家对住房面积要求在60~90平方米之间,考虑到房价及到小强学校的路程，你认为小强家可选上述四处中的哪一处住房好呢？简述选择理由.
30%
40%．
50%．
非本厂牙膏
本厂牙膏
蛀牙率
.
10%
.
20%
.
30%
1.7%
5.5%
8.3%
31.7%
28.3%
25.4%
公交城市建设
自然因素
水资源利用不当
过度采伐
过度放牧
过度农垦
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第21部分　轴对称
课标要求
（1）图形的轴对称。
①通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质。
②能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴。
③探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相关性质。
④欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计。
（2）等腰三角形.
了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质[2]和一个三角形是等腰三角形的条件[3]；了解等边三角形的概念并探索其性质。
（3）线段的中垂线和角的平分线
①了解线段垂直平分线及其性质[1]。
②了解角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，角的内部到两边距离相等的点在角的平分线上。
[注解] [1] 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
[2] 等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线三线合一。
[3] 有两个角相等的三角形是等腰三角形。
第一讲 等腰三角形
中考考点
1. 等腰三角形
（1）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”
注意：常结合三角形内角和定理及推论解决角度的计算问题.
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合。
注意：等腰是前提条件，一条线段为顶角平分线（或底边上的中线或底边上的高线）是必要条件，这两个条件必须同时具备，才能得出这条线段也是底边上的中线和底边上的高线（其他两条）的结论。
特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°。
（2）等腰三角形的判定：“等角对等边”
2. 等边三角形
（1）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°
（2）等边三角形的判定
①有三条边相等的三角形是等边三角形。
②有三个角相等的三角形是等边三角形
③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。
典型例题解析
例1 （1）等腰三角形的一个角是32°，求底角.
　　 （2）等腰三角形的一个角是100°，求底角.
分析：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，须分情况讨论，但顶角可以是锐有、直角、钝角，而底角只能是锐角 .
解：（1）当32°是底角时，底角即为32°；
　　　　 当32°是顶角时，底角为，即为74°.
　　（2）因100°只能是顶角，所以底角是，即为40°.
例2 有一个等腰三角形，三边分别是3x－2,4x－3,6－2x,求等腰三角形的周长.
分析：已知等腰三角形三边长，说明必有两边相等，但必须分三种情况分析 .
解：（1）当3x－2＝4x－3时，即x＝1，
　　　　 则三边为1，1，4，
　　　　 由于1＋1＜4，所以不成立；
　　（2）当3x－2＝6－2x时，
　　　　 即，则三边为
　　　　由于，所以成立；
　　（3）当4x－3＝6－2x时，即x＝1.5，
　　　　 则三边为2.5，3，3，
　　　　 由于2.5＋3＞3，所以成立.
由上可知等腰三角形周长为9或8.5.
注意 涉及到边的问题时，可以按腰、底边分类讨论。
例3.如图的三角形测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂。调整架身，使点A恰好在重锤线上。这时BC处于水平位置，为什么？
解：∵ AB=AC，BD=CD
∴ AD⊥BC(三线合一)
∵使点AD恰好在重锤线上
∴BC处于水平位置
例4. 上午8时，一条船从A处出发，以15海里/时的速度向
正北航行，9时45分到达B处。从A测得灯塔C在北偏西26°，
从B测得灯塔C在北偏西52° ,求B、C两点的距离.
解：据题意得，∠A＝26°，∠DBC＝52°
∵∠DBC＝∠A+∠C
∴ ∠A＝∠C ＝26°
∴AB=BC
∵ AB=
∴BC＝26.25（海里）
答：B、C两点的距离为26.25海里.
注意 “如果一个三角形的外角等于和它不相邻的一个内角的2倍，那么这是一个等腰三角形”，这是判定一个三角形为等腰三角形的重要方法。
例5 已知：如图， ∠ DAC是△ ABC的 外角， ∠1= ∠2,且AE∥BC。
求证: AB=AC
证明:∵ AE∥BC
∴ ∠1= ∠B(两直线平行,同位角相等)
∠2= ∠C(两直线平行,内错角相等)
∵ ∠1= ∠2
∴∠B= ∠C
∴ AB=AC(等角对等边)
例6 如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，
CE平分∠ACB，CE与BD交于点O，求图中所有的等腰三角形.
分析：识别等腰三角形关键寻找该三角形是否有两边相等或两个内角相等，一般用到三角形内角和与外角定理及等腰三角形性质与角平分线、平行线等性质 .
解：∵ AB＝AC，
　　∴∠ABC＝∠ACB＝
　　∵BD、CE平分∠ABC、∠ACB
　　∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝∠BCE＝36°
　　∴∠A＝∠ACE, ∠A＝∠ABD, ∠OBC＝∠OCB
　　∴△ABD、△ACE、△OBC是等腰三角形.
　　又∵∠BEC＝∠A＋∠ACE＝72°
　　　∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°
　　　∠BOE＝∠COD＝∠OBC＋∠OCB＝72°
　　∴∠BEC＝∠ABC，∠BDC＝∠ACB
　　∠BEO＝∠BOE，∠ODC＝∠COD
　∴△BOE、△COD、△BCE、△BCD是等腰三角形.
∴图中等腰三角形共有8个，分别是△ABC、△ABD、△ACE、△OBC、△BOE、△COD、△BCE、△BCD.
例7 如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，延长BC到点E，
使CE＝CD，AB＝10cm.
　　 （1）求BE的长；
　　 （2）△BDE是什么三角形，为什么？
分析：（1）欲求BE，即求BC与CE的和，而BC＝AB＝10cm，即求CE. CE在△DCE中，寻找关系CE＝CD，即求CD，D为AC的中点，则CD＝5cm.
　　（2）利用等边三角形的三线合一的性质，求∠DBE＝∠E.
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
　　　　 ∴AB＝AC＝BC＝10cm
　　　　 又D是AC的中点，
　　　　 ∴ CD＝AC＝5cm
　　　　 又CD＝CE
　　　　 ∴ CE＝5cm
　　　　 BE＝BC＋CE＝10＋5＝15cm.
　　（2）△BDE是等腰三角形，理由：
　　　　 ∵等边△ABC，D是AC的中点，
　　　　 ∴∠ABC＝∠ACB＝60°
　　　　 ∠DBC＝
　　　　 又∵CD＝CE
　　　　 ∴∠CDE＝∠CED
　　　　 又∠ACB＝∠CDE＋∠CED
　　　　 ∴ ∠DEC＝
　　　　 ∴∠DBE＝∠CED
　　　　 ∴BD＝ED
　　　　 ∴△BDE是等腰三角形.
例8 求证：等腰三角形两底角的角平分线的交点到底边的两端点距离相等。
分析：这是一个文字叙述的几何证明题。因此首先要分清题设和结论。根据题设和结论画出图形，并标上字母，再根据图形写出已知、求证，然后证明。
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE是两条角平分线，
并且BD、CE交于点O。
求证：OB＝OC。
分析：要证两条线段相等，我们目前有三种方法：
一是证这两条线段所在的两个三角形全等；二是利用角平分线的性质定理；三是利用等腰三角形的判定定理。
由于要证的两条线段OB、OC在同一个三角形中，故可考虑利用“等角对等边”。将问题转化为证明这两条线段所对的两个角相等.
证明: ∵ AB=AC(等角对等边)
∴∠ABC= ∠ACB
∵BD、CE是两底角的平分线
∴ ∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB
∴ ∠OBC=∠OCB
∴OB＝OC。
强化训练
一、填空题
1.若等腰三角形的一边长为4cm，周长为10cm，则另外两边长为__________.
2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的底角为__________.
3.在等腰三角形中，若一个内角是另一个内角的2倍，则它们的顶角为__________.
4.如图所示，∠A＝20°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠FEM＝__________.
　5.等腰三角形底边长为6cm，一腰上的中线把它的周长分为两部分的差为2cm，则该三角形的腰长为__________.
二、选择题
1.底和腰不相等的等腰三角形，其角平分线、中线和高一共有（ ）条.
A.3 B.5 C.7 D.9
2.等腰三角形的底角与相邻角的关系是（ ）
A.底角大于等于相邻外角；B.底角小于等于相邻外角
C.底角大于相邻外角 ； D.底角小于相邻外角
3.如果一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，那么这个三角形的底角为（ ）度.
A.45° B.67.5° C.90° D.135°
4.已知：如图，在△ABC中，D、E是BC上两点，AD、AE分别平分∠BAE、∠DAC，若∠B=∠C，∠ADE=∠AED=2∠B，则图中共有（ ）个等腰三角形
A.3 B.4 C.5 D.6
5.下列命题正确的是（ ）
A.顶角相等的两个等腰三角形全等
B. 等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角等于顶角的一半
C.△ABC中，∠C=2∠B，则AB=2AC
D.等腰三角形底边上的高不会等于底边的一半 .
6.下列语句正确的有（ ）个；
（1）等腰三角形的高一定平分底边；（2）等腰三角形的角平分线垂直平分对边；
（3）等腰三角形底角平分线垂直一腰；（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等。
A 1 B 2 C 3 D 4.
三、解答下列各题
1.已知△ABC中，∠C=90°，沿过B的一条直线BE折叠这个三角形，使点C与AB边上的一点D重合，如图所示（1）要使D恰为AB的中点，还应添加一个什么条件？（请你写出三种不同的添加条件）（2）选择（1）中的某一个添加条件作为题目的补充条件，试说明其能使D为AB中点的理由。
解（1）添加条件：① ；② ；③ 。
（2）说明：
2.已知:如图,在△ABC中， AB=AC, BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB并交于点O,过点O作 DE∥BC.问图中有多少个等腰三角形
3..如图：已知△ABC中，AD=CD=DB。求证：∠ACB=90°
4.如图所示，在△ABC中，∠A＝100°，BD＝BE，CD＝CF，求∠EDF的度数.
第二讲 轴对称 线段的垂直平分线、角平分线
中考考点
1.轴对称和它的性质
（1）如果一个图形沿着一条直线折叠，能够和另一个图形相互重合，那么这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是它的对称轴。
（2）①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等.
②如果两个图形关于某条直线对称,则对称轴是对应点连线的垂直平分线.
③两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么它们的交点在对称轴上.
（3）轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
2. （1）线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线的一点，到这条线段的两端的距离相等。
反过来，到线段的两端的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
（2）角平分线的性质
　在角的平分线上的点到这个角的两边距离相等．　　
典型例题解析
例1 填空题
（1）．下列数字中，0、 1、2、3、4、5、6、7、8、9，是轴对称的有 。 请找出3个轴对称的汉字 。
（2）.下列图形中，是对称图形的且只有一条对称轴的是 ，有两条对称轴的是 ，有三条对称轴的是 ，有无数条对称轴的是_______。
例2 如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同旁，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两池，问该站建在河边哪一点，可使所修的渠道最短，试在图中画出该点（不写作法，但要保留作图痕迹）
作法：1.作A关于a的对称点A`;
2.连结A`B交a于点P.
则点P即为所求.
例3 已知△ABC中，AB＝AC＝8cm，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN分别交AB于D，交AC于E，
BC＝6cm。求：(1)∠EBC的度数；(2)△BEC的周长
解:①∵∠A=50 °
∴ ∠ABC+∠C=130°
∵AB=AC
∴ ∠ABC=∠C=65 °( )
∵ DE是AB的垂直平分线
∴EA=EB( )
∴ ∠A= ∠ ABE=50 °
∴ ∠EBC =15 °
②∵ EA=EB
∴ BC+EC+CE=BC+EA+CE
=AC+BC=8+6=14(cm)
即 △BEC的周长为14cm
例4.△ABC中，AD⊥BC于D，AB＋BD＝DC
求证：∠B＝2∠C
证法1：在DC上截取DE＝BD
则DC－BD＝DC－DE＝EC
而AB＋BD＝DC
即DC－BD＝AB
∴EC＝AB
∵AD⊥BC于D
∴AD是BE的垂直平分线
∴AB＝AE（垂直平分线定理）
∴∠B＝∠AEB（等边对等角）
∴AE＝EC
∴∠EAC＝∠C
又∠AEB＝∠C＋∠EAC＝2∠C
∴∠B＝2∠C
证法2：延长DB到E，
使BE＝AB则AB＋BD＝DE
∵AD⊥BC　AB＋BD＝DC
∴AD是EC的垂直平分线（垂直平分线定义）
∴AE＝AC
（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）
∴∠E＝∠C（等边对等角）
又∠E＝∠EAB（等边对等角）
∠ABD＝∠E＋∠EAB＝2∠C
即∠B＝2∠C
【注意】有关线段和或差的问题，或者已知有关线段和或差的条件常常采取“截长”或者“补短”的办法来解决。“截长”就是在较长的线段上截取一条线段等于其中较短的线段，从而添上辅助线，如本题中的证法1。类似的，证法2即为“补短”。
强化训练
一、判断题
（1）关于某一条直线对称的两个图形叫轴对称图形.( )
（2）等腰三角形底边中线是等腰三角形的对称轴.( )
（3）若两个三角形三个顶点分别关于同一直线对称，则两个三角形关于该直线轴对称.( )
（4）轴对称图形的对称轴有且只有一条.( )
（5）正方形的对称轴有四条. ( )
二、选择题
1.△ABC中∠C=Rt∠，有一点既在BC的对称轴上，又在AC对称轴上，则该点一定是( )
A.C点 B.BC中点 C.AC中点 D.AB中点
2.在角、线段、等边三角形、平行四边形形中，轴对称图形有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.下列说法正确的是( )
A.等边三角形只有一条对称轴 B.等腰三角形对称轴为底边上的高
C.直线AB不是轴对称图形 D.等腰三角形对称轴为底边中线所在直线
4. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
5.点O为锐角△ABC的∠C平分线上一点，O关于AC、BC的对称点分别为P、Q，则△POQ一定是( )
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
6.下列图形中，既是轴对称，也是中心对称的图形是 （ ）
A、 B、 C、
A、 B、 C、 D、
三、填空题
1. 一个等腰三角形中，角平分线、高线和中线的总数最多有_____条.
2.下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其它三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由．答：图形 ；理由是 ：
3.如图2（3），ABC中，DF是边AC的垂直平分线，AC=6cm，ABD的周长为13cm，则ABC的周长为______.
4.已知：如图2（4），把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O．写出一组相等的线段________（不包括AB＝CD和AD＝BC）．
5.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，点C落在点的位置，则与BC之间的数量关系是 ．
四、解答题
1. 如图，在正方形网格上有一个△ABC.
（1）作△ABC关于直线MN的对称图形（不写作法）；
（2）若网格上的最小正方形的边长为1，求△ABC的面积.
2、如图所示，P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，MN分别交OA、OB于E、F.⑴若△PEF的周长是20cm，求MN的长.
⑵若∠AOB=30°，试判断△MNO的形状，并说明理由
3.在△ABC中，∠B＝2∠C，AD为∠A的平分线。求证：AC＝AB＋BD。
第21部分复习测试题
一、填空
1.（2003年湖北省宜昌）三角形按边的相等关系分类如下：
2.（深圳市2004年）等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，则它的周长为________.
3. （四川资阳2004）如图，在ΔABC中，BC=5 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则ΔPDE的周长是___________ cm.
4. (2003年湖北省娄底)等腰直角三角形一条直角边的长为1cm，那么它斜边长上的高是__________　　　　cm.
5.（河南省2003年）如图，在等腰梯形ABCD中AD//BC，
AB=DC，CD=BC，E是BA、CD延长线的交点，∠E=40°，
则∠ACD=____________度.
6. (南宁市2003年) 将一张长方形的纸对折，如图5所示可得到一条折痕（图中虚线）．续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到 条折痕．如果对折n次，可以得到 条折痕．
7.（宁夏2003）将一个正六边形的纸片对折，并完全重合.那么，得到的图形是____边形,它的内角和（按一层计算）是_____度.
8.（北京市石景山区2004）．在你学过的几何图形中，是轴对称图形的有______________（写出两个即可）。
9.（连云港市2004年）．如图，平面镜A与B之间夹角为110°，光线经平面镜A反射到平面镜B上，再反射出去，若，则的度数为 ．
10．（浙江省温州市2003年）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是　　　 ．
二、选择题
1 哈尔滨市2003年如图2(1)，△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为．（ ）
（A）30° （B）36° （C）45° （D）70°
2.(青海省2003)若等腰三角一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（ ）
（A）或　（B）或　（C）　（D）
3.（重庆市2003年）如图：△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD。有下列四个命题：①∠PBC＝150；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直；④四边形ABCD是轴对称图形。其中正确结论的个数为（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
4.（2004年南通市）已知等腰三角形的一个底角等于30°，则这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A、150° B、120° C、75° D、30°
5.（长春市2004年）下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中，是轴对称图形的有（ ）


　　　　A．1个 　　B．2个 　　　　C．3个 　　D．4个
6.（2003年陕西）将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）．
A 矩形 B 三角形
C 梯形 D 菱形
7.（2003上海闵行）如图，在Rt△ABC中，∠C＝900，直线BD交AC于D，把直角三角形沿着直线BD翻折，使点C落在斜边AB上，如果△ABD是等腰三角形，那么∠A等于（ ）
A、600 B、450 C、300 D、22.50
三、完成下列各题
1．（2003年山西）请用1 个等腰三角形，2个矩形，3个圆，在下面的方框内设计一个轴对称图形，并用简炼的文字说明你的创意。
2.（2003湘潭市）如图，107国道OA和320国道OB在我市相交于O点，在的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使P到OA、OB的距离相等，且使PC=PD，画出货站的位置（不写画法，保留作图痕迹，写出结论）.
3（长春市2004年）．如图，Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）请以AC所在的直线为对称轴，画出与△ABC成轴对称的图形；
（2）所得图形与原图形组成的图形是等腰三角形吗？请说明理由.
4．（河南省2003年）已知：如图8，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为点E，BF//AC交CE的延长线于点F.求证：AB垂直平分DF.
5.（2003年无锡市）做一做:
用四块如图1的瓷砖拼成一个正方形,使拼成的图案成轴对称图形.请你在图2、图3、图4中各画出一种拼法（要求三种拼法各不相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）.
6. （2003年山西）取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：
第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图（1）；
第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B`，得Rt△AB`E，如图（2）；
第三步：沿EB`线折叠得折痕EF，如图（3）。
利用展开图（4）探究：（1）△AEF是什么三角形？
（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由。
四、(2004泰州市)已知：如图，点D、E在△ABC的边BC上,AD=AE,BD=EC.求证：AB=AC
五、（河南省2001年）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＋BD＝AC，求∠B︰∠C的值．
第2题
第3题
第4题
第1题
第2题
第3题
图1（5）
第9题
第10题
E
图4
D
B
C
A
F
A
C
B
图2
图3
A
B
C
D
E
图四
图五
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第7部分 一元一次不等式
课标要求
1．掌握不等式的基本性质.
2．掌握一元一次不等式（组）的解法，以及在数轴上表示一元一次不等式的解集.
3．不等式组解集的理解与应用.
中招考点
1．不等式的基本性质
（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或不等式，不等号的方向不变.
（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
2．不等式（组）的解法.
（1）解一元一次不等式和解一元一次方程相类似，但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变.
（2）解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再求出它们的公共部分，就得到不等式的解集.
3.设，那么：（1）不等式组的解集是；（2）不等式组的解集是；（3）不等式组的解集是；（4）不等式组的解集是空集.
典型例题
例1 解不等式，并把它的解集在数轴上表示再来.
分析：一元一次不等式的解法步骤与解一元一次方程的步骤完全相同.
解：去分母，得
去括号得
移项，合并得
解得 .
点拨：1.解不等式去分母时两边同乘最简公分母，不能漏乘常数项.
2.化未知数系数为1时，当不等式两边同时乘以或除以同一个负数时，要改变不等号的方向.
3． 数轴上表示不等式的解集时，要注意空心圆与实心圆的不同方法.
例2 解不等式组
分析：求一元一次不等式的解集，可以先求出不等式组中各个不等式的解集，再求出这些不等式的解集的公共部分.
解：解不等式①得
解不等式②得
不等式组的解集为
点拨：确定不等式组的解集，利用口决：同大取大，同小取小，小大大小中间找，小小大大无处找.
例3 先阅读理解下列例题，再按要求完成作业.
例题（1） 解一元二次不等式 .
解：把分解因式，得
又
所以
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有
（1）或（2）
解不等式组（1）得
解不等式组（2）得
所以的解集为或.
例题（2）求不等式的解集.
分析：求分式不等式的解集与例题的方法相同，由有理数的除法法则“两数相除，异号得负”列出不等式组；解一元二次不等式是将它转化为两个一元一次不等式组后，求其解.
解：（1）由有理数的除法法则“两数相除，异号得负”有：
① ②
解不等式组①得
解不等式组②得，其解集为空集，即不等式组②无解.
所以分式不等式的解集为.
点拨：阅读理解题关键在于读懂例题部分的解题思想方法，然后利用其解题方法解答后面的问题.
一元一次不等式检测题（A）
一.精心选一选，相信自己有能力选得又快又准（每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号字母填入题后括号内）　
1.下列说法正确的是（ ）
A．a是非负数，可以表示为a≥0；
B．x是正数，可以表示为x≥0；
C．y的3倍与2的和的相反数小于0，可以表示为（－3y＋2）＜0；
D．x=3，15都是x－3＞4的解.
2.下列各式是一元一次不等式的有（ ）个
(1)8＜9； (2)a＋b≥0； (3)a2＋1＞0； (4)3x－1≤x；
(5)x－y≠1； (6)3－x=0； (7)＜3； (8)x2＋y2＞0.
A．2 B.5 C.1 D.3
3.已知4＞3，则下列结论①4a＞3a，②4a－a＞3a－a，③4a＋a＞3a＋a正确的是（ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
4.不等式-3＜x≤2的所有整数解的和是( )
A.0　　 B.6 　　C.-3　　 D.3
5.不等式3－x＜1的解集在数轴上表示正确的是( )
二.用心填一填，把正确答案填在横线上．
6.已知x＜y，用“＜”或“＞”号填空.
（1）； （2）； （3）； （4）
7.下列各数中是不等式5x－1＞0的解的有 个
-9，0，-2，3，1.5，-2.5，7.
8.下列的x值中，能使不等式x＋3＜2成立的有 个
-0.5,-1,-2,0,-3,0.5,-1.5.
9.若a＜0，则不等式ax＞x－2的解集为x＜ 　 .
10.若＞0,则xy_ __0.
11.一棵树的年龄通常可以通过测量树干离地面1.5米的地方的树围（树干的周长）计算出来.已知某种树栽种时的树围为5㎝，以后每年增加3㎝，这棵数至少生长多少年后树围才能超过2.4米？设这棵树生长x年后其树围才能超过2.4米，可列的关系式为 .
12.某班同学外出春游，要拍照合影留念，若一张彩色底片需0.57元，冲印一张需0.35元，当时参加合影的同学每人都得到了一张照片，且每人出钱不超过0.45元，问参加合影的同学至少有多少人？如果设参加合影的同学有x人，你列出的符合题意的不等式为___ .
13.某商店将彩电先按原价提高40%,然后在广告中写上大酬宾,八折优惠.结果每台彩电比原价多赚的钱数在240元以上.试问彩电原价在多少元以上 设彩电原价为x元,用不等式表示题目中的不等关系为 ；如果彩电原价是2 200元,它 （填“符合”或“不符合”）问题的要求.
三.沉着思考，认真解答下列各题，请给出必要的演算过程或推理步骤．
14.解不等式，并在数轴上表示其解集.
15. 冬天到了，小明准备用自己平时节约的16元钱为爷爷奶奶和自己买手套和袜子.已知每双手套2元钱，每双袜子3元钱，他先买了3双袜子，他最多还能买多少双手套？
16. 科学研究表明：一个人的头发每天大约生长0.32mm..一位演员的头发现在大约有30㎝长，至少几年后她才能不戴假发就能扮演发长约60㎝的少女（结果保留两位小数）？
17.商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10%，但每日耗电量却为0.55度.现将A型冰箱打折出售，问商场至少打几折，消费者购买才合算（按使用期为10年，每年365天，每度电0.40元计算）？
18. 小红买了一种导火线长度为5㎝的礼花弹，已知礼花弹燃烧速度为0.02米/秒，小红点燃礼花弹后跑开的速度为4米/秒，请问礼花弹燃放地点最多应距离安全区域多少米？
一元一次不等式检测题（B）
一、精心选一选，相信自己有能力选得又快又准（每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号字母填入题后括号内）
1.已知关于x的不等式(1-a)x＞2的解集为x＜ ，则a的取值范围是（ ）
A .a＞0　　　B. a＞1　　　C. a＜0　　　D. a＜1
2.若不等式组的解集是x＞a，则a的取值范围是（ ）.
A. a＜3　　　B. a=3　　　C. a＞3　　　D. a≥3
3.如果不等式组有解，那么m的取值范围是（　）
A. m＞8　　 B. m≥8　　 C. m＜8　　 D. m≤8
4.使两个代数式x－1与x－2的值的符号相同的x的取值范围是（　 　 ）
A. x＞2　　 B. x＜1　　 C. x＜1或x＞2　　 D. x＞1或x＜2
5.如图，ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12、BD=10
AB=m，那么m的取值范围是( )
A．1＜m＜11 B．2＜m＜22
C．10＜m＜12 D．5＜m＜6
二、用心填一填，把正确答案填在横线上.
6.恩格尔系数表示家庭日常饮食开支占家庭经济总收入的比例，它反映了居民家庭的实际生活水平，各种类型家庭的恩格尔系数如下表所示：
家庭类型 贫困家庭 温饱家庭 小康家庭 发达国家家庭 最富裕国家家庭
思格尔系数(n) 75%以上 50%—75% 40%—49% 20%—39% 不到20%
　　则用含n的不等式表示小康家庭的恩格尔系数为_ _ .
7. m＝ ________ (只填整数)时，方程组的解是非负数.
8.已知关于x的不等式组 的整数解共有5个，则a的取值范围是__ __.
9.若不等式组的解集为–1＜x＜1,那么（a+1）(b–1)的值等于 _.
10.坐在行驶的汽车上，或者在上学的路上，我们曾经看到过许多不同的交通标志图形，它们有着不同的意义，请先调查如下图所示的几个标志表示的实际意义，再用简明的数学式子写出来.（设汽车重量为x吨，速度为y千米/小时，宽度为n米，高度为h米.）
11.用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的 污水，估计积存的污水在1200吨到1500吨之间，那么大约需要多长时间才能将污水抽完？设需要x分钟才能将污水抽完，那么列出的关系式为____________.
12．有一个两位数，它十位上的数比个位上的数小2，如果这个两位数大于20并且小于40，则这个两位数是 _________.
三、沉着思考，认真解答下列各题，请给出必要的演算过程或推理步骤.
13. 先阅读，再按要求做题：
解不等式：＜0. 　　
　　解：∵ ＜0，　∴3x－6与2x＋1异号，
即：I或II　
解I的不等式组得
∴不等式组I无解;
解不等式组II得 , .
∴不等式组II的解集为,
∴原不等式的解集为.
　 请你在理解上面解题思路的启发下，解不等式(3x-6)(2x+1)＞0.
14.x取哪些整数时，代数式 与代数式的差不小于6而小于8.
15.目前农村劳动力大量流向城市,某村庄共有100名劳动力,如果在农村种地,平均每人全年可创造产值m元,现在村委会决定从中分流若干人进城打工.假设分流后,继续从事农业生产的劳动力平均每人全年创造的农业产值可增加20%,而分流到城市打工的人员平均每人全年可创造产值3.5m元,如果要保证分流后,该村农业全年的总产值不少于分流前农业全年的总产值,而进城打工人员全年创造的总产值不少于分流前该村农业全年的总产值的一半.请你帮助村主任算一下应该分流多少人进城打工.
16.某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件.已知生产一件A种产品需甲种原料9kg，乙 种原料3kg，生产一件B产品需甲种原料4kg，乙种原料10kg.
（1）设生产x件A种产品，请你写出x应满足的不等式组；
（2）如果x是整数，有哪几种符合题意的生产方案？请你帮助厂方技术人员设计一下.
（3）若生产销售一件A种产品和一件B种产品，厂方能分别获得500元和450元利润，要想获得最大的利润，厂方应选择哪种生产方案？为什么？
.
