初中数学 八年级下册 勾股定理全章教案
文档属性
| 名称 | 初中数学 八年级下册 勾股定理全章教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 302.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-04-07 10:19:00 | ||
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文档简介
18.1 勾股定理（1）
学校 主备人 时间
设计理念 注重让学生观察、猜想、探索、发现的过程，让学生经历知识的形成过程；感受与发现数学规律并应用规律来解决实际问题。通过合作交流培养学生的合作意识。
教学目标 知识技能：体验勾股定理的探索过程，发展合理推理能力，体会数形结合思想和从特殊到一般的思想。思维方法：体验数学思维的严谨性，发展形象思维，通过合作探究培养学生合作精神。情感态度：通过对勾股定理历史的了解感受数学文化，激发学生学习兴趣及爱国主义精神。
重点 探索与证明勾股定理。
难点 拼图、面积法证明勾股定理。
方法 活动、猜想、探索式教学法。 课型 新 授 课
教学过程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
一、情境 引入 相传2500年前，毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家的地砖中反映了直角三角形三边的某种数量关系。我们也来观察一下，你有什么发现？ 师出示图形，学生观察图形猜想你的发现.(注：由三角形面积关系猜想直角三角形三边关系) 通过传说故事激发学生的学习兴趣，使学生在不知不觉中进入学习的最佳状态。同时也激发学生主动参与的能力。
二、实验 观察 1.观察：下面图形，你能发现还有上面的结论吗？2.画图验证：（1）画Rt△ABC使∠C=90°，AC=3，BC=4，通过测量AB=＿＿。（2）画Rt△ABC使∠C=90°，AC=5，BC=12，通过测量AB=＿＿。 学生观察左边两个图形中P、Q、R三个正方形的面积间有何关系？并猜想出直角三角形三边关系。学生动手画图（1）、（2）并测量出AB的长进一步验证上面结论的正确性。 渗透从特殊到一般的数学思想，发挥学生的主题作用；培养学生的类比、迁移能力及探索问题能力，使学生在互相欣赏、争辩、互助中得到提高。让学生积极参与，并从交流中获益。
三、探究 说理 赵爽弦图：拼图法：面积法：∵S=ab4+(a-b) S=c∴ab4+(a-b) =c∴a+b=c 教师出示赵爽弦图并解释“朱实”、“黄实”所表示的意义。说明它还是2002年北京国际数学大会会徽。学生思考：如何用它来证明勾股定理？学生尝试用拼图的办法来证明勾股定理。学生合作尝试用面积法证明勾股定理，并交流展示各小组的成果。 通过展示，激发学生强烈的民族自豪感。通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，建立初步的空间观念，发展形象思维。通过拼图活动，使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中的数形结合思想。通过探究活动，激发学生探究新知的欲望。给学生充分的时间和空间讨论、交流，鼓励学生敢于发表自己的见解，感受合作的重要性。
四、尝试 应用 1、求下图中字母A、B所代表的正方形面积。分析：（1）由勾股定理的推导原理我们可以知道以直角三角形的三边为边向外作的三个正方形面积有何关系？（2）引申：以直角三角形的三边为边向外作半圆呢？作等边三角形呢？2、求出下图中直角三角形未知边的长度。分析：（1）格式如何书写？ （2）引申：如何求斜边上的高？ 学生独立思考并解决1、2两个问题，并相互交流、补充。观察发现：在解决问题的时候，还要用到哪些知识？（数的开方）学生小组讨论：（1）以直角三角形的三边为边向外作半圆呢？作等边三角形呢？（2）如何求直角三角形斜边上的高？ 体会勾股定理的意义、数形结合思想和它与其它知识之间的联系。进一步练习巩固了数的开方的有关运算。培养学生的一题多变能力、分析归纳能力和转化思想
五、归纳 小结 1、你学到了什么数学知识、思想？2、你了解勾股定理的发现和验证方法吗？3、你还有什么困惑？ 学生归纳总结，各小组补充，教师升华。 培养学生的归纳概括能力，渗透数学思想方法。
六、补偿 提高 用下图（1）证明勾股定理： 图（1）2、如图（2），所有四边形是正方形，所有三角形是直角三角形。其中最大的正方形边长是7cm，正方形A、B、C的面积分别是12cm、5 cm、13 cm求正方形D的面积。 图（2） 让学生用不同的方法，从不同的角度证明勾股定理。（面积法）学生独立完成问题2，并小组讨论还有什么变式？（小组间展开竞赛看哪一个小组找的多而精） 培养学生的发散思维。让学生在遇到问题时要从多角度、多方位的探究问题。 通过问题2的解决，进一步培养学生的发散思维和转化能力。
七、实践 延伸 必做题：1、P69 习题18.1中1 2、预习下一课《勾股定理的简单应用》选做题：1、P70 习题18.1中 7 2、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，图中有阴影的三个半圆的面积有什么关系？ 引申：如图，Rt△ABC的面积为20cm,在AB的同侧，分别以AB,BC,AC为直径作三个半圆，求阴影部分的面积。（用上题的结论解决）
18.1勾股定理（2）
学校 主备人 时 间
设计理念 注重使学生通过运用勾股定理对一系列富有层次性、探究性的问题解释与应用，培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻的认识数学的本质，数学来源于生活，并服务于生活，给学生足够时间讨论交流，使“不同的学生在数学上得到不同的发展”。要重点关注学生探究精神以及交流合作的意识。
教学目标 知识与技能：1、能用自己的语言叙述勾股定理的内容。2、能运用勾股定理解决简单的实际问题。过程与方法：通过实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，初步掌握转化和数形结合的思想方法让学生真正体会数学来源于生活，有应用于生活，增强如何在日常生活中用数学知识解决问题的经验与感受。情感态度与价值观：在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯，初步形成积极参与数学活动的意识。
重点 运用勾股定理解决简单的实际问题。
难点 勾股定理在实际生活中的应用。
方法 体验、探究式教学 课 型 新授课
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
一、自主探究 1、问题与情景：探究一：求出下列直角三角形中未知的边。 ①在解决上述问题时，每个直角三角形须知晓几个条件？②直角三角形中那条边最长？（2）、在长方形ABCD中，宽AB为1cm。长BC为2cm，求AC的长。思考：在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？2、自主学习：探究二：（1）一个门框的尺寸如图1所示。①若薄木板长3米， 若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框中通过？② 若薄木板长3米，宽1.5米呢？③ 若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？ 图1 有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长（结果保留整数）？如图2，一个长3米的梯子AB，斜着靠在竖直的墙OA上，这时AO的距离为2.5米，求梯子的底端B距墙角O多少米？如果梯子的顶端沿墙角下滑0.5米至C，请同学们猜一猜，底端也右滑0.5米吗？算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）。 图2归纳：在Rt△中已知两边用勾股定理即可求出第三边。 教师提出问题后让四位学生演排，剩下的学生在课堂作业本上完成。问题(2)学生分组讨论，自己解决；教师巡视指导答疑在活动中教师应重点关注：（1）学生能否正确应用勾股定理进行计算；（2）在解决直角三角形的问题时，需知到直角三角形的两个条件且至少有一个条件是边；（3）让学生了解在直角三角形中斜边最长；（4）在解决（2）时能否将一个长方形转化为两个全等的直角三角形。问题（1）学生探究一的结果可得出判断：AB＜BC＜AC。问题（2）中学生分组讨论，易回答①、②。在解决前两个问题的基础上，教师着重引导学生将③的实际问题转化为数学模型，计算并回答：∵木板的宽2.2米大于1米∴横着不能从门框内通过；∵木板的宽2.2米大于2米，∴竖着也不能从门框内通过。∴只能试试斜着能否通过，对角线AC的长度最大，因此，从中抽出数学模型直角三角形ABC，并求出斜边AC=√5≈2.236﹥2.2，所以木板能从门框内通过。教师和学生一起完成问题（3）教师提出问题（4），引导学生将实际问题转化为数学模型； 学生合作交流，讨论回答：（1）在Rt△AOB中OB2=AB2–OA2，OB≈1.658.（2）的①由学生分组讨论做出猜想。②要求梯子的底端B是否也外移0.5米，就是求出BD的长，而BD=OD-OB，由（1）可知OB，只需再求出OD即可。在Rt△COD中，OD2 =CD2 –OC2 OD≈2.236OB=OD-OB≈0.58梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，梯子的底端B外移0.58米。 教师利用学生已有的知识（勾股定理及直角三角形的相关知识）创设问题情境，有针对性的引导学生进行练习，为学习勾股定理在实际生活中的应用做好铺垫。通过问题（1）让学生熟悉直角三角形中斜边和直角边的大小关系，为解决问题（2）奠定基础。问题（2）是本节的重点和难点，为了让学生能有效的突破难点，本节分别为它们设计了一到两个简单的由已有的知识和生活经验易于解答的小问题作台阶，顺利解决如何将实际问题转化为求直角三角形边长的问题，培养学生的数学应用意识。通过运用勾股定理对实际问题的解释和应用，培养学生从身边的事物抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻的认识数学的本质；数学来源于生活，并能服务于生活。
二、尝试应用 1、如图3，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的一点，测得CB=60m，AC=20m,。你能求出A、B两点的距离吗（结果保留整数）？ 2、变式：以1题为背景，请同学们再设计其他方案构造直角三角形（或其他几何图形），测量池塘的长AB。3、如图4，大风将一根木质旗杆吹裂，随时都可能倒下，十分危急。接警后“119“迅速赶到现场，并决定从断裂处将旗杆折断。现在需要划出一个安全警域，那么你能确定这个安全区域的半径至少是多少？ . 问题1学生板演，其余学生在课堂练习本上独立完成。问题2和问题3将全班学生分成四人小组，给足时间分别进行讨论、交流；教师参与学生活动，并适当的给予指导。三角形全等的几种情况；直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半。 设计第1题的变式，满足不同层次学生的学习需求，拓展学生的思维空间，让学生联想与直角三角形或全等三角形相关的知识，使所学的知识得到进一步的深化。
三、成果展示 对自己说你有什么收获？对老师说你有什么疑惑？对同学说你有什么建议？ 让学生充分讨论交流自由发言等形式，使学生掌握归纳的方法。教师引导进行感悟深化。 通过小结，为学生创造交流心得的空间，关注学生对课整体感受，在轻松愉快的气氛中体会收获的喜悦。
四、补偿提高 长方形零件尺寸如图（单位：mm），求两孔的距离（精确到0.1mm）。.有一水塘，水面是边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，他高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这个谁的深度与这跟芦苇的长度分别是多少？ 学生独立思考并解决问题，全班交流并互相补充。 体会如何将实际问题转化为求直角三角形边长的问题，培养学生的数学应用意
