点画有规矩，笔墨写人生
——中考试题中的画图工具
赣州市文清实验学校 赖大吉
教学任务分析
教
学
目
标
知识技能
掌握身边常见的以直尺、三角板、量角器等画图工具为载体的操作型试题的解决方法.
数学思考
经历数学建模的过程，提升分析问题、解决问题的能力．
解决问题
运用数形结合思想、转化思想和数学建模思想解决问题．提升思维品质，形成数学素养．
情感态度
通过本节知识的复习，体会转化思想和数形结合思想和数学建模思想在解决数学问题中的广泛应用，深刻理解用数学方法解决实际问题的重要性和必要性．
重 点
灵活运用知识解决问题．
难 点
从实物中提炼图形，将实际问题数学化，将抽象问题具体化．
教学方法
实验操作、发现问题、合作交流、探究归纳．
教学手段
多媒体辅助教学、教具及动手操作．
教学过程设计
问 题 与 情 境
师生行为
设计意图
[导课]
同学们，你们平时画图要使用什么工具？（直尺、三角板、量角器）直尺、三角板、量角器是我们学习数学的好伙伴．在近几年的中考数学试题中，也越来越多的出现了它们的身影，今天这节课就让我们一起走入中考试题中的画图工具．
1.引入课题.
开宗明义，直奔课题，激发学生学习的欲望.
[活动一：一块三角板]
1.（2010湖北荆州）一根直线EF压在三角板30°的角∠BAC上，与两边AC，AB交于M、N.那么∠CME+∠BNF是( )．
A．150° B．180° C．135° D．不能确定
1.师先在黑板上画一条直线，再把三角板放在直线上，用实物展示三角板与线的关系.
2.用多媒体课件出示图形，学生思考、交流、回答.
3.师点拨：三角板其实就是三角形模型．
通过实物操作，使探究的问题形象化、具体化，培养学生的形象思维．
问 题 与 情 境
师生行为
设计意图
[活动2：一副三角板]
2.（2010河南省）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 ．
3.（2010年吉林省）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝14cm，则阴影部分的面积是________cm2．
1.学生用三角板摆出第2题的图形，思考、交流、回答.
2.学生用三角板摆出第3题的图形，思考、交流、回答.
3. 师点拨：不要忽视了三角板中隐含的角的度数的条件．
通过直观实物操作，使探究的问题形象化、具体化，使学生亲身参与数学研究的过程，体会数学研究的乐趣，进一步培养学生的形象思维能力．
[活动三：两块相同的三角板]
4.（2010年赤峰市）两块完全相同的三角板Ⅰ(△ABC)和Ⅱ(△A1B1C1)如图①放置在同一平面上(∠C＝∠C1＝90o，∠ABC＝∠A1B1C1＝60o)，斜边重合．若三角板Ⅱ不动，三角板Ⅰ在三角板Ⅱ所在的平面上向右滑动，图②是滑动过程中的一个位置．
(1)在图②中，连接BC1、B1C，求证：△A1BC1≌△AB1C．
(2)三角板Ⅰ滑到什么位置(点B1落在AB边的什么位置)时，四边形BCB1C1是菱形？说明理由．
1.用多媒体课件出示图形.
2.学生思考、交流、回答.第4题第（2）小题鼓励多种方法.
3.师点拨：两个完全相同的三角板放在一起运动，虽然图形位置变化了，但是它们所具备的条件，如角度、边与边的关系等没有改变．
培养学生的推理认证能力．
[活动四：三角板与直尺]
5.（2010年宁德市）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=35°，那么∠2是_ _°．
1.用多媒体课件出示图形.
2.学生思考、交流、回答.
3.师点拨：直尺两边可以看成是两条平行线模型．
体会直尺是平行线的模型．
问 题 与 情 境
师生行为
设计意图
[活动五：直尺与量角器]
6.（2010年长春市）如图，将一个两边带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆交于点D、E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，求直尺的宽．
1.用多媒体课件出示图形.
2.学生思考、交流、回答.
3.师点拨：量角器可以看成是圆的模型．
体会量角器是圆的模型．
[活动六:三角板与量角器]
7.（2010年兰州市）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为( )．
A．15 B．28 C．29 D．34
1.用多媒体课件出示图形.