-2 -1 0 1 2
D
A
B
C
O
(第5题图)
5.5t
限重
30
限速
3.5m
限高
2m
限宽
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第22部分 平移与旋转
课标要求
1、 通过具体实例认识图形的平移变换，探索它的基本特征，理解对应点连线平行且相等的性质。
2、 能按要求作出简单的平面图形平移后的图形。
3、 通过具体实例认识旋转变换，探索它的基本特征，理解对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。
4、 认识旋转对称图形，并能按要求作出简单的平面图形旋转后的图形。
5、 通过具体实例认识中心对称，探索并理解它的基本性质，理解中心对称图形和旋转对称图形的关系，会判断中心对称图形。
6、 掌握“关于某点成中心对称”的图形的画法。
7、 灵活运用轴对称 、平移与旋转或它们的组合进行图案设计，认识和欣赏这些图形的变换在现实生活中的应用。
中招考点
1、 在现实情境中体验图形的平移、旋转现象，通过生活中平移、旋转现象，理解平移、旋转的意义。
2、 图形在平移、旋转变换过程中有关点、线段、角的位置变化及线段的长度、角的大小以及图形的形状和大小的不变性 (两种变换的特征)
3、 能识别现实生活中的旋转对称图形和中心对称图形。
4、 会画平面图形经过平移和旋转后的图形，会画平面图形关于某点中心对称的图形。
5、 能利用图形的平移和旋转的特征来识别有关线段、角的相等关系和图形的形状，能利用图形的平移、旋转变换思想解决有关几何问题。
6、 根据对旋转对称图形和中心对称图形的理解，联系生活实际，设计一些令人赏心悦目的旋转对称图案或中心对称图案，不断提高设计能力和创新能力。
典型例题
P
M
F
Q R
N
G E
图11-1
［例1］ 如图11-1，△PQR平移后得到△EFG
1 请你在图中画出平移的方向，量出平移的距离，指出对应线段和对应点；
2 若点M、N分别是边PQ、FG的中心，则点M与点N间的距离为多少？线段RM与EN是否相等？∠MRP与∠NEF呢？
分析： 通过观察可知：点P与点F、 点R与E、点Q与点G是三对对应点。因此点P到点F的方向即为平移的方向，连结PF，线段PF的长就是平移的距离。
点M与点N是一对对应点，线段RM与EN是一对对应线段，∠MRP与∠NEF是一对对应角。
解:① 点P到点F的方向即为平移的方向，平移的距离是线段PF的长度，量得约为2.5cm，对应线段是PQ与FG，PR与EF、QR与GE，对应点是点P与点F，点Q与点G，点R与点E。
② 因为线段PQ与FG是一对对应线段，所以它们(对应的线段)的中点M与N也是一对对应点，线段RM与EN是一对对应线段，点M与点N间的距离为平移的距离，均为2.5cm，线段RM与EN相等，∠MRP与∠NEF相等。
评注:① 图形的移动方向和距离问题归结为图形上某一个点的移动方向和距离；
② 找出移动前后的对应点，才能判断线段或角相等与否。
［例2 ］如图11-2 △ABC是等边三角形，D是BC上 一点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置。
B
D
M
A C
E
图11-2
① 旋转中心是哪一点？
② 旋转了多少度？
3 若M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？
分析：把握图形旋转的定义，图形的旋转由旋转中心和旋转角度两个因素决定，其中旋转中心在旋转过程中保持不动。
解：① 旋转中心为：点A；
1 旋转的角度为：∠BAC=600；
2 点M在线段AC的中点上。
评注:① 找出图形旋转前后对应点，旋转角为任何一对对应点与旋转中心的夹角 。②会在特殊图形中找出特殊角为旋转角。
［例3］如图11-3所示，在△ABC中，∠C=900，AC=BC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A1B1C1的位置。
① 若平移的距离为3，则△ABC与△A1B1C1重叠部分的面积为多少？
② 若平移的距离为x(0≤x≤4)，△ABC与△A1B1C1重叠部分的面积为y，则y与x之间的关系是什么？
A A1
　　　　　D
C C1 B B1
图11-3
分析:由于△ABC是腰长为4的等腰直角三角形，当它沿CB方向平移到△A1B1C1的位置时，图中重叠部分也是等腰直角三角形。① 当平移的距离为3时，则CC1=3，BC1=BC-CC1=4-3=1
S重叠部分=×1×1=；
② 当平移的距离为x(0≤x≤4)，BC1=BC-CC1=4-x。
解:由分析可知：在平移过程中，重叠部分△BC1D始终是等腰直角三角形。所以
1 当平移的距离为3时，即CC1=3，C1B=CB-CC1=1
∴ S△BC1D=×1×1=；
② 当平移的距离为x时，即CC1=x，则C1B=CB-CC1=4-x，
∴S△BC1D=y=×(4-x)=(4-x)
评注: 根据图形的平移，挖掘图中对应线段，对应角间的关系，如此题中的重叠部分是等腰直角三角形，其面积的大小随平移的距离x(0≤x≤4)的变化而变化。且y=(4-x)2
［例4］如图11-4 在Rt△ACB中，四边形DECF为正方形，请回答下列问题：
1 请简述图⑴经过怎样的变换形成图⑵的。
2 若AD=3，BD=4，求△ADE与△BDF的面积。
A A
E D D
C F B C A1 F 　 B
⑴ ⑵
图11-4
分析:⑴由于四边形DECF为正方形，DE=DF，∠EDF=900，因此只要把△ADE绕点D逆时针旋转900，将得到△A1DF；
⑵ 根据图形的旋转特征可知：AD=A1D，∠ADE=∠A1DF，而∠ADE+∠FDB=900，因此，∠A1DF+∠FDB=900，即∠A1DB=900，所以在Rt△A1DB中，A1D=3，BD=4，= ×A1D×BD=6
解: ① 由题意可得，把△ADE绕D点逆时针900旋转得△A1DF。
② 由图及①知：S△ADE+S△BDE=S△DA1F+S△BDF=S△A1DB
根据图形的旋转特殊可知：AD=A1D，∠ADE=∠A1DF，而∠ADE+∠FDB=900，
∴ ∠A1DF+∠FDB=900。即∠A1DB=900。
∴在Rt△A1DB中，A1D=AD=3，BD=4
S△A1DB=AD×BD=6
即△ADE与△BDF面积的和为6。
评注:①图形的旋转可以使分散的线段或角相对集中。
② 利用图形的旋转特征，可以说明图中有关线段或角相等。进行图形面积的求算，当图形中有相等的线段或相等的角，可利用这些已知条件进行图形的旋转，使分散的线段或角相对集中。特别是图中有等腰三角形、正方形等较规则的图形时，通常将图中的某三角形旋转600、900或1800。
［例5］ 请欣赏图11-5中的六个图形，回答下列问题：
① 这六幅图形都是____________(填轴对称图形、中心对称图形)；
② 旋转对称图形可以看做是其中的一个“基本图形”绕着旋转中心旋转而成；图案⑶的旋转角______个可能的取值；当“基本图形”的个数有n个时，则旋转角有_____个可能的取值。
分析:观察上述六个图形，发现它们都是旋转对称图形。旋转中心是图形的正中心；图形⑶有十个“基本图形”，则它的旋转角为的整数倍，即360、720、1080、1440、2160、2520、2880、3240，因此，共有九个可能的取值；当“基本图形”的个数有n个时，则旋转角有(n-1)个可能的取值。
［解］①中心对称图形
② 9、n-1
评注:运用由特殊到一般的方法，发现旋转对称图形旋转角的个数，如果旋转对称图形中有n个最基本图形，则它的旋转角有(n-1)种不同的值，并且都是的整数倍。
［例6］如图11-6所示，已知△ABC，请你试着将△ABC沿着北偏东450方向平移3cm，画出平移后的△A/B/C/。
A
B C
图11-6
分析:以△ABC一个顶点A作方位图，过程如下：
过A点作两条垂直的线，画射线AP，使AP在北偏东450的方向上，再在射线AP上截取AA/=3cm，点B、点C可以通过平移得到。
Q P
A/
A
B/ C/
B C
图11-7
解:如图11-7所示
⑴过A点作方位图(上北、下南、左西、右东)
⑵过点A画∠QAP=450
⑶ 在射线AP上截取AA/=3cm
⑷依次作平移：BB/∥AA/，CC/∥AA/得点B/、C/
⑸顺次连接A/B/、B/C/、C/A/，得到△A/B/C/就为所求的三角形。
评注: 本题的关键是先定△ABC的一个顶点建立方位图，确定平移方向，然后再根据平移的特征来进行作图。
C
B A
C/
B/
图11-8
［例7］李明同学正在黑板上画△ABC绕△ABC外一点P旋转450角的旋转图；当他完成C、B两点旋转后的对应点C/、B/时，不小心将旋转中心P擦掉了(如图11-8)，没有旋转中心P，李明不知道如何继续画下去，你愿意动脑筋帮李明找到旋转中心P，让他能完成剩下的图形吗？
分析:这道题目是考查学生逆向思维的能力，学生看起来似乎无从下笔，但实际上还是考查学生对旋转特征的理解。 根据旋转特征，对应点到旋转中心的距离相等，则点C与点C/到旋转中心P的距离相等。依据线段垂直平分线的性质，P点应在连结CC/的线段垂直平分线上；同理，点P也应在连结BB/的线段的垂直平分线上。因此，只需作线段CC/、BB/的垂直平分线，它们的交点就是旋转中心P。
解:⑴ 连结CC、BB；
⑵ 分别画线段CC/、BB/的垂直平分线，则它们的交点就是旋转中心点P。
评注: 理解图形旋转的特征，并用逆向思维的方法来解决问题。旋转中心实际上就是图形旋转后的各对应点连成的线段的垂直平分线的交点。
［例8］ 如图11-9，正方形ABCD内一点P，∠PAD=∠PDA=150，连结PB、PC，请问△PBC是等边三角形吗？为什么？
分析: 本题的关键是要证∠PCD=∠PBA=300，如何用已知条件∠PAD=∠PDA=150，来证∠PBA=300呢？我们可以设想将△APD绕点D逆时针方向旋转900。从而使A与C重合，若CQ恰好平分∠PCD，问题就可以迎刃而解了。
A D
P P/
Q
B C
图11-9
解:将△APD绕点D逆时针旋转900得△DP/C的轴对称图形△DQC，△CQD与△ADP经过对折旋转能重合。
因为PD=QD，所以∠PDQ=900-150-150=600
得△PDQ为等边三角形，故∠PQD=600
又∠DQC=∠APD=1800-150-150=1500
∴∠PQC=3600-600-1500=1500=∠DQC
又PQ=DQ=CQ。所以∠PCQ=∠DCQ=150
从而∠PCD=300。同理可证 ∠PBA=300
∴∠PCB=∠PBC=600 ∴ △PBC是等边三角形。
评注: 在正方形中，利用各边都相等可绕顶点900旋转后与两邻边重合，构造新的图形，这是解决正方形问题的常用方法。
［例9］ 如图11-10，点A、B为河塘两岸边的两座村庄，为了测量两村之间的距离(要求不经过河塘)，请你想一想，能否用平移、旋转的知识来解决这个问题？
［分析］这是道探究性问题，较灵活，有多种解法，这里仅介绍两种解法。
A B
图11-10
解:方法一：如图11-11①，先将点A沿着适当的方向平移适当的距离到点A/处，然后又将点B沿着同样的方向(保证AA/∥BB/)平移相同的距离(保证BB1=AA1到点B/处)这即是将线段AB平移到线段A/B/的位置(把不能测量的位置转化到能测量的位置)。根据平移的特征A/B/=AB，所以量出A/、B/两点间的距离，就是A、B两点间的距离，也就是两个村庄间的距离。
A B
A/ B/
图11-11①
方法二：如图11-11②，在河塘岸边适当的位置取一点C，连接AC、BC（保持AC、BC不经过河塘），分别将AC、BC延长到点A/、B/，使A/C=AC，B/C=BC；这样就是把△ABC绕点C旋转1800到△A/B/C的位置，也就是将线段AB旋转到线段A/B/的位置。根据旋转的特征有A/B /=AB，所以测出A/、B/两点间的距离，就是A、B两点间的距离，即可知道两村庄间的距离。
A B
　　C
A/ B/
图11-11②
评注:本题的关键就是根据平移、旋转的数学思想把图形从一个位置平移或旋转到另一个位置(实际问题中就是把不能测量的点的位置通过平移或旋转的方法转化到能够测量的点的位置)。由图形在平移、旋转过程中保持对应线段相等的特征来达到解决问题的目的。通过对本题解答过程的理解，同学们的思维有两处需要延伸：
① 在解决有关实际问题时，首先要建立 几何模型，即如何把实际生活中的问题转化到几何问题上来，这种数学解题思想要认真体会。
② 在建立有关几何模型之前，要创造必要的条件，如本题先要创造符合平移、旋转的条件，在解决实际问题时要有理论依据，不能想当然，但解题时也不能墨守成规，要敢于创新。
［例10］把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG(其直角边长均为4)叠放在一起，如图11-12①)，且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合。现将三角板EFG绕O点按顺时针方向旋转　(旋转角α满足条件0＜α＜900)，四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图11-12②）
⑴　在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形　CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；
⑵　连接HK，在上述旋转过程中，设BH＝x，△GKH的面积为y。求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
⑶　在⑵的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC的面积的，若存在，求出此时x的值；若不在在，说明理由。
A
G(O)
　　　
C 　　　　　　B
E　　　　　　　　F
图11-12①
分析:由题意及旋转的特征可知：旋转角α不变，所以∠BGH＝∠CGK是解题的关键，然后利用直角三角形斜边上中线的性质，易得BG＝CG，从而可证：△GBH≌△GCK。从而可知BH＝CK，而且S△GBH＝S△GCK，所以在旋转过程中，四边形GHCK的面积没有变化，第一问得到解答。第⑵、⑶问也就易解决，注意利用面积关系建立函数关系式。
在上述旋转过程中，BH＝CK，四边形CHGK的面积不变。
解:⑴证明：∵△ABC为等腰直角三角形，O（G）为斜边的中点
∴　CG＝BG，CG⊥AB
∴　∠ACG＝∠B＝450
又∵∠BGH与∠CGK均为旋转角。
A
E　 K　　　　G（O）
　　　　　
　　　　　　　　　B
　　C　　　　H
　　　　　　　　
　　　　　　F
图11-12②
∴　∠BGH＝∠CGK
∴　△BGH≌△CGK（ASA）
∴　BH＝CK，S△BGH＝S△CGK
∴S四边形CHGK＝S△CHG+S△CGK＝S△CHG+S△BGH＝　S △ABC
＝××4×4＝4
即四边形CHGK的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化。
⑵∵AC＝BC＝4，BH＝x
∴　CH＝4-x，CK＝x.
∴S△GKH＝S四边形CHGK- S△CHK
即y=4-x·(4-x)
∴ y=x2-2x+4
∵00＜α＜900
∴0＜x＜4
⑶存在
根据题意得：x2-2x+4＝×8
即 x2-2x+＝0
∴有 x2-4x+3＝0
解之得x1=1，x2=3
故当x＝1或x＝3时 △GHK的面积均等于△ABC面积的。
评注:此题是一道几何和代数的综合题，题目背景比较复杂，需要认真读题。理清题中的数量关系，然后抓着在旋转过程中旋转角∠BGH＝∠CGK是关键，然后可证两个阴影的三角形全等。第一问是整个题目的核心，第一问会做了，第二问第三问无非是把函数知识，一元二次方程的解法在题目中的体现。
强化训练
　　D　　　　　　　A
N　　　　　　　 M
E　　　　　　F　B　　　　　　C
图11-13
一、填空题：
⒈平移是由＿＿＿＿＿＿＿＿所决定的。
⒉　如图11-13所示，△ABC是由△DEF经过平移得到的，若AD＝6cm,则 BE=______,CF＝＿＿＿＿，若M、N分别为AB、DE的中点，则MN＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　A　　 　　D
B　　　M　C　　N
图11-14
⒊　如图11-14所示，四边形ABCD中，AD∥BC，DM∥AB交BC于M，DN∥AC交BC延长线于N，线段AD沿着＿＿＿的方向平移到BM，平移的距离是＿＿＿＿＿＿；线段AB沿着＿＿＿的方向平移到DM，平移的距离为＿＿＿＿；△ABC沿着＿＿＿方向平移到△DMN，平移距离为＿＿＿＿＿。
A　　　　　D
B　　 　C E F
图11-15
⒋　如图11-15，将△ABC沿BC方向平移3cm得△DEF，若∠B＝450，∠A＝500，则∠F＝＿＿＿，BE＝______=_______cm
⒌ 正方形至少旋转＿＿度能与自身重合，正六边形至少旋转＿＿度能与自身重合。正八边形至少旋转＿＿度能与自身重合，
⒍　成中心对称的两个图形，连结对称点的线段都经过＿＿，并被______平分。
D C
A E B
图11-17
D
E
A B
C
图11-16
⒎　如图11-16，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是＿＿＿＿＿，旋转了＿＿＿度？
⒏ 钟表的分针匀速旋转一周需要60分，它的旋转中心是＿＿＿，经过20分钟，分针旋转＿＿度。
⒐　如图11-17，在梯形ABCD中，AB∥CD，将BC沿CD方向平移6cm至ED，
△AED的周长为28cm，则梯形ABCD的周长为＿＿＿＿cm.
A E D
B F G C
图11-18
⒑ 已知梯形的两底长分别为6、8，一腰长为7，则另一腰长a的取值范围是＿＿＿＿＿；若a为奇数，则此时梯形为＿＿＿＿梯形。
⒒ 如图11-18，四边形ABCD中 ，AD∥BC，BC＞AD，∠B与∠C互余，将AB、CD分别平移到EF和EG的位置，则△EFG为＿＿＿＿＿三角形。若AD＝2cm，BC＝8cm，则FG＝＿＿＿cm。若AB＝8cm，DC＝6cm，则FG＝＿＿＿cm.
图11-19
⒓ 如图11-19，一个矩形中有两个面积分别为9cm2和4cm2的正方形，则阴影部分面积为＿＿＿。
C
A B
O
O D
图11-21
⒔、如图11-20：△OAC经旋转后与△OBD重合，则旋转中心是____________，旋转角是___________，若OC=3cm，则旋转过程中，点C所经过的路线长为_____________。
A
D
C O
图11-20 B
A D
E
B C
F
图11-22
⒕、将两直角三角尺的直角顶点重合为如图11-21所示的形状，若∠AOD=127°，
则∠BOC=__________。
⒖、如图11-22，E为正方形ABCD内一点，∠AEB=135°BE=3 cm，
△AEB按顺时针方向旋转一个角度后成为△CFB，△BEF是__________三角形，∠BFC=________度，BF=_________cm。
C　　　　E　
A　　　　B　　　　D
图11-23
二、选择题：
⒈如图11-23所示，要由等边△ABC得到等边△BDE，下列说法中正确的是（ ）
A.仅能由平移得到 B.仅能由旋转得到
C.既能由平移得到，又能由旋转得到 D.平移，旋转都不能得到
A. 　 B. 　 C. D.
⒉ 如图所示，其中某图形中的一个矩形是另一个矩形顺时针方向旋转90°后所形成的，这个图形是（ ）。
⒊在26个大写英文字母中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
⒋ 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A.等边三角形 B.平行四边形 C.等腰梯形 D.圆
⒌ 要使正十边形旋转后与自身重合，至少应将它绕中心按逆时针方向旋转（ ）
A. 9° B. 18° C. 36° D. 72°
⒍ 你玩过扑克牌吗？你仔细观察过每张扑克牌中的图案吗？请你指出图案是中心对称图形的一组为（ ）。
A.黑桃6与黑桃9 B.红桃6与红桃9 C.梅花6与梅花9 D.方块6与方块9
E D
A
　B C
图11-24
三、解答下列各题：
1、如图11-24，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，
∠CAD=∠EAB=90°，
∠BAC=30°，若△EAC旋转后能与△BAD重合，问：
①旋转中心是哪一点？
②旋转了多少度？
3 若EC=10cm，求BD的长。
2、画图题：（写画法，保留画图的痕迹）
①　如图11-25，画出△ABC绕AB中点O逆时针旋转90°后的三角形。
②　如图11-26，已知四边形ABCD和图形外一点O，画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形。
C A
O
O
B
图11-25
A D
O
B
C
图11-26
E
B
A 　　 C 　 F
图11-27
3、已知：EC⊥AF，EC=3cm.
①　试说出△EFC怎样由△ABC变换得到，并计算此变换过程中点A运动的最短长度。
②　请你发挥想象：AB、EF有什么样的数量和位置关系？
4、如图，已知等边△ABC和等边△DBC有公共的底边BC，
① 以图11-28-①中的某个点为旋转中心旋转△DBC，就能使△DBC与△ABC重合，则满足题意的点为__________________________；(写出所有的这种点)。
② 如图11-28-②，已知B1是BC的中点，现沿着由点B到B1的方向，将△DBC平移到△D1B1C1的位置，请你判断：得到的四边形ABD1C1是平行四边形吗？说明你的理由。
A
B 　　 C C1
D1
图11-28-③
A
B 　　 C
D
图11-28-①
A
B B1 　 C C1
D D1
图11-28-②
5、如图11-29，已知线段AD与AB交于点A
A P Q D
B
图11-29
①画出线段AB沿PQ方向平移AD长度，使点A的对应点为点D，点B的对应点为点C。
2 平移后得到的四边形ABCD是平行四边形吗？__________请说明理由。
③连结AC、BD两条对角线交于点O，且AC⊥BD，AB=5，求四边形ABCD的周长。
④在四边形ABCD中，有没有成中心对称关系的三角形？有的话，请直接写出来。________________________________________________。
M D M M
C C 　　C
E E N D E
A B
A　 B B A 　　　 B
E D
① ② N N ③
图11-30
6、如图11-30，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。
⑴　当直线MN绕点C旋转到图11-30-①的位置时，
求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
⑵　当直线MN绕点C旋转到图11-30-②的位置时，求证：DE=AD-BE；
⑶　当直线MN绕点C旋转到图11-30-③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。
第22部分《平移与旋转》综合测试题A
C F
B E A D
图11-1
一、填空题：（每空3分，共30分）
1、等边三角形至少旋转__________度才能与自身重合。
2、如图11-1，△ABC经过向右平移4.5cm之后得到了△DEF，其中AE=3cm，BC=12cm，DF=10.5cm，那么BE=_________，
AC＝_________，FC与DA的关系是_______________。
A E D
B F G C
图11-3
A
B C/
B/
C
图11-2
3、如图11-2，△ABC以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转60°，得△A B/C/，
　　　 A/
　　A
　　　　　　　D
B/
B 　　　　　C
图11-4
A
O
B C
图11-5
则△ABB′是______________三角形。
4、如图11-3在四边形ABCD中，AD∥BC，BC>AD, ∠B与∠C互余，将AB、CD分别平移到EF和EG的位置，那么△EFG是________三角形，若AD=2cm，BC=8 cm，则EF2+EG2=_________。
5、如图11-4，把三角形ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A/B/C/，A/B/交AC于点D，若∠A′DC=90°，那么∠A的度数是_______.
6、如图11-5所示的图形绕O点旋转__________后能与自身重合。
A D E
B C F
图11-6
7、如图11-6所示，如果四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有_________个。
二、选择题：（四选一）（每小题3分，共30分）
1、下列图形中，既是轴对称图形，又是旋转对称图形，且对称轴最多的是（ ）
A.等边三角形 B.平行四边形 C.正方形 D.矩形
2、要使正十边开旋转后与自身重合，至少应将它绕中心按逆时针方向旋转（ ）
A. 9° B. 18° C. 36° D. 72°
3、下列说法正确的是（ ）
A.平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小。
B.平移和旋转的共同点是改变图形的位置
C.图形可以向某方向平移一定距离，也可以向某方向旋转一定距离
A C/ B/
O
B C A/
图11-7
D.在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行
4、如图11-7，△ABC与△A/B/C/关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A.点A与点A′是对称点 B.BO=B/O
C.AB∥A/B′ D. ∠ACB=∠C/A/B/
5、将一图形绕着点O顺时针方向旋转70°后，再绕着点O逆时针方向旋转120°，这时如果要使图形回到原来的位置，需要将图形绕着点O什么方向旋转多少度？（　　）
A.顺时针方向50° B.逆时针方向50°
C.顺时针方向190° D.逆时针方向190°
6、如果一个图形绕着一个点至少需要旋转72°才能与自身重合，那么（ ）
A.这个图形可能既是中心对称图形又是轴对称图形
B.这个图形只可能是中心对称图形，不可能是轴对称图形
C.这个图形只可能是轴对称图形，不可能是中心对称图形
D.无法确定。
7、下列运动是属于旋转的是（ ）
A.滚动过程中的篮球的滚动 B.钟表的钟摆的摆动
C.气球升空的运动 D.一个图形沿某直线对折过程
8、给出下列几何图形：①角，②线段，③等边三角形，④长方形，⑤正方形，⑥等腰梯形，其中是中心对称图形的有（ ）
A D
B C E F
图11-8
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
9、如图11-8，面积为12㎝2的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，则图中的四边形ACED的面积为（ ）
A.24㎝2 B.36㎝2 C.48 ㎝2 D. 无法确定
A D
E
B C F
图11-9
10、如图11-9，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连结BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连结EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为（ ）
A. 10° B. 20° C.15° D. 25°
三、解答下列各题：（6′+6′+6′+6′+8′+8′）（共40分）
1、四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，如图11-10所示，如果AF=4，AB=7
D C
E
F A B
图11-10
求①指出旋转中心和旋转角度。
②求DE的长度。
③BE与DF的位置关系如何？
2、在△ABC中，∠B=10°，∠ACB=20°，AB=4㎝，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点，如图11-11所示，
E
A C D
B 　　 图11-11
①指出旋转中心，并求出旋转的度数。
②求∠BAE的度数和AE的长。
3、如图11-12所示的两个图形，一个是平行四边形，另一个是以点O为圆心的圆，在图中作一条直线，使这条直线把平行四边形与圆O各分成的两部分形状，大小都相同。
O
图11-12
4、西部大开发中的某座城市，为了改变市容市貌，绿化环境，准备在市中心修建绿化带，现向全体市民征集设计图案。具体要求是：所画图形中同时要有正方形和圆（正方形和圆的个数不限），并且这个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，若是要你来设计，你能设计几种？（要求：最少设计出三种，每多再设计一种加2分）
5、如图11-13，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连结BE、DG。
① 观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论；
E F
A D
B C G
图11-13
② 图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程；若不存在，请说明理由。
6、用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD，把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转。
①当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时（如图11-14①）通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；
A D F
F A D
B E C
B C E
图11-14-① 图11-14-②
②当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时（如图11-14-②），你在①中得到的结论还成立吗？简要说明理由。
第22部分《平移与旋转》综合测试题B
图11-1
一、填空题：（每题3分，共30分）
1、图形的平移由_________和________决定。
2、如图11-1所示的图形旋转___________度后能与自身重合。
C D B
A
E
图11-2
3、如图11-2，若△ABC绕着点A旋转一定角度就得到△ADE，那么AB=____________，∠ACB=___________，点B与点___________对应。
4、一条长度为10㎝的线段，当它绕线段的_________旋转一周时，线段“扫描”过的圆面积最大，这时最大面积为_____________；当它绕线段的____________旋转一周时，线段“扫描”经过的圆面积最小，此时最小面积为__________。
5、请你写出5个成中心对称的汉字_________________________。
D C
E G
A B F
图11-3
A(A/)
C/
C
B B/
图11-4
6、既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是______________________。
7、如图11-3，正方形ABCD，在BC上取一点E，延长AB至F，使BF=BE，AE的延长线交CF于G，则线段AE和CF的关系是________________。
8、如图11-4，△ABC按逆时针方向转动了70°后成为△A/B/C/，已知
∠B=60°，∠C=55°，则∠BAC′=_____________________。
9、如图11-5，把正方形ABCD沿着对角线AC的方向平移到正方形A/B/C/D/的位置，它们的重叠部分的面积是正方形ABCD的面积的一半，若AC=，则正
方形移动的距离AA′=_________________。
D D/
A A/ C C/
B B/
图11-5
E
A D
O
B C
F
图11-6
A D
P
B C
P/
图11-8
A
O
B C
图11-7
10、如图11-6，平行四边形的对角线AC、BD交于点O，E、F在直线AC上，且AE=CF，写出图中关于点O成中心对称的各对三角形___________________。
11、如图11-7点O在∠ABC内，作∠ABC关于点O的对称图形∠EDF，∠ABC与∠EDF围成的图形是___________________形。
B C(A/) B/
A D(D/) C/
图11-9
12、如图11-8，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，则∠PBP′_____________度，△PBP′是_________三角形。
13、在正n边形中，当n为____________时，正n边形既是轴对称图形又是中心对称图形。
a
b
o
图11-10
14、如图11-9，一块边长为10㎝的正方形木板ABCD在水平桌面上绕点D按顺时针方向旋转到A/B/C/ D/的位置，顶点C从开始到结束所经过的路径为______________㎝。
15、如图11-10所示，三个同心圆，O为圆心，a⊥b，最大圆的半径为R，则图中阴影部分的面积为_______________。
二、选择题（四选一）（每小题3分，共24分）
1、下列运动形式不是平移是（ ）
①农村中的辘轳上水桶的升降 ②电梯上人的升降 ③小火车在平直的铁轨上运动 ④游乐场中的钟表的指针运动 ⑤奥运五环旗图案（不考虑颜色）形成 ⑥电风扇的转动
A. ①② B. ③④ C.④⑥ D.③⑤
2、观察下列四个图形，其中与另外三种不同的是（ ）
A. B. C. D.
3、下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有（ ）
①线段 ②直角三角形 ③平行四边形 ④矩形 ⑤菱形
⑥正方形 ⑦等边三角形 ⑧角
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
4、如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形绕它的什么交点旋转120°后，能与原来图形重合（ ）
A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点
C.三条高的交点 D.以上都可以
5、下列命题中
①中心对称图形一定是轴对称图形
②有两条互相垂直的对称轴的轴对称图形一定是中心对称图形
③关于某一点为中心对称的两个三角形重合
④两个重合的图形一定关于某一点为中心对称
其中正确的命题的个数为（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6、四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，那么这个四边形（ ）
A.仅是轴对称图形 B.仅是中心对称图形
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形
D.是轴对称图形，但不是中心对称图形
7、如图11-11，将四边形ABCD平移至A/B/C/D′，则下列结论中正确的是（ ）
A. AA′=BB′=CC′ B. ∠B=∠B′=∠C′
C. ∠A+∠C=∠A′+∠B′
D.AB∥A/B/∥A/D/
A A/
D D/
B B/ C C/
图11-11
A
B
C
图11-12
8、如图11-12，三个等圆的圆心分别在等边△ABC的三个顶点上，此图形可以看做其中的一个圆，绕正△ABC的中心旋转得到的，其旋转角为（ ）
A. 60° B. 80° C.45° D. 120°
A
O
B C
图11-13
三、画图题：（不写画法）（4′+4′=8′）
1、如图11-13，已知△ABC及AC边上一点O，作出△ABC绕O逆时针旋转90°得到的图案。
A M
B
C
P O Q
N
图11-14
2、如图11-14所示，已知△ABC和过点O的两条互相垂直的直线MN和PQ，画出△ABC关于直线MN成轴对称的△A/B/C/′，再画出△ABC关于点O成中心对称的△A//B//C//。
四、解答题：（本题共24分，每小题6分）
1、如图11-15，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=45°，△ABP旋转后能与△CBP′重合。
①旋转中心是哪一点？②旋转角是多少度？
③△ABC是什么三角形？△BPP′呢？
2、如图11-16，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，现将△ABC沿着CD的方向平移，平移距离刚好与CD的长相等，观察平移后的图形，①指出有哪些新的特殊四边形；②并说明这个特殊四边形是什么四边形的理由。
C A/
A B C/
图11-17
A D
O
B C
图11-16
3、如图11-17，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=10㎝，将△ABC绕点B旋转到△A/BC/的位置，且使点A、B、C′三点在同一条直线上，试问点A经过的最短路线的长度是多少？
A
P
B C
P/
图11-15
只是轴对称
图形
　　　　　　　
①
只是中心对称
图形
②
　　　　　　　
既是轴对称图形
又 是中心对称图形
　　　　　　　　　　 ③
4、给出的图形“○、○、△、△、＝”（两个相同的圆、两个相同的三角形，两条平行线）为构件，各设计一个构思独特，且有意义的轴对称图形和中心对称图形，举例：如图11-18所示，左框中是符合要求的一个图形，你还能构思出其他的图形吗？请在右框中画出与之不同的图形。
五、（本题满分7分）
阅读下面材料：
如图11-19-①，把△ABC沿直线BC平行移动线段BC个长度，可以变到△DEC的位置；
如图11-19-②，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；
A E A 　　 D E
B C A
B C D
D B C
① ② ③
图11-19
如图11-19-③，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置。
像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换叫做三角形的全等变换。
A D
E
F B G C
回答下列问题：
① 在下图中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ADE变到△ABF的位置？
② G是BC上一点，∠EAG=45°，请你想一想△AEG与△AFG关于直线AG对称吗？为什么？
六、（本题满分7分）
如图11-20，A、D两点分别是正△DEF、正△ABC的中心，G是FD与AB的交点，H是ED与AC的交点，连结GH、AD，延长AD交BC于M，延长DA交EF于N。
F N E
A
G H
D
B M C
图11-20
①请你写出三个不同类型，必须经过两步推理才能得到的正确结论（不要求写推理过程）
②问EF、GH、BC有何位置关系？试证明你的结论。
α
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第1部分 走进数学世界
课标要求
1．能用数学知识解决身边的一些问题.
2．学会从数学的角度去思考，用数学支持自己的结论.
中招考点：
1．会根据已有的信息，发现并找出内在的规律.
2．能用数学知识解决生活中的一些问题.
典型例题
例1 按规律填数：2、7、12、17、___、_____.
解：分析，题目中给出的四个数后面的数都比前面的数大5，根据这个规律可知后面的空应填数字22和27.
例2 甲、乙、丙三人到李老师家里学钢琴，甲每3天去一次，乙每4天去一次，丙每6天去一次，如果8月3日他们三人在李老师家碰面，那么下一次他们在李老师家碰面的时间是_________.
解：根据数学知识，取出3、4、6的最小公倍数（12）即可.
3+12=15，所以，下一次他们见面的时间是：8月15日.
例3 如图，在六边形的顶点出分别标上数1，2，3，4，5，6，使任意三个相邻顶点的三数之和都大于9.
解：要使任意三数之和都大于9，那么1相邻的数只能是
4和6，其余依此类推可得其顺序为：1，6，3，2，5，4.
例4 三阶幻方（九宫图）是流传于我国古代数学中的一种
游戏.最简单的九宫图如图，对这样的幻方多做一些钻
研和探索，你将获得更多的启示.比如：九宫图中的九个方格是否可以填其他的数？如5，10，15，20，25，30，35，40，45，如果可以又该怎样填写？
2 7 6
9 5 1
4 3 8
解：可以从九宫图的填法中得到答案.
相应的数分别是：10、35、30、45、25、5、
20、15、40.
例5 五位老朋友a,b,c,d,e去公园去约会，他们见面后
都要和对方握手以示问候，已知a握了4次，b握了1次，
d握了3次，e握了2次，那么到现在为止，c握了几次？
解：a和 b、c、d、e 都握了共4次，b只握1次，那他只和a握过， d和a,c,e握了3次，e和a,d握2次 ，所以到目前为止，c握了2次.
强化练习
1．运用加、减、乘、除四种运算，如何由三个5和一个1得到24（每个数只能用一次）.