五、实践延伸 必做题：P70 3,5选做题：P71 10补充：如图，点A是一个半径为400m的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B,C两个村庄，现要在B,C两村庄之间修一条长为1000m的笔直公路将两村连通，经测得∠B=60°,∠C=30°,问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算说明。
18.1勾股定理（3）
学 校 主备人 时间
设计理念 通过对勾股定理的实际问题应用，让学生经历阅读分析---合作交流---归纳整合的实际问题解决策略。学会从理论知识知识到实际生活的迁移、转化培养学生的交流协作能力、实践能力和创造能力，增强学生的应用意识。
教学目标 知识目标：（1）能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题； （2）通过例题的分析与解决，让学生感受勾股定理在实际生活中的应用。能力目标：在勾股定理的建模过程中，强化转化思想，培养学生解决实际问题的意识和应用能力。情感目标：在数学学习过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心，树立科学的价值观。
重 点 运用勾股定理解决实际问题．
难 点 勾股定理的灵活应用．
方 法 合作交流、体验探索 课 型 新 授 课
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
一、情境设置引入新课 （1）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1, ①∠A=30°,b=＿＿,c=＿＿. ②∠A=45°,b=＿＿,c=＿＿。结论：①Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=30°则a:b:c=＿＿＿＿＿; ②Rt△ABC中，∠C=90°, ∠A=45°则a:b:c=＿＿＿＿＿.(2)如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m,宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你计算一下最少费用是多少？ 学生独立完成左边的两题。小组讨论：你能得到什么结论。进一步尝试利用勾股定理解决实际问题，为下面的进一步学习打下基础。 让学生经历适时反馈、主动构建自己知识经验的过程。为下面台阶中的最值问题打下基础。
二、动手实践探索归纳 活动一、利用勾股定理求最值问题：1、如图，三级台阶中每一级的长、宽、高分别为5cm、3cm、1cm，A点有一只蚂蚁想到B点吃可口的食物，求沿台阶面爬行的最短路线。 2、如图，有一个高为12cm，底面半径为3cm的圆柱，有一只蚂蚁从A点到B点吃可口的食物，求沿表面爬行的最短路线。 方案1 ： 方案2 ：变式一：把上面的圆柱变为边长为10cm的正方体呢？变式二：把上面的圆柱变为长3cm，宽2cm，高1cm的长方体呢？活动二：利用勾股定理求折叠问题。折叠三角形问题：△ABC中，AB=AC=13,BC=10,将AB向AC方向对折，再将CD折叠到CA边上，折痕CE,求△ACE的面积。 折叠四边形问题：矩形ABCD如图折叠，使D落在BC边上的点F处，AB=8,BC=10,求折痕AE的长。 学生小组讨论并展示成果。思考：象这种问题应该如何解决？（化立体图形为平面图形）学生小组讨论问题2的解决方案。并思考：你有几种方案？那一种方案路线最短？学生动手尝试利用上面的方法画出变式一中正方形所有可能的展开方法及路线，并讨论那一种是最短路线。学生再动手尝试利用上面的方法画出变式二中长方形所有可能的展开方法及路线，并讨论那一种是最短路线。学生尝试利用一元一次方程及勾股定理的知识解决问题1与问题2，小组讨论分析展示讨论成果归纳总结出折叠问题的解决方法及策略。 让学生初步体验化立体图形为平面图形的解决问题的方法。让学生从多方位、多角度的分析、讨论问题，探索最优方案问题。通过两个变式的画图、讨论、探究，体验勾股定理在求几何图形中的最值问题的方法。通过勾股定理与列方程在折叠问题中的综合应用培养学生综合应用知识点解决问题的能力。
三、尝试应用 感悟深化 有一圆柱底面半径为3cm，高为12cm，一只蚂蚁从距底面1cm的A爬行到对角B处吃食物，求最短路线是多少？ 矩形ABCD中，AB=6,BC=8,先对折，折痕为EF，展开后再沿BG折叠，使A落在EF上的A，求第二次折痕BG的长。 学生利用以上学到的知识独立完成例1并板演过程、讲解思路。学生尝试解决例2并板演过程、讲解思路。（在此过程中让学生以组为单位展开竞赛，看谁做的又快又好。） 通过例1的解决进一步巩固用勾股定理求最值问题。通过例2的解决进一步巩固用勾股定理解决折叠问题的方法。进一步培养学生的竞争意识、合情推理能力。
四、小结梳理内化新知 知识方面：利用勾股定理求最值问题。利用勾股定理求折叠问题。能力方面：转化能力、实际应用能力。思想方面： 数学的建模思想；用联系的观点分析问题、解决问题的思想方法。 学生从知识、能力、思想方面谈一谈自己的收获和不足。老师根据学生的总结和实际掌握情况加以归纳总结与引申。 让学生学会归纳总结，从而增强知识的内化。
五、补偿提高 巩固新知 如图，长方体中AC=3,CD=5,DF=6,求蚂蚁沿表面从A爬到F的最短距离。 2、边长为8和4的矩形OABC的两边分别在平面直角坐标系的X轴和Y轴上，沿AC折叠B落在B处。求（1）△ADC的面积；（2）点B的坐标；（3）A B所在直线的解析式。 学生独立完成补偿提高中的1、2两题。（1）学生讲解解题思路。（2）学生板演解题过程（3）师生共同归纳总结。 通过变形、转化培养学生的发散思维；通过多个知识点的综合应用培养学生的综合应用能力。
六、作业布置 实践延伸 1、必做题：P78 7,8,92、选做题：P78 10【中考连接】△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，则a2+b2=c2．若△ABC不是直角三角形，如图2和如图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论． 图1 图2 图3
18.1 勾股定理（4）
学校 主备人 时间
设计理念 本节学习利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点，象。经历在数轴上寻找表示无理数的点的过程，发展灵活运用勾股定理解决问题的能力．
教学目标 知识与技能1．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点．2．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．过程与方法1．经历在数轴上寻找表示无理数的点的过程，发展灵活运用勾股定理解决问题的能力．2．在用勾股定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展动手操作能力和创新精神．3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．情感态度与价值观1．在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中，体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．2．在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．
重点 在数轴上寻找表示这样的表示无理数的点．
难点 利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段．
方法 启发引导、合作探究 课型 新 授 课
教学过程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
一、情境引入 1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 符号语言： ∵Rt△ABC中∠C=90°∴a+b=c2、实数 数轴上的点 说出下列数轴上各字母所表示的实数：点A表示 ；点B表示 ；点C表示 ；点D表示 。 学生口述勾股定理的内容，并用符号语言描述。学生思考：有理数与数轴上的点有什么关系？那么实数呢？学生尝试写出左边图形中A、B、C、D对应的数。思考：你能在数轴上标出象等的无理数吗？ 进一步加强巩固勾股定理的理解。进一步培养学生树立数形结合的思想。
二、自主探究 1、思考：图1中的x等于多少？ 图2中的x、y、z等于多少？ 图1 图22、利用上面知识探究：在数轴上画出表示的点。 步骤：1、在数轴上找到点A，使OA=1； 2、作直线l⊥OA于点A，在l上取一点B，使AB=1； 3、以原点O为圆心，以OB为半径作弧，与数轴交于C点，则C点即表示的点。分析：（1）你能画出斜边为的直角三角形吗？你能画出斜边为的直角三角形吗？ （2）问题：①根据勾股定理，还可以作出长为无理数线段，你能做出哪些长为无理数的线段呢 ②欣赏下图，你会得到什么启示 （3）由上图我们就可以在数轴上画出的任意无理数线段，如下图： 学生小组交流讨论教师可指导学生寻找象这样的包含在直角三角形中的线段．学生尝试写出画的点的一般步骤。学生小组讨论总结：画出象这样的点的一般步骤。合作猜想并验证：、的描点。利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。学生分组活动，交流讨论．教师参与于学生的小组活动中去．本活动教师应重点关注：①能否将无理数转化为某个直角三角形的斜边长．②能否积极参与，欣赏数学美．用上述方法找到了长度为的线段，因此在数轴上便可以表示出来．教学时可以先画出之后，再画，画法不唯一。 利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。学生通过画无理数的线段，学会积极参与、合作学习；学会欣赏数学中的美．通过对左边图形的讲解进一步巩固勾股定理在作无理数的点时的应用。
三、尝试应用 例1、你能画出斜边为的直角三角形吗？步骤：1．在数轴上找到点A，使OA=3；2．作直线l垂直于OA，在l上取一点B，使AB=2；3．以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示的点． 学生尝试独立完成例1。动手画图。尝试书写画图步骤小组讨论：你们还有什么启示？你还有其它画的点办法吗？ 进一步巩固在数袖上找表示无理数的点的方法，熟悉勾股定理的应用． 培养学生的语言表达能力。
四、补偿提高 1、在数轴上画表示、、、3的点。分析：（1）（）=1+2；（2）（）=1+4；（3）（）=3+3；（4）（）=2+4。┅┅┅┅┅2、变式训练：在数轴上画出表示的点。 小组讨论：在数轴上画出表示的点。利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。 通过对、2、的描点进一步培养学生的数形结合思想。
五、小结归纳 1、你对本节内容有哪些认识 会利用勾股定理得到一些无理数并理解数轴上的点与实数的一一对应关系。2、你学到了那些数学思想方法：⑴数形结合，正确标图，将条件反应到图形中，充分利用图形的功能和性质。⑵分类讨论，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力。⑶作辅助线，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力。⑷优化训练，在不同条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度。 学生口述：收获：不足：困惑：学生回答：你学到了那些数学思想方法？ 学生通过合作交流，归纳出知识、能力、方法，增强学生的归纳能力、语言表达能力。
六、作业布置 1、必做题：P70 6、92、选做题：在数轴上画出-1,1-的点。
18.2勾股定理的逆定理（1）
学 校 主备人 时间
设计理念 通过情境的创设，引导学生观察－－猜想－－验证－－操作应用。让学生经历知识结构建立和完善的过程。增强学生的应用意识，激发学生的求知欲望和学习热情。