2.学生思考、交流、回答.
3.师点拨：量角器可以看成是圆的模型．
从直观操作的角度发现问题，进一步培养学生的抽象思维．
[活动七：综合运用]
8.(2005年南京市)如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t (s)，当t =0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8cm．当t为何值时，△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？
1.用多媒体课件出示图形.
2.学生小组讨论、交流、回答.
3.第8题解析，有4种情况：（1）半⊙O所在圆与AC相切,即E与C重合；（2）半⊙O所在圆与AB相切,即O与C重合；（3）半⊙O所在圆与AC相切,即D与C重合；（4）点O运动到B点的右侧，半⊙O所在圆与AB所在直线相切.
让学生综合运用知识解决问题．巩固量角器就是圆的模型和三角板是三角形模型，培养学生的合作意识和应用意识，达到学以致用的目的.
问 题 与 情 境
师生行为
设计意图
[活动八：小结]
1.本节课你运用了什么数学思想方法解决问题？
2.面对即将到来的中考你有什么感想？
1．学生反思学习的过程，教师认真聆听学生的认识和感受，再次回到实物，体会数学建模思想和数学的工具性、美感．
1．点出本节课的主旨：解决中考试题中的画图工具问题其实就是进行几何建模．
2.升华点题：点画有规矩，笔墨写人生．让学生树立考好中考的信心．
[布置作业]
1.（2010四川内江）将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠AFC的度数为（ ）.
A．45° B．50° C．60° D．75°
2.（2010新疆维吾尔自治区新疆建设兵团）如图是一个量角器和一个含角的直角三角形放置在一起的示意图，其中点在半圆的直径的延长线上，切半圆于点，且
（1）求证：；
（2）当时，若以为顶点的三角形与相似，求的长.
课外巩固本节课的数学知识及思想方法．
深化、提高，使课堂学习得到延伸．
[板书设计]
中考试题中的画图工具
工具 图形（模型）
三角板 特殊的三角形
直尺两边 平行线
量角器 圆
教学设计说明
数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的一种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．
初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想和数学建模思想等．本专题专门复习数学建模思想．所谓数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段，即使用数学语言描述的事物就称为数学模型．直尺、三角板、量角器是我们数学学习中常用的熟悉的画图工具，近年来各省市中考试题中大量出现了以直尺、三角板、量角器为载体的操作型试题，解决这类问题的关键在于恰当地建立几何模型．
课件49张PPT。 决胜2011年中考
——探索性数学问题赣州市教科所·教研室 林望春
linwangchun@163.com 习惯上，我们可以按照命题者对解答者的要求将数学问题分为两大类：一类是已知和结论都有确定要求的题型，简称封闭性问题；另一类是已知与结论两者中至少有一个没有确定要求的题型，我们把这类问题称为开放探索性问题．
因此，初中数学中的“探索性”问题的特征是：命题中缺少一定的题设或没有给出明确的结论，或解题思路及过程没有确定的形式和方向；解题时需要经过大胆地猜想、推断、补充与归纳，并加以计算或证明． 探索性数学问题 探索是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，在数学中则更为普遍． 探索性数学问题在近几年的中考中频频出现；常出现的有四大类型：规律探索型、条件探索型、结论探索型、存在探索型等；江西中考试卷中多以一至两个填空、选择题和一个中等以上的解答题出现，分值约有6~14分；要求考生对问题进行观察、分析、比较、概括，达到发现规律，或得出结论，或寻求使结论成立的条件，或探索数学对象存在可能性与结果的目的． 命 题 趋 势 探索性问题的解答必须利用题设进行分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索出不明确的结论；或由结论去探索未给予的条件；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的数学规律．解题策略 以下课案就近几年的中考试题，列举几例加以说明：目的是对各种探索性的问题进行归纳、整合，帮助老师和同学们提高对探索性数学问题的分析、思考及解答能力． 【题组讲解】