2．观察已有数的规律，在（ ）内填入恰当的数.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 （ ） （ ） （ ） （ ） 1
3.现栽树12棵，把它栽成三排，要求每排恰好为5棵，如图所示的就是一种符合条件的栽法，请你再给出三种不同的栽法（画出图形即可）.
[说明]：动手操作题是让学生在实际操作的基础上设计有关的问题，有利于培养学生的创新能力和实践能力，就本题而言，答案不止三种，不在交点处的点可平移，因此可得到多个答案.（请同学们自己做）.
4. 一种圆筒状包装的保鲜膜，如图，其规格为“20cm×60m”，经测量这筒保鲜膜的内径 1，外径 2的长分别为3.2cm、4.0cm,则该种保鲜膜的厚度为多少cm？
5. 李刚同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖中，用一种瓷砖可以密铺平面的是
① ② ③ ④ ( )
A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③
反馈检测
一、填空题
1． 如图所示，图中共有____个三角形、______个正方形.
2. 按规律填数：1，14，2，15，3，16，（ ），（ ）.
3. 若a⊙b=4a-2b+ ab,则 ⊙ =________.
4．如果12345679×27=333333333，那么12345679×9=______.
5. 要从一张长为40cm,宽为20cm的矩形纸片中剪出长为长为18cm,宽为12cm的矩形制片，最多能剪出____ 张
6．某文化商场同时卖出两台电子琴，每台均卖960元，以成本计算，其中一台盈利20另一台亏损20%，则本次买卖中商场（ ）
A.不赔不赚 B.赚160元 C.赚80元 D.赔80元
7. 18 ,75 ,90 ,120 ,150 这些角中，不能用一幅三角板拼出来的是_________.
8. 观察下列等式;9-1=8;16-4=12;25-9=16;36-16=20,….这些等式反映了自然数之间的某种规律，设n(n≥1)表示自然数，用关于n的等式表示这个规律是________.
二、选择题
9. 某商品的进价是110元，销售价是132元，则此商品的利润率是（ ）
A．15% B.20% C.25% D.10%
10. 找出“3，7，15，（ ），63”的规律，括号理应填( )
A.46 B.27 C.30 D.31
11. 把长方形的长去掉4厘米后，余下的是一个面积为64平方厘米的正方形，则原来长方形的面积为（ ）
A.77平方厘米 B.80平方厘米 C.96平方厘米 D. 100平方厘米
12. 火车票上的车次号有两个意义：一是数字越小表示车速越快，1∽98次为特快列车，101∽198为直快列车，301∽398为普快列车，401∽ 498为普客列车；二是单数与双数表示不同的行驶方向，其中单数表示从北京开出，双数表示开往北京，根据以上规定，杭州开往北京的某一直快列车的车次号可能是（ ）
A.20 B.119 C.120 D.319
13. 将正偶数按下表排成5列：
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 2 4 6 8
第2行 16 14 12 10
第3行 18 20 22 24
第4行 32 30 28 26
……
根据上面的排列规律，则2000应在( )
A.第125行，第1列 B. 第125行，第2列
C. 第250行，第1列 D. 第250行，第2列
14. 在一列数1，2，3，4，…，1000中，数字0共出现了( )
A.182次 B.189次 C.192次 D.194次
15. 将一正方形纸片按图5中⑴、⑵的方式依次对折后，再沿⑶中的虚线裁剪，最后将⑷中的纸片打开铺平，所得图案应该是下面图案中的( )
A B C D
16. 法国的“小九九”从“一一得一” 到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了.右面两个图框是用法国“小九九”计算78和89的两个示例.若用法国“小九九”计算79，左右手依次伸出手指的个数是( )
A、2，3 B、3，3 C、2，4 D、3，4
三、解答题
17. 在（ ）内填上“+”或“–”或“÷”或“×”，使等式成立.
4（ ）6( )3( )10 = 24
18. 过四边形一个顶点的对角线可以把四边形分成两个三角形，过五边形一个顶点的对角线把它分成_____个三角形，n边形呢？_____________
19. 小明早上起床，叠被用3分，刷牙洗脸用4分，烧开水用10分，吃早饭用7分，洗碗用1分，整理书包用2分，冲牛奶用1分，请帮小明安排一下时间.
20. 木匠有一矩形木板，但右上角已缺损一块，尺寸如图所示，你能把它拼成一个正方形桌面吗？
21. 如果依次用x1 ,x2 ,x3 ,x4 表示图(1)，(2)，（3），（4）中三角形的个数，那么x1 =3，x2 =8，x3 =15，x4 =24.如果按照上述规律继续画图，那么xn 与n之间的关系如何？
22. 如图所示，菱形公园内有四个景点，请你用两种不同的方法，按下列要求设计成四个部分.（1）用直线分割；（2）每个部分内各有一个景点；（3）各部分的面积相等(可用铅笔画，只要求画图正确，不写画法）
23. 我们与数学交朋友×友=我我我我我我我我我，其中每个汉字代表自然数1∽9中的一个，且互不重复，那么其中的“友”代表的数是什么？.
24. 用四块如图（1）所示的瓷砖拼成一个正方形图案，使拼成的图案成一个轴对称图形（如图2），请你分别在图（3）、图（4）中各画一种与图（2）不同的拼法，要求两种拼法各不相同，且其中至少有一个图形既是中心对称图形，又是轴对称
(1) （2） (3) (4)
25.某超市推出如下优惠方案：①一次性购物不超过100元，不享受优惠；②一次性购物超过100元但不超过300元一律九折；③一次性购物超过300元一律8折.王波两次购物分别付款80元、252元，如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款多少元？
26.观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，控究其中的规律：
①
②
③
④
……
⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：
⑵猜想并写出与第n个图形相对应的等式.
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第13部分 数据的收集与表示
课标要求
1.通过一些实例，体会数据的作用，养成用数据说话的习惯.
2.要求学生能设计统计表，能制作条形统计图、折线统计图，会画扇形统计图.
3.会借助频数或频率，体会随机事件发生的可能性是有大小的.
中招考点
1.根据给出的统计图表，读取一些信息
2.会根据题目给出的信息，绘制合理的统计图表
3.会计算简单的关于频数和频率的题目
典型例题
例1 在《中国日报》1999年10月1日的国庆专刊上，刊登了有关中国城市建设在建国50年来的发展情况，下图摘录了一则中国城市数量统计图.你从这个统计图中获得了哪些信息？
解：从这个统计图中可以看出，在新中国成立后的近30年时间里，我国城市数量的发展相当缓慢，30年内才增加了一倍左右.从1978年我国实行改革开放政策，带来了城市的迅猛发展，到1998年城市数量差不多是建国初期的100倍.
例2 （2004年海口中考题）第五次全国人口普查资料
显示 ,我省2000年总人口为786.75万，
图中表示我省2000年接受初中教育这
一类别的数据丢失了，那么，结合图中信息，可
推知2000年我省接受初中教育的人
数为（ ）
A. 24.94 B. 255.96 C.270.64 D. 137.21
解：由图可知：
2000年我省接受初中教育的人数为：
(1- 34.40% - 17.44%-3.17%- 12.49% )×786.75 = 255.96(万元)
例3 （2002年辽宁省中考题）初中生的视力状况受到全社会的广泛关注，某市有关部门对全市3万名初中生视力状况进行了一次抽样调查，如图是利用所得数据绘制的频数分布直方图（长方形的高表示该组人数），根椐图中所提供的信息回答下列问题：
1．本次调查共抽查多少名学生？
2．在这个问题中的样本指什么？
100---- 人数
90-------------------
60-----------------------------
40-----------
30---------------------------------------
20------
3.95 4.25 4.55 4.85 5.15 5.45 视力
3．如果视力在4.9～5.1（含4.9、5.1）均属正常，那么全市有多少初中生的视力正常？
4．如果你随机的遇到这些学生中的一位，那么这位学生最有可能属于哪种视力情况？
解：1.本次共抽测了 20+40+90+60+30=240（人）
2．样本是指所抽测的240名学生的视力.
3．人数约为30 000×60/240=7 500(人)
4．因为视力在4.55～4.85的学生最多，所以这位学生最有可能就是视力为：4.55～4.85.
说明：1、样本得出的结果，估计总体的结果，如样本中正常的比例为60/240=1/4,可视为总体中正常的比例.2、根椐这一比例和总体所含个体的人数，即可求得总体中正常人数的估计值.
强化练习
1.在一个正方体的6个面上分别标上数字，使得“2”朝上的可能性为_______________
8.0 8.3 9.1 8.5 8.2 8.4 9.0
2.南京长江大桥连续七天的车流量（每天过桥车辆次数）分别如下所示（单位：千辆/日），这七天平均车流量为_________千辆/日.
3.下列说法中，哪些是确定的？哪些是可能的？哪些是不可能的？哪些是不太可能的？
(1)地球绕着太阳转，月亮绕着地球转.（ ）
(2)一个初三年级的男生的平均身高与女生的平均身高一定相等.（ ）
(3)夏天某市体育课后，每位学生都去商店卖冷饮吃.（ ）
(4)一人去体彩摸奖，一摸就中了一等奖.（ ）
4.某校为了了解初一年级的学习状况，在这个年级抽取了50名学生，对数学学科进行测试，将所得成绩整理，分成五组，列表如下.试问：
(1)成绩在90分以上的频率是_______.
(2)成绩优秀的人数有_______人（80分以上为优秀），占总人数的__________
(3)及格的人数有_____人，及格率是_____.
分 组 频 率
49．5～59.5 0．04
59．5～ 69.5 0．04
69．5～79.5 0．16
79．5～89.5 0．34
89．5～99.5
反馈检测A卷
一、填空题
1.掷两枚分别标有1，2，3，4的四面体骰子，写出这个实验中的一个可能事件_____________; 写出这个实验中的一个必然事件_______________.
2.已知全班共40位学生，他们有的步行，有的骑车，还有的乘车来上学，根据以下已知信息完成统计表：
上学方式 步 行 骑 车 乘 车
“正”字法记录 正正正
频 数 9
频 率 40%
3.请你举出一个利用数据得出结果的例子_______________________________.
二、选择题
1.下列事件必然发生的是 （ ）
A.一个普通正方体骰子掷三次和为19
B.一副洗好的扑克牌任抽一张为奇数.
C.今天下雨.
D. 一个不透明的袋子里装有4的红球，2的白球，从中任取3个球，其中至少有2球同色.
2. 样本：7，12，11，10，13，8，7，14，9，10，8，11，10，8，10，9，12，9，13 ，11.那么这组数据落在范围8.5 ～ 11.5内的频率应该是（ ）
A. 0.65 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4
3. 一次体育测试中，10名女生完成仰卧起坐的个数如下：48，52，47，46，50，50，51，50，45，49，则这次体育测试中仰卧起坐个数大于50个的频率为（ ）.
A．0.3， B.0.4 C .0.5 D. 0.6
三、解答题
1.在一个不透明的口袋中装着大小、外形等一模一样的5个红球、3个蓝球和2个白球，他们已经在口袋中搅匀了.请判断以下事情是可能发生，还是不可能发生，或是必然发生，并说明理由.
(1)从口袋中人取一个球，是一个白球.
(2)从口袋中一次任意取出5个球，全是蓝球.
(3)从口袋中一次任意取出5个球，只有篮球和白球，没有红球.
(4)从口袋中一次任意取出6个球，恰好红、蓝、白三种颜色的球都齐了.
(5)从口袋中一次任意取出9个球，恰好红、蓝、白三种颜色的球都齐了.
2.请看以下材料：（摘自《新华社》有关报道）
世界人均住房建筑面积（单位：平方米）
高等收入国家 45中高收入国家 30中等收入国家 20中低收入国家 18低等收入国家 8
中国人均住房建筑面积
（单位：平方米）
1979年 7.2平方米
2000年 20.4平方米
2005年 22平方米
请回答以下问题：
(1)制作出不同收入类型国家人均住房建筑面积的条形统计图.
(2)制作出我国不同年代人均住房建筑面积的折线统计图.
(3)根据以上数据，说明我国人均住房条件的现状及未来发展趋势.
反馈检测B卷
一、填空题
1.扇形统计图是利用圆和___________来表示_________和部分的关系，圆代表的是总体，即100%，而非具体的_______,圆的大小与总数量也无关.
2.已知一个县有40人参加全国初中物理竞赛，把他们的成绩分为六组，第一组到第四组的频数分别是10，5，7，6，第五组的频率是0.20，则第六组的频率是___________
3.某学校在全校进行了一个调查，共有3402人参加.内容是：你认为一名高素质的教师最需要具备如下哪个条件；较强的教学能力（604人），合理的知识结构（235人），对学生的爱心（838人）,现代教育观念（1725人）.请回答以下问题：从这次调查中，认为一名教师最需要具备的条件是_________,所占比例约为________.
二、 选择题
1.假如你想知道自己的步长，那么你的调查问题是（ ）
A .我自己 B .我每跨一步平均长度为多少？ C .步长 D.我走几步的长度
2.甲袋中装着1只红球9只白球，乙袋中装着9只红球1只白球，两个口袋中的球都已搅匀.想从两个口袋中摸出一个红球，那么选哪一个口袋成功的机会较大？( )
A .甲袋 B.乙袋 C . 两个都一样 D.两个都不行
三、解答题
1.小华的书架上有一些书，其中的三分之一是学习参考书，六分之一是学习工具书，剩下的都是科普等其它书籍.根据这些信息，你能做出表示每一类书籍具体数目的条形统计图吗？能做出表示每一类书籍所占比例的扇形统计图吗？如果能的话，请作出相应的统计图，如果不能请说明理由.
2.某人出生时身高为48厘米，上（右）图描述的是他的身高变化情况，此折线统计图是根据此人在出生时以及以后每五年的身高数据用折线连接而成的，此折线图表明此人12岁时身高为150厘米,请问这个数据一定是符合实际的吗？
3.根据有关人士介绍，1995年，我国信函总量为79.6亿件，1996年下降至78.7亿件，而1997年只有70亿件，1998年仍在缓慢下降.根据1998年上半年的统计数字，在全国邮政业务总量中，信函从去年同期的14.03%下降到11.41%.目前我国人均信函量每 年只有5.5件.
①如图所示，下面关于这几年的信函总量的条形统计图合理吗？如不合理，请你做出更合理的条形统计图.
②根据你所作的条形统计图再设计一个折线统计图反映从1995到1998年这四年来我国信函总量变化的情况，如何分析这种变化？
4. 我省课改实验区于2005年起实行初中毕业生综合素质评价，结果分为A、B、C、D四个等级.我省某区教育局为了了解评价情况，从全区3600名初中毕业生中任意抽取了200名学生的评价结果进行统计，得到如图所示扇形统计图：根据图中提供的信息，①请你求出样本中评定为D等级的学生占样本人数的百分之几？有多少人？②请你说明样本中众数落在哪一个等级？估计该区初三毕业生中众数所在等级的总人数大约是多少？
5．某中学部分同学参加全国初中数学竞赛, 取得了优异的成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩（成绩都是整数，试题满分120分），并且绘制了频率分布直方图.
请回答：
(1)该中学参加本次数学竞赛的有多少名同学？
(2)如果成绩在90分以上（含90分）的同学获奖，那么该中学参赛同学的获奖率是多少？
(3)图中还提供了其它信息，例如该中学没有获得满分的同学等等.请再写出两条信息.
6.生活中的数学(显示你解决生活中问题的能力喔!)
佳能电脑公司的李经理对2004年11月份电脑的销售情况做了调查，情况如下表：
每台价格(元) 6000 4500 3800 3000
销量(台) 20 40 60 30
请你回答下列问题：(1)2004年11月份电脑价格(与销售台数无关)组成的数据平均数为 ，中位数为 ，本月平均每天销售 台(11月份为30天)．
(2)价格为6000元一台的电脑，销售数量的频率是 ．
(3)如果你是该商场的经理，根据以上信息，应该如何组织货源.
7.市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛.他们的成绩（单位：m）如下：
甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67
乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75
(1)甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？
(2)哪位运动员的成绩更为稳定？
(3)若预测，跳过1.65m就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪位运动员参赛？若预测跳过1.70m才能得冠军呢
0 60 70 80 90 100 110 120
8
7
6
5
4
3
2
1
分数
人数
（每组含最低分数，但不含最高分数）
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第24部分 图形的相似
第一课时(比例、成比例的线段)
课标要求
1、 掌握比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段的概念。
2、 了解黄金分割、比例尺概念。
3、 知道相似多边形的性质(特征)及识别方法。
中招考点
① 比、比例及有关概念 ② 比例的基本性质 ③比例尺 ④判断四条线段是否成比例
典型例题
〔例1〕① 在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm，则它的实际长度约为______Km。
② 若 = 则 =__________
③ 若 = 则 a：b=__________
④ 已知: == 且3a+2b-c=14 ,则 a+b+c 的值为_____
⑤ 某同学想利用影子的长度测量操场上旗杆的高度，在某一时刻他测得自己影子长为0.8m，立即去测量旗杆的影子长为5m，已知他的身高为1.6m，则旗杆的高度为___m。
解：① 设实际长度约为x cm。则 =
∴ x=266000cm=2.66Km，即它的实际长度约为2.66Km。
② ∵= 设 a=2k, b=3k
∴==
③ ∵ = ∴ 设
∴ a= k b=k ∴ a：b=k:k =19:13
④ 由== 得 设
∴ a=2k b=3k c=5k
又3a+2b-c=14 ∴ 3×2k+2×3k-5k=14
解得 k=2 ∴ a=4, b=6, c=10
故a+b+c=4+6+10=20
⑤ 设旗杆高度为x m，则= 解得x=10(米)
即旗杆的高长为10m.
评注：⑴ 利用关系式：比例尺= 可计算出实际距离。在关系式中任意给出两个数，可求出第三个。计算时注意单位换算：1Km=105cm .　
⑵ 对于② ③ ④ 小题比例式的计算，一般用设比值k的方法。k在解题中起桥梁作用。常用设法是：①若= 则设a=mk, b= nk; ② 若= 则设==k. 有a=bk, c=dk; ③ 若a：b：c=m:n:l 则可设a=mk, b=nk ,c=lk等，对于一般的比例式计算题，用此法都可解决。
⑶ 在相同时刻物高与影长是成比例的，由此可列出比例式，再通过方程来求解。
〔例2〕 已知线段 a=3cm, b=4cm ,c=5cm, d=2cm.那么这四条线段是否成比例？
解： 将a、b、c、d从小到大排列为d、a、b、c。有 =, = ∴ ≠
因此这四条线段不成比例。
〔评注〕 判断四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，如果前两条线段的比例等于后两条线段的比，那么这四条线段就叫成比例线段，否则，就不是成比例线段。除此法外，还可用以下方法，即在这四条线段中，若最长线段和最短线段的长度的积等于中间两条线段的长度的积，则这四条线段成比例；否则不成比例。
〔例3〕如图18-1中的两个梯形相似，求出未知边x、y、z的长度和α、β的大小。
解：由相似多边形对应边成比例，得====
∴ x=3，y=6，z=3。 由于对应角相等，∴ α=∠D=180°-∠A=118°
β=∠B/=180°-∠C/=70°
评注：① 应用相似多边形特征求边和角时，关键是找对对应边和对应角，从而列出等式，通过解方程求解。② 一般地，相等的角是对应角，对应角所夹的边是对应边；对应边所夹的角是对应角；最大(小)的边是对应边；最大(小)的角是对应角。
〔例4〕 如图18-2所示，在一块长和宽分别为a和b(a＞b)的长方形黑板的四周，镶上宽度为x(x≠)的木条，得到一个新的长方形。试判断原来的长方形与新长方形是否相似。
解：新长方形的长为a+2x，宽为b+2x。
⑴ -==
∵ a ＞b ,x≠0
∴≠.
⑵ -=
==
∵a＞b x≠
∴≠.
由⑴、⑵知，这两个长方形对应边不成比例。
∴这个新长方形与原长方形不相似。
评注：① 此题看对应边是否成比例，用了作差的方法。若差等于零，则两比值相等；若差不等于零，则比值不相等。② 找对应边时，注意矩形的长宽都要检查，不能只考虑一种情况。
〔例5〕一个钢筋三角架的三边长分别是20cm、60cm、50cm，现要作一个与其相似的钢筋三角形。因为只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边，问有几种截法，并指出余料最少的截法截出的三边长各为多少？
解：⑴ 若截30cm的钢筋，设截成的两段为a cm、b cm
∴== ∴a= b= ∵a+b＞30 故此截法不成立。
⑵ 若截 50cm的钢筋，设截成的两段长分别为x cm和y cm.
有 ① == 解得x=12，y=36 .又因为x+y=12+36=48＜50，符合题意；
② == 解得x=10，y=25 又因为x+y=10+25=35＜50，符合题意。所以共有两种截法。
因为50-48=2，50-35=15，所以余料最少的截法截出的三边长分别为12 cm、30 cm、36 cm。
评注：本题两次运用了分类的思想，将一个比较复杂的问题转化为一个较简单、易解的问题。动用分类法解题的关键是如何正确分类。
强化训练
一、填空题：
⒈ 已知：x：y=1：2，则 (x+y)：y=_______
⒉ 若 ，则 =__________
⒊ 梯形的中位线与两底之和的比是_____________
⒋ 在比例尺为1：6000000的中国地图上，量得北京到延安的地图上距离为12cm，那么北京到延安的实际距离为___________Km。
⒌ 李明同学想利用树影的长测量校园内一棵大树的高度，他在某一时刻测得一棵小树的高为1.5米 ，其影长为1.2米。同时，他测得这棵大树的影长为3米，则这棵大树的实际高度为______米。
⒍ 若3：(x+3)=x：(x+4)，则x=______。
⒎ 已知 则 =_________， =___________。
⒏ 已知x：y：z=3：4：5，则 =________。
A C B
⒐ 如图，已知线段AB，点C在AB上，且有AC:AB=BC:AC，则AC：AB的数值为______；若AB的长度与中央电视台的演播舞台的宽度一样长，那么节目主持人应站在_________位置最好。
10.一个六边形的边长依次为1、2、3、4、5、6。与它相似的另一个多边形最大边长为12，则另一个多边形的周长为_________。
二、选择题：(四选一)
⒒ 若a：b=3：2，且b2= ac，则b：c=( )
A. 4：3 B. 3：2 C. 2：3 D. 3：4
⒓ 下列线段中，能成比例的是( )
A. 3cm、6cm、8cm、9cm B. 3cm、5cm、6cm、9cm C. 3cm、6cm、7cm、9cm
D. 3cm、6cm、9cm、18cm
⒔ 下列命题中正确的是 ( )
A. 所有的等腰三角形都相似 B.所有的菱形都相似
C.所有的矩形都相似 D.所有的等腰直角三角形都相似
⒕ 要做甲乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm、60cm、80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么符合条件的三角形框架乙共有(　　)
A.　1种　　B.　2种　C.　3种　D.　4种
⒖　如图18-3，一张矩形报纸ABCD的长AB＝a cm，宽BC＝b cm，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽的比，则　a：b等于（　　）
A.：1　B.1：　 C.　：1　　D.1：　　　
⒗　已知正数a、b、c，且　　，则下列四个点中在正比例函数y=kx图象上的点的坐标是（ ）
A. (1， ) B. (1，2) C. (1，- ) D.(1，-1)
三、解答题：
⒘ 已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例线段？a=2cm，b=30m， c=6cm ，d=10m。
⒙小明家的园子里有一三角形的花圃，将它的大小按1：100画在纸上，如图18-4。现量得所画图形中BC边长为3.5cm，高AD为2cm，求花圃的面积。
⒚ 市场上供应的纸都有以下特征：每次对折后。所得的长方形均
和原长方形相似，问纸张的长和宽应满足什么条件？
⒛ 人体下半身(脚底到肚脐的长度)与身高的比例越接近0.618，越给人美感。遗憾的是，即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此的完美。某女士，身高1.68m，下半身1.02m，她应选择多高的高跟鞋看起来更美呢？
21.某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1m长的竹杆竖直放置时的影长为1.5m，在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一幢楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上。他测得落在地面上的影长为21m，留在墙上的影高为2m。你能帮助他求出旗杆的高度吗？
第二课时（相似三角形的识别和特征）
课标要求
1、 了解两个三角形相似的概念，掌握、识别两个三角形相似的条件(方法)。
2、 掌握相似三角形的性质(特征)，并能够利用性质解决实际问题(如利用相似测量旗杆的高度)。
3、 了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。
中招考点
1、 相似三角形的识别(判定)方法。
2、 相似三角形的特征(性质)的应用。
3、 利用相似三角形解决简单的实际问题。
4、 相似三角形的知识与方程相联系或与二次函数相联系，或与圆的有关知识相联系，以综合题的形式出现，从而考查学生的逻辑 思维能力。
典型例题
〔例1〕如图18-5，△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件下，① ∠ACP=∠B ；② ∠APC=∠ACB；③ AC2=AP·AB；④ AB·CP=AP·CB。能得出△ABC∽△ACP的是( )
A. ①②④ B. ①③④
C. ②③④ D. ①②③
解：由图形可得，在△ABC和△ACP中，∠A=∠A，若① ∠ACP=∠B或② ∠APC=∠ACB。根据三角形相似的识别方法有两组对应角相等的三角形相似，知△ABC∽△ACP；若③ AC2=AP·AB，则，又因∠A=∠A，依据两边对应成比例，夹角相等，两个三角形相似，知△ABC∽△ACP；若④ AB·CP=AP·CB，则，无法依据识别方法说明△ABC∽△ACP。因此，符合三角形相似的条件是①②③，故选D。
评注:在三角形相似的三个识别方法中，每一种方法都需要两个独立条件，而一般相似三角形识别中，一个条件已存在，这个条件可以是已知，或者是图中的公共角、对顶角等，如本题中的∠A是公共角。若有一组对应角，则证另一组对应角相等或夹这个角的两边成比例；若已知两边成比例，则证夹角相等或第三边对应成比例。
〔例2〕如图18-6，在□ABCD 中，E是AB延长线上一点，连结DE，交AC于点G，交BC于点F，那么图中相似的三角形(不含全等三角形)共有( )
A. 6对 B. 5对 C. 4对 D. 3对
解：由AE∥DC，可得△AEG∽△CDG，△DFC∽△EFB
由BC∥AD，可得△BFE∽△ADE，△FCG∽△DAG，
△DCF∽△EAD
故选 B
评注:本题主要是考查相似三角形识别的掌握情况。可运用平行线去直接找相似三角形，也可利用相似三角形的判定定理来找相似三角形，但要注意不要漏找。
〔例3〕如图18-7-⑴，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m，当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高( )
1.6m
0.5m
1m
图18-7-① D
A 　E 　 O
F B
C
图18-7-②
A. 12.25 m B. 6.6m C. 8m D. 10.5m
解：易知图18-7-⑵中，等腰△AOC∽△BOD
OA=1 m，OB=16 m。高CE=0.5 m
由相似三角形性质可得：
即 ，解得 DF=8(m)
故选C。
评注:本题是一个实际问题，可抽象为数学问题：由△AOC∽△BOD，然后利用相似三角形性质来解决。但要特别注意并不是求BD之长。而是点D到AB的垂线段之长(即△BOD的高DF)，此题学生易认为是求BD之长。
〔例4〕如图18-8，点D在△ABC的边AB上，满足怎样的条件时，△ACD与△ABC相似？试说明理由。
解：由图知：当满足下列三个条件之一时，△ACD∽△ABC
条件1：∠1=∠B；
条件2：∠2=∠ACB；
条件3：即：AC2=AD·AB
评注:①此题属于探索性问题，由于∠A是这两个三角形的公共
角，要使这两个三角形相似，可根据相似三角形的识别方法寻
找另一个条件。
②可先假设△ACD∽△ABC ，然后寻找两个三角形中对应边的关系或对应角的关系
〔例4〕在直角梯形ABCD中.AD=7 AB=2 DC=3 P为AD上一点,以P、A、B的顶点的三角形与P、D、C为顶点的三角形相似,那么这样的点P有几个 为什么
解：由图18-9知,不妨设AP=X 则PD=7-X
当△PAB∽△PDC 即∠A=∠D=90°
∠APB=∠DPC时 ∴X=
当△PAB∽△CDP 即∠A=∠D=90°
∠APB=∠PCD时 x-7x+6=0
∴x=1 x=6
因此AP的值有三个,也就是这样的点P有三个
评注: 此题要注意分类的思想, △PAB与△PDC各有一个直角，所以分两种情况:
∠APB=∠DPC和∠APB=∠PCD分别求解
此题可以看成是一个探索性问题,相似是条件,求AP的值是结论。
〔例5〕如图18-10-（1）在△ABC中，AB=AC AD是中线，P是AD上一点，过点C作CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF与点F，试证明：BP=PE·PF
分析:证明b= a c型的一般方法是把等积式写成比例式
,然后再观察所在的两个三角形是否相似.如本题BP、PE、PF在一条直线上，就要看能否通过等量代换，自然要连结PC ，用BP的等量PC代入，再找出两个三角形相似，即可得解。
证明：连结PC。
∵ AB=AC，AD是中线
∴ AD⊥BC (三线合一性质)
∴AD是BC的垂直平分线
∴ BP=PC
又 ∠PBC=∠PCB
又 ∠ABC=∠ACB
∴ ∠ABP=∠ACP
而AB∥CF
∴ ∠ABC=∠F
∴ ∠F=∠ACP
又∠EPC=∠CPF
∴ △EPC∽△CPF
∴
即PC2=PE·PF
故BP2=PE·PF
评注:①证形如b= a c时，还要注意两个基本图形如图18-9-⑵ 、18-9-⑶所示
如图18-10-⑵。因为△CDB∽△ADC∽△ACB，易得BC2=BD·AB
AC2=AD·AB CD2=AD·DB
如图18-10-⑶，当∠A=∠1时，∠C是公共角。所以△ABC∽△BDC
易得 BC2=DC·AC。
② 在图18-10-⑵中，△ACB是直角三角形，CD是斜边上的高，还要注意面积的应用，易得AC·CB=AB·CD的结论。
〔例6〕已知如图18-11中，D是BC边上的中点，且AD=AC，
DE⊥BC，DE与BA相交于点E，EC与AD相交于F。
① 求证：△ABC∽△FCD。
② 若 S △FCD=5.　BC=10，求DE的长。
解：① 证明： ∵ D是BC边上的中点，DE⊥BC
∴ EB=EC
∴ ∠B=∠1
又AD=AC
∴ ∠ACD=∠2
∴ △ABC∽△FCD。
② 解：过A点作AM⊥CB于M，由①知，△ABC∽△FCD，且BC=2CD
∴ 又 S△FCD=5 ∴ S△ABC =20
∵ S△ABC= BC·AM ∴AM= = = 4
而DE∥AM
∴ 即
∴　DE＝
评注:①　首先用“两组角对应相等有两个三角形相似”，证明△ABC∽△FCD；②问可由相似三角形的性质求得。
②　从复杂的图形中分析线段的特点和联系，找到切入点是解较复杂问题的关键。
〔例7〕如图18-12,△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，5AC-3AB＝0，点P从B点出发，沿BC方向以2m/s的速度移动，点Q从C出发，沿CA方向以1m/s的速度移动。若P、Q同时分别从B、C出发，经过多少时间△CPQ与∽△CBA相似？
解：设经过t s时，(0＜t＜4), △CPQ与△CBA相似，
此时，BP＝2t，CQ＝t，
则CP＝8-2t　又Rt△ABC中，BC＝8，5AC-3AB＝0.
AC2+BC2＝AB2
可得：AB＝10，AC＝6
⑴　当PQ∥AB时，△CPQ∽△CBA，有　。
即 t=
⑵当△CPQ∽△CAB时，有 即 t=
答：经过秒或秒时，△CPQ和△CBA相似
评注:①　△CPQ与△CBA相似的情形有两种：即PQ∥AB和PQ与AB不平行。
②　抓着运动过程中的某一瞬间的点的位置以及相关线段长度的计算（用代数式表示）
③　列出比例式求解，应注意比例式中字母的取值范围
〔例8〕如图18-13，小明为了测量某一高楼MN的高，在离点N200m的A处水平放置了一个平面镜，小明沿NA方向后退到点C正好从镜中看到楼顶点M，若AC＝15m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m）。
解：∵BC⊥CA　MN⊥AN，∠BAC=∠MAN.