教学目标 知识目标：（1）理解并会证明勾股定理的逆定理； （2）会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形； （3）知道什么叫勾股数，记住一些常见的勾股数.能力目标：（1）通过勾股定理与其逆定理的比较，提高学生的辨析能力； （2）通过勾股定理及以前的知识联合起来综合运用，提高综合运用知识的能力.情感目标：（1）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受； （2）对Rt△判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神．
重 点 勾股定理的逆定理及其应用．
难 点 勾股定理的逆定理的证明．
方 法 “互动式”教学模式及“类比”的教学方法 课 型 新 授 课
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
一、情境设置 引入新课 1、回顾复习：计算：在Rt△ABC中∠C=90°（1）a=3,b=4,则c=＿＿(2) a=5,b=12,则c=＿＿勾股定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿2、情境引入：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。提问：你知道哪个角是直角吗？在其它结点钉木桩，还能得到类似的结果吗？这其中包含了什么数学道理？ 学生独立完成左边的计算题，并口述勾股定理的内容。学生阅读左边的问题情境，在体验古埃及人的聪明智慧的同时，思考：为什么这样做的三角形就是直角三角形？激起学生的学习兴趣。使学生急切想知道为什么会这样？ 通过做题复习上节课的知识，并进一步巩固勾股定理。同时通过让学生直观的接受问题情境，并在其中自觉的进行数学思考，引导学生从实际问题中发现数学。体会数学应用，激发学习兴趣。
二、动手实践 检验推测 1、动手操作：学生动手用尺规画△ABC，使 （1）a=6,b=8,c=10 (2) a=5,b=12,c=13测量出∠C的值。观察，你有什么发现？2、猜想：如果三角形的三边满足＿＿＿＿＿＿，那么此三角形就是直角三角形。3、尝试再代入几组值试一试？（要满足a+b=c如2.5,6,6.5或4,7.5,8.5） 学生分组活动，动手操作体验观察、猜想。教师参与学生的活动并指导学生完成任务，并注意学生的参与意识和动手能力；关注数形结合思想及归纳能力的培养 通过动手实践，培养了学生的动手能力。充分体现了知识的形成过程：问题猜想验证归纳。既锻炼了学生的实践观察能力，又渗透了人文和探究精神。
三、探索归纳 证明推测 1、证明推测：已知：在△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b,且a+b=c求证：△ABC是直角三角形2、归纳： 如果三角形的三边长a、b、c有下面的关系：a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形。3、思考：（1）上面的定理与勾股定理有什么关系？（2）所有的命题都有逆命题吗？所有的定理都有逆定理吗？试举例说明。 师生共同参与讨论、分析，并写出证明过程。（1）引导学生构造全等三角形（即画Rt△ABC,使∠C=90°，A C=b，BC=a）（2）引导学生用SSS证明△ABC≌△ABC由数形结合的意识和由特殊到一般的数学思想方法，让学生归纳出勾股定理的逆定理。小组讨论：所有的命题都有逆命题吗？所有的定理都有逆定理吗？试举例说明。 变“命题+证明=定理”的推理模式为定理的发生、发展、形成的探究过程，把“构造直角三角形”这一方法的获取过程交给学生，让他们在不断尝试、探究的过程中，亲身体验参与发现的愉悦，有效的突破本节的重点。
四、尝试应用 熟悉定理 例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：a=17,b=8,c=15;a=13,b=14,c=15.分析：（1）在判断时是否是用两个短边的平方和与长边的平方进行比较的？（2）解题过程是否规范？思考：什么是勾股数？尝试再举出一些例子。 学生独立判断思路，部分学生板演，展示成果。学生对出现的问题讨论如何注意错误问题的出现。合作交流：何为勾股数？ 用实例进一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理及其简单应用。了解勾股数的概念。
五、类比模仿 巩固新知 1、在△ABC中，满足下列条件但不是直角三角形的是（ ）A.∠A=∠B-∠C; B.∠A:∠B:∠C=1:3:4; C.a:b:c=1::3；D.a+b=c。2、如果△ABC三边满足a= b- c 则△ABC是＿＿＿＿＿形，＿＿是斜边。3、如图， 一个四边形零件，AC=3,BC=4,AB=5,AD=12，BD=13.AC与BC,AD与AB各有什么位置关系？求四边形ABCD的面积。 学生独立完成第1题和第2 题，并在5分钟后竞答。口述原因与结果，不足的其他同学补充完善。（注意第2题中斜边的判断）学生小组讨论第3题并找各小组同学代表分析解题思路。然后找2名学生板演解题过程。教师巡视及时了解学生的掌握情况。对出现的问题有针对性的讲解。 培养学生独立思考，分析问题、解决问题的能力和小组交流、合作共赢的互助学习能力。及时反馈教学效果，查漏补缺。对学有困难的学生给予鼓励和帮助。
六、小结梳理 内化新知 1、知识：（1）、命题与逆命题，定理与逆定理。（2）、勾股定理的逆定理的证明、应用。（3）、勾股数。2、能力：如何构造直角三角形让其与已知三角形全等的证明方法。3、方法：由特殊到一般的数学思想方法。 学生谈一谈你对本节课的收获、不足和困惑。教师补充升华。 让学生学会总结归纳，养成系统整理知识的习惯。加强反思，提高学习效果。
七、作业布置 实践延伸 1、必做题：P76 1,22、选做题：P76 4 （1）古希腊的柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m,b=m-1,c= m+1,那么a,b,c为勾股数。你认为对吗？为什么？那么若k为正整数，3k,4k,5k为勾股数吗？为什么？
18.2勾股定理的逆定理（2）
学 校 主备人 时间
设计理念 通过勾股定理及逆定理的复习，进一步巩固定理的内容；引导学生应用其解决简单的实际问题，增强学生的应用意识，激发学生的求知欲望和学习热情。
教学目标 知识目标：（1）进一步巩固勾股定理及逆定理的内容。 （2）会应用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题。能力目标：（1）通过对实际问题转化为数学问题，培养学生的数学建模思想。 （2）通过勾股定理及以前的知识联合起来综合运用，提高综合运用知识的能力.情感目标：（1）对Rt△判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神． （2）增强学生学好数学、用好数学的信心和勇气。
重 点 勾股定理及逆定理的简单应用．
难 点 勾股定理及逆定理的简单应用。
方 法 “互动式”教学模式及“类比”的教学方法 课 型 新 授 课
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
一、知识回顾 1、勾股定理：直角三角形的两直角边为a,b斜边为c，则有a+b=c.2、逆定理：三角形的三边a,b,c满足a+b=c，则这个三角形是直角三角形；较大边c所对的角是直角。3、如果一个三角形的三边a,b,c满足a+c=b,那么这个三角形是＿＿＿三角形，其中b边是＿＿＿边，b边所对的角是＿＿＿角。 学生竞答勾股定理及逆定理的内容，并找学生补充。学生再进一步思考问题3，小组讨论，并展示成果。（其他小组补充完善） 在巩固勾股定理及逆定理的主要内容的同时，让学生明白c不一定就代表斜边，事实上斜边有可能是a,b,c,中的任何一个，要根据实际情况而定。
二、自主探究 1、三角形的三边长a,b,c满足（a+b）=c+2ab,则这个三角形是（ ）。A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形2、长度分别为3,4,5,12,13的五根木棒能拼成直角三角形的个数为（ ）。A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3、△ABC中，∠A.∠B.∠C.的对边分别是a.b.c,且c+a=2b,c-a=b,则△ABC的形状是（ ）.A.直角三角形 B.等边三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 学生分组活动，动手计算、猜想并验证。教师参与学生的活动并指导学生完成任务，并注意学生的参与意识和动手能力；注重对学生的思维意识的指导。 由问题的提出、猜想、验证、归纳，进一步体验勾股定理及逆定理的应用。培养学生的思维意识。指导学生去观察、去思考、去归纳。
三、尝试应用 1、已知：a.b.c为△ABC的三边，且满足ac-bc=a-b,试判断△ABC的形状。解：∵ac-bc=a-b （1）∴c(a-b)=(a+b)(a-b) (2)∴c=a+b (3)∴△ABC是直角三角形问：（1）上述解题过程，从那一步开始出现错误？请写出该步的代号＿＿＿。（2）错误原因是＿＿＿＿＿＿＿＿。（3）本题正确的结论是＿＿＿＿＿。2、有一块菜地形状如下，试求它的面积。 学生首先独立阅读问题1，并思考解题思路（即错在哪里？）。小组讨论错误原因在哪？为什么？本题正确的结论是什么？最后让学生尝试写出正确的解题过程。学生尝试独立思考问题2，并尝试写出解题过程。让学生展示自己的成果。（通过上台讲解的办法） 通过对错误的解题过程的展示、讨论，进一步加深对错误原因的认识，使其记忆深刻。 通过对不规则四边形面积的求法，进一步体验勾股定理及逆定理在实际生活中的应用是多么的重要。
四、练习巩固 1、已知三角形的三边长为9,12,15，则这个三角形的最大角是＿＿＿＿度。变式：△ABC的三边长为9,40,41，则△ABC的面积为＿＿＿＿。2、三角形的三边长为8,15,17，那么最短边上的高为＿＿＿＿。变式：若在△ABC中，有AB=5,BC=12,AC=13,则AC边上的高为＿＿＿＿。3、在Rt△ABC中，斜边AB=1,则AB+BC+CA=＿＿＿＿.变式：在Rt△ABC中，∠C=90°,CD是高，AB=1,则2CD+AD+BD=＿＿＿. 学生独立判断思路，部分学生板演。学生讨论并展示成果。学生对出现的问题讨论如何注意错误问题的出现。合作交流归纳：勾股定理及逆定理在求高、面积等时的一般规律。 通过对勾股定理及逆定理的简单应用进一步培养学生的实际应用能力。 通过变式训练培养学生的发散思维能力和转化思想。
五、小结梳理 1、知识：（1）、勾股定理及逆定理的进一步理解。（2）、勾股定理及逆定理的简单应用。2、能力、方法：培养学生的分类讨论思想、转化能力。 学生谈一谈你对本节课的收获、不足和困惑。（从知识、能力方法上）教师补充升华。 让学生学会总结归纳，养成系统整理知识的习惯。加强反思，提高学习效果。
六、补偿提高 1、等腰△ABC中，若AB=AC=10,BC=6则△ABC的面积为＿＿＿＿。2、三角形ABC的三边长a，b，c，满足a+b+c+338=10a+24b+26c,此三角形为＿＿＿＿三角形。 学生独立思考完成左边两题。学生交流合作，并展示成果。师生共同归纳出其一般规律。 通过进一步的延伸与拓展，培养学生的合作意识、发散思维能力。
七、 实践延伸 1、必做题：P80 42、选做题：P80 6 补充：（1）已知a,b,c为△ABC的三边，且满足a+b+c+50=6a+8b+10c,据此判断△ABC的形状。（2）若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是＿＿＿。 （3）工人师傅想要检测一扇小门两边AB,CD是否垂直于底边BC，但他只带了一把卷尺，你能替工人师傅想办法完成任务吗？
18.2 勾股定理的逆定理(3)
学校 主备人 时间
设计理念 体现勾股定理及其逆定理的综合利用，让学生运用这两个定理时，能加以区分，提升学生应用数学的能力；注重学生之间的交流，反思，让学生在交流中受益，提高。
教学目标 知识与技能：1、进一步理解勾股定理的逆定理 2、会用勾股定理及其逆定理解决实际问题。过程与方法：1、培养学生解决实际问题的能力，提高数学应用的意识 2、在解决问题的过程中，培养学生与他人交流、合作的意识情感态度与价值观：通过小组合作交流，养成主动探究的学习习惯，体会定理与逆定关系。
重点 例1的教学
难点 例1中“海天”号轮船航线的估计，补充对例题的解题思路的寻找