一、基础练习
【实现目标】
认识各类探索型试题的基本特征与形式，初步掌握解决各类不同目标的探索性问题的方法． 1、规律探索型
规律探索型问题是根据已知条件或所提供的若干个特例，通过观察、类比、归纳，揭示和发现题目所蕴含的数学本质、规律与特征的一类探索性问题．
解题策略是：常常利用特殊值（包含特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律． 简析：观察预判每一个点 的坐标为:
可以递推得点 的坐标 ；
因而点P2010的坐标是 ． 变式：题2（2010·广东肇庆）、观察下列单项式：
－a，2a2，－4a3，8a4，－16a5，…，按照此规律，第n个单项式是 (n是正整数) ． 简析：这一列单项式，观察每一序列号下单项式的符号、系数、字母的次数；符号满足奇数序号项为正、偶数序号项为负；系数的绝对值成2的自然数幂；字母a的次数成正整数幂递增；因而设定n为正整数，则答案为: ． 简析：图1的三角数，从第二个开始，有这样的规律：
1=1，3=1+2, 6=1+2+3，… ，第n个三角数是:
；图2 中的正方形数从第二个开始，有这样的规律：
第m个正方形数时， ；比较A、B、C、D四个数，仅有25、1225是正方形数（m分别等于5、35），检验25不是三角形数（n无整数解），而1225又是三角形数（此时n=35）；故1225既是正方形数、又是三角形数；选择D． 【变式意图】
变式试题T2 、T3与T4不仅要考虑数与字母的变化特征，而且还要观察数的排列规律，同时又要考虑图形的特征表象；需要从纵横两个方面、数形结合相互关联地比较、观察、猜想、推理，获取与形成对每一个问题自身的数学本质与规律的认识，再进行严格地推理、验证． 【方法提炼】
在解决这类一般性规律的探索问题时，特别注意：（1）通常写成竖式或单列形式进行对比、分析；（2）注重纵横联系与数形结合；（3）关注序列号与数据之间的联系． 2、条件探索型
条件探索型问题是指在给定明确的结论而未给出确定的条件，需要采取证明、推断去探索发现，并补充与完善使结论成立的一个或一些条件．
解题策略是：从所给出的结论出发，采用逆推的办法，猜想出合乎结论要求的一些条件，并进行逻辑推理证明，从而寻找出满足结论的条件． 简析：因为CF∥BE，所以
∠FCD﹦∠EBD．又因为∠FDC
=∠EDB，要证明△BDE≌△CDF，
只需要添加一组对应边相等即可． 答案：（1） 从BD＝CD(或点D是线段BC的中点)，BE＝CF，ＤE＝ＤF；三者中任选一个即可．
（2）以添加ＤE＝ＤF 为例，进行证明： ∵CF∥BE,
∴∠FCD﹦∠EBD．又∵ ∠FDC﹦∠EDB，
且添加ＤE＝ＤF； ∴△BDE≌△CDF． 简析：命题的结论很明显：
四边形ABCD欲成为等腰梯形；
现需探索补充使它成立的一个
条件（有可能不唯一）；可以
先观察与已知条件∠ABD＝∠ACD相关联的、一对可能
全等的三角形△ABD与△ACD，满足这种可能的添加条件有若干条；也可以从其他方面入手；可供添加的条件可以是以下的任选其一： 解答：∠DAC＝∠ADB，∠BAD＝∠CDA，∠DBC＝∠ACB，∠ABC＝∠DCB，OB＝OC，OA＝OD． 3、结论探索型
结论探索型问题是指仅给出某种情境而没有明确指出结论，需要解题者去探索符合条件的数学结论的一类试题；这类探索问题的设问，常以适合某种条件的结论“成立”、“不成立”、“是否成立”等语句加以表述，或直接问“有何结论”等．它与传统题的区别在于：探索问题的结论的过程往往也是解题过程．
解题策略：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，执因索果，顺向推理或联想类比、猜测等，获得所求结论（特别注意：解答的多样性和反思与证明）． 4、存在探索型