∴ △BCA∽△MNA
∴，即
∴　MN＝1.6×200÷15≈21.3（m）
评注:这是一个实际应用问题，方法看似简单其实很巧妙。省去了使用仪器的麻烦，同时根据物理光学知识：入射角等于反射角，可知△BCA与△MNA相似。
〔例9〕有一块直角三角形木板如图18-14所示，已知∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，AC＝4cm。根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁，才能使正方形木板面积最大？并求出这个正方形木板的边长。
分析:要在Rt△ABC内裁出面积最大的正方形DEFG，有两种可能的裁法，如图18-14⑴和⑵，可分别求出正方形的面积（正方形的顶点都在△ABC的边上）。
解：方案一：如图⑴，作CM⊥AB于M，交DE于N。
设正方形边长为x cm.
由S△ABC＝ AC·BC＝AB·CM知：CM＝
∵　DE∥A
∴　△CDE∽△CAB，即：　　　∴
∴　x=　
方案二：如图⑵　设正方形边长为y cm.
∵ EF∥AC
∴ △BFE∽△BCA, ∴ 即　
∴ y=
∵　x＜y ∴方案二裁出的正方形的面积最大。
这时正方形的边长是　cm。
评注:相似三角形应用范围十分广泛，不仅局限于测量高度、距离，它在其他学科中的应用也较广泛，要注意和其他学科结合。
〔例10〕如图18-16，直线y= x+2分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP＝9
①　求点P的坐标；
②　设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧。作RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标。
分析:①　由直线y= x+2　分别交于x、y轴于点A、C，可求得A（-4，0）、C（0，2）。再由S△ABP＝9可得出一个一元二次方程。即可得P（2，3）。
②　由P点在函数图像上，易求得y= ,若设R的坐标为（b，　）。则BT＝b-2
RT=　.下面问题的关键是要分清两个三角形相似时，其边不同的对应情况。再依据相似三角形对应边成比例，分别求出b的值，即可得R的坐标。
解：① 由题意，得点C（0，2）, 点A(-4,0)
设点P的坐标为(a,a+2)。其中　a＞0
　由题意，得　S△ABP＝(a+4)(a+2)=9
解得　a=2 或 a＝-10(舍去)
而当a=2时，　　　　a+2=3
∴ 点P的坐标为（2，3）。
② 设反比例函数的解析式为y=　　　
∵　点P在反比例函数的图像上
∴　3＝　　，K＝6.
∴　反比例函数的解析式为y=
设点R的坐标为（b，），点T的坐标为（b，0），其中b＞2，那么　BT=b-2.
RT=
⑴ 当△RTB∽△AOC时，　即　　
∴　＝2　解得b=3或b=-1(舍去)
∴ 点R的坐标为（3，2）
⑵　当△RTB∽△COA时，　　即　　
∴　解得b=1+或b=1-　　(舍去)
∴ 点R的坐标为（1+，）
综上所述，点R的坐标为（3，2）或（1+，）
评注:此题是函数、方程与三角形面积、相似三角形性质的综合题，它同时考查学生的计算能力、综合分析能力和推理能力以及分类讨论思想的灵活运用。解第②小题的关键是对△BTR与△AOC相似时，讨论其边怎样对应成比例，防止解答不完整的现象出现。
强化训练
一、填空题：
⒈　如图18-17，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3cm，BD＝2cm，
则△ADE与△ABC相似比是＿＿＿＿。若DE＝4 cm，
则BC＝＿＿＿
⒉　已知△ABC和△A/B/C/中，　
且△A/B/C/　周长为50㎜，则△ABC的周长为＿＿＿＿㎜　　　　
⒊　如图18-18在□ABCD中，点E为边CD上的一点，AE的延长线交BC的延长线于点F。请你写出图中的一对相似三角形△＿＿＿∽△＿＿＿（只使用图中已有的字母，不再添加辅助线）
⒋　在△ABC和△A/B/C/中，若∠B＝∠B/，AB＝6，BC＝8，B/C/＝4，则A/B/＝＿＿＿时，△ABC∽△A/B/C/。
⒌　如图，在△ABC中，DE ∥BC，CD、BE相交于F，且　，则＝＿＿＿，＝＿＿＿＿，若DE＝6，则BC＝＿＿。
⒍　在一张1：1000000的地图上，测得我国澳门特别行政区的面积为0.23㎝2,澳门的实际面积是＿＿＿＿㎞2。
⒎　下列命题：①所有的等腰三角形都相似；②　所有的等边三角形都相似；③　所有的等腰直角三角形都相似；④　所有的直角三角形都相似。其中真命题的序号是＿＿＿。（注：把所有真命题的序号都填上）。
⒏　若两个相似三角形的相似比是2：3，则这两个三角形对应角平分线的比是＿＿＿
⒐　△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC。若AD：AB＝1：2，则S△ADE：S△ABC＝＿＿＿＿
⒑　如图18-20，点D、E分别是△ABC中边AB、AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD那么，△ADE的周长：△ABC的周长＝＿＿＿。
⒒ 两个相似三角形的周长比是2：3，它们的面积之差为30㎝2，则它们的面积和为＿＿＿㎝2
⒓　如图18-21，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B两点间的距离，但绳子不够，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到A、B的点C，找到AC、BC的中点D、E，并且测出DE的长为15m，则A、B两点间的距离为＿＿＿＿m.
⒔ 如图18-22，EF∥BC，FD∥AB，若AE＝1.8，BE＝1.2，CD＝1.4，则BD＝＿＿＿＿＿；若S△CDF＝1，S△AEF＝4，则S□BDEF＝＿＿＿＿。
⒕　如图18-23，已知∠1＝∠2，若再增加条件就能使结论“AB·DE＝AD·BC”成立，则这个条件可以是＿＿＿＿＿＿＿（填写一个你认为正确的即可）。
⒖　如图18-24中，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1。线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM＝＿＿＿＿时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似？
二、选择题：(四选一)
⒗　如图18-25，在□ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交与点F，则图中相似三角形共有（　　）
A. 3对 　　B. 4对　　　C. 5对　 D. 6对
⒘　顺次连结三角形三边的中点，所构成的三角形的高与原三角形的对应高的比是（　　）
A. 1：3 　B. 2：3 　C. 1：2 D. 1：4
⒙　如图18-26，D、E分别是△ABC的AB、AC边上一点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DEBC＝1：3，那么AD：AB等于（　　　）
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 　
⒚　下列说法正确的个数是（　　）
A. 位似图形一定是相似图形 B.　相似图形一定是位似图形 C. 两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间 D. 若五边形ABCDE与五边形A/B/C/D/E/位似，则其中△ABC与△A/B/C/也是位似的，且位似比相等。
A.1个　B. 2个 　C. 3个 D. 4个
⒛　如图18-27，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结
论正确的是（　　）
A.∠BAE＝30° B. CE2＝AB·CF C. CF＝CD D. △ABE∽△ADF
21.　如图18-28，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，
且∠APD＝60°，BP＝1，CD＝　　，则△ABC的边长为（　　　　）
A. 3　 B. 4 　 C. 5　 　 D.　6
22.　如图18-29，这是圆桌上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后在地面上形成的阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡离地面3m，则地面上阴影部分的面积为（　　　）　　
A. 0.36πm2　 B. 0.81πm2 C. 2πm2 D.24πm2
23.　如图18-30，在正方形方格上有6个斜三角形：①△ABC ②△BCD ③△BDE ④△BFG ⑤△FGH ⑥△EFK。在②～⑥中与三角形①相似的是（　　　）
A. ②③④　　B.③④⑤ 　 C.　④⑤⑥ 　D.②③⑤
24.如图18-31，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，BF的延长线交AC于点H，则AH：HE等于（　　）
A.1：1 　B. 2：1 　C. 1：2　 D. 3：2
25.如图8-32，梯形ABCD的对角线交于O点，有以下四个结论：
① △AOB∽△COD　　　　 ② △AOD∽△ACB
③ S△DOC：S△AOD＝DC：AB　 ④ S△AOD＝S△BOC　其中始终正确的有（　　　）
A. 1个　 B.2个 　 C.3个 　D.4个
三、解答题：
26、如图18-33，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，∠ECA＝∠D，求证：AC·BE＝CE·AD
27、如图18-34，D是AC上一点，BE∥AC，BE＝AD，AE分别交于BD、BC于点F、G，∠1＝∠2。
①　图中哪个三角形与△FAD全等？证明你的结论；
②　求证：BF2＝FG·EF
28、如图18-35，已知△ABC、△DEF均为正三角形，D、E分别在AB、BC上，请找出一个与△DBE相似的三角形并证明。
29、如图18-35，已知正方形ABCD中，P是BC上一点，且BP＝3PC，
Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP
30、某老师讲完“相似三角形的识别”后，出了如下一道思考题：如图18-36，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，试问：△AOB和△DOC是否相似？
某学生对上题做如下解答：答：△AOB∽△DOC。
理由如下：
在△AOB和△DOC中，∵AD∥BC，∴AO：OC=DO：OB，又∠AOB=∠DOC,∴△AOB∽△DOC.
请你回答，该学生的解答是否正确？如果正确，请在每步后边写出根据；如果不正确，请简要说明理由。
31、如图18-36，王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部。当他向前面步行12m到达点Q时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部。已知王华同学的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m.
① 求两个路灯之间的距离；
②　当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？
32、如图18-38　点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE。
①　求证：BE·AD＝CD·AE
②　根据图形的特点，猜想可能等于哪两条线段的比。
（只需写出与图中已有线段的一组比即可）？并证明你的猜想。
第三课时（图形与坐标）
课标要求
1、认识并能画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置。由点的位置写出它的坐标；
2、能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。
3、在同一直角坐标坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化
4、灵活运用不同的方式确定物体的位置。
中招考点
①　用两种坐标（即直角坐标和极坐标）来确定点的位置。
②　图形的运动与坐标的变化关系
③　两种坐标确定点的位置及图形的运动与坐标的变化关系在现实生活、生产、军事等方面的应用。
典型例题
〔例1〕　如图18-39是某市市区几个旅游景点的示意图（图中每个小正方形的边长为1个单位长度）。请以某景点为原点，画出直角坐标系，并用坐标表示下列景点的位置。
光岳楼＿＿＿＿；金凤广场＿＿＿＿＿；动物园＿＿＿＿；
湖心角＿＿＿＿；山陕会馆＿＿＿＿＿。
解：用直角坐标思想的定位方式，选取光岳楼为原点。则光岳楼、金凤广场、动物园、湖心岛、山陕会馆的位置依次为（0，0）、（-2，-2）、（7，3）、（-，1）、（3，-1）
评注：用点的坐标表示点的位置的关键是建立合适的直角坐标系，其次应明确方格图的单位长度，有时应注意实际距离与坐标平面上的单位长度间的关系。选择的坐标系不同，则点的坐标不同。
〔例2〕如图18-40，是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图。对我方潜艇来说：①北偏东40°方向上有哪些目标？要想确定敌舰B的位置，还需要什么数据？②　距我方潜艇图上距离1cm处的敌舰有哪几艘？③　要确定每艘敌舰的位置，各需哪几个数据？
解：①对我方潜艇来说，在北偏东40°有：敌舰B和小岛，要想确定敌舰B的位置，仅用北偏东40方向是不够的，还要知道敌舰B距我方潜艇的距离。②　距我方潜艇图上距离1cm处的敌舰有敌舰A和敌舰C。③　要确定每艘敌舰的位置，各需2个数据：距离和方位角。
评注：用一个角度和一个距离确定点的位置，应以观测点为原点，建立直角坐标系，令正东方为x轴正方向。正北方向为y轴正方向。确定点的位置应说明方向和距离两个要素。
〔例3〕如图18-41，是某乡的行政区域图，借助刻度尺，量角器解下列问题：
①　建立直角坐标系，用坐标表示各村的位置；
②　用方位角和距离表示各村与乡政府的位置关系。
解：⑴以乡政府所在地为原点，以正东方向为x轴正方向，以正北方向为y轴正方向，则各村坐标为：李家村（-0.2，1.2）王马村（1.3，1.1）、幸福村（-1.2，-0.4），康庄村（-0.3，-1.1），绿树村（2.6，-1.5），红花村（1.4，-0.3）。
⑵　李家村在乡政府北偏西约10°方向上，到乡政府距离约为3.6km；王马村在乡政府北偏东约51°方向上，到乡政府距离约为5.1km；幸福村在乡政府南偏西约76°方向上，到乡政府距离约为3.8km；康庄村在乡政府南偏西约15°方向上，到乡政府距离约为3.4km；红花村在乡政府南偏东约80°方向上，到乡政府距离约为4.3km；绿树村在乡政府南偏东约60°方向上，到乡政府距离约为9km.
评注：　①　建立平面直角坐标系的关键是选取原点。本题以乡政府所在地为原点较合适。②用极坐标思想表示位置，一般借助量角器、刻度尺来解决方位角和图上距离的具体数值。
〔例4〕将图18-42中的△ABC作下列运动，指出三个顶点的坐标所发生的变化。
①　沿x轴正方向平移2个单位；
②　关于x轴对称；
③　以B点为位似中心，放大到2倍，画出相应图形。
分析：△ABC沿x轴正方向平移2个单位，所有点的纵坐标不变，横坐标增加2个单位；图形关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数；以B点为位似中心，则其对应点仍是B。
解：由图知，△ABC的三个顶点坐标为A（0，-2）、B（3，-1）、C（2，1）
①　沿x轴正方向平移2个单位之后的△A1B1C1对应顶点是中A1（2，-2）、B1（5，-1）、C1（4，1）；
②　关于x轴对称△A2B2C2对应顶点是A2（0，2）、B2（3，-1）、C2（2，-1）.
③　以B点为位似中心，放大到2倍的△A3B3C3的对应点坐标为A3（-3，-3）、B3（3，-1）、C3（1，3）.
评注：①　平移变换后图形坐标的特点：ī）图形沿x轴平移k个单位后，所得图形上的点的坐标与原图形上对应点的坐标之间的关系是：向左平移时纵坐标不变，横坐标减少k；向右平移时，纵坐标不变，横坐标增加k。反之也成立。īī）图形向上平移k个单位时，横坐标不变，纵坐标增加k；图形向下平移k个单位时，横坐标不变，纵坐标减少k。反之也成立。　　　
②　图形对称与坐标特点：Ⅰ）一个图形关于x轴对称，则对称前后两个图形的对应点坐标之间关系是：横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数。Ⅱ）一个图形关于y轴对称，则对称前后两个图形的对应点坐标之间的关系是：纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数。Ⅲ）一个图形关于原点对称，则对称前后两个图形的对应点坐标之间关系是：纵横坐标都变为原来的相反数。
③　图形的放大或缩小与坐标：ī）以位似中心为坐标原点建立坐标系，把一个图形放大或缩小得到一个新图形，新得到的图形与原图形上的对应点坐标之间的关系是：如果新图形与原图形在同一象限内，对应点各坐标的比等于相似比。īī）当新图形与原图形不在同一象限内把一个图形放大或缩小时，则变换后的新图形与原图形上的对应点的坐标之间的关系可仿照上述方法，并结合图形求解。
〔例5〕如图18-43所示，给中国象棋棋盘建一个平面直角坐标系，假设马的位置在图中的P点，如果马走了一步，请写出马下一步可能的坐标。如果马所在的位置为Q（x，y）,试写出马下一步位置的坐标。
解：①　马的位置点P的坐标为（2，1），走一步后的坐标可能是P1 （3，3）、P2（1，3）
P3（0，2）、P4（4，2）、P5（0，0）、P6（4，0）。
②　若马的位置在点Q（x，y），马下一步位置的坐标为
（x+x0，y+y0），这里x0，y0只能是1，-1，2，-2这四个数中的一个，且使x+x0≥0，y+y0≥0同时成立。
评注：此题与实际生活有密切的联系，运用了图形变换与坐标的关系的有关知识，体现了数学应用价值和数形结合的思想。
〔例6〕印刷一张矩形的张贴广告如图18-44，它的印刷面积是32dm2，上下空白各留1 dm，两边空白各0.5 dm，设印刷部分从上到下的长是x dm，四周空白处的面积为S dm2.
①　求S与x的关系式；
②　当要求四周空白处的面积为18dm2时，用来印刷这张广告的纸张长和宽各是多少？
③　在②问条件下，内外两个矩形是位似图形吗？说明理由
分析：①　根据题意，结合图形建立函数模型；
②　已知函数值S，求自变量x的值，可通过解方程求解；
③　用位似图形的定义作出判断。
解：①　由题意知，S=2×x×0.5+2× ×1+4×1×0.5
=x++2；
②　由S＝18得，x+ +2＝18
∴　x2-16x+64=0. (x-8)2=0, ∴ x=8.
即广告的长为x+2=10dm，宽为　+1＝5dm.
③　是位似图形。因为外面矩形长宽之比为=2，内部矩形长宽之比为　=2　所以两矩形相似，又两矩形的中心重合，故它们是位似图形。
强化训练
一、填空题
⒈　如图18-45，小明家在学校北偏东30°方向，距离学校1000m，则学校在小明家的＿＿＿＿位置。
⒉　如图18-48，是小华画的一张脸，他对同学说：“如果我用（1，3）表示这张脸的左眼，用（3，3）表示右眼，”请说出这张脸上嘴的位置应用＿＿表示。
⒊　在一座共7层的商业大厦中，每层布局基本相同，小明的姐姐在5楼的摊位如图18-47所示，其位置可表示为（5，2，3），若小华的母亲在6楼，其摊位也可用上图表示，则小华母亲的摊位位置可以表示为＿＿＿＿＿＿。
⒋　如图18-48是伊拉克地图。根据图形填空。
①若首都巴格达用（6，5）来表示，那么巴士拉和摩苏尔可分别表示为＿＿＿＿＿＿＿；
②由方格表能否看出巴士和摩苏尔关于＿＿＿成中心对称；
③如果从乌拜莱观察摩苏尔，摩苏尔位于乌拜莱的方位是＿＿＿；　　　　　　　　　　　
元/股
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 123456星期
图18-49
④　如果点A是伊拉克的一个军事要地，由A观察乌拜莱和巴格达的方向的角度是＿＿。
⒌　如图18-49所示，是某公司一周的股票涨跌情况，试结合股市行情回答下列问题：
①　若星期一的股市记作A（1，4.5），则星期二、星期三、星期四、星期五的股市应记作＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，（6，5.5）是星期＿＿股市情况。
②　本周内，星期＿＿股市行情最好，星期＿＿股市行情最差。
⒍　如图18-50，如果四边形ABCD关于y轴对称的图形为四边形
A′B′C′D′,那么四边形A′B′C′D′的坐标分别为_____________________________。
⒎　根据指令[S，A]（S≥0，0°＜A＜180°），机器人在平面是能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A，再朝其面对的方向沿直线行走距离S。现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向。
①　若给机器人下了一个指令[4，60°]，则机器人移动到
点＿＿＿.②请你给机器人下一个指令＿＿＿，使其移动到点（-5，5）。
y
330°
O x
P
A
　　　图18-51
⒏　如图18-52，△EDC是由△ABC缩小后得到的，那么点E的坐标是＿＿＿＿＿。
y
A
B 　　　　E
-5　D　　C　O　x
　图 18-52
⒐　已知，某地震多发地区有互相垂直的两条交通主干线，以这两条主干线为轴建立直角坐标系，长度单位为100km，地震监测部门预报该地区将有一次地震发生，震中位置为（-1，2），影响范围的半径为300km，则下列主干线沿线的6个城市在地震影响范围内有＿＿＿个。
主干线沿线的6个城市为：A（0，-1），B（0，2.5），C（1.24，0），D（-0.5，0），E（1.2，0），F（-3.22，0）。
y
3 A A1A2 A3
2
1
O 1 B B15 B2 10 B3
图18-53
⒑　如图18-53，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）。
1 观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4坐标是＿＿＿，B4的坐标是＿＿＿。
2 若按第①题找到规律将△OAB进行了n次变换，得到△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测An 的坐标为＿＿，Bn的坐标为＿＿。
二、解答下列问题：
⒒　如图18-54是某所学校的平面图（图中每个小正方形的边长为1个单位），设以学校大门为坐标原点，建立直角坐标系，用坐标表示各处的位置。
　　　　y
实验楼　科技楼　　教工宿舍　　　
生物园　　　　　　学生宿舍
　　　　教学楼
　办公楼　
　 O　学校大门 x
⒓　如图18-55，点A（3，5）表示3街与5大道的十字口，如果用（3，5）→（4，5）→（5，5）→（5，4）→（5，3）表示由A到B的一条路径，那么你能用同样的方式写出几条由A到B的其他路径吗？
⒔　如图18-56中的△ABC做下列运动，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化。
①　沿y轴正方向平移3个单位；
②　关于x轴对称；
③　以C点为位似中心，将△ABC放大2倍；
④　以点C为中心，将△ABC旋转180°.
3
1
⒕　如图18-57所示，左右两幅图案关于y轴对称，右图案中的左右眼睛的坐标分别是（2，3）、（4，3）。嘴角左右端点坐标分别为（2，1）、（4，1）.
①　试确定左图中的左右眼睛和嘴左右两端点坐标？
②　如果将图中的右图案沿x轴正方向平移1个单位长度，那么左右眼睛的坐标将发生什么变化？
③　如果作图中右图关于x轴的轴对称图形，那么左右眼睛的坐标将发生什么变化？
第24部分《图形的相似》综合测试A
1． 填空题：（每小题2分，共30分）
1．已知线段b、a、c、d成比例，且a=3, b=4，c=5，则d=
2．已知1、、2三个数，请你再添上一个数写出一个比例式：
3．若 则
4.已知△ABC∽△A＇B＇C＇,且AB=2A＇B＇,如果△ABC的周长为27cm,那么△A＇B＇C＇的周长是
A
　　D　　　 　E
B　　　 　　　C
　 图18-4
D　　　　　C
　　　　　F
A　　　　B　　　　E
图18-2
C
A　　　　　D　　B
图18-3
5．　如图18-1.D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点,请你添加一个条件，使△ABC与△AED相似,你添加的条件是:
　　　　A
D　　　　E
B　　　　　　C
　　　图18-1
6.　如图18-2在□ABCD中，E为AB的延长线上一点,AB:AE=2:5若S△DFC=12cm2，
则S△EFB= cm2
7．一个钢筋三角架长分别是20cm、50cm、60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30cm和50cm的两根钢筋,要求以其中一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边,则不同的截法有 种。
8．小明的身高是1.6m,他的影长是2m,同一时刻古塔的影长为18m，则古塔的高度是
9、如图18-3，D是△ABC的边AB上一点，且∠ADC=∠ACB
若AD=9，DB=3 则AC=
10、一个多边形的边长依次为1、2、3、4、5、6，与它相似的另一个多边形的最大边长为8，那么另一个多边形的周长是
F
A　　　　H　　D
B　　G　　　　C
E
　　　　图18-5
11、如图18-4，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，DE∥ BC，若，AE=15. 则 EC=_____.
12、如图18-5，若E、F分别是□ ABCD边AB和CD边延长线上的点，连结EF交AD、BC于点H、G，写出图中的位似图形＿＿＿＿.
13、在比例尺是1：8000000的《中国政区》地图上，量得福州与上海之间的距离为7.5cm，那么福州与上海两地的实际距离为＿＿＿千米.
14、如图18-6，在直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在X轴上（C与A不重合），当点C的坐标为----时，使得由点B、O、C组成的三角形与 AOB相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）
　　y
(0,2)B
O A(4,0) x
图18-6
A D
O
B C
图 18-7
A
D　　 E
B　　　　C
图18-8
C
A　　　D　　B
图18-9
15、如图18-7，梯形ABCD中AD∥BC，AC与BD相交于0，若S△AOD＝4，S△BOC＝9.则S梯形ABCD=______.
二、选择题（四选一，每小题3分，共21分）
16、如图18-8，在 ABC中，DE∥BC，如果AD=1，DB=2，那么 的值是（ ）
A. B. C. D.
17、两个相似菱形边长的比是1：4，那么它们的面积比是（ ）
A. 1:2 B.1：4 C.1：8 D.、1：16
18、下列判断中，正确的个数有（ ）
（1）全等三角形是相似三角形 （2）顶角相等的两个等腰三角形相似 （3）所有的等边三角形相似 （4）所有的直角三角形相似
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
19、如图18-9，点D在 ABC的边AB上，AC2=AB、AD，则下列各式不一定成立的是（ ）
　　　　　A
　　　　D
B　　
图18-10
A.∠ABC＝∠ACD B. C. D.∠A＝∠BCD
20、如图18-10，AB是斜靠在墙壁上长梯，梯脚B距墙1.6m，梯上点D距墙1.4m，BD长0.55m，则梯子的长为（ ）
A.3.85m B.4.00m C.4.40m D.4.50m
C
A　　D　　　　B
　　图18-11
21、如图18-11，在Rt ABC中，ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2，BD=1。则AD的长是（ ）
A.1 B. C.2 D. 4
22、用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或者缩小。位似中心位置可选在（ ）
A.原图形的外部 B.原图形的内部 C.原图形的边上 D.任意位置
三、解答下列各题：（81+81+81+81+81+91）
A
D　 G　E
　　
C　　　F　　　B
　　图18-12
23、如图18-12，Rt ABC中，C=90°，有一内接正方形DEFC，连AF交DE于G，AC=15，BC=10，求EG
24、如图18-13，在 ABC和 BED中，若
（1） ABC与 BED的周长差为10cm，求 ABC的周长。
（2） ABC与 BED的面积之和为170cm2，求 BED的面积。
25、雨后初晴，一个学生在运动场上玩耍，在他前面2m远的一块小积水处，他看到了旗杆顶端的倒影。如果旗杆底端到积水处的距离为40m，该生的眼部高度是1.5m，那么旗杆的高度是多少米？
26、将图中的 ABC做下列运动，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化。
（1） 沿X轴方向向右平移2个单位；
（2） 关于y轴对称；
（3） 以0为位似中心，缩小到原来的一半。
27、如图18-15，已知 ABC中，ACB=90°，AC=BC，点E、F在AB上，ECF=45°
（1） 求证： ACF∽ BEC
A
　　　E
　　　　
　　　　　　　F
C　　　　　　　　B
　　　
图18-15
（2） 设 ABC面积为S，求证:AF·BE=2S
　　　
　　　A
　　　　　　O
　　 　C
B
图18-14
　　　　A
　　　D
B　　　　　　　C
　　　E
　　图18-13
28、操作：如图18-16，在正方形ABCD中，P是CD上一动点(与C、D不重合)，使三角板的直角顶点与点P重合，并且一条直角边始终经过点B，另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E。
探究：①观察操作结果，哪一个三角形与△BPC相似，写出你的结论，并说明理由；
②当点P位于CD的中点时，你找到的三角形与△BPC的周长比和面积比分别是多少？
第24部分《图形的相似》综合测试B
1、 一、填空题（每小题2分，共30分）
A
D E
O
B C
1、 若, 则=＿＿＿＿＿
2、 如图，DE∥BC，DC、BE交于点O，，那么△ODE∽_______，相似比为___。
3、 两个相似三角形的面积比为5，周长之比为m，则 =____________
4、 若x：y：z=3：5：7，则 的值 为＿＿＿＿＿
5、 矩形纸长ABCD的长AB＝a㎝，宽BC=b㎝，沿AB和CD的中点连线对折，要使矩形AEFD与原矩形相似，则 =＿＿＿＿
　　　　　A
　　　　　　F
　　　　　E
B　　　D　　C
　　图18-4
6、 一张比例尺为1：50000的地图上，一块多边形地区面积是320cm2，这个地区的实际面积是＿＿＿＿（用科学记数法表示）
　　　　C
　　　　　　　C
A　　　　
B
图18-1
　A　　　　　　D
B　　　F　　C
　　　　E　
　　　图18-2
A　　　　D
　　　O　
　B　　　　　　C
图18-3
7、如图18-1，ABC=CDB=90°,AC=5,BC=3,若 ABC与 CDB相似，则BD=＿＿＿＿
　　　
D 　　　　　　C
A　　　　　B
　　图18-5
8、如图18-2，E为 □ ABCD的边DC延长上一点，AE与BC交于点F，BF:FC=3:2,则EC:ED=＿＿＿＿＿
9、如图18-3，梯形ABCD中，AD//BC,对角线AC，BD交于点O，已知AD:BC=1:2，S△AOD=1㎝2 .则梯形ABCD的面积为＿＿＿㎝2
10、把一个矩形的各边都扩大到4倍，则其对角线扩大＿＿倍，其面积扩大到 ＿＿＿倍。
　　　
　A　　　　　B
　　　　　C
E　　　　　D
图18-6
11、 如图18-4， ABC中，E为中线AD上一点，且AE=1/3AD.BE的延长线交AC于点F，则AF:FC= ＿＿
12、如图18-5，四边形ABCD中，A=CBD,AB=15cm，AD=20cm,BD=18cm，BC=24cm，则CD为 ＿ cm.
13、如果点A,B的坐标分别为A(-3,1),B(-1,2),把线段AB沿X轴方向向右平移2个平位，再沿Y轴方向向下平移3个单位，则A,B的坐标分别是＿＿＿＿＿＿＿＿
14、如图18-6，有一池塘，要测量两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD=CA，连结BC并延长到E，使CE=CB，连结ED，如果量出DE的长为25m,那么池塘宽AB为＿＿ m.
　　　C　　　C/
A 　　 A/ 　 B　 B/
图18-7
15.如图18-7把 ABC沿AB边平移到 A/B/C/的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是 ABC的面积的，若AB=5cm,则此三角形移动的距离AA/是＿＿ cm.
二、选择题：（四选一，每小题3分，共30分）
16、下列四组线段中，不能成比例的是（ ）
　　　　　A
E　G　　　F
B　　　　D　　　C
图18-8
A.a=1,b=,c=，d= B.a=3,b=6,c=4,d=2
C.a=4,b=6,c=5,d=10 D.a=,b= ,c=2 ,d=
17、如图18-8， ABC中，AB=AC，AD是高，EF//BC,则图中与
ADC相似的三角形共有（ ）
D
A　　　　　C
　　　
　
B
图18-9
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
18、赵师傅透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的菱形图案的一角（图18-9）那么A与放大镜中的C的大小关系是（ ）
A.A=C B.A>C C.A19、下列命题正确的是（ ）
A.有一个角相等的两个等腰三角形相似
C
E　　　　F
A　　　　D　　　B
图18-10
B.两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
C.三角形一条中线分成的两个三角形相似
D.有一个锐角相等的两个直角三角形相似
20、如图18-10，DE∥BC；EF∥AB；下列比例式正确的是（ ）
A
D
　　　　　　
B　　　　　C
图18-11
A. B. C. D.
21、如图18-11，在 ABC中，A=36°，AB=AC，BD是角平分线。下列结论中：（1） ABD， BCD都是等腰三角形；（2）AD=BD=BC；（3）BC2=CD.CA；（4）、D是AC的黄金分割点，其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
22、两个相似三角形的对应边上的中线之比是2：3，周长之和是20，那么这两个三角形的周长分别为（ ）
A.8和12 B.9和11 C.7和13 D.6和14
23、如图18-12所示的象棋盘上，若“帅”位于点（1，-2）上，“相”位于点（3，-2）上，则“炮”位于点（ ）
A.（-1，1） B.（-1，2） C.（-2，1） D.（-2，2）
24、如图18-13，将 ABC的三边缩小为原来的，下列说法正确的个数是（ ）
①　△ABC与△DEF是位似图形.　②　△ABC与△DEF是相似图形.　③　△ABC与△DEF周长比为2：1.④　△ABC与△DEF面积比为4：1.
A.1　. B.2 . C.3 . D.4.