方法 体验、探索式教学法 课型 新授课
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
自主探究 1、复习提问⑴我们已经学习了勾股定理及其逆定理，你能叙述吗？⑵你能用勾股定理及其逆定理解决那些问题？2、自主学习（1）、艘轮船以每小时16海里的速度离开港口O向东南方向航行，另一艘轮船同时同地以每小时12海里的速度向东南方向航行，它们离开港口两小时分别到达A、B两地，求A、B两地的距离。 北 东北 B O 东 A 东南（2）、例题教学 例2（课本第75页）①学生读题，理解题意，弄清已知条件和需解决的问题②你能根据题意画出相关图形吗？（学生若画的好，教师可以直接用；否则教师再画） Q（远航号） P（港口）假设港口为P,以P为中心画出方位角示意图，可以得到远航号的航线为PQ（东北方向），假设1.5小时后，远航号所处位置为Q。“海天号”大概会朝哪个方向航行？会向西南方向航行吗？ 在学生对上述问题思考后画出“海天” 号的大致航线（如下图）③把实际问题转化为数学问题，分析已知条件，寻求解决问题的策略。 在上图中，连接RP，就会得到三角形PQR，已知RQ=30海里，可以求出PQ与PR的长，利用勾股定理的逆定理可以求出角RPQ为直角，从而求出航线。④学生尝试解题。⑤同学之间交流、检查。 巩固已学知识学生先独立思考，然后小组交流学生认真审题，获取信息学生画图，教师巡视、点拨。师引导，点拨，生先独立思考，再小组讨论交流。生展示思路，师补充。一生板演，同学之间交流，检查，师巡视点拨 为以下的学习做好知识、方法上的准备引入课题为下一步利用信息进行分析打基础培养学生动手能力这是本例难点，分三步完成画图，第一步，确定“远航”号航线（东北）。第二步，通过学生对“海天号”航线的思考，让学生大致确定“海天”号的航线，培养学生估算能力。第三步，学生大致画出“海天”号航线及所处的位置。 “海天”号有两种可能航线。学生小组交流，培养他们发现问题的能力，加深问题的理解。
尝试 应用 师备题（可事先写在小黑板上） 1、 一个零件的形状如下图示，AB=3，AD=4，BC=12，CD=13,且角DAB=90°，（单位：cm）,你能求出它的面积吗？⑴、学生审题，并把相关数据标在图上。⑵、你以前会求那些图形的面积？⑶、对于不规则的图形，你会用什么方法求面积？⑷由已知出发，你能得到什么结论？ 这个问题主要让学生主要让学生通过观察∠A=90°，去发现；若连接BP，就会得到直角三角形，就可利用勾股定理求出BP；再利用勾股定理得逆定理，求出∠DBC=90 ，（如下图）从而确定出本题求面积的策略，连接BD，说明△DBC也是一个直角三角形，所以S=S+S，⑸你能求出这个四边形的面积了吗？找一名学生板演。⑹师生共同点评与小结。2、已知在△ABC中，a、b、c为三角形的三边长且a=m-n,b=2mn,c=m+n，试判断该三角形的形状 学生按要求做，试着从中获取信息。生回答。师点拨。学生小组交流，展示思路；师引导。学生板演，师巡视、指导。师生点评。生独立思考，后小组交流，展示思路，师点拨。 加深学生对于勾股定理及其逆定理的综合应用和理解。培养学生数学语言、图形语言的转化能力⑵、⑶两句，旨在让学生明白不规则图形求面积可用的“割”、“补”法。师规范过程。归纳收获的能力。综合完全平方公式，加强对勾股定理逆定理的训练。
巩固提高 1、如图示，正方形ABCD，点E为边DC的中点，BF=3FC，试求∠AEF的度数。 生思考，交流，让一位学生板演，师规范、点拨。 让学生作辅助线，构造三角形，再利用勾股定理的逆定理判断该三角形的形状，从而求出角的度数。
体验收获 通过这节课的学习，你有什么收获？ 学生归纳总结，教师补充升华。 培养学生归纳总结的能力。
作业布置 必做题：课本76页18.2第五题选做题：已知：如图示，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，AB=BC=4，CD=5，求梯形ABCD的面积。
第18章 勾股定理复习
学 校 主备人 时间
设计理念 通过回顾练习进一步复习巩固勾股定理及逆定理的基础知识；然后通过综合应用培养学生的实际应用能力并对知识点的综合应用进行完善整合归纳。然后对学生经常出现的问题进一步矫正补偿。本节重在对学生知识的实际应用及无理数等的画图。
教学目标 知识技能：掌握直角三角形的边角之间分别存在着的关系，熟练运用直角三角形的勾股定理及逆定理解决实际问题。过程方法：经历反思复习勾股定理的过程，体会勾股定理的内涵，理解和领会勾股定理及逆定理的应用。情感态度价值观：培养学生数形结合、化归的数学思想，体会勾股定理的应用价值。进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发爱国主义思想，培养良好的学习态度．
重 点 掌握勾股定理以及逆定理的应用．
难 点 应用勾股定理以及逆定理．
方 法 合作交流、体验探索 课 型 新 授 课
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
知识 回顾 回顾练习：1.已知直角三角形ABC中, (1)若AC=12,BC=9,则AB=______(2)若AB=13,BC=5,则AC=_______2、有四个三角形： （1）△ABC的三边之比为3：4：5； （2）△A′B′C′的三边之比为5：12：13； （3）△A′B′C′的三个内角之比为1：2：3； （4）△CDE的三个内角之比为1：1：2． 其中是直角三角形的有（ ）． A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3）（4）3、写出五组勾股数________________________4、已知直角三角形ABC中,∠ACB=90°,(1)若AC=8,AB=10,则 S= ____. (2) 若S=30,且BC=5,则AB=_____(3)若 S=24,且BC=6,则AB边上的高为_____5、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小明头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小明头顶5000米，问：飞机飞行了多少千米？ 反思归纳：勾股定理：________________________。勾股定理的逆定理：________________________勾股数：________________________。互逆命题：________________________；互逆定理：________________________。 学生独立完成回顾练习中的1~5 题学生小组讨论1~5 题的结论和解题思路。学生以小组为单位展示完成效果，并板演第五题。学生进一步反思归纳勾股定理及逆定理、勾股数、互逆命题、互逆定理并总结（1）直角三角形的边存在着什么关系？（2）．直角三角形的角存在着什么关系？ （3）．直角三角形还有哪些性质？（4）．如何判断一个三角形是直角三角形？ 由1~5题的回顾练习进一步复习巩固直角三角形中的基础知识：勾股定理和逆定理、勾股数等，以及简单的实际应用。学生通过反思归纳进一步培养学生的综合归纳能力、语言表达能力。
二、综合 应用 1、甲、乙两位探险者在沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6千米／时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米／时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙两人相距多远？2、一个零件的形状如右图，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，DB=5，DC=12，BC=13，请你判断这个零件符合要求吗？为什么？ 3、如图沿AE折叠矩形，点D恰好落在 BC边上的点F处，已知AB =8cm，BC = 10cm，求EC的长. 4、如图，公路MN和小路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所学校，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100m内受噪音影响，那么拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶时，学校是否受到噪音的影响？如果学校受到影响，那么受影响将持续多长时间？ 5．【聚焦“中考”】如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？ 学生独立完成综合应用中的1~2题并口述解题思路、解题过程及所应用的知识点。学生尝试应用勾股定理及列方程的知识解决折叠问题。（1）分析解题思路，标出每条线段的长度（可以用x表示）。（2）应用勾股定理找出等量关系，列出方程。 学生小组讨论第4题的解题思路。（1）如何画辅助线？（即点A到直线MN的最短距离）（2）思考：如何找到开始受影响与受影响结束的点？学生小组讨论后展示并归纳。学生尝试解决第5题聚焦中考。独立思考解决。小组合作交流。师生互动归纳总结。 学生通过1~3题的简单应用进一步培养学生应用勾股定理及逆定理的知识解决实际问题的能力通过第4题的解决让学生学会分析问题、解决问题。培养学生分界点的分析、找法。 通过聚焦“中考”让学生了解中考、认识中考，体会中考题也不是想象中的可怕，从而提升了学生的自信心。
三、矫正 补偿 1、下列不是一组勾股数的是（ ）A、5、12、13 B、 4、5、 C、12、16、20 D、 7、24、25 2.下面可以作为直角三角形的边长的有（ ）组
(1) 9, 12, 15 (2) 12,35,36 (3) 15,36 39 (4) 12, 18,32 (5) 5,12,13 (6) 7,24 ,25
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3、若有两条线段分别为3，4，第三条线段为________时，才能组成一个直角三角形。4、 已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为多少？已知：圆柱的底面半径为6cm，高为10cm，蚂蚁从A点爬到B点的最短路线是多少厘米？（结果保留小数点后1位） 学生解决矫正补偿1~5题。自主研究、独立完成。组内交流、合作共赢。成果展示、完善整合变式训练、延伸拓展。如：第5题中的圆柱改为正方体、长方体又会如何？ 通过矫正补偿中的1~5题的练习进一步加深对勾股定理及逆定理的理解与应用。通过第4题的解决进一步加深对折叠问题的解决。通过第5题的变式训练、延伸拓展，进一步培养学生的发散思维以及图形的转换能力。
四、完善 整合 知识结构： 思想方法：数形结合、转化类比、由一般到特殊及由特殊到一般等。2、你还有那些收获？你还有什么困惑？ 学生通过对本章的复习与对左边的表格的填写总结：你的收获、你的不足、你的困惑。总结出本章我们学到了什么思想方法。 通过完善整合培养学生的总结归纳能力，进一步让学生学会学习、学会总结。
五、实践 延伸 1、必做题：P80 6,72、选做题：P81 8,9
A
B
C
D
c
c
c
c
a
b
b
b
b
a
a
a
144
A
81
B
400
625
┓
┕
A
B
C
A
B
C
7
25
6
12
┘
┓
┓
┌
A
B
C
D
E
a
b
c
b
a
c
A
C
B
A
B
C
10
6
8
15
2
30°
30°
2
D
A
1cm
C
2cm
B
C
D
C
B
A
A
B
1cm
2cm
1cm
2cm
┏
50dm
A
C
B
D
A
O
B
D
C
O
O
24
9
40
21
60
21
B
C
A
A
400
┓
B
D
C
60°
30°
c
a
b
B
C
A
b
a
c
C
B
A
A
┓
C
B
b
c
a
A
6
5
3
E
F
C
B
D
A
D
F
C
B
A
D1
C
C
C
C
D
D
D
B
A
A
A
B
A
B
A
B
A
C
B
A
B
A
5cm
13cm
A
C
B
a
b
c
1
1
x
1
1
1
1
x
y
z
A
C
B
D
4
12
13
3
5
B
12
13
D
┗
3
C
4
A
B
A
D
C
P
R
Q
海天号
远航号
P
Q 远航号
P 海天号
A
B
C
D
A
B
C
D
A
D
B
…..