探索存在型问题：是指在一定的前提条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的一类问题；它往往以“是否存在”“是否有”“是否变化”等疑问句出现，以示结论成立与否有待判断．
解题策略是：通常对结论作出肯定存在的假设，再按题设条件进行推理、计算，若导出矛盾，则否定先前的假设；若推出合理的结论，则说明先前的假设成立． 解答：(1) 过点B作 ，垂足为D，
∵ ∴
又∵ ∴△ ≌△ ， ∴ = =1， = =2；∴点B的坐标为（-3，1）； （2）代入点B的坐标，抛物线的解析式还是可以求得的； （2）抛物线
经过点B(-3,1) ，
则得到 ，解得: ，
所以抛物线解析式为 ； （3）假设存在P1、P2两点，
使得△ACP是直角三角形：
①若以AC为直角边，点C为直角
顶点；则延长BC 至P1点，使得
P1 C=BC，得到等腰直角三角形
△ AC P1 ，利用△MP1 C≌△ DBC
可求得点P1（1，-1）；经检验：
点P1（1，-1）在抛物线上，使△ 等腰直角三角形；
②若以AC为直角边，点A为直角顶点；则过点A作 ,且使得 ,得到等腰直角三角形△ACP2 ,利用△AP2N
≌△CAO；可求得点P2（2，1）；经检验：点P2 （2，1）也在抛物线上，使得△ACP2也是等腰直角三角形． 第(3)是存在性探索问题: 假设这样的点 P 存在，思考过程中，考虑点P是否点B 关于直线AC 的轴对称点？考虑点P 是否是关于线段AC 中点的中心对称点？（或者将等腰直角三角板ABC物化， 把它沿直线AC的翻折或绕线段AC的中点旋转180°．）如此寻求到：求点P 的方法与思路． 二、能力提高
【实现目标】
掌握各类探索性问题入手解答的基本套路，能将较为复杂的问题各个击破，类比转化为较为熟悉或简单的问题；在解题的过程中注重数学思想方法的运用：如，①、研究几何的运动变化情境时， 常常借助代数变量的思想来表达变化中的几何量； ②、经常利用数形结合观点、方程函数辩证统一的思想构通代数与几何两大板块，最终达到数学本质意义的化归与统一； ③、用分类讨论的数学思想考虑问题的多变性与复杂性，减少失误； ④、通过善于观察数学对象的独立性、特殊性，猜想、归纳、抽象、概括出具有更加一般性的数学规律，并注意条件的不同带来的数学变化和转化．
经过这一阶段的学习、演练之后，学生思路可以更为灵活与开阔，解题也会变得更加深刻与严密，数学思维与能力将获得有效的提升． [提供解法二：第①问：以斜边AB上的中线CM（设点M是斜边AB的中点）为辅助线；同理第②问：以斜边AB上的高线CH（设点H是垂足）为辅助线．］ （点评：本题的第2问又是结论探索型问题，顺应条件的变化与不同，做出正确的解答即可．） 简析：本题是一道探索
结论的典型试题，并且符合
条件的点P有多种可能，需要
确定它的个数；为了探索本题
的方便，不妨设正六边形ABCDEF的边长为a，则依据三角函数知识可知对角线BD= ，对角线BE=2a ；
因而在点P沿直线AB从右向左移动过程中，
①当 时，此时的点 与正六边形ABCDEF
六个顶点中的点 、 构造成等腰 、 ； 【引入几何画板动画演示，验证结论！】 【方法提炼】
1、注意分类讨论时的不重不漏；2、利用了对称性的数学思想方法，使求解更简便;思考的过程中还可以通过平移方法来检验．3、将原试题进行了改编，适当增加了它的思考性与难度！ 三、挑战中考
【实现目标】
接触到中考型探索性数学问题，要做到认真审题、分类思考，具体问题具体分析，针对不同的题型：或特殊探路，或逆推分析，或用数学思想方法研究、分析、转化．同学们掌握了这些规律并在练习中不断领悟，提高综合解决问题的能力，形成自己的数学思维和能力．
同时培养并掌握一定的应试技巧与心理素质，相信同学们一定能在中考中取得优良的数学成绩. 题11（2010·四川乐山）、在△ABC中，D为BC的中点，O为AD的中点，直线l过点O.过A、B、C三点分别做直线l的垂线，垂足分别是G、E、F，设AG=h1，BE=h2，CF=h3.
（1）如图（11.1），当直线l⊥AD时（此时点G与点O重合）.求证：h2+h3= 2h1；
（2）将直线l绕点O旋转，使得l与AD不垂直.