25、如图18-14，DF∥EG∥BC，AD=DE=EB，且把 ABC分成三部分，则这三部分的面积S1：S2：S3等于（　　 ）
　　　　A
　　　　　S1　　
D　　　 F
E　　　　　G
　　S3
B　　　　　　C
　图18-14
　　　　　　　　　B
　　　　　E　　
O　　　F C
　　　　
D A
　　　图18-13　 　　
A.1：1：1 B.1：2：3 C.1：4：9 D.1：3：5
图18-12
A
　　　　　　　
　　　　1　　2　
E B C 　　　　　　　　　
D
图18-15
三、解答下列各题：(6/+6/+6/+6/+8/+8/)
26、如图18-15，1=2，B=D, AB=DE=5, BC=4
(1)求证： ABC∽ ADE ；
（2）求AD的长。
27、如图18-16，晚上，小亮在广场上乘凉，图中线段AB表示站在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯。
① 请你在图中画出小亮在照明灯(P)照射下的影子；
②如果灯杆高PO=12m，小亮的身高AB=1.6m，小亮与灯杆的距离
BO=13m，请求出小亮影子的长度。
y
5
4
3
2 P
1
-　　　　　 O 1 2 3 4 5 x
　-2
A -3
B C -4
-5
图18-19
　 A　　　　　　D
F
B　 　E　 C
图18-17
28、如图18-17，正方形ABCD中，AB=2，E是BC的中点，DF ⊥AE，F为垂足，
F
A
D
B E C
图 18-18
（1）求证： ABE∽ DFA;
（2）求 DFA的面积S1和四边形CDFE的面积S2 。
29、如图18-18，已知Rt△ABC中，∠BAC=900,D是AC上一点，∠ABD=∠C，直线EF过点D，与BA的延长线交于F，且EF⊥BC，垂足为E。
① 写出图中所有与△ABD相似的三角形______________________________
② 探索：设=t，是否存在这样的t值，使得 ADF∽ EDB？说明理由。
M
A
C
Q
O(B) B1 N
图18-20
30、如图18-19，如图，在平面直角坐标系中，已知 ABC，点P（1，2）
（1）作 PQR，使 PQR与 ABC相似（不要求写出作法）
（2）在（1）小题所作的图形中，求 PQR与 ABC的周长比
31.如图18-20，已知∠MON=900，等边三角形ABC的一个顶点A是射线OM上的一定点，顶点B与点O重合，顶点C在∠MON内部。
① 当顶点B在射线ON上移动到B1时，连结AB1，请在∠MON内部作出以AB1为一边的等边三角形AB1C1(保留作图痕迹，不写作法和证明)；
② 设AB1与OC交于点Q，AC的延长线与B1C1交于点D，求证：△ACQ∽△AB1D；
③连结CC1，试猜想∠ACC1为多少度？并证明你的猜想。
四、参考题：
32、如图18-21，锐角 ABC的边BC的长为6，面积为12，P，Q分别为边AB、AC上的动点。PQ∥BC，PQRS为正方形（SR和点A分列PQ两侧），其边长为x，正方形PQRS和 ABC的公共部分的面积为y
（1） 当正方形PQRS的边SR恰好落在BC边上时，求边长x；
（2） 当SR不落在BC边上时，求y关于X的函数关系式以及自变量x的取值范围。
　　　　　A　　　　　　　　　 　　　A　　　 　　　　　　　　A
P　　 　Q　　　　　　　 P 　 Q　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　P　　　　　Q
　　　　　　　　　　　　　 S　　　R
B S　　　R　R 　C　　 　　B　　　　　　　　C　　　 B　 　　　　　　C
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 S 　　　　　R 　
　　　　　　　　　　　　　图18-21
第25部分　解直角三角形
第一课时(锐角三角函数)
课标要求
1、 通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA、cosA、tanA 、cotA）
2、 熟知300、450、600　角的三角函数值
3、 会用计算器求锐角的三角函数值，以及由已知的三角函数值求相应的锐角。
4、 通过特殊角三角函数值，知道互余两角的三角函数的关系。
5、 了解同角三角函数的平方关系。sin2α+cos2α=1，倒数关系tanα·cotα=1.
6、 熟知直角三角形中，300角的性质。
中招考点
1、 锐角三角函数的概念，锐角三角函数的性质。
2、 300、450、600角的三角函数值及计算代数式的值。
3、 运用计算器求的三角函数值或由锐角三角函数值求角度。
典型例题
B
D
A　　　　　　C
图19-1
[例题1]　选择题（四选一）
1、如图19-1，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列线段比中不等于sinA的是（　　）
A. 　 B. 　C. D.
分析：sinA=, sinA=sinBCD= ;sinA= ,从而判断D不正确。故应选D.。
2、在Rt△ABC中，C＝900，A＝B，则cosA的值是（　　）
A.　 　 B.　 C. D.1
分析：先求出A的度数，因为C＝900，A＝B，故A＝B＝450，再由特殊角的三角函数值可得：cosA=cos450= 故选B.。
3、在△ABC中，C＝900，sinA= ,则cosB的值为（　　）
A.　 　 B.　 C. D.
分析：方法一：因为sinA=,故锐角A＝600。因为C＝900，所以B＝300. cosB= .故选C.
方法二：因为 C＝900，故 A与 B互余.所以cosB=sin A＝.故选C..
4、如图19-2，在△ABC中，C＝900，sinA=.则BC：AC等于（　　　）
B
A　　　　　　　C
图19-2
A.　3：4 　 B.　4：3　 C.3：5　 D.4：5
分析： 因为C＝900，sinA＝ ,又sinA= .所以＝, 不妨设BC＝3k,AB=5k,由勾股定理可得AC＝＝4k,所以BC：AC＝3k:4k=3:4故选A.。
注意：由＝，不能认为BC＝3，AB＝5。
　　　　A　　　　　　D
D/　　　 　B　　　　C
图19-3
5、如图19-3，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D/处，那么tanBAD/等于（　　）
A.　1 　 B.　　C.　　D.2
分析： 根据勾股定理得
BD＝==2
又BD/＝BD＝2，AB＝2，
在Rt△ABD/中，tanBAD/=
故选B.。
6、在 ABC中，若｜sinA- |+(-cosB)2=0, ∠A.∠B都是锐角，则∠C的度数是（　　　）
A.　750 　 B.　900　 C.1050　 D.1200
分析：　由｜sinA- |+(-cosB)2=0可得，
sinA-=0 -cosB=0 即 sinA= =cosB ,又∠A、∠B都是锐角，∴∠A＝450，∠B＝300.由三角形内角和知，∠C＝1800-∠A-∠B＝1050.故选C.
评注： 解决此题的关键是利用利用非负数性质，求sinA、cosB的值，得出∠A、∠B的度数。
[例2] 填空题：
1、计算tan600sin600-cot300tan450=_________
分析　熟记300、450、600这些特殊角的三角函数值是解决本题的关键。
　原式＝
2、在 ABC中，C=900.若tanA= 则sinB的值等于_________
分析　依据条件tanA= ,可求出cotB=cot(900-A )=tanA= ,再由cotB= 及sin2B+cos2B=1得　cotB＝　可求出sinB=
3、在 ABC中，C=900，若∠B＝2∠A，则cotB的值为_______.
分析　因为∠A+∠B＝900，且∠B＝2∠A，故∠B＝600.　所以　cotB=cot600=
4、 若α为锐角，且cos(900-α)＝，则α的度数是＿＿＿＿
分析把900-α当作一个整体，由特殊角的三角函数值，易得900-α=600,所以α＝300.
5、 已知00＜α＜400，且sin(α+100)=cos(500+α)，则α＝＿＿＿＿＿＿＿＿
分析　根据互余两角的三角函数关系，因为00＜α＜400，所以100＜α+100＜500，500＜500+α＜900，从而有（α+100）+（500+α）＝900　∴α＝150.
6、 用计算器计算：sin56050/+cos39030/-tan46010/=_______
分析　会用计算器求任意一个锐角的三角函数值，然后进行计算。原式＝0.5671.
7、已知方程4x2-2(m+1)x+m=0的两根恰为一个直角三角形两锐角的余弦，则m=______
分析　设这个直角三角形的两个锐角分别为α、β，且α+β＝900。cosβ=sinα.由一元二次方程根与系数的关系得：cosα+cosβ=，cosαcosβ=
∴ cosα+sinα= . cosαsinα=
又因∵sin2α+cos2α=1，(sinα+cosα)2-2sinαcosα=1.
∴ .∴(m+1)2-2m=4 ∴m=±
∵α、β都是锐角，
∴　cosα＞0，sinα＞0
∴m=-应舍去.故m=.
[例3]　在 ABC中，AB＝AC.　且AB＝2BC.　求B的四个三角函数值。
分析　根据锐角的三角函数的定义知，锐角三角函数值是锐角所在的直角三角形相应边的比值。因此必须把∠B放入直角三角形中，由题可知， ABC中没有说是直角三角形，所以要想法构造出直角三角形。
A
B D C
图19-4
解：　如图19-4，过点A作AD⊥BC，垂足为D。
∵AB＝AC
∴BD＝DC＝BC.
又AB＝2BC
∴AB＝4BD
在Rt ABD中，AD＝
∴　sinB=
cosB=
tanB=
cotB=
［例4］计算
分析：　本题主要是考察特殊角的三角函数值和分母有理化知识
解：　原式＝.
==
=
［例5］　要求tan300的值.可构造如图19-5所示的直角三角形进行计算，作Rt ABC，使C=900，斜边AB＝2，直角边AC＝1，那么BC＝　∠ABC＝300，所以　tan300=
在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，可求出tan150的值。请你就此图添加辅助线，并求出tan150的值。
分析：只需找出一个150的角，并放入一个可求出各边长的直角三角形中。
解：延长CB至D，使BD＝AB。连结AD，如图19-6
A　　　　　　　　　　　　　　　　　A
2　　　　　1
　　　　　　　　　　　　　2　　　　　　1
300
B　　　　　　　　C　　D　　　　　　　B　　　　　　　C
　图19-5　　　　　　　　　　　图19-6
则BD＝2，D＝150
所以　DC＝DB+BC＝2+
在Rt ADC中tanD=tan150=
评注：　利用含300角的直角三角形巧妙地构造出含150角的直角三角形，从而求出150角的三角函数值。利用此图还可以求出750的各三角函数值。
强化训练
一、填空题：
⒈　在 ABC中，若AC＝。BC＝　AB＝3，则cosA=____________.
⒉ 在Rt ABC中，∠C＝900.　tanA=. AC＝4. 则 BC=__________。
⒊　已知sinα＝　α为锐角。则tan =______________
⒋ 　在 ABC中，若｜sinβ-|+(cosA- )2=0. 　则∠C的度数为＿＿＿＿＿＿＿
⒌　若∠α的余角为380，则∠α＝＿＿＿度，sinα=________(结果保留4个有效数字)
⒍　在 ABC中，∠C＝900.　AC＝AB. 则sinA=___________tanB=___________.
⒎ 已知+1是方程x2-(3tanθ)x+ =0的一个根，θ为锐角三角形的一个内角，那么θ＝＿＿＿
⒏　若α+β＝900.　则tanα·tanβ-tan =___________
⒐ 　在Rt ABC中，∠C＝900.AB＝c.　BC＝a. 且a、c满足3a2-4ac+c2=0.　则sinA=________
⒑ 　在菱形ABCD中，∠A＝600.　对角线AC＝6cm. 　则菱形的面积为＿＿＿＿＿＿＿＿
二、选择题（四选一）
⒈　在 ABC中，∠C＝900.　tanA=1，那么cotB等于（　　　）
A. 　B. 　C.1 　D.　
⒉　已知α为锐角，且tan(900-α)= ，则α的度数为（ ）
A.300　　　B. 450 　C.600 　D.750
⒊ 在 Rt ABC中，∠C＝900.AC=12，cosA= ,则 tanA等于( ).
A.　　　B. 　C.　 D.
⒋ 下列等式不成立的是( )。
A. tanA·cotB=1 　B.tanA= C.tanA= D.sin2600+sin2300=1　
⒌ 下列各式计算错误的是( )
A. cos300+sin600cos60+sin450=　 B.
C. sin300tan420tan480+tan500tan400cos600=1 D.
⒍ 在 ABC中，sinB=cos(900-C)= 那么 ABC是( )
A.等腰三角形 　B.等边三角形 　C.直角三角形 　D.等腰直角三角形
⒎ 已知α为锐角，下列结论：⑴ sinα+cosα=1 ⑵ 如果α＞450，那么sinα＞cosα. ⑶ 如果cosα＞,那么α＜600 ⑷ =1-sinα,正确的有( )
A.1个　 　B.2个 　 C.3个 　D.4个
⒏ 菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，∠ABD=α，则下列结论正确的是( )
A.sinα=　　　B.cosα= C.tanα= 　D.cotα=
⒐ 已知点P(3，sin600)，则点P关于原点对称的点的坐标是( )
A.(3，-)　　B.(-3，- ) 　C.(3，sin600) 　D.(-3,- )
⒑ 已知α、β都是锐角，且α+β=900，则关于x的一元二次方程
x2·cotα-2x+cotβ=0的根的情况是( )。
A.有两个不等实数根B.有两个相等实数根　C.无实数根D.根的情况由α、β值确定。　
三、解答下列各题：
⒈ 计算：sin300+cos600-cot2450-tan600tan300
⒉ 当x=sin450+tan600时。先将代数式 ÷(1+)化简后再求值。
A
D
B C
图19-7
⒊ 在Rt ABC中，∠C＝900. a-b＝2. tanA= ,求a、b、c的值。
⒋ 如图 19-7，已知 ABC中，∠BAC＝900.AB=AC. BD是AC边上的中线. 求cot∠DBC的值.
⒌ 在 ABC中，已知BC=1+ ∠B=600 ∠C＝450.求AB的长.
A
Q
B P C
图19-8
⒍ 身高相同的甲、乙、丙三人放风筝，各人放出的线分别为300m、250m、200m，线与平面所成的角分别为300、450、600(假定风筝线是拉直的)。问三人中谁放的风筝最高？
⒎ ABC中，∠C＝900，BC=8cm，sinB=，一只蜜蜂从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动。另一只蜜蜂从点C开始沿CA边向点A以1cm/s的速度移动。如果两只 蜜蜂分别从B、C点同时出发各自运动到P、Q，如图19-8，第几秒钟时PQ∥AB？
第二课时(勾股定理、解直角三角形及有关知识解决实际问题)
课标要求
A
A/
B/ B C
图19-9
1、 熟悉勾股定理的探索过程，会用勾股定理解决简单的实际问题。
2、 运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题。
3、 能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题。
中招考点
1、 用勾股定理解决实际问题。
2、 直角三角形的基本解法(运用三角函数、勾股定理)。
3、 运用解直角三角形知识解决与生活、生产相关联的应用题。
典型例题
［例1］ 如图19-9，在垂直于地面的墙上2m的点A斜放一个长2.5m的梯子，由于不小心梯子在墙上下滑0.5m，求梯子在地面上滑出的距离BB/的长度。
分析： BB/的长度应等于B/C的长度减去BC的长度。因为在Rt ABC中，已知斜边AB和直角边AC的长，由勾股定理可求得BC的长，又由AA/=0.5m，A/B/=AB，再次运用勾股定理可求出B/C的长。
解： 因为∠ACB=900，AB=2.5m，AC=2m ，所以BC==1.5(m)
所以 A/C=2-0.5=1.5(m)，A/B/=AB=2.5(m)
∴ B/C= = 2(m)
∴ B/B= B/C-BC=2-1.5=0.5(m).
评注: 本题在理解题意的基础上，抓着梯子的长度不变，两次使用勾股定理，使问题得到解决。
［例2］ 如图19-10，已知在 ABC中，∠ACB＝900.AB=5cm，BC=3cm. CD⊥AB于D，求CD的长。
分析：先运用勾股定理求AC，再根据S ABC=AB·CD=AC·BD，求出CD之长。
C
B D A
图19-10
解： 因为 ABC是直角三角形，AB=5 ，BC=3
由勾股定理有AC2=AB2-BC2
∴ AC==4
又S ABC=AB·CD=BC·AC得
CD=(cm).
所以CD的长是 cm。
评注: 已知直角三角形任意两边长或两边关系及第三边的长，就可以求出三角形的未知边长，并可运用面积关系式求出斜边上的高(即弦高公式：两直角边的积等于弦与弦上高的积)。
［例3］在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20m池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘。如果两只猴子经过的距离相等，问这一棵树有多高？
［分析］ 根据题意画出图形。在直角三角形中运用勾股定理求解。
D
B
A
C 20
图19-11
解：如图19-11，D为树顶，AB=10m，C为池塘，AC=20m。
设BD的长为x m，则树高为(x+10) m.
因为 AC+AB=DB+DC
所以 DC= AC+AB-DB=20+10-x=30-x
在 ACD中，∠A＝900。所以AC2+AD2=DC2
故202+(x+10)2=(30-x)2。解得 x=5
所以 x+10=15. 即这一棵树的高为15m.
评注: 把实际问题变成几何问题，先画出符合题意的图形，设出某线段的长度，列出方程(组)来求解。
B
c a
A b C
图19-12
［例4］ 如图19-12所示，在 ABC中，∠C＝900，a=3，c=6，解这个三角形。
解： b2=c2-a2=(6)-(3)=81
∴ b=9
又因为sinA= 所以∠A＝300.
又因为∠A+∠B＝900. 所以∠B＝600.
∴ b=9. ∠A＝300 . ∠B＝600.
评注: ⑴ 弄清直角三角形的边角关系是解直角三角形的关键。⑵在应用边角关系求未知边时，应尽是使用已知量，要避免使用中间求出的量，以便减少误差。⑶ 已知两边解直角三角形的思路：①已知两直角边a、b，直角三角形解法为 c=,由tanA=得∠A，∠B=900-∠A。 ②已知一直角边a和斜边c，直角三角形解法为 b=,由sinA=得∠A，∠B=900- ∠A。
⑷ 已知一边和一锐角解直角三角形的思路：① 已知一条直角边a和一个锐角A，直角三角形的解法是：∠B=900-∠A，c= b=acotA(或b=) ② 已知斜边c和一个锐角B，直角三角形的解法是：已∠A=900- ∠B，b=csinB, a=ccosB(或a= )。⑸ 要特别注意：凡是“解直角三角形 ”的题目，除题目中的已知元素，须把所有的未知元素全部求出来。
［例5］ 某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图19-13所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境。已知∠B=300，∠C=450，AB=20米，且知道这种草皮每平方米售价a元，请你算一算购买这种草皮共需要多少钱？
A
20米
300 450
B D C
图19-13
分析： 要求草皮的费用，关键是求S△ABC.故过点A作AD⊥BC于D，构造直角三角形分别求出AD、BD、CD即可。
解：作 AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，∠B=300
∴AD=AB=10m
∴BD= m
在Rt△ADC中，cotC= DC=AD·cot450=10m.
∴S△ABC=(BD+CD)·AD=(10+10)×10=50(+1)(m2)
∵每平方米售价为a元，
∴共需要50(+1)a元
评注:采用“分割法”来构造直角三角形是解决问题的关键，但要特别注意，不要破坏题目中的已知条件。(即不能从B、C两点作高)。
［例6］ 某山区计划修建一条通过小山的公路，经测量，如图19-14，从山底B到山顶A的坡角是300，斜坡AB长为100米，根据地形，要求修好的公路路面BD的坡比=1：5，为了减少工程量，若AD≤20米，则直接开挖修建公路；若AD＞20米，就要重新设计，问这段公路是否需要重新设计？
A
D
i=1: 5
B C
图19-14
［分析］是否需要重新设计，需比较AD与20的大小关系。即求出AD，由题意.AD=AC-CD.故先求出AC和CD。
解： 在Rt ABC中，∠ABC＝300.AB＝100
∴ AC=AB=50。BC==50
在Rt BCD中，i= . CD=10
∴ AD=AC-DC=50-10＞20.
故这条公路需要重新设计。
评注:弄清名词术语的含义，画出正确的示意图，是解题的关键。
A C
图19-15
［例7］台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力。据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220km B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每离台风中心20km，风力就会减弱一级。该台风中心现正以15km/h的速度沿北偏东300方向往C移动。且台风中心风力不变，如图19-15，若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响。
⑴ 该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。
⑵ 若会受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
⑶ 该城市受到台风影响的最大风力为几级？
分析： 该城市是否会受到这次台风的影响，取决于该城市距台风中心的最近距离，若大于160km，则不受台风的影响。因风力达到或超过4级称受台风影响，故可计算出该城市从开始受台风影响到结束受台风影响之间的距离除以其速度。即为影响的时间，在离台风中心最近处风力最大。
解：⑴ 如图19-16。由点A作AD⊥BC，垂足为D。
A C
F
D
E
B
图19-16
因为AB=220. ∠B=300.所以AD=AB=110.
即点A距台风中心的最近距离为110km，由题意知，
当点A距台风中心不超过160km时，将会受到台风的影响。故该城市会受到这次台风的影响。
⑵在BC上取两点E、F，使AE=AF=160，当台风中心从E处移到F处时，该城市都要受到这次台风的影响。由勾股定理得，DE=
所以EF=60(km) ,因为台风中心以15km/h的速度移动，所以这次台风影响该城市的持续时间为(h)
⑶ 当台风中心位于D处时，A市所受的这次台风的风力最大，其最大风力为12-=6.5(级)
评注:① 此类题目联系生活实际，文字长，数据多，解题时要认真读题，理解题意，注意观察实践与想象，建立数学模型(画出图形)把抽象的问题转化为解直角三角形的问题。
②此题若换成噪音干扰或航海中遭遇暗礁或沙尘暴是否影响的问题。解决问题的方法同上。具体来讲，一是正确画出图形，弄清题意；二是判断会不会受影响的标准是点A到BC的距离是否大于半径。
［例8］今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位。一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东600方向上，前进100m到达B处。又测得航标C在北偏东450方向上(如图19-17)。在以航标C为圆，120m长为半径的圆形区域内有浅滩。如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？( ≈1.73)
分析： 过C作CD⊥AB于D，求出CD的长。若CD＞120m，则无危险；若CD＜120m，则有被浅滩阻碍的危险。可设CD=x，利用Rt ACD、Rt CBD结合AB=100m求解。
北 北
C
600 450
A B D 东
图19-17
解：如图19-18，过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=x。
在Rt△ADC中，AD=CD·cot∠CAD=CD·cot300=x .
在Rt△BDC中，BD=CD·cot∠CBD=CD·cot450= x 。
所以 AB=AD-BD= x-x=(-1)x=100
故CD=x= =50( +1)≈136.5(m)＞120m
所以，若船继续前进没有被浅滩阻碍和危险。
A
h
α β
C a D B
图19-18
评注:⑴ 这是一道现实生活会遇到的题目，解题的关键是弄清题意，将实际问题转化为数学模型，即转化为解直角三角形。⑵ 此题型可归纳为一个基本图形，如图19-18，在Rt△ABC中，CB=AB cotα……①在Rt△ADB中，DB=AB·cotβ……②
由①-②得 CB-DB=AB(cotα- cotβ)
D A
320
B C
图19-19
即 h=
［例9］如图19-19，某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高6m的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面15m处要盖一栋高20m的新楼，当冬季正午的阳光与水平线的夹角为320时，问：
① 超市以上的居民住房采光是否受影响，为什么？
②若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？(结果保留整数，参考数据 sin320≈,cos320≈,tan32≈)
分析：① 采光是否受影响即指此时太阳光能否照射到居民家中，即太阳光照射到居民楼的高度是否大于6m。② 要不受影响，太阳光线要正好照射到居民楼底，即图中C处。
A D
F 320 E
B C
图19-20
解：① 如图19-20，设CE=x m, 则AF=(20-x)m。
在Rt△AEF中，tan320=
即 20-x=15×tan320, 解得 x≈11
因为11m＞6m，所以居民住房的采光受影响。
② 如图19-21 在Rt△ABF中，tan320=
D
A
20
E
320
B 15 C F
图19-21
AB=20，则 BF=≈32
所以两楼应相距32m。
评注:① 解此类实际问题必须理解题意，学会建立数学模型，运用所学知识求解。② 如果题中没有给出sin320.cos320.tan320的函数值，同学们可以使用计算器求到解题过程中需要的值。
H
A D
B C G
图19-22
［例10］ 如图19-22，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平坦地带。该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点都可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺、测角器。
① 请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶到地面高度HG的方案，具体要求如下：⑴ 测量数据尽量少；⑵ 在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上(如果测A、D间距离用m表示；如果测C、D间距离用n表示，如果测角用α.β.γ表示)
② 根据你测量的数据，计算塔顶到地面的高度HG(用字母表示，测角器高度忽略不计)。
解：方案一：①如图19-23-⑴(测三个数据α.β.n)
② 解 设HG=x，在Rt△CHG中，CG=x·cotβ
在Rt△DHM中，DM=(x-n)·cotα
∴ x·cotβ=(x-n)·cotα
∴ x=
方案二：① 如图19-23-⑵。(测四个数据α.γ.m.n)
② 设HG=x,在Rt△AHM中，AM=(x-n)·cotγ
在Rt△DHM中，
DM=(x-n) ·cotα
∴ (x-n)·cotγ=(x-n) ·cotα+m
∴ x=
H
A γ D α M
m
n
B C G
图19-23-⑵
评注:熟读题目、理解题意是解题的前提，设计方案时要尽可能和已学过的基本图形联系起来。设计的方案要科学实用。
H
A D α M
n
β
B C G
图19-23-⑴
强化训练
一、填空题：
⒈ 在Rt△ABC中，斜边AB=2。则AB2+BC2+CA2=_____________.
⒉ 若一直角三角形三边的长是三个连续的整数，那么这三边的长为_______________
⒊ 直角三角形三边长为x、3、4，则x=_____________
b
a d
图19-24
⒋ 等边三角形的边长是a ㎝，则它的高等于________cm
⒌ 受台风影响，马路边一棵大树在离地面6m处断裂，大树顶落在离大树底部8m处，则大树折断之前高___________m
⒍ 如图19-24 ，要修建一个育苗棚，棚宽a=3m，高b=4m，底d=10m，覆盖在顶上的塑料薄膜的面积为_______________
⒎ 如图19-25所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm。则正方形A、B、C、D的面积的和是____________。
B C
A D
7cm
图19-25
图19-26
C D
B F A
图19-27
⒏ 如图19-26，是2002年8月北京第二十四届国际数学大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积为52和4，则直角三角形的两条直角边长分别为___________
⒐ Rt△ABC中，∠C＝900.若a=4,sinA= ,则C=___________
⒑ 如图19-27，水坝横断面为梯形ABCD，迎水坝BC的坡角B为300，背水坡AD坡度为1：1.5，坝顶宽DC=2米，坝高CF=4米，则坝底AB的长为_________背水坡AD长为_______。
A
D
B C
图19-28
⒒ 小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，如图19-28，量得CD=4m，BC=10m,CD与地面成300角，且此时测得1m杆的影长为2m。则电线杆的高度约为_______m(结果保留两位有效数字，≈1.41 ，≈1.73)
⒓ 一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行，上午8时，该船在A处，测得某灯塔位于它的北偏东300的B处(图19-29)，上午9时行至C处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是___________海里(结果保留根号)
二、选择题(四选一)
⒈ 把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边扩大到原来的( )
北 B
300
A C 东
图19-29
A. 2倍 B. 倍 C. 4倍 D.3倍
⒉ 直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm，则其面积为( )
A. 12cm2 B. 6cm2 C. 8 cm2 D. 10 cm2
⒊ 如图19-30 △ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=3，BC=2，则BD的长为( )
A. B. C. 1 D.
C
A D B
图19-30
⒋ 一个三角形的一边是2 m，这边上的中线为m，另两边之和为m+ m，那么这个三角形的面积是( )
A. m2 B.m2 C. m2 D. 3m2
⒌ 如图19-31 两条宽为1的带子，相交成α角，那么重叠部分的面积即阴影部分面积为( )
A. sinα B. C. D.
α
图19-31
⒍ 如图19-32，是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面作成角∠AMC=300，在教室地面的影长MN=2米，若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC为( )
A
B
M N C
图19-32
A. 2米 B. 3米 C. 3.2米 D. 米
⒎ 在距楼房30m的A处测楼房BC的高，测得楼顶B的仰角为α，则楼房BC的高为( )m
A.30tanα B. C. 20sinα D.