C
E
F
A
B
C
D
A
B
F
C
D
E
P
M
N
Q
A
C
B
A
B
E
F
D
C
直角三角形
勾股定理
应用
判定直角三角形的一种方法
PAGE
28
学校 主备人 时间
设计理念 注重让学生观察、猜想、探索、发现的过程，让学生经历知识的形成过程；感受与发现数学规律并应用规律来解决实际问题。通过合作交流培养学生的合作意识。
教学目标 知识技能：体验勾股定理的探索过程，发展合理推理能力，体会数形结合思想和从特殊到一般的思想。思维方法：体验数学思维的严谨性，发展形象思维，通过合作探究培养学生合作精神。情感态度：通过对勾股定理历史的了解感受数学文化，激发学生学习兴趣及爱国主义精神。
重点 探索与证明勾股定理。
难点 拼图、面积法证明勾股定理。
方法 活动、猜想、探索式教学法。 课型 新 授 课
教学过程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
一、情境 引入 相传2500年前，毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家的地砖中反映了直角三角形三边的某种数量关系。我们也来观察一下，你有什么发现？ 师出示图形，学生观察图形猜想你的发现.(注：由三角形面积关系猜想直角三角形三边关系) 通过传说故事激发学生的学习兴趣，使学生在不知不觉中进入学习的最佳状态。同时也激发学生主动参与的能力。
二、实验 观察 1.观察：下面图形，你能发现还有上面的结论吗？2.画图验证：（1）画Rt△ABC使∠C=90°，AC=3，BC=4，通过测量AB=＿＿。（2）画Rt△ABC使∠C=90°，AC=5，BC=12，通过测量AB=＿＿。 学生观察左边两个图形中P、Q、R三个正方形的面积间有何关系？并猜想出直角三角形三边关系。学生动手画图（1）、（2）并测量出AB的长进一步验证上面结论的正确性。 渗透从特殊到一般的数学思想，发挥学生的主题作用；培养学生的类比、迁移能力及探索问题能力，使学生在互相欣赏、争辩、互助中得到提高。让学生积极参与，并从交流中获益。
三、探究 说理 赵爽弦图：拼图法：面积法：∵S=ab4+(a-b) S=c∴ab4+(a-b) =c∴a+b=c 教师出示赵爽弦图并解释“朱实”、“黄实”所表示的意义。说明它还是2002年北京国际数学大会会徽。学生思考：如何用它来证明勾股定理？学生尝试用拼图的办法来证明勾股定理。学生合作尝试用面积法证明勾股定理，并交流展示各小组的成果。 通过展示，激发学生强烈的民族自豪感。通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，建立初步的空间观念，发展形象思维。通过拼图活动，使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中的数形结合思想。通过探究活动，激发学生探究新知的欲望。给学生充分的时间和空间讨论、交流，鼓励学生敢于发表自己的见解，感受合作的重要性。
四、尝试 应用 1、求下图中字母A、B所代表的正方形面积。分析：（1）由勾股定理的推导原理我们可以知道以直角三角形的三边为边向外作的三个正方形面积有何关系？（2）引申：以直角三角形的三边为边向外作半圆呢？作等边三角形呢？2、求出下图中直角三角形未知边的长度。分析：（1）格式如何书写？ （2）引申：如何求斜边上的高？ 学生独立思考并解决1、2两个问题，并相互交流、补充。观察发现：在解决问题的时候，还要用到哪些知识？（数的开方）学生小组讨论：（1）以直角三角形的三边为边向外作半圆呢？作等边三角形呢？（2）如何求直角三角形斜边上的高？ 体会勾股定理的意义、数形结合思想和它与其它知识之间的联系。进一步练习巩固了数的开方的有关运算。培养学生的一题多变能力、分析归纳能力和转化思想
五、归纳 小结 1、你学到了什么数学知识、思想？2、你了解勾股定理的发现和验证方法吗？3、你还有什么困惑？ 学生归纳总结，各小组补充，教师升华。 培养学生的归纳概括能力，渗透数学思想方法。
六、补偿 提高 用下图（1）证明勾股定理： 图（1）2、如图（2），所有四边形是正方形，所有三角形是直角三角形。其中最大的正方形边长是7cm，正方形A、B、C的面积分别是12cm、5 cm、13 cm求正方形D的面积。 图（2） 让学生用不同的方法，从不同的角度证明勾股定理。（面积法）学生独立完成问题2，并小组讨论还有什么变式？（小组间展开竞赛看哪一个小组找的多而精） 培养学生的发散思维。让学生在遇到问题时要从多角度、多方位的探究问题。 通过问题2的解决，进一步培养学生的发散思维和转化能力。
七、实践 延伸 必做题：1、P69 习题18.1中1 2、预习下一课《勾股定理的简单应用》选做题：1、P70 习题18.1中 7 2、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，图中有阴影的三个半圆的面积有什么关系？ 引申：如图，Rt△ABC的面积为20cm,在AB的同侧，分别以AB,BC,AC为直径作三个半圆，求阴影部分的面积。（用上题的结论解决）
18.1勾股定理（2）
学校 主备人 时 间
设计理念 注重使学生通过运用勾股定理对一系列富有层次性、探究性的问题解释与应用，培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻的认识数学的本质，数学来源于生活，并服务于生活，给学生足够时间讨论交流，使“不同的学生在数学上得到不同的发展”。要重点关注学生探究精神以及交流合作的意识。
教学目标 知识与技能：1、能用自己的语言叙述勾股定理的内容。2、能运用勾股定理解决简单的实际问题。过程与方法：通过实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，初步掌握转化和数形结合的思想方法让学生真正体会数学来源于生活，有应用于生活，增强如何在日常生活中用数学知识解决问题的经验与感受。情感态度与价值观：在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯，初步形成积极参与数学活动的意识。
重点 运用勾股定理解决简单的实际问题。
难点 勾股定理在实际生活中的应用。
方法 体验、探究式教学 课 型 新授课
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
一、自主探究 1、问题与情景：探究一：求出下列直角三角形中未知的边。 ①在解决上述问题时，每个直角三角形须知晓几个条件？②直角三角形中那条边最长？（2）、在长方形ABCD中，宽AB为1cm。长BC为2cm，求AC的长。思考：在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？2、自主学习：探究二：（1）一个门框的尺寸如图1所示。①若薄木板长3米， 若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框中通过？② 若薄木板长3米，宽1.5米呢？③ 若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？ 图1 有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长（结果保留整数）？如图2，一个长3米的梯子AB，斜着靠在竖直的墙OA上，这时AO的距离为2.5米，求梯子的底端B距墙角O多少米？如果梯子的顶端沿墙角下滑0.5米至C，请同学们猜一猜，底端也右滑0.5米吗？算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）。 图2归纳：在Rt△中已知两边用勾股定理即可求出第三边。 教师提出问题后让四位学生演排，剩下的学生在课堂作业本上完成。问题(2)学生分组讨论，自己解决；教师巡视指导答疑在活动中教师应重点关注：（1）学生能否正确应用勾股定理进行计算；（2）在解决直角三角形的问题时，需知到直角三角形的两个条件且至少有一个条件是边；（3）让学生了解在直角三角形中斜边最长；（4）在解决（2）时能否将一个长方形转化为两个全等的直角三角形。问题（1）学生探究一的结果可得出判断：AB＜BC＜AC。问题（2）中学生分组讨论，易回答①、②。在解决前两个问题的基础上，教师着重引导学生将③的实际问题转化为数学模型，计算并回答：∵木板的宽2.2米大于1米∴横着不能从门框内通过；∵木板的宽2.2米大于2米，∴竖着也不能从门框内通过。∴只能试试斜着能否通过，对角线AC的长度最大，因此，从中抽出数学模型直角三角形ABC，并求出斜边AC=√5≈2.236﹥2.2，所以木板能从门框内通过。教师和学生一起完成问题（3）教师提出问题（4），引导学生将实际问题转化为数学模型； 学生合作交流，讨论回答：（1）在Rt△AOB中OB2=AB2–OA2，OB≈1.658.（2）的①由学生分组讨论做出猜想。②要求梯子的底端B是否也外移0.5米，就是求出BD的长，而BD=OD-OB，由（1）可知OB，只需再求出OD即可。在Rt△COD中，OD2 =CD2 –OC2 OD≈2.236OB=OD-OB≈0.58梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，梯子的底端B外移0.58米。 教师利用学生已有的知识（勾股定理及直角三角形的相关知识）创设问题情境，有针对性的引导学生进行练习，为学习勾股定理在实际生活中的应用做好铺垫。通过问题（1）让学生熟悉直角三角形中斜边和直角边的大小关系，为解决问题（2）奠定基础。问题（2）是本节的重点和难点，为了让学生能有效的突破难点，本节分别为它们设计了一到两个简单的由已有的知识和生活经验易于解答的小问题作台阶，顺利解决如何将实际问题转化为求直角三角形边长的问题，培养学生的数学应用意识。通过运用勾股定理对实际问题的解释和应用，培养学生从身边的事物抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻的认识数学的本质；数学来源于生活，并能服务于生活。
二、尝试应用 1、如图3，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的一点，测得CB=60m，AC=20m,。你能求出A、B两点的距离吗（结果保留整数）？ 2、变式：以1题为背景，请同学们再设计其他方案构造直角三角形（或其他几何图形），测量池塘的长AB。3、如图4，大风将一根木质旗杆吹裂，随时都可能倒下，十分危急。接警后“119“迅速赶到现场，并决定从断裂处将旗杆折断。现在需要划出一个安全警域，那么你能确定这个安全区域的半径至少是多少？ . 问题1学生板演，其余学生在课堂练习本上独立完成。问题2和问题3将全班学生分成四人小组，给足时间分别进行讨论、交流；教师参与学生活动，并适当的给予指导。三角形全等的几种情况；直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半。 设计第1题的变式，满足不同层次学生的学习需求，拓展学生的思维空间，让学生联想与直角三角形或全等三角形相关的知识，使所学的知识得到进一步的深化。
三、成果展示 对自己说你有什么收获？对老师说你有什么疑惑？对同学说你有什么建议？ 让学生充分讨论交流自由发言等形式，使学生掌握归纳的方法。教师引导进行感悟深化。 通过小结，为学生创造交流心得的空间，关注学生对课整体感受，在轻松愉快的气氛中体会收获的喜悦。
四、补偿提高 长方形零件尺寸如图（单位：mm），求两孔的距离（精确到0.1mm）。.有一水塘，水面是边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，他高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这个谁的深度与这跟芦苇的长度分别是多少？ 学生独立思考并解决问题，全班交流并互相补充。 体会如何将实际问题转化为求直角三角形边长的问题，培养学生的数学应用意
五、实践延伸 必做题：P70 3,5选做题：P71 10补充：如图，点A是一个半径为400m的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B,C两个村庄，现要在B,C两村庄之间修一条长为1000m的笔直公路将两村连通，经测得∠B=60°,∠C=30°,问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算说明。