①如图（11.2），当点B、C在直线l的同侧时，猜想（1）中的结论是否成立？请你说明理由；
②如图（11.3），当点B、C在直线l的异侧时，猜想h1、h2、h3满足什么关系.（只需写出关系，不要求说明理由） 简析：（1）当直线 l⊥AD时，本图满足直角梯形的中位线性质，易得结论 ；（2）将直线 l 绕点O旋转，使得l与AD不垂直. 此时的图形（11.2）依然通过辅助线、转化至（11.1），继续运用直角梯形的中位线性质，容易得结论： ；（3）抓住中点O不放，继续过点D作DH⊥l，垂足为H，依然有DH=AG= h1；又知点D是线段BC的中点，将直线 l 向上平移h3个单位，构建三角形中位线图形，可得： ，即得 ． 解答：（1）证明：∵BE⊥l，CF⊥l，
∴四边形BCFE是梯形. 又∵GD⊥l，D是BC的中点，
∴DG是梯形的中位线， ∴BE+CF=2DG.
又O为AD的中点，∴AG=DG，∴BE+CF=2AG.
即 .
（2）成立；证明如下：
过点D作DH⊥l，垂足为H，
∴∠AGO=∠DHO=Rt∠，
∠AOG=∠DOH，OA=OD，
∴△AGO≌△DHO，∴DH=AG.
又∵ BD=CD，由梯形的中位线性质，
得2 DH=BE+CF，即2 AG =BE+CF，
∴ 成立.
（3）猜想h1、h2、h3满足h1、h2、h3
满足关系： .【引入几何画板动画演示，验证结论！】 【解题反思】
第(3)问是在感悟了前两问的猜想与推理的前提下，作出的合情推理，考查着学生的数学直觉能力与发现、猜想能力；在此处猜想时，需要有直觉的感知：估算正确图形下线段的长短，再作出一种合乎逻辑的大胆猜测（为节约时间，试题不要求证明而已；在简析中实际上已作较为明了的解析）. 先理解静止状态下，原题与图形所表达的含义：点光源O，静止直立于地面的木杆AB在点光源O下的投影是影长AC；（此时由直立于地面的电线杆、木杆构成一个平面，以下的运动操作均在本平面内实施.） 简析：本题对“点光源下物体的
投影所形成的阴影”的知识与能力的
考查非常深刻，需要较好的空间想象力和运动变化的观点.【几何画板动画演示，验证结论！】 简析：观察图形，从∠B1所对的圆周得出特性：它是垂直于AD的n 条弦把圆周2n等分后，第一条圆弧又被二等分之后的弧所对的圆周角，因此∠B1= ;
验算第（1）问中的∠B1 （此时n=2）;
验算第（2）问中的∠B1 （此时n=3）;第（2）问中的∠B2用几何方法容易获得 45°；第（3）问，观察前后
图形，从∠Bn所对的圆周得出特性：(1)∠Bn与前面所求的通项中∠B1互余（几何特性）；（2）∠Bn所对的圆周是∠B1所对圆周加上（n -1）段被 2n 等分后的圆周的圆弧所对的圆周角，因此可计算得到： ;
或者是 或者 .
【答案】 (1)、22.5°，67.5°；(2)、15°，45°75°． 几何画板：动画移动⊙A的切线NPQ，请注意变化的数量与不变的数量！ 第(1)问是存在性探索题，通常
先假设“△CPQ是等边三角形”； 解答：（1）假设△CPQ为等边三角形时，一方面:
x=PQ=BQ=CQ=0.5，另一方面，连接AQ， ，
; 得出自相矛盾；∴证明△CPQ不能为等边三角形． 第(2)问是条件探索性问题，点P在何处时？ △CPQ周长最小；一般从特殊的临界点入手考虑！ 解（2）：△CPQ的周长=PQ+QC+CP
=BQ+QC+CP=BC+PC=1+PC；
∵PC≥AC-PA= (当点P落在点P0时)，
∴ △CPQ的周长≥1+ = ，
当点P落在AC与 的交点P0处时 ,△CPQ周长的最小值是 ． 由此引发了对第(3) 问：△CPQ形状的结论性探索；
环环相扣，变化自然天成！ 解(3)连结AC，交 于P0 ，则∠P0CQ=45°,∠CP0Q=90°, 有P0Q=BQ=P0C= ,且 , ；
① 当P在 上运动时，∵∠CP0Q=90°，
∴ 0°<∠CPQ<90°，此时△CPQ是锐角三角形， .