M N
750 450
A C B
图19-33
⒏ 如图19-33,在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为750，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的距离NB为b米，梯子的倾斜角为450，这间房子的宽AB是( )
A. 米 B.米 C. a米 D. b米
三、解答下列各题
1、已知一个直角三角形的斜边长为2，两直角边长的和为。
求这个直角三角形的面积。
2、在平静的湖面上有一支红莲高出水面1m，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m.求这里的水深是多少？
A B
C D
图19-34
3、如图19-34，已知∠ABC=∠BCD=900.AB=6，sinA= ,CD=12,求∠D的四个三角函数值。
4、如图19-35，在△ABC中，∠A=300，tanB= BC=,求AB的长
5、已知如图19-36所示，折叠矩形的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长。
6、一艘渔船正以每小时30海里的速度由西向东航行，在A处看见小岛C在船的北偏东600，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东300。若以小岛C为中心周围10海里是危险区，问这艘渔船继续向东航行是否有进入危险区的可能？
C
A B
图19-35
A D
E
B F C
图19-36
A
G C
B E D F
图19-37
7、如图19-37，城市规划期间，欲拆除一电线杆AB，已知距电线杆水平距离14m的D处有一大坝，背水坡CD的坡度i=2:1，坝高CF=2 m，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为300，D、E之间是宽为2m人行道，试问在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？请说明理由。
B
D
A C
图19-38
8、如图19-38，小丽的家住在成都市锦江河畔的电梯公寓AD内。她家的河对岸新建了一座大厦BC，为了测得大厦的 高度，小丽在她家的楼底A处测得大厦顶部B的仰角为600，爬上楼顶 D处测得大厦顶部B的仰角为300。已知小丽所在的电梯公寓高82米。请你帮助小丽计算出大厦高度BC及大厦与小丽所住的电梯公寓间的距离AC。
C
B D A
图19-1
B
C A
图19-2
第25部分《解直角三角形》综合测试题A
一、填空题：(每空2分，共30分)
1、 sin2300+cos2300=___________
2、 计算：(sin300)-1-(cot600)0=______________
3、 已知 cosA-=0，则锐角∠A=___________度
4、 Rt△ABC中，∠C=900，AB=17，sinA=，则BC=___________
5、 如图19-1，在△ABC中，∠ACB=900，BC=4，AC=5，CD⊥AB，
则 sin∠ACD=_______，tan∠BCD=_________
6、 在Rt△ABC中，∠C=900，b：a=1：，则cos(900-A)=_____________
7、 如图19-2是河堤的横断面，堤高BC=5m，迎水斜坡AB的坡度为1：2，那么AB的长为___________m
8、 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为a，则其底边上的高是_________
9、 已知直角三角形的两直角边之和为2，面积为2，则该直角三角形的斜边长为_______
10、 油田高级中学升国旗时，李明同学站在离旗杆底部12米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为450，若他的双眼离地面1.3米，则旗杆的 高度是________米。
11、已知∠A为锐角，cotA= 则sin =__________
12、用计算器计算cos350=__________(保留两个有效数字)
20米 1200 30米
图19-3
13、一船向西航行，上午9时30分在小岛A南偏东300的B处，已知AB为60海里，上午11时整，船到达小岛A的正南方向，则该船的航行速度为____________
14、学校校园内有一块如图19-3所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为30元，学校建这个花园需要投资_____________元(精确到1元)
二、选择题(四选一)(每小题3分，共24分)
15 、△ABC中，∠C=900，BC=2，AB=3，则下列结论中正确的是( )
A. sinA= B. cosA= C. sinA= D.tanA=
16、在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且|sinA-|+ =0，则△ABC的形状是( )
A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形
17、在△ABC中，∠C=900，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则下列等式成立的是( )
A.b=c·cosA B. b=a·sinB C. a=b·tanB D. b=c·cotA
18、已知∠A为锐角，且cosA≤ ,那么( )
　　　　B
　D
A 　　　　　　　　C
图19-4
A. 00＜A≤600 B. 600 ≤A＜900 C. 00＜A≤300 D. 300≤A ＜900
19、如图19-4，Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB于D，BC=3，AC=4，设∠BCD=α，则tanα的值为( )
A. B. C. D.
20、如图19-5，Rt△ABC中，∠C=900，D为BC上一点，
∠DAC=300，BD=2，AB=2,则AC的长是( )
A. B.2 C. 3 D.
A
α
β
C
B D
图19-6
A
C D B
图19-5
B
3
4
A 6
图19-7
21、如图19-6，两建筑物的水平距离为a m，从A点测得C点的俯角为α，测得D点的俯角为β,则较低建筑物CD的高为( )
A. a m B.atanα m C. a cotαm D. a(tanβ-tanα)m
A
D
B E C
图19-8
22、如图19-7是一块长宽高分别为6cm、4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处沿着长方体的表面到长方体上和A点相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是( )
A.(3+2)cm B.cm C. cm D.9 cm
三、解答题：(共46分)
23、(8分)如图19-8，D是△ABC的边AC上一点，CD=2AD，AE⊥BC，交BC于点E，若BD=8，sin∠CBD= 求AE的长。
D C
C/ B/
a c c b
D/ b A a B
图19-9
24、(6分)如图19-9，设火柴盒ABCD的两边之长为a和b，对角线长为c，推倒后的火柴盒是AB/C/D/，试用该图形验证勾股定理的正确性。
25、(10分) (参考数据：sin650≈0.9,cos650≈0.4，tan650≈2.1,≈1.4) 如图19-10，某海滨浴场岸边可近似地看成直线，位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救，1号救生员没有直接从A处游向B处，而是在岸边自A处跑300米到距离B最近的D处，然后游向B
B
450 650
A C D海岸
图19-10
处；假定所有的救生员在岸边的跑行的速度这6米/秒，在海中游进的速度为2米/秒，∠BAD=450。
① 请根据以上条件分析1号救生员的选择是否正确；
② 若2号救生员同时从A处在岸边跑到C处，再游向B处，已知∠BCD=650，问哪位救生员先赶到B处救人？(为了便于计算，计算过程中的数值均可精确到0.1)。
26、(10分) 细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：
1 A6
1 A5
S6 S5 1 A4 S4 1A3
S3 1
S2 A2
S1 A1
O
图19-11
()2+1=2，S1=；
()2+1=3，S2=；
()2+1=4，S3=；
…… ……
① 请用含有n(n为正整数)的等式表示上述变化规律；
② 推算出OA10的长
③ 求出S12+ S22+ S32+…+ S102的值。
C B
Q
P
A D
图19-12
27、(12分) 如图19-12。公路AB和铁路CD在点P处交汇，且∠BPD=600，点Q在∠BPD的平分线上，且在Q点处有一疗养院，PQ=240米，设大型运输车在行驶时。110米范围内都会受到噪声影响，火车在铁路上行驶时，周围200米以内都受噪声影响。
① 当大型运输车和火车分别沿PB、PD方向行驶时，疗养院是否会受到噪声的影响？请你与同学交流说明理由。
② 如果受到影响，已知大型运输车的平均速度为60千米/小时，火车的平均速度为90千米/小时，那么疗养院影响的时间为多少秒？
③ 如果公路AB上大型运输车的通过率为10辆/小时，铁路CD上火车的通车率为5列/小时，请你计算一下该疗养院是否应该搬迁，并说明理由。
第25部分《解直角三角形》综合测试题B
A C
B
图19-1
一、填空题：(每空2分，共30分)
1、 如图19-1，正方形A的面积是16，正方形的面积B为9，那么正方形C的面积为_______
2、 计算：cos450+tan600-sin300=_____________
3、 若α为锐角，且cosα=sin400，则α=____________
4、 已知tan(400-2α)=cot(800+α)，则tanα=________
5、 用计算器计算sin180=_______________
图19-2
6、 计算：2sin600-( )-1+(-1)0=___________
7、 如图19-2，一个小球由地面沿着坡度为i=1:2的坡面向上前进10米，此时小球距离地面的高度为_________________
8、 如图19-3，P是OA上一点，且P点在坐标为(3，4)，则sinα=___________
y
A
P
4
α
O 3 x
图19-3
9、 在Rt△ABC中，∠C=900， sinA= ,则sinB=____________
10、 在Rt△ABC中，∠C=900，a=2, sinA=,则c=____________
11、 在△ABC中，已知∠B为锐角，AB=2cm，BC=5cm，S△ABC=4cm2，则cosB=__________
20米
300
图19-4
12、 已知△ABC中，∠C=900，则tan=____________
13、 青岛位于北纬3604/，通过计算可以求得，在冬至日正午的太阳入射角为300(如图19-4)，因此，在规划建设楼高为20米的小区时，两楼间的距离最小为___________米，才能保证不挡光？(结果保留四位小数)
B
A C
图19-5
14、 如图19-5，某建筑物BC直立于水平地面，AC=9米，需建造阶梯AB，使每阶高不超过20cm，则此阶梯最少需要建________阶(最后一阶的高若不是20cm，按一阶计算)。
15、 如图19-6，小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若AB：BC=4：5，则cos∠DCF的值为__________
D C
F
A E B
图19-6
二、选择题(每小题3分，共24分)(四选一)
16、 设直角三角形的边长分别为a、b、c，那么a：b：c不可能等于( )
A. 3：5：4 B. 5：12：13 C. 2：3：4 D. 8：15：17
17、 在Rt△ABC中，如果各边的长度扩大2倍，那么锐角∠A的各三角函数值
A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小2倍 D. 不能确定
18、 若sinα-cosα=m 则sinα·cosα的值为( )
A.1+m2 B.1-m2 C. (1+m2) D. (1-m2)
B
A
α
C E D
图19-7
19、 如图19-7，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点E反射后照射到B点，若入射角为α(入射角等于反射角)。AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、D。且AC=3，BD=6，CD=11，则tanα的值为( )
A. B. C. D.
20、 在Rt△ABC的斜边AB上另作Rt△ABD，并以AB为斜边，若BC=1，AC=b，AD=2，则BD的长为( )
A. B. C. +2 D.
图19-8
21、 育人中学的师生准备测量某段渠水的深度，他们把一根竹竿插到离岸边1米远的水底，只见竹竿高出水面1尺，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，如图19-8，则渠水的深度与竹竿的长度分别为
A D
450 1200
B C
图19-9
A. 5米，4米 B. 5尺，4尺 C. 1尺，2尺 D.1米，2米
22、 已知，如图19-9，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=450，∠C=1200，AB=8，则CD的长为( )
A. B.4 C. D.4
23、 已知在Rt△ABC中，∠C=900，则关于x的一元二次方程x2cotA-2x+cotB=0的根的情况是( 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第15部分 频率与机会
课标要求：
1.理解频数、频率的意义，会用频率来估计机会的大小
2.折线统计图的意义
3.通过模拟实验得出规律
中招考点：
频率的有关概念和利用折线统计图来分析有关问题是中考命题的热点之一，概念的考查主要出现在填空题中，用频率估计机会的大小主要出现在填空题、选择题及简单的解答题中.
典型例题：
例1 一种福利彩票的中奖机会是1%，买一张会不会中奖？买了100某张彩票就一定中奖吗？
解：买一张有可能中奖，买100张也有可能不中奖，因为中奖是一个随机事件，每次试验都有可能发生，也有可能不发生.
例2 小芳在自助餐店排队，准备挑选一种肉类、两种不同蔬菜以及一种点心.若不计食物的挑选次序，则她可以有______________种不同的选择方法.
．肉类：牛肉、鸡肉、猪肉
．蔬菜：豆角、玉米、马铃薯、番茄
．点心：奶黄派、巧克力蛋糕、巧克力布丁、冰淇淋
解：因为挑选肉类有3种不同选法，挑选蔬菜有6种不同选法，挑选点心有4种不同选法.
所以小芳可以有：3 × 6 × 4 = 72 种不同选择方法
例 3 生产A、B两种新产品各需资金200万元，试制A产品50次，成功40次，如果生产成功，当年可获利100万元，如果失败，将亏损80万元；试制B产品50次，成功35次，如果生产成功，当年可获利80万元，如果失败，将亏损50万元.分别求出投资生产A 、B两种产品的期望值.
解：生产A产品的期望值是：(4/5)×100 —(1/5)×80 = 64（万元）
生产B产品的期望值是：(35/50)×80 —(15/50)×50 = 41（万元）
强化练习
1． 班级中分到一张参加现场演唱会的门票，为公平起见，班主任让每个人都来抽签，这样每个人都有50%的机会，这种说法你认为恰当吗？
2.(四川郫县)在对某次实验整理的过程 中，某个事件出现的频率随实验次数变化折线图如图所示，这个图形中折线变化特点是： _____________
试举一个大致符合这个特点的实物实验的例子(指出关注的结果) __________ .
3.(广西南宁)中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸就不得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌机会(翻过的牌不能再翻).某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻 牌获奖的概率是( )
A. B. C. D.
4.如图，用两个相同的转盘(每个圆都平均分成六个扇形)玩配紫色游戏(一个转盘转出“红”，另一个转盘转出“蓝”，则为配成紫色).在所给转盘中的扇形里，分别填上“红”或“蓝”，使得到紫色的概率是.
5.口袋里有红、绿、黄三种颜色的球，除颜色外其余都相同.其中有红球4个，绿球5个，任意摸出1个绿球的概率是1/3.求：(1)口袋里黄球的个数（2）任意摸出1个红球的概率
反馈检测A卷
一、填空题
1.(深圳市南山区)如图所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的机会(概率)是 .
2.(深圳市南山区)小洪和小斌两人参加体育项目训练，近期的5次测试成绩如图所示，根据分析， 你认为他们中成绩较为稳定的是 .
3.20个产品中正品和次品分别为18件、2件，任意抽取一个，抽到正品的机会是_____________.
4.(海口市)在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余都相同的三个小球，一个红球、两个黄球.如果第一次先从袋子中摸出一个球后不再放回，第二次再从袋中摸出一个，那么两次都摸出黄球的概率是
5.(贵阳)口袋中放有3只红球和11只黄球，这两种球除颜色外没有任何区别，随机从口袋中任取一球，取到黄球的概率是 .
6. (贵阳)某班50名学生在适应性考试中，分数在90～100分的频率为0.1，则该班在这个段的学生有 _____ 人
二、选择题
1.从一副扑克中抽出5张红桃，4张梅花，3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这件事情( )
A可能发生 B.不可能发生 C.很有可能发生 D.必然发生
2.为了了解本校九年级学生的仰卧起坐情况，随机抽查了其中30名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图所示的频率分布直方图，请根据图示计算，仰卧起坐次数在25～30次的频率是( )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
三、解答题
1.将分别标有数字1，2，3的三张卡片洗匀后，背 面 朝上放在桌面上.
(1)随机地抽取一张，求P(奇数)
(2)随机地抽取一张作为十位数上的数字(不放 回)， 再抽 取一张作为个位上的 数字，能组成哪些两位数？恰好是“32”的 概率是多少？
2. 一布袋中放有红、黄、白三种颜色的球各一个，它们除颜色外其他都一样.小亮从布袋中摸出一个球后放回去摇匀，再摸出一个球.请你利用列举法(列表或画树状图)分析并求出小亮两次都能摸到白球的概率.
3.（2005河北省）
请你依据右面图框中的寻宝游戏规则，探究“寻宝游戏”的奥秘：
⑴用树状图表示出所有可能的寻宝情况；
⑵求在寻宝游戏中胜出的概率.
4.2004年，某校初中三个年级的在校生共796名，学生出生月份统计如下，根据图中数据回答下列问题：
(1)出生人数超过60人的月份有哪些？
(2)在这些学生中至少有两个人生日在10月5日是不可能的，还是可能的，还是必然的？
(3)如果你随机地遇到这些学生中的一个，那么这个学生生日在哪一个月的概率最小？
反馈检测B卷
一、填空题
1.抛掷两枚分别标有1，2，3，4的四面体骰子，写出这个实验中的一个可能事件是 ___________________ .写出这个实验中的一个必然事件是 ______________________.
2.某校九年级三班在体育毕业考试中，全班所有学生得分情况如下表所示：
分数段 18分以下 18～20分 21～23分 24～26分 27～29分 30分
人数 2 3 12 20 18 10
从上表中，你还能获取的信息是 (写出一条即可)
3.一个口袋中装有4个白球，1个红球，7个黄球，搅匀后随机从口袋中摸出一个球是白球的概率为 .
4.一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分(如图)，则这串珠子被盒子遮住的部分有 颗.
二、解答题
1．在拼纸游戏中，把下图中三张纸片放在盒子里搅匀，任取两张，看能拼成菱形还是房子，想一想，用哪些方法可以来模拟实验？通过实验分别估计拼成菱形和房子的机会.
2．2个30 的角、2个45 的角、3个60 的角和1个90 的角，从中任取3个，一定能构成直角三角形吗？与同学交流一下，看看构成直角三角形的机会有多大？
3．(深圳市南山区)在深圳读书月活动中，小华在书城买了一套科普读物，有上、中、下三册，要整齐地摆放在书架上，有哪几种摆法？其中恰好摆成“上、中、下”顺序的概率是多少？
4．某电视台的娱乐节目《周末大放送》有这样的翻奖牌游戏，数字的背面写有祝福与获奖金数，游戏规则是：每次翻动正面一个数字，看看反面对应的内容，就可知是获奖金还是得到温馨祝福.
1 2 3
4 5 6
7 8 9
祝你开心 万事如意 奖金1000元
身体健康 心想事成 奖金500元
奖金100元 生活愉快 谢谢参与
正
（1）翻到奖金为1000元的概率是多少？
（2）翻不到奖金的概率是多少？
寻宝游戏
有三间房，每间房内放有两个柜子，仅有一件宝物藏在某个柜子中，寻宝游戏规则：只允许进入三个房间中的一个房间并打开其中一个柜子即为一次游戏结束.找到宝物为游戏胜出，否则为游戏失败.
正面
反面
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第5部分 一元一次方程
课标要求
1．解一元一次方程及其解的意义.
2．理解方程变形的基本原理，能在解方程中正确应用.
3．掌握一元一次方程中移项、系数化为1等基本步骤，会解一元一次方程，
并会对方程的解进行检验.
4．能根据具体情境中的数量关系，列出方程，解决简单的实际问题.
中招考点
一元一次方程概念及解法，一元一次方程的应用，能利用一元一次方程解决生活中的实际问题.
典型例题
例1解方程
解：去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
系数化为1，得 .
说明：注意在解方程过程中正确进行有理数及整式的运算，步骤不宜过于简单.
例2 已知是关于的方程的解，求的值.
分析：本题已知方程的解，要求方程中待确定的字母系数，可以像解数字系数的方程一样，先求出方程的解，再进行比较；也可以根据方程的解的定义：能使方程两边代数式的值相等的未知数的取值叫做方程的解，将代入原方程，转化为关于的方程求解.
解1 解关于的方程： .
.
.
因为已知方程的解是,所以,即.
解2 因为是方程的解，所以
.
解这个方程，得 .
例3 列方程求下列问题的解：
（1）甲乙两车分别从相距360千米的两地相向开出，已知甲车速度是60千米/小时.乙车速度是40千米/小时.若甲车先开1小时，问乙车开出多少时间后两车相遇？
（2）小陈和老师一起整理了一篇教学材料，准备打印成稿.按篇幅估计老师单独打字需4个小时，小陈单独打字需6个小时，后来小陈先打了一个小时后，老师开始一起打.问还需多少小时完成？
分析：方程是刻画现实世界数量之间相等关系的一个重要数学模型，通过对实际问题中数量关系的分析，列出相关的代数式，进而建立方程，可以把复杂的实际问题转化为纯数学问题来解决.这一过程的关键是要透过纷繁多变的问题的表象，抓住数量关系的实质，抽象为数学问题.因此，常有面目迥异的情形，在学习中我们不能机械地记忆、套用某些题型而忽略了问题的本质.
像上述两个问题，不论是甲、乙两车还是师、生两人，主要的等量关系都是两个对象所完成数量的和等于总量，而其中一个对象所完成的数量又分为两部分；前一小时的和后来的.
请同学们注意强化训练第8题两个问题中数量关系和解法的比较.
解：（1） 设乙车开出小时后两车相遇，根据题意，得
.
解这个方程得 .
经检验，符合题意.
答 乙车开出3小时两车相遇.
（2）设老师开始打字后还需x小时完成，根据题意，得
解这个方程得
答 老师开始打字后还需要2个小时完成.
强化训练
1．选择题
（1）下列方程变形正确的是（ ）.
A.由得 B. 由得
C.由得 D. 由得
（2）下列方程后所列出的解不正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
（3）方程的解是（ ）.
A.7 B. C.3 D.7或3
（4）一种书包经两次降价10%，现在售价元，则原售价为（ ）元.
A. B. C. D.
2．填空题
（1）若关于的方程的解是，则_________.
（2）当时，代数式与的值相等.
3．解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）
4．当时，代数式的值是12，求当时，这个代数式的值.
5．初一（4）班课外乒乓球组买了两副乒乓球板，若每人付9元，则多了5元，后来组长收了每人8元，自己多付了2元，问两副乒乓球板价值多少？
6．请你编制一道关于的方程，形如，使它的解在1到2之间.
7．已知,当时，.求当时，的值.
8．应用方程解下列问题：
（1）某车间原计划每周装配36台机床，预计若干周完成任务，在装配了三分之一后，改进操作技术，功效提高了一倍，结果提前一周半完成任务.求这次任务需装配的机床总台数.
（2）某人有急事，预定搭乘一辆小货车从A地赶住B地，实际上他乘小货车行了三分之一路后改乘出租车，车速提高了一倍，结果提前一个半小时到达.已知小货车的车速是36千米/小时，求两地间的路程.
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第9部分 一元二次方程
课标要求
1．了解一元二次方程及其解的基本概念，能将一元二次方程整理、化简为一般形式.
2．理解并掌握解一元二次方程的基本原理：由分解因式或开方，转化为一元一次方程.
3．理解配方的意义并会简单的应用，了解一元二次方程求根公式的推导过程.
4．会灵活应用直接开方法、因式分解法、公式法及配方法解一元二次方程.
5．应用一元二次方程解决简单的实际问题.
中招考点
一元二次方程及其解的基本概念，能将一元二次方程整理、化简为一般形式，应用直接开方法、因式分解法、公式法及配方法解一元二次方程，应用一元二次方程解决简单的实际问题.
典型例题
例1 解下列方程：
（1） （2）
（3） （4） (常数).
解 (1)分解因式，得
所以 或 .
所以原方程的解是
(2) 化简，得 .
开平方，得 .
所以原方程的解是 ,.
(3) 整理，得 .
代入一元二次方程求根公式，得 .
化简，得原方程的解是 ,.
(4) 直接开平方，得 或
整理，得 或 .
因为，即,所以原方程的解是
,.
说明：对一元二次方程的解法，要根据方程的特征灵活选择.应用因式分解法时必须注意使方程的右边为零，如对第(3)题，应先整理后再解.
例2 已知关于x的方程的一个根是，求k的值.方程是否还有其它根？
解:根据方程根的意义，将代入原方程，得
.
分解因式，得 .
解得 或 .
(1)当时，原方程是一元一次方程：,只有一个根；
(2)当时，原方程是一元二次方程：,易求得另一个根是.
说明：本题根据方程根的意义，转化为关于待定系数的一元二次方程.求得的值后要注意原方程不一定是一元二次方程，应就的取值分别讨论.
例3列方程解下列问题：
(1) 学校举办摄影展览，准备在长、宽分别为15厘米和10厘米的长方形相片四周镶上一圈等宽的彩纸条，经试验、观察，当纸条的面积与相片面积之比约为2:3时，视觉效果较好，求镶上纸条的宽度；（精确到0.1厘米）
(2) 初三(4)班同学在初二年级末，将500元班会费存了半年期的定期储蓄，到期后取出240元，其余继续存半年期储蓄.毕业时正好到期，取到本利和265.77元，购买纪念品.求这种储蓄的年利率.（精确到0.01%）
分析：与图形有关的问题，可结合图形寻找等量关系.第(2)题的等量关系较复杂，像我们以前强调的那样，注意在设元后列出相关量的代数式.
解 (1) 根据题意，画出草图如下图，设镶上纸条的宽度为厘米，根据题意得
.
解这个方程，得
.
经检验，得符合题意的根为 .
答：镶上纸条的宽度约为1.8厘米.
(2) 设这种储蓄的年利率为，根据题意，得
解得这种储蓄的年利率约为.
说明：注意年利率和半年期利息的转换，并扣除应缴纳的利息税.
强化训练
1. 选择
(1) 已知关于x的方程是关于x的一元二次方程，那么k的值是( )
A. B. C. D.
(2) 关于x的一元二次方程的一次项系数是( )
A. B. C. D.
(3) 方程的解是( )
A. 或 B. C. D.
(4) 关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
(5) 已知是的三条边的长，那么方程的根的情况是（ ）
A. 没有实数根 B. 有两个不相等的正实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个异号实数根
(6) 已知一直角三角形的三边那么关于x的方程的根的情况为( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
(7) 已知方程，则此方程( )
A.无实数根 B.两根之和为
C.两根之积为 D.有一根为
(8) 关于x的方程的两个根互为相反数，则k的值为( )
A. 0 B. 1 C. -1 D. 不确定
(9) 关于x的方程的两根为、，已知、满足则( )
A. B. C. D.
(10)如果是两个不相等的实数，且满足则 ( )
A. 6 B. C. D.
(11)是方程的两根，则 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
(12) 以为根的一元二次方程为( )
A. B.
C. D.
(13) 已知的两根分别为则二次三项式可分解成( )
A. B. C. D.
2.填空
(14) 已知方程的两根为那么的值为__________.
(15) 方程的一个根是,则另一根为_____________.
(16) 若矩形的长和宽是方程的两根，则矩形的周长为____,面积为___.
(17) 当_________时二次三项式是一个完全平方式.
(18) 方程的两根之比是,则_________.
(19) 作一个一元二次方程，使它的两个根分别是的两个根的3倍，则所求方程是____________________.
(20) 为了搞活经济，商场将一种商品A按标价的9折出售（即优惠10%）仍可得利润10%，若商品标价为33元，那么该商品的进货价为_______________.
(21) 甲、乙两人加工某种零件，若单独工作，则乙要比甲多用12天完成，若两人合作，则8 天可以完成，设甲单独工作x天可以完成，则可列出方程为_____________.
(22) 某化肥厂1月份生产化肥500吨，从2 月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产化肥1750吨，若2、3月份平均每月的增长率为x，则可得方程为_____________.
(23) 若关于x的方程有增根，则a的值为____________.
(24)解方程若设则原方程可化为_____________.
(25) 方程的解为______________.
(26) 当___________时，方程组无实数解.当___________时，该方程组有两个实数解.
3.解答题
(27) 解方程：
(28) 用配方法解方程
(29) 某校学生为贫困地区少年儿童捐书，甲、乙两班的捐书都是210本，已知甲班比乙班多5人，乙班比甲班平均每人多捐1本，问乙班平均每人捐书多少本？
(30) 小王在超市用24元钱买了某种品牌的牛奶若干盒，过一段时间再去该超市，发现这种牛奶进行让利销售，每盒让利0.4元，他同样用24元钱比上次多买2盒，求他第一次买了多少盒这种牛奶？
(31) 某种国产半导体收音机，原来每台售价96元，由于两次降价，现在每台售价54元，平均每次降价百分之几？
(32) 解方程：
方程的应用题
课标要求
1． 悉方程的相关知识.
2．结合对基础知识的复习，体会数学建模的思想.
3．通过对探索开放题的理解，提高分析问题和解决问题的能力.
4．增强数学学习中的应用意识.
中招考点
列方程解应用题，列方程组解应用题，方程与不等式解应用题.
典型例题
例1 为满足用水量不断增长的需求，某市最近新建甲、乙、丙三个水厂，这三个水厂的日供水量共计11.8万立方米，其中乙水厂日供水量是甲水厂日供水量的3倍，丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1万立方米.（1）求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米？（2）在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600吨土石，运输公司派出A型、B型两种载重汽车，A型汽车6辆、B型汽车4辆，分别运5次，可把土石运完；或者A型汽车3辆、B型汽车6辆，分别运5次，也可把土石运完，那么每辆A型汽车、每辆B型汽车每次运土石各多少吨？（每辆汽车运土石都以标准载重量满载）
分析：（1）根据“三个水厂的日供水量共计11.8万立方米”列出方程.（2）根据题意建立两个不同的等量关系.
解：（1）设甲水厂的日供水量是x万立方米，则乙水厂的日供水量是3x万立方米，丙水厂的日供水量是万立方米.由题意得：
.
解得 .
则
答：甲水厂日供水量是2.4万立方米，乙水厂日量是7.2万立方米，丙水厂日供水量是2.2万立方米.
（2）设每辆A型汽车每次运土石x吨，每辆B型汽车每次运土石y吨.由题意得：
解得
答：每辆A型汽车每次运土石10吨，每辆B型汽车每次运土石15吨.
点拨：读懂题意，找出相等关系，是列方程解应用题的关键.
例2已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元.我校计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供我校选择，并说明理由.
分析：分三种情况考虑：（1）购进A型电脑和B型电脑台；（2）购进B型电脑和C型电脑台；（3）购进A型电脑和C型电脑.列出二元一次方程组，根据方程的解确定购买方案.
解：设从该电脑公司购进A型电脑x台，购进B型电脑y台，购进C型电脑z台，则可分为以下三种情况考虑：
（1）只购进A型电脑和B型电脑，依题意可列方程组
解得 (不合题意，舍去)
（2）只购进B型电脑和C型电脑，依题意可列方程组
解得
（3）只购进A型电脑和C型电脑，依题意可列方程组
解得
答：有两种方案供我校选择：第一种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台；第二种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台.
点拨：此题是方案设计型问题，解决此类问题的关键是正确讨论各种不同情况，寻找符合题意的解决方案，防止出现以偏概全的错误.
例3某中学为加强现代信息技术课教学，拟投资建一个初级计算机房和一个高级计算机房，每个计算机房只配置1台教师用机，若干台学生用机.其中初级机房教师用机每台8000元，学生用机每台3500元；高级机房教师用机每台11500元，学生用机每台7000元.已知两机房购买计算机的总钱数相等，且每个机房购买计算机的总钱数不少于20万元也不多于21万元，则该校拟建的初级机房、高级机房各应有多少台计算机？
分析：根据“两机房购买计算机的总钱数相等”列出方程；“每个机房购买计算机的总钱数不少于20万元也不超过21万元”列出不等式组，综合求解.
解：该校拟建初级机房有x台计算机，高级机房有y台计算机，则有：
解得
因为x为整数，所以同理，
所以
答：该校拟建的初级机房、高级机房应分别有计算机56台、28台、或58台、29台.
点拨：此题是方程、不等式组综合运用的常见应用题.通过不等式组的解集，选出其整数解，是常见的解题方法之一.
强化训练
1.某县位于沙漠边缘地带，治理沙漠、绿化家乡是全县人民的共同愿望，到1998年底,全县沙漠的绿化率已达30%，此后，政府计划在近几年内，每年将当年年初未被绿化的沙漠面积的m%栽上树进行绿化，到2000年底，全县沙漠的绿化率已达43.3％，求m的值.
注：沙漠的绿化率
2.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
3.某工厂1998年初投资100万元生产某种新产品，1998年底将获得的利润与年初的投资的和作为1999年初的投资，到1999年底，两年共获利润56万元.已知1999年的年获利率比1998年的年获利率多10个百分点，求1998年和1999年的年获利率各是多少？
4.小明的妈妈上周三在自选商场花10元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上商场搞酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜0.5元，结果小明的妈妈比上次多花了2元钱，却比上次多买了2瓶酸奶.问她上周三买了几瓶酸奶？
5.小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作需6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，需工钱4.8万元，若只选一个公司单独完成，从节约开支角度考虑，小明家是选甲公司，还是乙公司？请你说明理由.
6.商场销售某种商品，今年四月份销售了若干件，共获毛利3万元（每件商品毛利润=每件商品的销售价格每件商品的成本价格）.五月份商场在成本价格不变的情况下，把这种商品的每件销售价降低了4元.但销售量比四月份增加了500件，从而所获毛利润比四月份增加了2千元.问调价前，销售每件商品的毛利润是多少元？
7.近几年我省高速公路的建设有了较大的发展，有力地促进了我省的经济建设.正在修建中的某段高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24天可以完成，需费用120万元；若甲单独做20天后，剩下的工程由乙做，还需40天才能完成，这样需费用110万元.问：（1）甲、乙两队单独完成比项工程，各需多少天？（2）甲、乙两队单独完成此项工程，各需费用多少万元？
8.为了保护环境，充分利用水资源，某市经过：“调整水费听证会”讨论后决定：水费由过去每立方米0.8元调整为1.1元，并提出：“超额高费措施”，即：每户每月定额用水不超过12立方米，超过12立方米的部分，另加收每立方米2元的高额排污费.（1）某户居民响应节水号召，计划月平均用水量比过去少3立方米，这使得260立方米的水比过去多用半年，问这户居民计划月平均用水量是多少立方米？（2）如果该户居民响应节水号召后，在一年中实际有四个月的月平均用水量超过计划月平均用水量的40%，其余八个月按计划用水，那么按照新交费法，该户居民一年需要交水费多少元？
方程与不等式的综合应用
课标要求
1．熟悉方程和不等式的相关知识，结合函数知识，明确它们之间的联系及在一定条件下能相互转化.
2．结合复习中对基本知识的梳理和练习，体会和强化数学建模的思想，注意提高对常用数学思想方法应用的自觉性.
3．通过对探索、开放型问题的讨论，提高数学上分析问题和解决问题的能力，增强数学学习中的应用意识.
中招考点
方程和不等式之间的联系和相互转化，应用方程和不等式解决实际问题，方程与不等式的综合应用.
典型例题
例1 m为何值时，关于x的方程的解大于1？
分析：这是一类关于方程和不等式知识综合应用的常见题型.立足于“方程的解”，可以从解字母系数方程入手；立足于“解大于1”，可以着眼于不等式.
解1 解这个关于x的方程：
根据题意，得
解这个不等式，得
解2 将原方程看作关于m的方程，解得
因为，所以，所以,即.
说明：解法1将原题分解为解字母系数方程和列不等式求解两个简单问题；解法2注意到x的范围已知，对未知元进行变易.两者都是数学学习和解题中常用的思想方法.
例2 已知关于x的方程.当k取何值时，（1）方程有解？（2）方程的解是正整数？
分析：本题对最后的问题，尚不能预见到应用何种方法讨论、求解，但因为涉及到方程的解，可以从解方程入手.
去分母、整理，得，这是一个关于x的一元一次方程.对于x合并同类项，得.联系我们已有解字母系数方程的经验，问题的解决已显端倪：
（1）当时，方程有解；（2）在满足上述条件下，方程的解为.要使它是正整数，必需是4的正因数：1、2、4，由此求得k的值是0、、.
说明：综合问题的求解策略应该立足于大胆动手尝试，在探索的过程中得到启发，发现解题途径.
例3 某商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机.已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元.
（1）若商场同时购进两种不同型号电视机50台，共付9万元，请研究一下进货方案；
（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元，在同时购进两种不同电视机的方案中，哪种获利最大？
（3）若商场准备用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你设计进货方案.
分析：这一类有关经营、销售的实际问题，首先要仔细阅读、理解题意，获取信息.进而分析数量关系，建立方程或不等式，得到问题的解答.
解：（1）本题显然应分三种情形讨论：设购甲种电视机x台，则购乙种电视机台，列方程，解得，即同时购进甲、乙两种电视机都为25台；同理求得若同时购进甲、丙两种电视机，分别为35台和15台；若同时购进乙、丙两种电视机，列方程后没有正整数解.