18.1勾股定理（3）
学 校 主备人 时间
设计理念 通过对勾股定理的实际问题应用，让学生经历阅读分析---合作交流---归纳整合的实际问题解决策略。学会从理论知识知识到实际生活的迁移、转化培养学生的交流协作能力、实践能力和创造能力，增强学生的应用意识。
教学目标 知识目标：（1）能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题； （2）通过例题的分析与解决，让学生感受勾股定理在实际生活中的应用。能力目标：在勾股定理的建模过程中，强化转化思想，培养学生解决实际问题的意识和应用能力。情感目标：在数学学习过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心，树立科学的价值观。
重 点 运用勾股定理解决实际问题．
难 点 勾股定理的灵活应用．
方 法 合作交流、体验探索 课 型 新 授 课
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
一、情境设置引入新课 （1）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1, ①∠A=30°,b=＿＿,c=＿＿. ②∠A=45°,b=＿＿,c=＿＿。结论：①Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=30°则a:b:c=＿＿＿＿＿; ②Rt△ABC中，∠C=90°, ∠A=45°则a:b:c=＿＿＿＿＿.(2)如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m,宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你计算一下最少费用是多少？ 学生独立完成左边的两题。小组讨论：你能得到什么结论。进一步尝试利用勾股定理解决实际问题，为下面的进一步学习打下基础。 让学生经历适时反馈、主动构建自己知识经验的过程。为下面台阶中的最值问题打下基础。
二、动手实践探索归纳 活动一、利用勾股定理求最值问题：1、如图，三级台阶中每一级的长、宽、高分别为5cm、3cm、1cm，A点有一只蚂蚁想到B点吃可口的食物，求沿台阶面爬行的最短路线。 2、如图，有一个高为12cm，底面半径为3cm的圆柱，有一只蚂蚁从A点到B点吃可口的食物，求沿表面爬行的最短路线。 方案1 ： 方案2 ：变式一：把上面的圆柱变为边长为10cm的正方体呢？变式二：把上面的圆柱变为长3cm，宽2cm，高1cm的长方体呢？活动二：利用勾股定理求折叠问题。折叠三角形问题：△ABC中，AB=AC=13,BC=10,将AB向AC方向对折，再将CD折叠到CA边上，折痕CE,求△ACE的面积。 折叠四边形问题：矩形ABCD如图折叠，使D落在BC边上的点F处，AB=8,BC=10,求折痕AE的长。 学生小组讨论并展示成果。思考：象这种问题应该如何解决？（化立体图形为平面图形）学生小组讨论问题2的解决方案。并思考：你有几种方案？那一种方案路线最短？学生动手尝试利用上面的方法画出变式一中正方形所有可能的展开方法及路线，并讨论那一种是最短路线。学生再动手尝试利用上面的方法画出变式二中长方形所有可能的展开方法及路线，并讨论那一种是最短路线。学生尝试利用一元一次方程及勾股定理的知识解决问题1与问题2，小组讨论分析展示讨论成果归纳总结出折叠问题的解决方法及策略。 让学生初步体验化立体图形为平面图形的解决问题的方法。让学生从多方位、多角度的分析、讨论问题，探索最优方案问题。通过两个变式的画图、讨论、探究，体验勾股定理在求几何图形中的最值问题的方法。通过勾股定理与列方程在折叠问题中的综合应用培养学生综合应用知识点解决问题的能力。
三、尝试应用 感悟深化 有一圆柱底面半径为3cm，高为12cm，一只蚂蚁从距底面1cm的A爬行到对角B处吃食物，求最短路线是多少？ 矩形ABCD中，AB=6,BC=8,先对折，折痕为EF，展开后再沿BG折叠，使A落在EF上的A，求第二次折痕BG的长。 学生利用以上学到的知识独立完成例1并板演过程、讲解思路。学生尝试解决例2并板演过程、讲解思路。（在此过程中让学生以组为单位展开竞赛，看谁做的又快又好。） 通过例1的解决进一步巩固用勾股定理求最值问题。通过例2的解决进一步巩固用勾股定理解决折叠问题的方法。进一步培养学生的竞争意识、合情推理能力。
四、小结梳理内化新知 知识方面：利用勾股定理求最值问题。利用勾股定理求折叠问题。能力方面：转化能力、实际应用能力。思想方面： 数学的建模思想；用联系的观点分析问题、解决问题的思想方法。 学生从知识、能力、思想方面谈一谈自己的收获和不足。老师根据学生的总结和实际掌握情况加以归纳总结与引申。 让学生学会归纳总结，从而增强知识的内化。
五、补偿提高 巩固新知 如图，长方体中AC=3,CD=5,DF=6,求蚂蚁沿表面从A爬到F的最短距离。 2、边长为8和4的矩形OABC的两边分别在平面直角坐标系的X轴和Y轴上，沿AC折叠B落在B处。求（1）△ADC的面积；（2）点B的坐标；（3）A B所在直线的解析式。 学生独立完成补偿提高中的1、2两题。（1）学生讲解解题思路。（2）学生板演解题过程（3）师生共同归纳总结。 通过变形、转化培养学生的发散思维；通过多个知识点的综合应用培养学生的综合应用能力。
六、作业布置 实践延伸 1、必做题：P78 7,8,92、选做题：P78 10【中考连接】△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，则a2+b2=c2．若△ABC不是直角三角形，如图2和如图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论． 图1 图2 图3
18.1 勾股定理（4）
学校 主备人 时间
设计理念 本节学习利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点，象。经历在数轴上寻找表示无理数的点的过程，发展灵活运用勾股定理解决问题的能力．
教学目标 知识与技能1．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点．2．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．过程与方法1．经历在数轴上寻找表示无理数的点的过程，发展灵活运用勾股定理解决问题的能力．2．在用勾股定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展动手操作能力和创新精神．3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．情感态度与价值观1．在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中，体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．2．在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．
重点 在数轴上寻找表示这样的表示无理数的点．
难点 利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段．
方法 启发引导、合作探究 课型 新 授 课
教学过程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
一、情境引入 1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 符号语言： ∵Rt△ABC中∠C=90°∴a+b=c2、实数 数轴上的点 说出下列数轴上各字母所表示的实数：点A表示 ；点B表示 ；点C表示 ；点D表示 。 学生口述勾股定理的内容，并用符号语言描述。学生思考：有理数与数轴上的点有什么关系？那么实数呢？学生尝试写出左边图形中A、B、C、D对应的数。思考：你能在数轴上标出象等的无理数吗？ 进一步加强巩固勾股定理的理解。进一步培养学生树立数形结合的思想。
二、自主探究 1、思考：图1中的x等于多少？ 图2中的x、y、z等于多少？ 图1 图22、利用上面知识探究：在数轴上画出表示的点。 步骤：1、在数轴上找到点A，使OA=1； 2、作直线l⊥OA于点A，在l上取一点B，使AB=1； 3、以原点O为圆心，以OB为半径作弧，与数轴交于C点，则C点即表示的点。分析：（1）你能画出斜边为的直角三角形吗？你能画出斜边为的直角三角形吗？ （2）问题：①根据勾股定理，还可以作出长为无理数线段，你能做出哪些长为无理数的线段呢 ②欣赏下图，你会得到什么启示 （3）由上图我们就可以在数轴上画出的任意无理数线段，如下图： 学生小组交流讨论教师可指导学生寻找象这样的包含在直角三角形中的线段．学生尝试写出画的点的一般步骤。学生小组讨论总结：画出象这样的点的一般步骤。合作猜想并验证：、的描点。利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。学生分组活动，交流讨论．教师参与于学生的小组活动中去．本活动教师应重点关注：①能否将无理数转化为某个直角三角形的斜边长．②能否积极参与，欣赏数学美．用上述方法找到了长度为的线段，因此在数轴上便可以表示出来．教学时可以先画出之后，再画，画法不唯一。 利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。学生通过画无理数的线段，学会积极参与、合作学习；学会欣赏数学中的美．通过对左边图形的讲解进一步巩固勾股定理在作无理数的点时的应用。
三、尝试应用 例1、你能画出斜边为的直角三角形吗？步骤：1．在数轴上找到点A，使OA=3；2．作直线l垂直于OA，在l上取一点B，使AB=2；3．以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示的点． 学生尝试独立完成例1。动手画图。尝试书写画图步骤小组讨论：你们还有什么启示？你还有其它画的点办法吗？ 进一步巩固在数袖上找表示无理数的点的方法，熟悉勾股定理的应用． 培养学生的语言表达能力。
四、补偿提高 1、在数轴上画表示、、、3的点。分析：（1）（）=1+2；（2）（）=1+4；（3）（）=3+3；（4）（）=2+4。┅┅┅┅┅2、变式训练：在数轴上画出表示的点。 小组讨论：在数轴上画出表示的点。利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。 通过对、2、的描点进一步培养学生的数形结合思想。
五、小结归纳 1、你对本节内容有哪些认识 会利用勾股定理得到一些无理数并理解数轴上的点与实数的一一对应关系。2、你学到了那些数学思想方法：⑴数形结合，正确标图，将条件反应到图形中，充分利用图形的功能和性质。⑵分类讨论，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力。⑶作辅助线，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力。⑷优化训练，在不同条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度。 学生口述：收获：不足：困惑：学生回答：你学到了那些数学思想方法？ 学生通过合作交流，归纳出知识、能力、方法，增强学生的归纳能力、语言表达能力。
六、作业布置 1、必做题：P70 6、92、选做题：在数轴上画出-1,1-的点。
18.2勾股定理的逆定理（1）
学 校 主备人 时间
设计理念 通过情境的创设，引导学生观察－－猜想－－验证－－操作应用。让学生经历知识结构建立和完善的过程。增强学生的应用意识，激发学生的求知欲望和学习热情。
教学目标 知识目标：（1）理解并会证明勾股定理的逆定理； （2）会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形； （3）知道什么叫勾股数，记住一些常见的勾股数.能力目标：（1）通过勾股定理与其逆定理的比较，提高学生的辨析能力； （2）通过勾股定理及以前的知识联合起来综合运用，提高综合运用知识的能力.情感目标：（1）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受； （2）对Rt△判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神．