②当P与P0重合时， , 此时△CPQ是直角三角形．
③当P在 上运动时， , 此时△CPQ 是钝角三角形． 题15 (2010·江西)、如图，已知经过原点的抛物线
与 轴的另一交点为A，现将它向右平移m（m>0）个单位，所得抛物线与 轴交于C、D两点，与原抛物线交于点 P .
（1）求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状（不要求说理）；
（2）在 轴上是否存在两条相等的线段？若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由；
（3）设△PCD的面积为S，求S关于m的关系式. 几何画板：动画平移抛物线，观察两支抛物线的相交情况如何，请注意变化的数量与不变的数量！ 当m>2时，如图12-2，作 轴于H，设 .
∵A（2，0），C（ ，0），∴ ，
∴ . ∴ ；
把 代入 ，得 .
∵ ，∴ ．
另一种方法更简洁：采用 思路求解，注意排除m=2． 点评：本题通过抛物线的平移变换，设置成融代数与几何为一体的综合探索题；构思新颖，入手容易，逐步上升；尤其在第(3)问的探索中，较好地运用了数学的空间观念和综合分析能力，以及分类讨论、数形结合的数学思想方法；解题的关键在于用含m的代数式表示点 P 的坐标，涉及到坐标系中线段长度、三角形面积等数量的求法，实现了数量与图形的辩证统一，难度较大，具有明显的区分度． 总 结
数学探索性问题既包含着问题又包含着求解，是数学学科的典型问题；从以上课案可以看出，它的解题过程不具有确定方向，解题时总是需要合情合理、实事求是的分析，把归纳与演绎协调配合起来，把直觉发现与逻辑推理结合起来，把数学能力与心理素质同时发挥出来． 因此，通过探索性数学问题的求解活动，不仅可以促进数学知识和数学方法的巩固与掌握，而且更加有利于各方面能力的整体发展和思维品质的全面提高，有利于促进中学生主体精神、探究态度、科学方法、创新才能的培养，这正是当前在数学教学中积极引进探索性数学问题的意义，更具有正确的教学导向作用；
在数学中考试卷中，探索性问题，不仅出现频率高，而且题型不断丰富，更具有全面的检测效果，深受命题者的青睐. 几何画板技术支持：赣县教师进修学校 马跃进老师，特此鸣谢！欢迎批评指正！
个人工作邮箱：
linwangchun@163.com
QQ：1402859514
2011年3月24日把教研作为教师的一种生活方式 ——章建跃（人民教育出版社中数室） 本项活动(全国初中数学青年教师优秀课观摩与评比活动)在我国中学数学教育界具有很大影响力，已成为研究课堂教学问题，探讨课堂教学规律，提高课堂教学质量和效益，促进教师专业化发展的重要平台。 “重在参与，重在过程，重在交流，重在研究”的活动宗旨深入人心。我们欣喜地看到，本项活动在模式上不断创新，质量不断提高。所有这些都得益于大家的共同智慧和创造，得益于各会员单位在准备过程中不断加强和完善过程性、研究性，将活动宗旨具体化。 把教研作为教师的一种生活方式 ——章建跃（人民教育出版社中数室） 教师专业化发展是一个没有止境的过程，要求广大教师把教学研究作为自己的生活常态甚至是一种生活方式，这是为人师表需要的一种态度，也是教师应具备的一种职业精神。 做教研要有“默而识之，学而不厌，诲人不倦”的态度和精神：教研不是为了表演、作秀，要静下心来，心无旁骛，要默然领会在心，也就是要“默而识之”； 教研还要有“学而不厌”的精神，因为它不能让你升官发财，更多的是“枯燥乏味”，甚至费九牛二虎之力而难入其门，很多教师也因此而放弃，但这正是进步的开端，因此做教研要有“面壁十年”的准备。 把教研作为教师的一种生活方式 ——章建跃（人民教育出版社中数室） 当教师必须有“诲人不倦”的态度，当今的教育，受功利化社会环境的污染，已经忘记了自己“教书育人”的根本职责，家长、社会、行政部门以“教育GDP”（升学率）论英雄，这种社会氛围十分令人生厌。 数学教学也不能置身事外，教师为了分数而不得不让学生进行大量机械重复训练，而数学的育人本分（培养思维能力、发展理性精神）则被抛到九霄云外，这种没有思想、没有灵魂的教育已经“造就”了大批只会解题、不会读书的学生。 把教研作为教师的一种生活方式 ——章建跃（人民教育出版社中数室） 在这样的环境下，一个真正的数学教师，必须怀有一种菩萨心肠，无私地热爱学生；还要有普度众生的学识、精神、耐心、耐力，不厌其烦地把自己所掌握的数学知识和领悟到的思想、精神传递给学生。唯有坚持“诲人不倦”的精神，我们才能在尽教书育人职责的同时，实现自己的人生价值，找到人生的乐趣。 愿广大数学教师真心诚意地热爱教研，专心致志地研究教学，在教学过程中，随时随地思考，随时随地发现，随时随地实践，随时随地体验，随时随地领悟，随时随地反省。这是教研的真谛，也是教好书、做好人的真谛。决胜中考------探索性数学问题