（2）通过直接计算，上述两种方案所获利润分别为8750元和9000元，应选第种方案.
（3）设购甲种电视机x台，购乙种电视机y台，则购丙种电视机台.根据题意，可列得方程
.
按常规，还应列出一个方程，组成方程组求解.但仔细读题后发现确仅有这一个等量关系，联系上述已接触到的问题，可以根据未知数的取值范围，求上述方程的正整数解.化简、整理这一方程，得.根据题意，x、y、都是正整数，用枚举、验证的方法可求得符合题意的4组解如下：
强化训练
1． 填空题
（1）已知单项式与是同类项，则，
（2）已知方程的解是和那么这个方程是_______.
（3）已知则x与y的比值等于__________.
（4）不等式的解集是__________________.
（5）若关于x的方程的一个根是2，则__________，另一个根是_________.
（6）三位同学中，任意两人的年龄和分别是29，31，32，那么各人的年龄分别为_____、______、______.
2．解答题
（1）a是什么整数时，关于x、y的方程组的解
A.是正数； B.是正整数.
（2）已知方程的解满足不等式，求方程
（3） 林老师去文具店给美术小组的30名学生买铅笔和橡皮.到商店后发现，若给每人买2枝铅笔和1块橡皮，按零售价计算，共需付30元；若给每人买3枝铅笔和2块橡皮，则可按批发价计算，共需付40.5元.已知每枝铅笔批发价比零售价低0.05元，每块橡皮批发价比零售价低0.1元.问这两种商品的零售价各是多少？
（4）学校体育室准备添置20副乒乓球拍和若干个乒乓球.了解到两家体育用品商店的零售价都是每副乒乓球拍20元，每个乒乓球0.6元，且都表示对集体购买优惠；甲店每买一副乒乓球拍赠送5个乒乓球，再对总价打9折；乙店统一按定价8折计算.就购买乒乓球数，讨论去哪家商店购买较合算.
（5）已知无论k取何值，关于x的方程的解总是,求m、n的值.
（6）某县新培育成功一种食用菌，一家经销公司一次收购46吨.经市场预测，若直接销售每吨获利1千元；经过加工、包装，每吨可获利5千元；若制成罐头出售，每吨可获利8千元.该公司每天可包装8吨或制罐头3吨，同一天两种加工方式不能同时进行，但必须在一周内全部销售或加工完毕.为此，公司研究了三种方案：
A.全部进行包装；
B.尽可能多制作罐头，余下的直接销售；
C.部分制作罐头，其余进行加工、包装，且正好在7天完成.
请你也研究一下，为公司作决策.
（7）初三年级8个班级外出春游，租用了若干辆相同的客车，原计划一辆车坐48人，其余每辆车坐45人.可临出发时一辆车发生了故障，司机说只要每辆车不超过52人，可以挤一下.结果正好每辆车人数相等，同学们高高兴兴地出发了.问结果坐了几辆车？
（8） 已知关于x、y的方程组的解x、y互为相反数，求m的值.
（9） 某园林门票每张10元，一次性使用，若购买个人年票，有三种类型：A类门票每张120元，持票者进入园林，无需买门票；B类门票每张60元，持票者进入园林，需每次再买门票2元；C类门票每张40元，持票者进入园林，需每次再买门票3元.试根据每年预计进入园林次数，讨论是否值得购买年票，以及购买何种年票较合算.
（10） 爸爸有一笔钱准备存入银行，预计两年后要取用，要小红算一下存一年期到期自动转存和存二年期（年利率分别为1.98%和2.25%）这两种方案中哪种合算.小红按了几下计算器，告诉爸爸，存二年期的到期能多得到利息101.73元.你能知道这笔存款有多少吗？
（11） 用平行于正方体一个面的平面去截正方体，截得两个长方体的体积之比是1:2.若已知原正方体的棱长为6厘米，求被截的棱两部分的长度.若将条件“体积之比”改为“截得两个长方体的展开图面积之比是1:2”，则结论如何？
（12）某班春游，上午8时从学校出发，先沿平路到山脚下，再爬山到山顶.在山顶停留1个半小时，沿原路回到学校时已是下午3时30分.已知平路每小时行4千米，上山速度是平路速度的，下山速度是上山速度的2倍.同学们所行的全程是多少？
（13） 某电子产品去年按定价的80%出售，能获20%的利润.由于今年的买入价低，按同样定价的75%出售，能获25%的利润.求今年买入价与去年买入价之比（买入价×（1＋利润率）＝卖出价）.
（14）应用不等式解下列问题：
A.高速公路施工需要爆破，根据现场实际情况，操作人员点燃导火索后，要在炸药爆破前跑到400米外的安全区域.已知导火索燃烧速度是1.2厘米/秒，人跑步的速度是5米/秒，问导火索至少需要多长？
B.学校因教学需要，准备刻录一批电脑光盘.若到电脑公司刻录，每张需8元；若租用刻录机后自行刻录，每张成本3.5元，但需付刻录机租金150元.试讨论用何种方式费用较节省.
（15） 假期中父母两人带孩子外出.甲旅行社表示父母和孩子均按原定价七折收费，乙旅行社表示父母全价，孩子只按原定价的三折收费.若两旅行社原价相同，问哪家旅行社更优惠？
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第4部分 整式的乘法
第1课时 幂的运算性质
课标要求
1.探索并了解正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方），并会运用它们进行计算.
2.发展学生的符号感觉.
中招考点
同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方.
典型例题
例1 已知 ，求（用含a、b的代数式表示）.
分析：应考虑逆用同底数幂的乘法、幂的乘方公式，从而实现未知转化为已知.
解：=.
提示：解题时，要善于观察式子的特点，逆向运用数学公式，深化思维品质.
例2 计算：（0.5×3－2×.
解：（0.5×3－2×=（－0.5×－2×
= －1×（－= .
强化练习
一、填空题
1. ；. 2.
3. .
4. 5. 8
2. .
3.
4.
二、选择题
1. 下列计算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列运算中正确的是（ ）
A. 2m2n－2n2m = 0 B. 3x2+5x3 = 8x5
C. D. (-x)2·x3 = －x5
3. 下列运算中错误的是（ ）
A. x2+x2 =2x2 B. x2·x2 =2x2 C. D. =(x3)10
4. 比较274与大小，正确的是（ ）
A. 274= B. 274＞ C. 274＜ D. 无法确定
5. 若（am+1bn+2）·(a2n-1b2m) = a5b3，则m+n的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. －3
6. 若am=3,2n=8,则(am)n等于（ ）
A. 9 B. 24 C. 27 D. 11
7. 在下列各括号内，应填入a4的是（ ）
A. a12=( )2 B. a12=( )3 C. a12=( )4 D. a12=( )6
8. 已知，则（x20）3－x3y2等于（ ）
A. －0.75或－1.25 B. 0.75或1.25 C. 0.75 D. －1.25
9. 若x2n=2, 则(3x3n)2－4(x2)2n的值为（　　）
　　　　A. 50 B. 52 C. 56 D. 60
10. 下列运算正确的是（　　）
　　　　A. (-2x2)4 = －8x8 B. (－ab2)2 = a2b4 C. (－x2)(－x)2 = x4 D. (x3)2 = x9
三、解答题
1. 已知10m = 4,10n = 5，求10m+2n 2. 2m·m9－(m2)2·(m3)2.
3. (-)2005·(-)2006·(-1)2007. 4. (3a3)3＋3a3·3a6－3 (a3)3.
5. 已知：16m = 4×22n-2, 27n = 9×3m+3,求m、n的值.
6. 比较下列两组数的大小：⑴ 2100和375 ； ⑵ 2555、3444、4333、5222.
7. 在手工制作课上，小明做了一个正方体的数学学具，它的棱长为4×102毫米，请你求出它的表面积和体积.
第2课时 整式的乘法
课标要求
1.探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则，并会运用法则进行简单的整式的乘法运算.
2.了解各法则的几何背景，感知并应用数形结合的思想.
中招考点
单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的简单运算.
典型例题
例1 已知光的速度约为每秒3×105千米，太阳光照射到地球上所需的时间约为5×102秒，求地球与太阳间的距离（用科学记数法表示）.
分析：此题运用单项式与单项式法则，应注意结果用科学记数法表示.
解： 3×105×5×102 = 15×107 = 1.5×108（千米）.
例2 已知xy2 = －2，求－xy(x2y5－xy3－y)的值.
分析：本题应先化简，再整体代入.
解： ∵xy2 = －2
∴－xy(x2y5－xy3－y)
= －x3y6＋x2y4＋xy2
= － (xy2)3＋(xy2)2＋xy2
= －(-2)3＋(-2)2＋(-2) = 8＋4－2 = 10.
例3 某个居民小区的长方形花园的长、宽分别为a+b和2a+b，中间有一个半径为a的圆形游乐场，请你先用代数式表示图中阴影部分的积，再求当a=5米,b=10米时阴影部分的面积（π取3.14）.
解： S阴 =（2a+b）（a+b）-πa2
=2 a2+ 3ab+ b2-πa2
当a=5㎝,b=10㎝时，
S阴≈2×52+3×5×10+102-3.14×52
=221.5（米2）.
强化练习
一、填空题
1. 2x3y2·(-3xy5z) = [( )×( )]·[( )×( )]·[( )×( )]·( ) = ________.
2. 请写出a·ab的几何意义_______________________________________________.
3. (-2ab2)3·(-7a2b3c) = _____________; (-3x2y)2·(-xy2z)3 = ___________.
4. 小华把一张边长是a厘米的正方形纸片（如图(1)）的边长减少1厘米后，重新得到一 个正方形纸片，这时纸片的面积是_____________平方厘米.
5. 有二张长方形的纸片（如图⑵），把它们叠合成图⑶的形状，这时图形的面积是_____________.
6. 一种电子计算机每秒可做次计算，用科学记数法表示它8分钟可做___________次运算.
7. 已知的结果中不含项，则b=________.
8. 若，则a-b=____________.
二、选择题
1. ( )
A．-15x6y6 B．-15x5y5z C．-15x6y6 z D .-15x5y6z
2．在等式a3·a2 ( )＝a11中，括号里面的代数式应当是( ).
A.a7 B.a8 C.a6 D.a5
3. 下列算式中结果为a2+5a-6的是（ ）
A.（a+2）（a+3） B.（a+6）（a-1） C.（a-6）（a+1） D.（a-2）（a-3）
4. 下列运算正确的是（ ）
A. a5·a5＝a25 B. a5＋a5＝a10 C . a5·a5＝a10 D. a5·a3＝a15
5. 计算 (－2a2)2的结果是（ ）
A. 2a4 B. －2a4 C. 4a4 D. －4a4
6. 下列运算正确的是（ ）
A. –2x2-x2 = -3x4 B. (-2x2)4=16x6 C. (-x)2(x-3)= -x3+3x2 D. m(2m-1)=2m2-m
三、解答题
1. 计算：⑴ ; ⑵
⑶ 2b(9b2-2b+3) -3b(2b-1) ; ⑷ (x-y) (-y-x)
2. 如图所示的长方形或正方形三类卡片各有若干张，请你用这些卡片，拼成一个长方形或正方形图形.要求：所拼图形中每类卡片都要有，卡片之间不能重叠，画出示意图，并计算出它的面积.
3. 若(x+t ) (x+6)的积不含x的一次项，求t的值.
4. 试说明：代数式(2x+3) (6x+2)-6x (2x+13)+8(7x+2) 的值与x的取值无关.
5. 观察下列各式：(x+1) (x-1)=x2 –1, (x-1)(x2+x+1) = x3-1,
(x-1)(x3+x2+x+1) = x4-1 …
根据前面各式的规律 ⑴填空：(x-1)(xn+xn-1+… +x2+x+1) =_________
⑵计算：215+214+213+…+2+1
第3课时 乘法公式
课标要求
1.由整式的乘法推导乘法公式，了解乘法公式的几何背景，能够运用公式进行简单的计算.
2.通过从幂的运算到整式的乘法，再到乘法公式的学习，了解乘法公式来源于整式的乘法，又应用于整式的乘法的辨证性，初步认识到事物发展过程中 “特殊 一般 特殊”的一般规律.
中招考点
两个乘法公式的应用.
典型例题
例1 如图正方形ABCD、EFGD的边长分别为x、y，请你仔细观察，依据图形面积间的关系，写出一个乘法公式来.
分析：图形左下角的小正方形的面积可用(x-y)2 表示，此小正方形的面积可用还可用正方形ABCD的面积x2 与正方形EFGD的面积y2 的差再减去两个长为y，宽为x-y的长方形的面积 .
解：根据分析中的面积关系得：(x-y)2 = x2 －y2 －2y(x-y)
= x2 －y2 －2xy+2y2
= x2 －2xy＋y2
乘法公式是：(x-y)2= x2 －2xy＋y2
例2 试求(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1的个位数字.
解: (2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1
=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1
　　　 =(22-1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1
　　　 =(24-1)(24+1)…(232+1)+1
　　　 =(28-1)(28+1)…(232+1)+1
　　　 =(232-1)(232+1)+1
　　　 =264-1+1=264=(24)16
∵22=4，24=16　　
∴原式=(16)16　 1616个位数为6,
∴原式所表示的数的个位数字为6.
例3 (1)观察下列各式：
……
你发现了什幺规律？请你用含一个字母的等式将上面各式呈现的规律表示出来，试用你发现的规律填空：512-492=4× ，752-732=4× .
(2)用所学数学知识说明你所写式子的正确性.
解：（1）我发现的规律是：（n+2）2－n2=4（n+1）. （ n为任意实数）
512-492=4× 50 ，752-732=4× 74 .
（2）因为（n+2）2－n2 =（n+2+n）（n+2-n）=2（2n+2）= 4（n+1）.
强化练习
一、填空题
1. 已知x2-y2=12，x-y=6，则=________.
2.（x+y）(x–y)–x2=__________．
3．计算：20042-2003×2005= ____________.
4. 已知：a2－b2=4 , 则（a－b）2（a+b）2的值是___________.
5．某城市有一块边长为m米的正方形广场，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米，则改造后的长方形广场的面积是_____________米2.
6．一块半径为a的圆形钢板，从中挖去半径为b的一个圆，则剩下的钢板的面积为_ _________，当a=7.6㎝，b=2. 4㎝时，剩余钢板的面积为_______㎝2.
7．(a2+m2) ( ) ( )= a4-m4
8．如图，ABCD、PQRS均为正方形，若AB＝，则灰色部分的面积为_____________.
9. 若x2+mx+9是一个多项式的平方，则m= _______.
10. 若x+y=10 ，xy=24 ，则x2+y2 = ________.
二、选择题
1．下列各式中，可以用平方差公式的是（ ）
A.(a+b)(-a－b) B.(a2-b)(-a2+b) C.(-3x2+b)(3x2+b) D.(3x-2)(2x+3)
2．下列计算正确的是（ ）
A．（x－6 ）（x＋6 ）=x2－6 B．（3x－1）（3x＋1）=3 x2－1
C．（－1+x ）（－1－x ）= x2－1 D．（－5a＋2b）（－5a－2b）=25a2－4b2
3. 计算：的结果为（ ）
A． B. 1000 C. 5000 D.500
4．为了应用平方差公式计算(x+2y-1)(x-2y+1),下列变形正确的是（ ）
Ａ.[x-(2y+1)2] Ｂ.［x-(2y-1)］[x+(2y-1)] C.[(x-2y)+1][(x-2y)-1] D.[x+(2y+1)]2
5．若（ ）（7p－q）=q2－49p2 ,则括号内应填入的代数式是（ ）
A .－7p－q B.7p＋q C.7p－q D.q2－7p
6. 下列计算结果为(a+b)2的是（ ）
A. (a-b)(a+b) B. (-a-b)2 C. (-a+b)2 D. (a-b)2
7. 下列计算错误的是（ ）
A. (-x-y)2=x2+2xy+y2 B. (4x-)2=16x2-2x+
C. D. .
8. 若(x+y)2=25 ，(x-y)2=1，则x2+y2的值为（ ）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 26
三、解答题
1.计算：⑴(6x-9)2-2x (x-3 ) ; ⑵ (a-2b)(a+2b)- (a-2b)2
⑶-3(x+1)(x-1)- (3x+2) (2-3x) ; ⑷ (a+2b)2 (a-2b)2
2. 如图，等腰直角三角形和矩形重叠，已知等腰三角形的腰长为298㎝，矩形的长和宽分别为98㎝，49㎝，求图中阴影部分的面积.
3. 试说明；两个连续正偶数的平方差一定是4的倍数.
4. 一个正方形的边长增加4厘米，面积就增加56平方厘米，
求原来正方形的边长.
5. 两个两位数，它们十位数字相同，个位数字分别为4、6，且它们的平方差为220，求这两个数.
6. 七年级学生小颖是一个非常喜欢思考问题而又乐于助人的同学，一天邻居家正在读小学的小明，请小颖姐姐帮忙检查作业：
7×9＝ 63 8×8＝64
11×13＝143 12×12＝144
24×26＝624 25×25＝625
小颖仔细检查后，夸小明聪明仔细，作业全对了！小颖还从这几道题发现了一个规律.你知道小颖发现了什么规律吗？请用字母表示这一规律，并说明它的正确性.
第4课时 因式分解
课标要求
1. 了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系，从中体会事物之间可以相互转化的辨证思想.
2. 会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）.
中招考点
用提公因式法、公式法进行因式分解.
典型例题
例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）.
A. (x+3)(x-3) = x2-9 B. x2-2x+1= x (x-2)+1
C. x (x-4y)+4y2 = (x-2y)2 D. x3+5x-24= (x+3) (x-8)
分析：因式分解是把多项式化成几个整式的积的形式，A、B均不符合，D左边与右边不相等，只有C从形式到内容均符合因式分解的概念.
例2 指出下列多项式的最大公因式.
⑴ x2-3x ⑵ 2am2-8a2m3 ⑶ 3 (a-b)2+4(a-b)3 ⑷ axm-2axm+2+axm+1
分析：确定多项式的最大公因式应分两步走 ⑴定各项系数的最大公因数 ⑵定各项相同因式的最低次幂，各项系数的最大公因数与各项相同因式的最低次幂的积就是多项式的最大公因式.
解：⑴中最大公因式是x.. ⑵中最大公因式是2am2 . ⑶中最大公因式是(a-b)2. ⑷中最大公因式是axm.
例3 下列多项式中能用公式法进行因式分解的是（ ）
A. x2+4 B. x2+2x+4 C. x2-x+0.25 D. x2-4y
分析：解本题应先弄清公式的结构特点：a2-b2 = (a+b)(a-b), a2+2ab+b2 = (a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2.当多项式有两项时，要观察多项式能否化为平方差形式；当多项式有三项，并且其中两项可以写成平方和形式，第三项是前两项底数积的2倍时，能用公式法进行因式分解.
例4 利用因式分解计算：…
解：原式=…
=…=
强化练习
一、填空题
1. 9x2- ( ) = (3x+1) (3x-1). 2. x2+( )+.
3. –5a(x-y)+10b(y-x) = -5(x-y) ( ).
4. 若3x2-mxy2 =3x (x-4y2) ，则m=___________. 5. a3-a = a( ) ( ).
6. x4-y4 = ( )2- ( )2= _________ 7. 49a2- (a+b)2 = ( )2- ( )2=___________.
8. 1-x+= 12-2·x·( )+( )2 = ( )2.
二、选择题
1. 在多项式x2-4x+16; a2+b2; 4x2+4x-1; x2+4xy+4y2;(x+y)2-2(x+y)+1中，完全平方式有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 化简（-2）2006+（-2）2007所得结果为（ ）
A. 22006 B. -22006 C. 22007 D. -22007
3. 多项式x2+y2; x2-y2; -x2+y2; -x2-y2中能用平方差公式因式分解的有（ ）个.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 下列因式分解中正确的是（ ）
A. 4x2-1= (4x+1) (4x-1) B. –m2+9 = (m+3) (m-3)
C. a2b2-4 = (ab+2) (ab-2) D. x2-8= (x+2) (x-4)
5. 下列因式分解中错误的是（ ）
A. 8 a2-2 = 2(2a+1) (2a-1) B. x4-16 = (x2-4) (x2+4)
C. –x3+x = -x (x+1) (x-1) D. 4- (2a-b)2 = (2+2a-b) (2-2a+b)
三、解答题
1. 把下列各式因式分解：
⑴ -24m2x+16nx2-8x ⑵ 4a3b+4a2b2+ab3 ⑶3m3-12mn2 ⑷ (x-1)(x-3)+1
2. 已知：两个等腰直角三角形（）边长分别为a和b（）如图放置在一起，连结AD.
（1）求阴影部分()的面积
（2）如果有一个点正好位于线段的中点，连接、得到,求的面积
3. 用两种方法计算：
4. 将一条20厘米长的镀金彩边剪成两段，恰好可用来镶两张大小不同的正方形壁画的边（不记接头处）.已知两张壁画的面积相差20平方厘米，问这条彩边应剪成多长的两段？
5. 若一个三角形的三边a、b、c满足a2+2b2+c2-2ab-2bc = 0，试判断该三角形的形状.
《整式的乘法》综合检测
一、选择题（10×3分=30分）
1．( )
A．-15x6y6 B．-15x5y5z C．-15x6y6 z D-15x5y6z
2．在等式a3·a2·( )＝a11中，括号里面的代数式应当是 ( )
A.a7 B.a8 C.a6 D.a5
3．设 ，则（ ）
A． B. C. D.
4．下列算式中结果为a2+5a-6的是（ ）
A.（a+2）（a+3） B.（a+6）（a-1） C.（a-6）（a+1） D.（a-2）（a-3）
5．下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 三个连续偶数，中间一个为k，它们的积是（ ）
A. 8k2-8k B. k3-4k C.8k3-2k D. 4k3-k
7. 若多项式x2+mx+6能分解成(x+a)(x+b)的形式（a、b均为整数），则整数m的个数是（ ） A.2 B. 3 C. 4 D. 5
8．（ ）×2xy=,括号内应填的多项式为（ ）
A. B.0.5x-y C. x2y-2xy2+1 D. 0.5x-y+1
9. 已知( )
A. B. C. D.
10．为了应用平方差公式计算(x+2y-1)(x-2y+1),下列变形正确的是（ ）
Ａ. [x-(2y+1)2] Ｂ. ［x- (2y-1)］[x+(2y-1)]
C. [(x-2y)+1][(x-2y)-1] D. [x+(2y+1)]2
二、填空题（10×3分=30分）
1. ____________. 2. (-3a)3(2a-3ab) =____________________.
3．多项式x2+y2; -x2+y2; x2+2xy+4y2; x4-1; x(x+1)-2(x+1); 2ab-2b3中，能够因式分解的是____________________________________________.
4．=_ _ ，=_ __， =___ _.
5．比较大小：2100 375.
6．方程的解是 .
7. 已知 .
8. _____.
9. 一个正方形的边长增加了，面积相应增加了，则这个正方形的边长为__.
10. 一个多项式的平方是,则 .
三、解答题（40分）
1. 计算（每题3分）：
⑴ (x-5) (x+5)-(x+1) (x+5); ⑵
2. 因式分解（每题3分）：
⑴ 3x3-12xy2; ⑵ (x-y)2+4xy ; ⑶ 4a2-3b (4a-3b); ⑷ (x+y)2+2(x+y)+1.
3. 为了参加学校的摄影大赛，小明把全班同学参加植树活动的照片放大为长a㎝，宽为a㎝的大小，又精心地在四周加上了2㎝宽的木框，问小明的这幅作品的面积为多少？（5分）
4. 某乡村小学为了规范校园建设，需将原来正方形操场改建成长方形标准操场，改建后的操场长比原来多4米，宽比原来少4米，问改建后的操场面积比原来操场面积是增大了？还是减小了？相差多少平方米？（5分）
5. 试说明：不论a、b为任何实数，a2+b2-2a-4b+6的值总是正数.（6分）
6. 当m※n = mn-m-n+1时，回答下列问题.（6分）
⑴把x※x因式分解； ⑵当a※b= 0时，求 (a-1)2006(b-1)2007的值.
a+b
=
2a+b
=
系数相乘
相同字母相乘
只在一个单项式中出现de 的
图（1）
第8题图
a
b
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第8部分 数的开方
第1课时 平方根与立方根
课标要求
1. 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.
2. 了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根与立方根.
3. 建立初步的数感和符号感，发展抽象思维.
4. 感悟现代信息技术带给的方便.
中招考点
平方根、算术平方根、立方根的求法，用计算器求平方根与立方根.
典型例题
例1 的平方根是多少？
分析： 这里首先要理解平方根的概念，即若x2=a，那么x就是a的平方根.其次要考虑，表示什么意义，它表示81的算术平方根，即=9.在这里=9是本题的隐含条件.因此本题的真实含义是求9的平方根.又因为（±3）2=9，所以 的平方根是±3.
解题思考：解题时不要被这一表面现象所迷惑，要理解题目的真实意义.
例2 一个数的平方等于64，则这个数的立方根是多少？
分析：设这个数为x，根据题意得x2=64，解得：x=±8，而±8的立方根是±2，因此，答案是±2.
解题思考：解本题要应用方程思想，要注意一个正数的平方根有两个.
例3 请写出大于-，小于的所有整数.
分析：此题主要考查对正数的平方根的估算，因为＜＜，即3＜＜4，所以≈3.3，大于-，小于的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3 .
解题思考：估算时应先确定范围，然后再选取一个数进行检验.
例4 用计算器探索：按一定规律排列的一组数：1、、-、2、、-、，… 如果从1开始依次连续选取若干个数，是它们的和大于5，那么至少要选几个数？
分析：该题要求学生按照题目要求，熟练运用计算器进行实数的和、差、开方的运算，当计算器屏幕上显示的数值一旦大于5时，问题就解决了.答案是7个数.
强化练习
一、填空题
1.（-3）2的平方根是________________.
2. 表示的是_________________________________.
3. 的立方根是_______________，-0.027的立方根是__________.
4. 若一个数的平方根是±5，那么这个数是___________.
5. 若 x=-5，则=__________;若x2=（-5）2，则x=__________ .
6. 若x3=125，则x=________；若x3=（-5）3，则x=_____________.
7. 用计算器求：______.
二、选择题
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 1的平方根是1 B. 1的算术平方根是1
C. -2是-4的平方根 D. -1的平方根是-1
2. 下列说法正确的是（ ）
A. ±是9的平方根 B. 的算术平方根是4
C. 负数没有立方根 D. 0的算术平方根是0
3. 下列各数中，适合方程a3+a2=3a+3的一个近似值（精确到0.1）是（ ）
A. 1.7 B. 1.8 C. 1.9 D. 1.6
4. 下列结论正确的是（ ）
A. B.＞ C.= D.以上都不对
5. 下列关于-的叙述正确的是（ ）
A.3的平方根的相反数 B. 3的相反数的平方根
C. 3的算术平方根的相反数 D. .3的负的平方根
6. 下列说法错误的是（ ）
A.中a不能是负数 B.数a的立方根只有一个
C. 数a的平方根有两个，它们互为相反数 D.中a取任意实数
三、解答题
1. 下列各数是否有平方根？若有，求出它的平方根；若没有，请说明为什么？
36 （-3）2 -22 -m2
2. 若m2=（-5）2，n3=（-2）3，求m+n的值.
3. 已知y=,求yx的值.
4. 通过计算器计算，比较下列各组数的大小，并总结其规律：
⑴ ⑵
反馈检测
一、填空题（每小题5分，共25分）
1. 16的负的平方根是______，记作______________________.
2.平方根等于它本身的数是__________，立方根等于它本身的数是______________.
3.某数的一个平方根为a，则此数的算术平方根是__________.
4.已知9y2-16=0，且y是正数，则_________.
5.计算, ±_______，=___________.
二、选择题（每小题5分，共25分）
1. 81的平方根是±9的数学表达式是（ ）
A. =9 B. ±=9 C. =±9 D. ±=±9
2. 若，则x=（ ）
A. 5 B. –5 C. ±5 D. ±
3. 下列结论正确的是（ ）
A.- B. C. D.
4. 下列结论正确的是（ ）
A.一个数的立方根一定是正数 B. 一个数的平方根一定是非负数
C.若a2=b2，则a=b D.若a的立方根是b，那么-a的立方根是-b
5. 设的整数部分为a，则2（a－2）的值是（ ）
A. 0 B.2 C.-2 D.26
三、解答题（每题10分，共50分）
1. 求下列各等式中的x：
2x2-18=0 (y-1)2=(-3)2 -8(x-3)3=27
2.计算 +－－
3. 一个正方体木块的体积是125cm3，现将它锯成8个同样大小的正方体小木块，求每个小正方体木块的表面积.
4. 已知，求（的值.
5. 已知2x+1的平方根为±5，求5x+4的立方根.
第2课时 二次根式
课标要求
了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算.
中招考点
二次根式的有关概念，二次根式的化简，分母有理化及二次根式的加、减、乘、除运算.
典型例题
例1 若，则x的取值范围是__________.
分析：根据二次根式，则得，2-x0，所以x.
例2 若实数a＜b,则化简的结果是（ ）.
A.a+b B.a-b C.-a-b D.-a+b
分析：根据公式，因为a＜b，所以a-b，=，选D.
例3 已知根式：⑴,⑵,⑶,⑷,其中是同类二次根式的是____.
分析：在判断几个二次根式是不是同类二次根式时，应对它们先化简，再判断.通过化简知道，⑴、⑵、⑷是同类二次根式.
例4
分析：本题若将x、y直接代入x2y+xy2计算，显然十分复杂.通过观察x、y互为有理化因式，且x2y+xy2 =xy（x+y），因此先将x2y+xy2因式分解，计算xy、（x+y）后整体代入.
解： ∵x2y+xy2=xy（x+y）
=
例5 计算（.
分析：本题若按部就班地先对括号内各二次根式进行化简，显然要浪费许多时间.直接应用乘法分配律十分快捷到达目的.
解：原式=ab-a+3b.
例6 已知
分析：本题把a、b直接代入，将出现4次方，给运算带来困难.联想到乘法公式，会产生“山重水复疑无路，柳暗花明有一村”美好感觉.
解： ∵ b=3+
∴ a+b=3-+3+=6,
ab=(3-)(3+)=32－=9-8=1
∴
强化练习
一、选择题
1. 在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 要使有意义，则x应满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，则化简后为（ ）
A. B. C. D.
4. 在实数范围内，下列根式恒有意义的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，那么a与b的关系为（ ）
A. a+b=0 B. a=b C.ab=1 D.ab=-1
二、填空题
1.如图，是一个简单的数值运算程序，当x=50时，输出的数值是___________.
2.已知a≠0，那么的值为__________.
3.已知__________.
4.在实数范围内因式分解
5.若则
三、计算
1. 2.
3. 4.
四、已知满足，求.
反馈检测
一、填空题（每小题5分，共25分）
1.若
2.计算2+
3.若x＜5，则
4.已知
5.若
二、选择题（每小题5分，共25分）
1.下列各式中 ，能化简的二次根式有（ ）
A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.若则x的取值范围是（ ）
A. x＞1 B. x＜1 C. x≥1 D.x≤1
3. 等式成立的条件是（ ）
A. x＜0,y＞0 B. x≤0,y≥0 C. x＜0, y≥0 D. x,y异号
4. ① ②
③ ∴2=-2 ④
以上推导中开始出错的步骤是（ ）①，②， ③ ，④
5. 计算，其结果是（ ）
A. 3 B. 19 C. 8 D. 6
三、计算（每题5分，共20分）
1. 2. （）2；
3. 4.
四、解答题（每题10分，共30分）
1. 已知三角形的面积为5，一条边长为2，求这条边上的高
2. 若最简二次根式与是同类二次根式，求a、b的值.
3. 设的整数部分是a，b=，求a2+b2的值.
第3课时 实数与数轴
课标要求
1.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应.
2.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
3.能用计算器进行近似计算.
中招考点
无理数和实数的概念，实数与数轴上的点的一一对应关系，估计一个无理数的大致范围.