重 点 勾股定理的逆定理及其应用．
难 点 勾股定理的逆定理的证明．
方 法 “互动式”教学模式及“类比”的教学方法 课 型 新 授 课
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
一、情境设置 引入新课 1、回顾复习：计算：在Rt△ABC中∠C=90°（1）a=3,b=4,则c=＿＿(2) a=5,b=12,则c=＿＿勾股定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿2、情境引入：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。提问：你知道哪个角是直角吗？在其它结点钉木桩，还能得到类似的结果吗？这其中包含了什么数学道理？ 学生独立完成左边的计算题，并口述勾股定理的内容。学生阅读左边的问题情境，在体验古埃及人的聪明智慧的同时，思考：为什么这样做的三角形就是直角三角形？激起学生的学习兴趣。使学生急切想知道为什么会这样？ 通过做题复习上节课的知识，并进一步巩固勾股定理。同时通过让学生直观的接受问题情境，并在其中自觉的进行数学思考，引导学生从实际问题中发现数学。体会数学应用，激发学习兴趣。
二、动手实践 检验推测 1、动手操作：学生动手用尺规画△ABC，使 （1）a=6,b=8,c=10 (2) a=5,b=12,c=13测量出∠C的值。观察，你有什么发现？2、猜想：如果三角形的三边满足＿＿＿＿＿＿，那么此三角形就是直角三角形。3、尝试再代入几组值试一试？（要满足a+b=c如2.5,6,6.5或4,7.5,8.5） 学生分组活动，动手操作体验观察、猜想。教师参与学生的活动并指导学生完成任务，并注意学生的参与意识和动手能力；关注数形结合思想及归纳能力的培养 通过动手实践，培养了学生的动手能力。充分体现了知识的形成过程：问题猜想验证归纳。既锻炼了学生的实践观察能力，又渗透了人文和探究精神。
三、探索归纳 证明推测 1、证明推测：已知：在△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b,且a+b=c求证：△ABC是直角三角形2、归纳： 如果三角形的三边长a、b、c有下面的关系：a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形。3、思考：（1）上面的定理与勾股定理有什么关系？（2）所有的命题都有逆命题吗？所有的定理都有逆定理吗？试举例说明。 师生共同参与讨论、分析，并写出证明过程。（1）引导学生构造全等三角形（即画Rt△ABC,使∠C=90°，A C=b，BC=a）（2）引导学生用SSS证明△ABC≌△ABC由数形结合的意识和由特殊到一般的数学思想方法，让学生归纳出勾股定理的逆定理。小组讨论：所有的命题都有逆命题吗？所有的定理都有逆定理吗？试举例说明。 变“命题+证明=定理”的推理模式为定理的发生、发展、形成的探究过程，把“构造直角三角形”这一方法的获取过程交给学生，让他们在不断尝试、探究的过程中，亲身体验参与发现的愉悦，有效的突破本节的重点。
四、尝试应用 熟悉定理 例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：a=17,b=8,c=15;a=13,b=14,c=15.分析：（1）在判断时是否是用两个短边的平方和与长边的平方进行比较的？（2）解题过程是否规范？思考：什么是勾股数？尝试再举出一些例子。 学生独立判断思路，部分学生板演，展示成果。学生对出现的问题讨论如何注意错误问题的出现。合作交流：何为勾股数？ 用实例进一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理及其简单应用。了解勾股数的概念。
五、类比模仿 巩固新知 1、在△ABC中，满足下列条件但不是直角三角形的是（ ）A.∠A=∠B-∠C; B.∠A:∠B:∠C=1:3:4; C.a:b:c=1::3；D.a+b=c。2、如果△ABC三边满足a= b- c 则△ABC是＿＿＿＿＿形，＿＿是斜边。3、如图， 一个四边形零件，AC=3,BC=4,AB=5,AD=12，BD=13.AC与BC,AD与AB各有什么位置关系？求四边形ABCD的面积。 学生独立完成第1题和第2 题，并在5分钟后竞答。口述原因与结果，不足的其他同学补充完善。（注意第2题中斜边的判断）学生小组讨论第3题并找各小组同学代表分析解题思路。然后找2名学生板演解题过程。教师巡视及时了解学生的掌握情况。对出现的问题有针对性的讲解。 培养学生独立思考，分析问题、解决问题的能力和小组交流、合作共赢的互助学习能力。及时反馈教学效果，查漏补缺。对学有困难的学生给予鼓励和帮助。
六、小结梳理 内化新知 1、知识：（1）、命题与逆命题，定理与逆定理。（2）、勾股定理的逆定理的证明、应用。（3）、勾股数。2、能力：如何构造直角三角形让其与已知三角形全等的证明方法。3、方法：由特殊到一般的数学思想方法。 学生谈一谈你对本节课的收获、不足和困惑。教师补充升华。 让学生学会总结归纳，养成系统整理知识的习惯。加强反思，提高学习效果。
七、作业布置 实践延伸 1、必做题：P76 1,22、选做题：P76 4 （1）古希腊的柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m,b=m-1,c= m+1,那么a,b,c为勾股数。你认为对吗？为什么？那么若k为正整数，3k,4k,5k为勾股数吗？为什么？
18.2勾股定理的逆定理（2）
学 校 主备人 时间
设计理念 通过勾股定理及逆定理的复习，进一步巩固定理的内容；引导学生应用其解决简单的实际问题，增强学生的应用意识，激发学生的求知欲望和学习热情。
教学目标 知识目标：（1）进一步巩固勾股定理及逆定理的内容。 （2）会应用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题。能力目标：（1）通过对实际问题转化为数学问题，培养学生的数学建模思想。 （2）通过勾股定理及以前的知识联合起来综合运用，提高综合运用知识的能力.情感目标：（1）对Rt△判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神． （2）增强学生学好数学、用好数学的信心和勇气。
重 点 勾股定理及逆定理的简单应用．
难 点 勾股定理及逆定理的简单应用。
方 法 “互动式”教学模式及“类比”的教学方法 课 型 新 授 课
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
一、知识回顾 1、勾股定理：直角三角形的两直角边为a,b斜边为c，则有a+b=c.2、逆定理：三角形的三边a,b,c满足a+b=c，则这个三角形是直角三角形；较大边c所对的角是直角。3、如果一个三角形的三边a,b,c满足a+c=b,那么这个三角形是＿＿＿三角形，其中b边是＿＿＿边，b边所对的角是＿＿＿角。 学生竞答勾股定理及逆定理的内容，并找学生补充。学生再进一步思考问题3，小组讨论，并展示成果。（其他小组补充完善） 在巩固勾股定理及逆定理的主要内容的同时，让学生明白c不一定就代表斜边，事实上斜边有可能是a,b,c,中的任何一个，要根据实际情况而定。
二、自主探究 1、三角形的三边长a,b,c满足（a+b）=c+2ab,则这个三角形是（ ）。A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形2、长度分别为3,4,5,12,13的五根木棒能拼成直角三角形的个数为（ ）。A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3、△ABC中，∠A.∠B.∠C.的对边分别是a.b.c,且c+a=2b,c-a=b,则△ABC的形状是（ ）.A.直角三角形 B.等边三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 学生分组活动，动手计算、猜想并验证。教师参与学生的活动并指导学生完成任务，并注意学生的参与意识和动手能力；注重对学生的思维意识的指导。 由问题的提出、猜想、验证、归纳，进一步体验勾股定理及逆定理的应用。培养学生的思维意识。指导学生去观察、去思考、去归纳。
三、尝试应用 1、已知：a.b.c为△ABC的三边，且满足ac-bc=a-b,试判断△ABC的形状。解：∵ac-bc=a-b （1）∴c(a-b)=(a+b)(a-b) (2)∴c=a+b (3)∴△ABC是直角三角形问：（1）上述解题过程，从那一步开始出现错误？请写出该步的代号＿＿＿。（2）错误原因是＿＿＿＿＿＿＿＿。（3）本题正确的结论是＿＿＿＿＿。2、有一块菜地形状如下，试求它的面积。 学生首先独立阅读问题1，并思考解题思路（即错在哪里？）。小组讨论错误原因在哪？为什么？本题正确的结论是什么？最后让学生尝试写出正确的解题过程。学生尝试独立思考问题2，并尝试写出解题过程。让学生展示自己的成果。（通过上台讲解的办法） 通过对错误的解题过程的展示、讨论，进一步加深对错误原因的认识，使其记忆深刻。 通过对不规则四边形面积的求法，进一步体验勾股定理及逆定理在实际生活中的应用是多么的重要。
四、练习巩固 1、已知三角形的三边长为9,12,15，则这个三角形的最大角是＿＿＿＿度。变式：△ABC的三边长为9,40,41，则△ABC的面积为＿＿＿＿。2、三角形的三边长为8,15,17，那么最短边上的高为＿＿＿＿。变式：若在△ABC中，有AB=5,BC=12,AC=13,则AC边上的高为＿＿＿＿。3、在Rt△ABC中，斜边AB=1,则AB+BC+CA=＿＿＿＿.变式：在Rt△ABC中，∠C=90°,CD是高，AB=1,则2CD+AD+BD=＿＿＿. 学生独立判断思路，部分学生板演。学生讨论并展示成果。学生对出现的问题讨论如何注意错误问题的出现。合作交流归纳：勾股定理及逆定理在求高、面积等时的一般规律。 通过对勾股定理及逆定理的简单应用进一步培养学生的实际应用能力。 通过变式训练培养学生的发散思维能力和转化思想。
五、小结梳理 1、知识：（1）、勾股定理及逆定理的进一步理解。（2）、勾股定理及逆定理的简单应用。2、能力、方法：培养学生的分类讨论思想、转化能力。 学生谈一谈你对本节课的收获、不足和困惑。（从知识、能力方法上）教师补充升华。 让学生学会总结归纳，养成系统整理知识的习惯。加强反思，提高学习效果。
六、补偿提高 1、等腰△ABC中，若AB=AC=10,BC=6则△ABC的面积为＿＿＿＿。2、三角形ABC的三边长a，b，c，满足a+b+c+338=10a+24b+26c,此三角形为＿＿＿＿三角形。 学生独立思考完成左边两题。学生交流合作，并展示成果。师生共同归纳出其一般规律。 通过进一步的延伸与拓展，培养学生的合作意识、发散思维能力。
七、 实践延伸 1、必做题：P80 42、选做题：P80 6 补充：（1）已知a,b,c为△ABC的三边，且满足a+b+c+50=6a+8b+10c,据此判断△ABC的形状。（2）若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是＿＿＿。 （3）工人师傅想要检测一扇小门两边AB,CD是否垂直于底边BC，但他只带了一把卷尺，你能替工人师傅想办法完成任务吗？
18.2 勾股定理的逆定理(3)
学校 主备人 时间
设计理念 体现勾股定理及其逆定理的综合利用，让学生运用这两个定理时，能加以区分，提升学生应用数学的能力；注重学生之间的交流，反思，让学生在交流中受益，提高。
教学目标 知识与技能：1、进一步理解勾股定理的逆定理 2、会用勾股定理及其逆定理解决实际问题。过程与方法：1、培养学生解决实际问题的能力，提高数学应用的意识 2、在解决问题的过程中，培养学生与他人交流、合作的意识情感态度与价值观：通过小组合作交流，养成主动探究的学习习惯，体会定理与逆定关系。
重点 例1的教学
难点 例1中“海天”号轮船航线的估计，补充对例题的解题思路的寻找
方法 体验、探索式教学法 课型 新授课
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