赣州市教科所、教研室 林望春 341000
探索是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，在数学中则更为普遍．
习惯上，我们可以按照命题者对解答者的要求将数学问题分为两大类：一类是已知和结论都有确定要求的题型；另一类是已知与结论两者中至少有一个没有确定要求的题型；我们把后一类问题称为探索性问题．
因此，在初中数学中的“探索性”问题特征是：命题中缺少一定的题设或没有给出明确的结论，或解题思路及过程没有确定的形式和方法，解题时需要经过大胆地猜想、推断、补充，并加以计算或证明的这一类命题．
[命题趋势] 探索性数学问题在近几年的中考中频频出现；常出现的四大类型：规律探索型、条件探索型、结论探索型、存在探索型等；江西中考试卷中多以一至两个小题和一个中等以上问题出现，分值约有6~14分；要求考生对问题进行观察、分析、比较、概括；达到发现规律，或得出结论，或寻求使结论成立的条件，或探索数学对象存在可能性与结果的目的．
[解题策略] 探索性问题的解答必须利用题设进行分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索出不明确的结论；或由结论去探索未给予的条件；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的数学规律．
以下课案就近几年的中考试题，列举几例加以说明：目的是对各种探索性的问题进行归纳、整合，帮助老师与同学们提高对探索性数学问题的分析、思考及解答能力．
【题组讲解】
一、基础练习
【实现目标】：认识各类探索试题的基本特征与形式，初步掌握解决各类不同类型的探索问题的方法．
1、规律探索型
规律探索型问题是根据已知条件或所提供的若干个特例，通过观察、类比、归纳，揭示和发现题目所蕴含的数学本质、规律与特征的一类探索性问题．
解题策略是：常常利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．
题1（2010﹒四川攀枝花）、如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2010次，
依次得到点P,P,P…P．则点P的坐标是
．
简析：观察预判每一个点P,P,P…的坐标
是（1，），(3, )， (5, )，…，可以递推
得；因而P的坐标是(4019, )．
变式：题2（2010·广东肇庆，有改动）、观察下列单项式： －a， 2a2， －4a3， 8a4，
－16a5，…，按照此规律第n个单项式是 ______ (n是正整数) ．
简析：这一列单项式，观察每一序列号下单项式的符号、系数、字母的次数；符号满足奇数序号项为负、偶数序号项为正；系数的绝对值是成2的自然数幂；字母a的次数是成正整数列递增；因而设定n为正整数，则答案为．
变式：题3（2010·江苏盐城）、填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（ ）．
A．38 B．52
C．66 D．74
简析：观察这一系列正方形四方格
中数字后，得出：右上的数字与左下的数字的积减去左上数字所得的差，即m=10×8-6=74；更为一般的方法：建立
序列号1、2、3、…、n；则有以下对应
关系：左上方格的数字为2(n-1)，右上
的方格数字为2(n+1)；左下方格的数字
为2n，右下方格的数字是多少呢？
，
令n=4，代入即得；故选择D．
变式：题4（2010·山东日照）、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图；例如： 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，称其为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为