典型例题
例1 在实数中，无理数有几个？
分析：常见的无理数有根式型、含型、无限不循环小数三类，题中共有 4个无理数.
例2 判断正误
⑴无限小数都是无理数（ ） ⑵无理数都是无限小数（ ）
⑶带根号的数都是无理数（ ） ⑷无理数包括正无理数、0、负无理数（ ）
⑸两个无理数的和仍是无理数（ ）⑹两个无理数的积仍是无理数（ ）
⑺一个无理数的平方一定是有理数（ ）⑻实数与数轴上的点一一对应（ ）
⑼在1和3之间的无理数只有四个（ ）
⑽在数轴上和原点的距离是2的点所表示的数是2（ ）
分析：正确判断本题的关键是了解无理数和实数的概念.
答案：⑵⑻正确，其他错误.
例3 的相反数是_____，倒数是____，绝对值是______.
分析：解本题需要弄清题中几个概念的意义和涉及的去括号法则、分母有理化、实数的估算等知识.
答案：，-，.
例4 已知实数a满足，那么a-20042=______.
分析：本题乍看不知从何下手，仔细观察，可知：，得到a≥2005,进一步知道=a-2004，整理后可得结果.
解： a≥2005 ∴=a-2004
∴a-2004+ ∴ ∴a-2005=20042 ∴a-20042=2005
强化练习
一、填空题
1.化简：=_____________.
2.1.7-的相反数是__________，绝对值是___________.
3.绝对值最小的实数是_______，绝对值小于的整数是__________________.
4.数轴上表示-3.14的点在表示-的点的__________侧.
5.比较大小：
二、选择题
1.若实数x与它的绝对值的和等于0，则x是（ ）
A. 非正数 B. 非负数 C. 非零实数 D. 负数
2.，这六个数中无理数有（ ）个
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3 .若有意义，则满足条件的a的值有（ ）个
A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个
4. 已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简结果为（ ）
A.a+c B.-a-2b+c C.a+2b-c D. –a-c
5. 若a＜0，则2a+5等于（ ）
A. 7a B. –7a C. –3a D. 3a
三、解答题
1. 举例说明无理数也能用数轴上的点表示.
2. 已知，求（保留三个有效数字）.
3. 在实数范围内分解因式
4.已知x、y为实数，且与互为相反数，求.
反馈检测
一、填空题（每小题5分，共25分）
1.一个数的绝对值等于，则这个数是_________.
2.满足的整数x是_________________.
3.当x_______时，有意义，当x______ _ 时，有意义.
4.把按从小到大排列是___________________.
5.一个正方形的面积是5平方米，它的周长为________________.
二、选择题（每小题5分，共25分）
1. 在实数范围内，下列式子恒有意义的是（　　）
A.　　　　B.　 　　　C.　　　　D.　
２.　若a、b是实数，下列推理正确的是（　　）
　A. 　B. 　C.　D.
3. 如果－2a,1-a,a在数轴上所对应的点从左到右依次排列，那么a的取值范围是（　）
　A.　　　　　　　B.　　　　　　C.　　　　D.　a为任意实数.
４.　在实数范围内，下列运算不是总能进行的是（　　）
　A.　平方　　　　　　B.　立方　　　　　C.　开立方　　　D.　开平方
５.　下列说法正确的是（　　　）
　A.式子总有意义　　　　B.式子不是二次根式
C.没有绝对值最小的实数　　　　　　D.两个无理数相加，结果仍是无理数
三、解答题（每小题１０分，共5０分）
１.　把分别填入下面的括号中：
有理数集合：　　正实数集合：
无理数集合：　　负实数集合：
2.试说明不论x、y是什么实数，总是非负数.
3.求代数式当时的值.
4.计算.
５.已知x=,y=，求x2y－xy2的值.
《数的开方》综合检测（A卷）
一、填空题（每题3分，共24分）
1. 1的平方根是________，-2是________的平方根.
2.表示 ________ ，的立方根是________
3.的绝对值是____________. 4.当x___________时，有意义.
5.当x___________时，没有平方根.
6.计算：， ，
7. 已知│a│=2， =3，且ab＜0,则a-b= .
8. 正数x的平方根是5a-2，-3a-4，则x的算术平方根为 .
二、选择题（每题4分，共24分）
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 有理数都是有限小数. B. 无理数都是无限小数 .
C. 0.25的平方根是0.5. D .-25没有立方根.
10．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）
A.. B.. C.. D..
11．在，1.414，-，2+，， ，，中，无理数的个数是（ ）
A. 2. B. 3. C. 4. D .5.
12. 下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D .
13. a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式有意义的是（ ）
A. B. C. D .
14. ( )
A. m﹥3 B. m﹤3 C. m≤3 D . m≥3
三、解答题（第15、16、17题每小题4分，第18、19题每小题6分）
15. 求下列各式的值
⑴ ⑵ ⑶
16. 用计算器计算 ⑴ （精确到0.01）
⑵（保留3个有效数字）
17. 计算⑴ ⑵ ⑶ ⑷
⑸
18. 是否存在这样的整数x，使它同时满足下列条件：
⑴式子都有意义；
⑵的值仍是整数.
如果存在，求出来；如果不存在，请说明理由.
19. 已知 x、y、z 为实数，且求x、y、z的值.
《数的开方》综合检测（B卷）
一、填空题（每题3分，共24分）
1.若a、b为实数，且a＜b＜0，则
2.在实数中，__________________是有理数，__________________________是无理数.
3.若则x的立方根是________________.
4.比较大小：
5.计算：
6.若则
7.若化简后的根式是同类二次根式，则x=_________.
8.绝对值小于的整数分别是___________________________.
二、选择题（每题4分，共24分）
9. 下列计算正确的是（ ）
A. B C. D.
10. 有一程序如下：当输入一个数值后，屏幕输出的结果总比该数的平方小1，某同学输入后，把屏幕输出的结果再次输入，则屏幕最后输出的结果是（ ）
A. 6 B. 8 C. 37 D. 35
11. 若有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 且
12. 下列各式成立的有（ ）个
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
13. 下列说法正确的是（ ）
A. 无限小数是无理数 B. 实数与数轴上的点具有一一对应
C. 实数可以进行开平方和开立方 D. 带根号的数都是无理数
14. 下列各组二次根式中，同类二次根式有（ ）组
A. 2 B. 3 C. 0 D. 1
三、解答题（第15题每小题6分，第16、17题每小题8分，第18、19题每小题9分）
15. 求下列各式的值
⑴ ） ⑵
⑶
16. 已知2x-1的平方根是±6，2x+y-1的算术平方根是5，求2x-3y+11的平方根.
17. 已知，求代数式的值.
18. 试说明四个连续正整数的乘积与1的和的算术平方根仍是一个整数.
19. 设的小数部分分别为a、b，求的值.
输出
开平方
输入x
.c .a . b.
0
.
0
.
a
.
b
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第10部分 分式
第1课时 分式
课标要求
1.会进行简单的整式除法运算（除式为单项式）.
2.了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算.
3.在数学活动中，体会抽象概括、类比转化等数学思想方法.
中招考点
简单的整式除法运算，分式的概念，分式的加、减、乘、除运算.
典型例题
例1 指出下列有理式哪些是整式，哪些是分式？
－2x,,0.5xy,,,
分析：区别整式与分式，关键是看它们的分母是否含有字母.
解： -2x, , 0.5xy, , 是整式.
, 是分式.
注意：判断一个代数式是分式还是整式，不能看化简后的结果.如= x-1的结果是整式，但原式是分式；是常数，不是字母.
例2 填空⑴ 当x_______时，分式有意义，当x_______时，分式无意义.
⑵ 当x__________时，分式的值为零.
⑶ 当x__________时，分式的值为正.
⑷ 分式的值为零，则a =______,b __________.
分析：分式有意义的条件：B≠0; 分式无意义的条件：B=0; 分式值为零的条件：A=0且B≠0；分式值为正的条件：A、B同号; 分式值为负的条件：A、B异号.
解：⑴ 由3x+5≠0得x≠ －, ∴ x≠ －时，分式有意义.
由3x+5 = 0得x = －, ∴ x = －时，分式无意义.
⑵ 由 = 0得x = ±1
∵x =－1时，分母x+1=0
∴x=1时，分式的值为零.
⑶ ∵ 1＞0 ∴ 2-x＞0 ∴ x＜2时，分式的值为正.
⑷ 由a+2=0 和 a+b+3≠0得，a= -2, b≠-1.
例3 填空
⑴ ，
⑵ 不改变分式的值， 把下列各式分子、分母中各项的系数化为整数
⑶ 不改变分式的值，把分子、分母中的y，按降幂排列并使它们的最高项系数均为正数，则=_________________.
分析：对分式进行恒等变形，要利用分式的基本性质.
解：⑴由分母变化： ab a3b2知，答案为2c·a2b = 2a2bc.
由分子变化： x 1知，答案为 (x2-xy)÷x = x-y .
⑵ .
.
⑶ = －= .
例4 若，求（的值.
解：∵
∴
∴
∴原式= .
例5 请你先化简，再选取一个使原式有意义而你又喜欢的数代入求值.
解：原式= .
令x = 2，则原式=3.
注意：从形式上看，此题字母x可以取任意实数，实际上x ≠ 0和±1.请同学们谨防陷阱! 在进行分式乘除混合运算时，分子、分母是多项式时，应先进行因式分解，能约分的要先约分，可使运算简便.
强化练习
一、填空题
1. (-2a)7÷(-2a)4= __________________.
2. –21a2b3c÷3ab = ___________________.
3. (16x3-8x2+4x)÷(-2x) = _______________________.
4. 有理式中，______________是整式，______________是分式.
5. x= 3时，分式= 0，则k= ______.
6. x满足__________时，分式的值为负数.
7. 若，当x、y都扩大10倍时，
8. 计算：
9. 计算：
10. 约分：
二、选择题
1. 若分式的值为零，那么（ ）
A. x=2 B. x= -2 C. x=0 D. x的值不存在
2. 使分式的值为正的条件是（ ）
A. x＜ B. x＞ C. x＜0 D. x＞0
3. 下列说法不正确的有（ ）
A. 整式是有理式 B. 分式是有理式 C. 有理式是分式
D. 整式和分式统称为有理式 E. A、B表示整式，则叫分式.
4. 当x为任意实数时，下列分式中，一定有意义的是（ ）
A. B. C. D.
5. 与分式相等的是（ ）
A. B. –1 C. D.
6. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
三、解答题
1. 计算
2. 化简求值 x+1- ,其中x =
3. 已知a2-6a+9与互为相反数，求的值.
4. 已知0＜x＜1且 求 的值.
反馈检测
一、填空题（每小题5分，共25分）
1. 计算：(6x2y3z2)2÷4x3y4=_______________.
2. 计算：（3x4-6x3+9x2）÷(-3x) =____________________.
3. 某校参加数学竞赛的n名学生的成绩分别为a1,a2,---an, 则这n名学生的平均成绩=_____________________.
4. ,
5. 计算：
二、选择题（每小题5分，共25分）
1. 若将分式均为正数）中的字母a,b的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的 C. 不变 D. 缩小为原来的
2. 若，则x应取（ ）
A. 0 B. 正数 C. 负数 D. 非负数
3. 若x2-9=0, 则的值为（ ）
A. 0或-6 B. 0 C. –6 D. 无意义.
4. 下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（每题10分，共50分）
1.已知x = -2时分式无意义，当x =3, 分式值为0，求mn.
2.已知 求 .
3. 计算：，
4. 已知a-b = －2, 求 .
5. 锅炉房储存了t天用的煤m吨，要使储存的煤比预定时间多用n天，每天应当节约多少吨？
第10部分 分式
第1课时 分式
课标要求
1.会进行简单的整式除法运算（除式为单项式）.
2.了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算.
3.在数学活动中，体会抽象概括、类比转化等数学思想方法.
中招考点
简单的整式除法运算，分式的概念，分式的加、减、乘、除运算.
典型例题
例1 指出下列有理式哪些是整式，哪些是分式？
－2x,,0.5xy,,,
分析：区别整式与分式，关键是看它们的分母是否含有字母.
解： -2x, , 0.5xy, , 是整式.
, 是分式.
注意：判断一个代数式是分式还是整式，不能看化简后的结果.如= x-1的结果是整式，但原式是分式；是常数，不是字母.
例2 填空⑴ 当x_______时，分式有意义，当x_______时，分式无意义.
⑵ 当x__________时，分式的值为零.
⑶ 当x__________时，分式的值为正.
⑷ 分式的值为零，则a =______,b __________.
分析：分式有意义的条件：B≠0; 分式无意义的条件：B=0; 分式值为零的条件：A=0且B≠0；分式值为正的条件：A、B同号; 分式值为负的条件：A、B异号.
解：⑴ 由3x+5≠0得x≠ －, ∴ x≠ －时，分式有意义.
由3x+5 = 0得x = －, ∴ x = －时，分式无意义.
⑵ 由 = 0得x = ±1
∵x =－1时，分母x+1=0
∴x=1时，分式的值为零.
⑶ ∵ 1＞0 ∴ 2-x＞0 ∴ x＜2时，分式的值为正.
⑷ 由a+2=0 和 a+b+3≠0得，a= -2, b≠-1.
例3 填空
⑴ ，
⑵ 不改变分式的值， 把下列各式分子、分母中各项的系数化为整数
⑶ 不改变分式的值，把分子、分母中的y，按降幂排列并使它们的最高项系数均为正数，则=_________________.
分析：对分式进行恒等变形，要利用分式的基本性质.
解：⑴由分母变化： ab a3b2知，答案为2c·a2b = 2a2bc.
由分子变化： x 1知，答案为 (x2-xy)÷x = x-y .
⑵ .
.
⑶ = －= .
例4 若，求（的值.
解：∵
∴
∴
∴原式= .
例5 请你先化简，再选取一个使原式有意义而你又喜欢的数代入求值.
解：原式= .
令x = 2，则原式=3.
注意：从形式上看，此题字母x可以取任意实数，实际上x ≠ 0和±1.请同学们谨防陷阱! 在进行分式乘除混合运算时，分子、分母是多项式时，应先进行因式分解，能约分的要先约分，可使运算简便.
强化练习
一、填空题
11. (-2a)7÷(-2a)4= __________________.
12. –21a2b3c÷3ab = ___________________.
13. (16x3-8x2+4x)÷(-2x) = _______________________.
14. 有理式中，______________是整式，______________是分式.
15. x= 3时，分式= 0，则k= ______.
16. x满足__________时，分式的值为负数.
17. 若，当x、y都扩大10倍时，
18. 计算：
19. 计算：
20. 约分：
二、选择题
1. 若分式的值为零，那么（ ）
A. x=2 B. x= -2 C. x=0 D. x的值不存在
2. 使分式的值为正的条件是（ ）
A. x＜ B. x＞ C. x＜0 D. x＞0
3. 下列说法不正确的有（ ）
B. 整式是有理式 B. 分式是有理式 C. 有理式是分式
D. 整式和分式统称为有理式 E. A、B表示整式，则叫分式.
4. 当x为任意实数时，下列分式中，一定有意义的是（ ）
A. B. C. D.
5. 与分式相等的是（ ）
A. B. –1 C. D.
6. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
三、解答题
1. 计算
2. 化简求值 x+1- ,其中x =
3. 已知a2-6a+9与互为相反数，求的值.
4. 已知0＜x＜1且 求 的值.
反馈检测
一、填空题（每小题5分，共25分）
6. 计算：(6x2y3z2)2÷4x3y4=_______________.
7. 计算：（3x4-6x3+9x2）÷(-3x) =____________________.
8. 某校参加数学竞赛的n名学生的成绩分别为a1,a2,---an, 则这n名学生的平均成绩=_____________________.
9. ,
10. 计算：
二、选择题（每小题5分，共25分）
1. 若将分式均为正数）中的字母a,b的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的 C. 不变 D. 缩小为原来的
2. 若，则x应取（ ）
A. 0 B. 正数 C. 负数 D. 非负数
3. 若x2-9=0, 则的值为（ ）
A. 0或-6 B. 0 C. –6 D. 无意义.
4. 下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（每题10分，共50分）
1.已知x = -2时分式无意义，当x =3, 分式值为0，求mn.
2.已知 求 .
3. 计算：，
4. 已知a-b = －2, 求 .
5. 锅炉房储存了t天用的煤m吨，要使储存的煤比预定时间多用n天，每天应当节约多少吨？
第2课时 分式方程
课标要求
1．分式方程的意义.
2．可化为一元一次方程和一元二次方程的分式方程的解法.
3．换元法在化解分式方程时的应用，以及验根的重要性.
中招考点
1．分式方程的意义.
2．解分式方程的基本思想方法是：
分式方程 整式方程 .
3．方程产生增根的原因
典型例题
例1 （1）
（2）用换元法解方程
（3）解方程分析：（1）、（3）用去分母法，化成整式方程求解.（2）用换元法求方程的解.
解：（1）方程两边同时乘以得
整理，得
解这个方程，得
经检验，是原方程的增根，应舍去.所以原方程的根是.
（2）设
则原方程可化为 .
整理，得 .
解这个方程得
当时， .
即
解得
当时
即
解这个方程，因,所以此方程无解.
经检验，是原方程的根.
（3）方程两边同乘以得
整理，得
解这个方程，得
当时,,所以为原方程的增根.
所以原方程的根为.
点拨：解分式方程时，要根据其方程的特点，确定相应的解法.运用去分母法时，要找出最简公分母，两边同乘以最简公分母时，注意方程的右边不能漏乘最简公分母，运用换元法时要考虑设哪一部分为新元最好，解分式方程常根据平方关系换元或根据倒数关系换元.
例2 关于x的方程会产生增垠，求k的值.
分析：因为方程有增根，所以最简分母为0，即,所以增根为,增根是原方程的增根，但它是去分母后化得的整式方程的根.所以将代入化简后的整式方程再求的值.
解：去分母，得
所以
因为原方程会产生增根，所以,即.
所以
故当时，原方程会产生增根.
点拨：由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程.②确定增根（使分母为零的未知数的值）.③将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.
例3 已知关于的方程的根大于0，求a的取值范围.
分析：先化分式方程为整式方程，解整式方程求其根，利用题中已知条件“根大于0”列出不等式求a的范围.
解：原方程可化为
即
所以
因为方程根大于0，所以
即
又因为
所以
即
所以a的取值范围为且.
点拨：对于含有字母的方程，已知方程根的情况，求字母的值或字母的取值范围时，一定要注意分式的分母不能为零.
强化训练
1.填空题
（1）已知实数满足,那么的值为___________.
（2）用换元法解方程，可设，则原方程化为y的整式方程为____________________.
（3）如果方程有增根,则k=__________.
（4）若，则的值为_______
（5）已知,那么代数式的值是_______.
2.选择题
（6）用换元法解方程，如果设,那么原方程可化为（ ）
A． B.
C. D.
（7）用换元法解方程时，如果设,那么原方程可转化为（ ）
A． B.
C. D.
(8)方程的解为（ ）
A.-1,2 B.1,-2 C. D.0,3
(9)在正数范围内定义一种运算，其规则为:,根据这个规则，方程的解是（ ）
A. B. B.或 D.或
(10)关于x的方程有唯一的一个解，字母已知数应具备的条件是（ ）
A. B. C. D.
3．解答题
(11) 解下列方程
A.
B.用换元法解方程
(12)为何值时，方程会产生增根？
(13)已知关于的方程，其中为实数.
A.当为何值时，方程没有实数根？
B.当为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根.
（14）解方程
解：方程的两边都乘以,约去分母，得
解这个方程，得
检验：当时，,所以2是增根，原方程无解.
请你根据这个方程的特点，用另一种方法解这个方程.
《分式》综合检测（A）
1、 填空题（每题4分，共32分）
1.在下列有理式中：3，整式有________________，分式有______________________________________.
2.当x_________时，的值为正，当x_________时，的值为负.
3.当x_________时，有意义，当x_________时，的值为零.
4.，.
5.不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数为正，则=_________.
6.计算：
7.计算：
8.若4x-3y = 0, 则
2、 选择题（每题4分，共20分）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. a2·a3 = a5 B. (a2)3 = a5 C. a6÷a2 = a3 D. a5+a5 = 2a10
2. 计算的结果（ ）
A. m+2 B. m-2 C. D.
3. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列各式正确的个数是（ ）
， ，，
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. 化简的结果是（ ）
A. y2-x2 B. x2-4y2 C. x2-y2 D. 4x2-y2
三、 解答题（每小题8分，共48分）
1.化简：
2.计算：1－
3. 先化简，再求值： []÷2x，其中x = 3, y = -1.5
4. 解方程：
5. 先化简，再求值：，其中a2+2a-1 = 0
6. 甲做180个机器零件与乙做240个机器零件所用的时间相同，已知两人每小时共做70个机器零件，两人每小时各做多少个？
《分式》综合检测（B）
1、 填空题（每题4分，共32分）
1. 计算：2a2·a3÷a4 = _____________.
2. 当x =_______时，的值为1 .
3. 当x=________时，无意义，当x_________时，的值为零.
4. x-y的相反数的倒数是_________________.
5. 约分：= __________________ .
6. 若 ，则
7. 若x = ,y = , 则
8. 若abc≠0, a+b+c = 0, 则.
3、 选择题（每题4分，共20分）
1. 下列有理式中 分式有（ ）个
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
2. 若的值为零 ，则（ ）
A. a = -b B. a = 0或a = -b C. a = 0 D. a = 0且b≠0
3. 下列各式约分正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列等式正确的是（ ）
A. (-x2)3 = -x5 B. x8÷x4 = x2 C. x3+x3 = 2x3 D. (xy)3 = x3y3
5. 甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a小时相遇；若同向而行，则b小时甲追上乙，那么甲的速度是乙的速度的（ ）倍
A. B. C. D.
三、 解答题（每小题8分，共48分）
1 若 ，求的值.
2. 已知：3x-4y-z = 0, 2x+y-8z = 0,求的值.
3. 先化简，再求值：， 其中.
4. 已知x2－4x＋1= 0, 求的值.
5. 计算：
6. 已知，求的值.
去分母
换元
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中考数学专题————方案设计问题
1、光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台.现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区．两地与该农机租赁公司商定每天的租赁价格见下表：
每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金
A地区 1800元 1600元
B地区 1600元 1200元
（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y(元)，求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；
（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议．
解：（1）若派往A地区的乙型收割机为x台，则派往A地区的甲型收割机
为(30－x)台；派往B地区的乙型收割机为（30－x）台，派往B地区的甲
型收割机为（x－10）台．
∴y＝1600x＋1800(30－x)＋1200(30－x)＋1600(x－10)＝200x＋74000．
x的取值范围是：10≤x≤30(x是正整数)．
（2）由题意得200x＋74000≥79600，
解不等式得x≥28.由于10≤x≤30，∴x取28，29，30这三个值，
∴有3种不同分配方案．①当x＝28时，即派往A地区甲型收割机2台，
乙型收割机28台；派往B地区甲型收割机18台，乙型收割机2台．
②当x＝29时，即派往A地区甲型收割机1台，乙型收割机29台；派往B地区甲型收割机19台，乙型收割机1台．
③当x＝29时，即派往A地区甲型收割机1台，乙型收割机29台；派往B地区甲型收割机19台，乙型收割机1台．
③ 当x＝30时，即30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割机全部派往B地区．
（3）由于一次函数y＝200x＋74000的值y是随着x的增大而增大的，
所以，当x＝30时，y取得最大值.如果要使农机租赁公司这50台联合
收割机每天获得租金最高，只需x＝30，此时，y＝6000＋74000＝80000．
建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收
割要全部派往B地区，可使公司获得的租金最高．
2．今年6月份，我市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，一种货车可装荔枝香蕉各2吨；
（1） 该果农按排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来，
（2） 甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，则该果农应选哪种方案？使运费最少？最少运费是多少元？
解：（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（10－x）辆，依题意，得
解这个不等式组，得
∵x是整数，x可取5、6、7，既安排甲、乙两种货车有三种方案：
1 甲种货车5辆，乙种货车5辆；
2 甲种货车6辆，乙种货车4辆；
3 甲种货车7辆，乙种货车3辆；
（2）方法一：由于甲种货车的运费高于乙种货车的运费，两种货车共10辆，
所以当甲种货车的数量越少时，总运费就越少，故该果农应选择① 运费最少，最少运费是16500元；
方法二：方案①需要运费2000×5＋1300×5＝16500（元）
方案②需要运费2000×6＋1300×4＝17200（元）
方案③需要运费2000×7＋1300×3＝17900（元）
该果农应选择① 运费最少，最少运费是16500元；
3、某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元．
甲 乙
价格（万元/台） 7 5
每台日产量（个） 100 60
（1）按该公司要求可以有几种购买方案？
（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？
解：（1）设购买甲种机器x台，则购买乙种机器（6－x）台．
由题意，得，
解这个不等式，得，即x可以取0、1、2三个值，
所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案：
方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台；
方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台；
方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台；
（2）按方案一购买机器，所耗资金为30万元，新购买机器日生产量为360个；按方案二购买机器，所耗资金为1×7＋5×5＝32万元；，新购买机器日生产量为1×100＋5×60＝400个；按方案三购买机器，所耗资金为
2×7＋4×5＝34万元；新购买机器日生产量为2×100＋4×60＝440个．因此，选择方案二既能达到生产能力不低于380个的要求，又比方案三节约2万元资金，故应选择方案二．
4、我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：
脐 橙 品 种 A B C
每辆汽车运载量（吨） 6 5 4
每吨脐橙获得（百元） 12 16 10
（1）设装运A种脐橙的车辆数为，装运B种脐橙的车辆数为，求与之间的函数关系式；
（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；
（3）若要使此次销售获利最大，应采哪种安排方案？并求出最大利润的值．
解：（1）根据题意，装运A种脐橙的车辆数为，装运B种脐橙的车辆数为，那么装运C种脐橙的车辆数为，则有：
整理得：
（2）由（1）知，装运A、B、C三种脐橙的车辆数分别为、、，由题意得：，解得：4≤≤8，因为为整数，所以的值为4、5、6、7、8，所以安排方案共有5种．
方案一：装运A种脐橙4车，B种脐橙12车，C种脐橙4车；
方案二：装运A种脐橙5车，B种脐橙10车，C种脐橙5车；
方案三：装运A种脐橙6车，B种脐橙8车，C种脐橙6车；
方案四：装运A种脐橙7车，B种脐橙6车，C种脐橙7车；
方案五：装运A种脐橙8车，B种脐橙4车，C种脐橙8车；
（3）设利润为W（百元）则：
∵ ∴W的值随的增大而减小
要使利润W最大，则，故选方案一
＝1408（百元）＝14.08（万元）
答：当装运A种脐橙4车，B种脐橙12车，C种脐橙4车时，获利最大，最大利润为14.08万元．
5、2007年我市某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．
（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．
（2）若搭配一个种造型的成本是800元，搭配一个种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？
解：（1）设搭配种造型个，则种造型为个，
依题意，得：
解这个不等式组，得：， 是整数， 可取，
可设计三种搭配方案：
①种园艺造型个　种园艺造型个
②种园艺造型个　种园艺造型个
③种园艺造型个　种园艺造型个．
（2）方法一：由于种造型的造价成本高于种造型成本．所以种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为：（元）
方法二：方案①需成本：（元）
方案②需成本：（元）
方案③需成本：元
应选择方案③，成本最低，最低成本为元
6、某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表：
类　别 电视机 洗衣机
进价（元/台） 1800 1500
售价（元/台） 2000 1600
计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161 800元．
（1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用）
（2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润．（利润＝售价－进价）
解：（1）设购进电视机x台，则购进洗衣机（100－x）台，根据题意，得
，解不等式组，得　≤x≤．
即购进电视机最少34台，最多39台，商店有6种进货方案．
（2）设商店销售完毕后获利为y元，根据题意，得
y＝（2000－1800）x＋(1600－1500)(100－x)＝100x＋10000．
∵　100＞0，∴　当x最大时，y的值最大．
即　当x＝39时，商店获利最多为13900元．
7、绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．
（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？
（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？
解：（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（8－x）辆，依题意，得
4x ＋ 2（8－x）≥20，且x ＋ 2（8－x）≥12，
解此不等式组，得 x≥2，且 x≤4， 即 2≤x≤4．
∵ x是正整数， ∴ x可取的值为2，3，4．
因此安排甲、乙两种货车有三种方案：
甲种货车 乙种货车
方案一 2辆 6辆
方案二 3辆 5辆
方案三 4辆 4辆
（2）方案一所需运费 300×2 ＋ 240×6 ＝ 2040元；
方案二所需运费 300×3 ＋ 240×5 ＝ 2100元；
方案三所需运费 300×4 ＋ 240×4 ＝ 2160元．
所以王灿应选择方案一运费最少，最少运费是2040元．
8、某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．
（1）设租用甲种汽车辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；
（2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案．
解：（1）由租用甲种汽车辆，则租用乙种汽车辆
由题意得：
解得： 即共有2种租车方案：
第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；
第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆．
（2）第一种租车方案的费用为元；
第二种租车方案的费用为元
第一种租车方案更省费用．
9、在社会主义新农村建设中，李叔叔承包了家乡的50亩荒山．经过市场调查，预测水果上市后A种水果每年每亩可获利0.3万元，B种水果每年每亩可获利0.2万元，李叔叔决定在承包的山上种植A、B两种水果．他了解到需要一次性投入的成本为：A种水果每亩1万元，B种水果每亩0.9万元．设种植A种水果x亩，投入成本总共y万元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若李叔叔在开发时投入的资金不超过47万元，为使总利润每年不少于11．8万元，应如何安排种植面积（亩数x取整数）？请写出获利最大的种植方案．
解：（1）y=0.1x+4.5 ．
(2)根据题意得： 解得：
所以，有如下种植方案：
A种水果（亩） 18 19 20
B种水果（亩） 32 31 30
利润（万元） 11.8 11.9 12
故获利最大的方案为：种植A种水果20亩，种植种B水果20亩．
10、某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑．希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．
( http: / / blog. / user / 925 / index.html )（1） 写出所有选购方案(利用树状图或列表方法表示）；
（2） 如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？
（3） 现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台(价格如图所示)，恰好用了10万元人民币，其中甲品牌电脑为A型号电脑，求购买的A型号电脑有几台．
解：（1） 树状图如下 列表如下：
HYPERLINK "http://blog./user/925/index.html"
有6可能结果：(A，D)，（A，E），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E）．
　　　　(注：用其它方式表达选购方案且正确给1分)
（2） 因为选中A型号电脑有2种方案，即(A，D)（A，E），所以A型号电脑被选中的概率是
（3） 由（2）可知，当选用方案（A，D）时，设购买A型号、D型号电脑分别为x，y台，根据题意，得 解得经检验不符合题意，舍去；
(注：如考生不列方程，直接判断(A，D)不合题意，舍去，也给2分)
当选用方案（A，Ｅ）时，设购买A型号、Ｅ型号电脑分别为x，y台，
根据题意，得 解得
所以希望中学购买了7台A型号电脑．
11、已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．
（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．
（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的
函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什
么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．
（3） 经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价
之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出
60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经
销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．
解：（1）解：图①表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果，可按5元/kg批发；
图②表示批发量高于60kg的该种水果，可按4元/kg批发．
（2）解：由题意得：，函数图象如图所示．由图可知资金金额满足
240＜w≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果．
（3）解法一：设当日零售价为x元，由图可得日最高销量
当m＞60时，x＜6.5 由题意，销售利润为
当x＝6时，，此时m＝80即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，
当日可获得最大利润160元．
解法二：设日最高销售量为xkg（x＞60）则由图②日零售价p满足：
，于是 销售利润
当x＝80时，，此时p＝6
即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，当日可获得最大利润160元．
金额w（元）
O
批发量m（kg）
300
200
100
20
40
60
O
60
20
4
批发单价（元）
5
批发量（kg）
①
②
O
6
2
40
日最高销量（kg）
80
零售价（元）
4
8
（6，80）
（7，40）
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