自主探究 1、复习提问⑴我们已经学习了勾股定理及其逆定理，你能叙述吗？⑵你能用勾股定理及其逆定理解决那些问题？2、自主学习（1）、艘轮船以每小时16海里的速度离开港口O向东南方向航行，另一艘轮船同时同地以每小时12海里的速度向东南方向航行，它们离开港口两小时分别到达A、B两地，求A、B两地的距离。 北 东北 B O 东 A 东南（2）、例题教学 例2（课本第75页）①学生读题，理解题意，弄清已知条件和需解决的问题②你能根据题意画出相关图形吗？（学生若画的好，教师可以直接用；否则教师再画） Q（远航号） P（港口）假设港口为P,以P为中心画出方位角示意图，可以得到远航号的航线为PQ（东北方向），假设1.5小时后，远航号所处位置为Q。“海天号”大概会朝哪个方向航行？会向西南方向航行吗？ 在学生对上述问题思考后画出“海天” 号的大致航线（如下图）③把实际问题转化为数学问题，分析已知条件，寻求解决问题的策略。 在上图中，连接RP，就会得到三角形PQR，已知RQ=30海里，可以求出PQ与PR的长，利用勾股定理的逆定理可以求出角RPQ为直角，从而求出航线。④学生尝试解题。⑤同学之间交流、检查。 巩固已学知识学生先独立思考，然后小组交流学生认真审题，获取信息学生画图，教师巡视、点拨。师引导，点拨，生先独立思考，再小组讨论交流。生展示思路，师补充。一生板演，同学之间交流，检查，师巡视点拨 为以下的学习做好知识、方法上的准备引入课题为下一步利用信息进行分析打基础培养学生动手能力这是本例难点，分三步完成画图，第一步，确定“远航”号航线（东北）。第二步，通过学生对“海天号”航线的思考，让学生大致确定“海天”号的航线，培养学生估算能力。第三步，学生大致画出“海天”号航线及所处的位置。 “海天”号有两种可能航线。学生小组交流，培养他们发现问题的能力，加深问题的理解。
尝试 应用 师备题（可事先写在小黑板上） 1、 一个零件的形状如下图示，AB=3，AD=4，BC=12，CD=13,且角DAB=90°，（单位：cm）,你能求出它的面积吗？⑴、学生审题，并把相关数据标在图上。⑵、你以前会求那些图形的面积？⑶、对于不规则的图形，你会用什么方法求面积？⑷由已知出发，你能得到什么结论？ 这个问题主要让学生主要让学生通过观察∠A=90°，去发现；若连接BP，就会得到直角三角形，就可利用勾股定理求出BP；再利用勾股定理得逆定理，求出∠DBC=90 ，（如下图）从而确定出本题求面积的策略，连接BD，说明△DBC也是一个直角三角形，所以S=S+S，⑸你能求出这个四边形的面积了吗？找一名学生板演。⑹师生共同点评与小结。2、已知在△ABC中，a、b、c为三角形的三边长且a=m-n,b=2mn,c=m+n，试判断该三角形的形状 学生按要求做，试着从中获取信息。生回答。师点拨。学生小组交流，展示思路；师引导。学生板演，师巡视、指导。师生点评。生独立思考，后小组交流，展示思路，师点拨。 加深学生对于勾股定理及其逆定理的综合应用和理解。培养学生数学语言、图形语言的转化能力⑵、⑶两句，旨在让学生明白不规则图形求面积可用的“割”、“补”法。师规范过程。归纳收获的能力。综合完全平方公式，加强对勾股定理逆定理的训练。
巩固提高 1、如图示，正方形ABCD，点E为边DC的中点，BF=3FC，试求∠AEF的度数。 生思考，交流，让一位学生板演，师规范、点拨。 让学生作辅助线，构造三角形，再利用勾股定理的逆定理判断该三角形的形状，从而求出角的度数。
体验收获 通过这节课的学习，你有什么收获？ 学生归纳总结，教师补充升华。 培养学生归纳总结的能力。
作业布置 必做题：课本76页18.2第五题选做题：已知：如图示，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，AB=BC=4，CD=5，求梯形ABCD的面积。
第18章 勾股定理复习
学 校 主备人 时间
设计理念 通过回顾练习进一步复习巩固勾股定理及逆定理的基础知识；然后通过综合应用培养学生的实际应用能力并对知识点的综合应用进行完善整合归纳。然后对学生经常出现的问题进一步矫正补偿。本节重在对学生知识的实际应用及无理数等的画图。
教学目标 知识技能：掌握直角三角形的边角之间分别存在着的关系，熟练运用直角三角形的勾股定理及逆定理解决实际问题。过程方法：经历反思复习勾股定理的过程，体会勾股定理的内涵，理解和领会勾股定理及逆定理的应用。情感态度价值观：培养学生数形结合、化归的数学思想，体会勾股定理的应用价值。进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发爱国主义思想，培养良好的学习态度．
重 点 掌握勾股定理以及逆定理的应用．
难 点 应用勾股定理以及逆定理．
方 法 合作交流、体验探索 课 型 新 授 课
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
知识 回顾 回顾练习：1.已知直角三角形ABC中, (1)若AC=12,BC=9,则AB=______(2)若AB=13,BC=5,则AC=_______2、有四个三角形： （1）△ABC的三边之比为3：4：5； （2）△A′B′C′的三边之比为5：12：13； （3）△A′B′C′的三个内角之比为1：2：3； （4）△CDE的三个内角之比为1：1：2． 其中是直角三角形的有（ ）． A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3）（4）3、写出五组勾股数________________________4、已知直角三角形ABC中,∠ACB=90°,(1)若AC=8,AB=10,则 S= ____. (2) 若S=30,且BC=5,则AB=_____(3)若 S=24,且BC=6,则AB边上的高为_____5、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小明头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小明头顶5000米，问：飞机飞行了多少千米？ 反思归纳：勾股定理：________________________。勾股定理的逆定理：________________________勾股数：________________________。互逆命题：________________________；互逆定理：________________________。 学生独立完成回顾练习中的1~5 题学生小组讨论1~5 题的结论和解题思路。学生以小组为单位展示完成效果，并板演第五题。学生进一步反思归纳勾股定理及逆定理、勾股数、互逆命题、互逆定理并总结（1）直角三角形的边存在着什么关系？（2）．直角三角形的角存在着什么关系？ （3）．直角三角形还有哪些性质？（4）．如何判断一个三角形是直角三角形？ 由1~5题的回顾练习进一步复习巩固直角三角形中的基础知识：勾股定理和逆定理、勾股数等，以及简单的实际应用。学生通过反思归纳进一步培养学生的综合归纳能力、语言表达能力。
二、综合 应用 1、甲、乙两位探险者在沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6千米／时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米／时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙两人相距多远？2、一个零件的形状如右图，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，DB=5，DC=12，BC=13，请你判断这个零件符合要求吗？为什么？ 3、如图沿AE折叠矩形，点D恰好落在 BC边上的点F处，已知AB =8cm，BC = 10cm，求EC的长. 4、如图，公路MN和小路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所学校，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100m内受噪音影响，那么拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶时，学校是否受到噪音的影响？如果学校受到影响，那么受影响将持续多长时间？ 5．【聚焦“中考”】如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？ 学生独立完成综合应用中的1~2题并口述解题思路、解题过程及所应用的知识点。学生尝试应用勾股定理及列方程的知识解决折叠问题。（1）分析解题思路，标出每条线段的长度（可以用x表示）。（2）应用勾股定理找出等量关系，列出方程。 学生小组讨论第4题的解题思路。（1）如何画辅助线？（即点A到直线MN的最短距离）（2）思考：如何找到开始受影响与受影响结束的点？学生小组讨论后展示并归纳。学生尝试解决第5题聚焦中考。独立思考解决。小组合作交流。师生互动归纳总结。 学生通过1~3题的简单应用进一步培养学生应用勾股定理及逆定理的知识解决实际问题的能力通过第4题的解决让学生学会分析问题、解决问题。培养学生分界点的分析、找法。 通过聚焦“中考”让学生了解中考、认识中考，体会中考题也不是想象中的可怕，从而提升了学生的自信心。
三、矫正 补偿 1、下列不是一组勾股数的是（ ）A、5、12、13 B、 4、5、 C、12、16、20 D、 7、24、25 2.下面可以作为直角三角形的边长的有（ ）组
(1) 9, 12, 15 (2) 12,35,36 (3) 15,36 39 (4) 12, 18,32 (5) 5,12,13 (6) 7,24 ,25
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3、若有两条线段分别为3，4，第三条线段为________时，才能组成一个直角三角形。4、 已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为多少？已知：圆柱的底面半径为6cm，高为10cm，蚂蚁从A点爬到B点的最短路线是多少厘米？（结果保留小数点后1位） 学生解决矫正补偿1~5题。自主研究、独立完成。组内交流、合作共赢。成果展示、完善整合变式训练、延伸拓展。如：第5题中的圆柱改为正方体、长方体又会如何？ 通过矫正补偿中的1~5题的练习进一步加深对勾股定理及逆定理的理解与应用。通过第4题的解决进一步加深对折叠问题的解决。通过第5题的变式训练、延伸拓展，进一步培养学生的发散思维以及图形的转换能力。
四、完善 整合 知识结构： 思想方法：数形结合、转化类比、由一般到特殊及由特殊到一般等。2、你还有那些收获？你还有什么困惑？ 学生通过对本章的复习与对左边的表格的填写总结：你的收获、你的不足、你的困惑。总结出本章我们学到了什么思想方法。 通过完善整合培养学生的总结归纳能力，进一步让学生学会学习、学会总结。
五、实践 延伸 1、必做题：P80 6,72、选做题：P81 8,9
A
B
C
D
c
c
c
c
a
b
b
b
b
a
a
a
144
A
81
B
400
625
┓
┕
A
B
C
A
B
C
7
25
6
12
┘
┓
┓
┌
A
B
C
D
E
a
b
c
b
a
c
A
C
B
A
B
C
10
6
8
15
2
30°
30°
2
D
A
1cm
C
2cm
B
C
D
C
B
A
A
B
1cm
2cm
1cm
2cm
┏
50dm
A
C
B
D
A
O
B
D
C
O
O
24
9
40
21
60
21
B
C
A
A
400
┓
B
D
C
60°
30°
c
a
b
B
C
A
b
a
c
C
B
A
A
┓
C
B
b
c
a
A
6
5
3
E
F
C
B
D
A
D
F
C
B
A
D1
C
C
C
C
D
D
D
B
A
A
A
B
A
B
A
B
A
C
B
A
B
A
5cm
13cm
A
C
B
a
b
c
1
1
x
1
1
1
1
x
y
z
A
C
B
D
4
12
13
3
5
B
12
13
D
┗
3
C
4
A
B
A
D
C
P
R
Q
海天号
远航号
P
Q 远航号
P 海天号
A
B
C
D
A
B
C
D
A
D
B
…..
C
E
F
A
B
C
D
A
B
F
C
D
E
P
M
N
Q
A
C
B
A
B
E
F
D
C
直角三角形
勾股定理
应用
判定直角三角形的一种方法
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