正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的
是（ ）．
A．15 B．25 C．55 D．1225
简析：图1的三角数，从第二个开始，有这样
的规律：1=1，3=1+2,6=1+2+3，…，第n个三角数
是；
图2 中的正方形数从第二个开始，有这样的规律：
第m个正方形数时，；比较A、B、C、D四个数，仅有25、1225是正方形数（m分别等于5、35），检验25不是三角形数（n无整数解），而1225又是三角形数（此时n=35）；故选择D．
【变式意图】：变式试题T2、T3和T4不仅是要考虑数与字母的变化特征，而且还要观察数的排列规律，同时又要考虑图形的特征表象；需要从纵横两个方面、数形结合相互关联地比较、观察、猜想、推理，获取与形成对每一个问题自身的数学本质、特征与规律的认识，再进行严格地推理、验证．
【方法提炼】：特别注意：（1）一般写成竖式或单列形式进行对比、分析；（2）注重纵横联系与数形结合；（3）关注自然数序列号与数据之间的联系．
2、条件探索型
条件探索型问题是指在给定明确的结论而未给出确定的条件，需要采取证明、推断去探索发现，并补充与完善使结论成立的条件的一类问题．
解题策略是：从所给出的结论出发，采用逆推的办法，猜想出合乎要求的一些条件，并进行逻辑推理证明，从而寻找出满足结论的条件．
题5（2010·浙江金华）、如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF (不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．
（1）你添加的条件是： ；
（2）证明：
简析：因为CF∥BE，所以∠FCD﹦∠EBD．
又因为∠FDC﹦∠EDB，要证明△BDE≌△CDF，
只需要添加一组对应边相等即可．
答案：（1）(或点D是线段BC的中点)，，中任选一个即可﹒
（2）以为例，进行证明：
∵CF∥BE， ∴∠FCD﹦∠EBD．又∵，∠FDC﹦∠EDB，∴△BDE≌△CDF．
变式：题6（2009·山东东营）、如图，在四边形ABCD中，已知AB与CD不平行，∠ABD＝∠DCA，请你添加一个条件： ，使得加上这个条件后能够推出：AD∥BC且AB＝CD．
简析：命题的结论很明显：四边形ABCD欲成为等腰梯形；
现需探索补充使它成立的一个条件（有可能不唯一）；可以先观
察与已知条件∠ABD＝∠ACD相关联的、一对可能全等的三角形
△ABD与△DCA，满足这种可能的添加条件有若干条；也可以从
其他方面入手；可供添加的条件可以是以下的任选其一：
解答：∠DAC＝∠ADB，∠BAD＝∠CDA，∠DBC＝∠ACB，
∠ABC＝∠DCB，OB＝OC，OA＝OD；（任选其一）．
若添加条件为：∠BAD＝∠CDA，可证明如下：
在△ABD与△DCA中，已知∠ABD＝∠DCA，且AD＝DA，∠BAD＝∠CDA，
所以△ABD≌△DCA，可得到：AB＝DC，BD＝CA，∠ADB＝∠DAC；进一步得到OA＝OD，从而OC＝OB；再得到∠ADB＝∠DAC＝∠ACB＝∠DBC；最终得到AD∥BC．
3、结论探索型
结论探索型问题是指仅给出某种情境而没有明确指出结论，需要解题者去探索符合条件的数学结论的一类试题；这类探索问题的设问常以适合某种条件的结论“成立”、“不成立”、“是否成立”等语句加以表述，或直接问“有何结论”等．它与传统题的区别在于：探索问题的结论的过程往往也是解题过程．
解题策略是：从剖析题意入手，充分捕捉题设的信息，执因索果，顺向推理或联想类比、猜测等，获得所求结论（特别注意解答的多样性与反思和证明）．
题7 (2009·甘肃定西)、抛物线的部分图象如图所示，请写出与其关系式、图象相关的两个正确结论： ，
．（直接采用已知数据的结论除外）
简析：已知的是二次函数的图像，结合图像可读出对称轴方程、
抛物线与x轴、y轴的交点坐标；通过计算推理可得到：
因而从关系式、图像两方面，可填的正确结论：①；②图像与x轴的另一个交点坐标（-3,0）；③解析式为④方程有两个根；⑤抛物线的顶点坐标（-1,4）；⑥该二次函数的最大值为4；⑦当时，y随着x的增大而减少；⑧若二次函数则有等等，任选两条均可．
4、探索存在型问题
探索存在型问题：是指在一定的前提条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的一类问题；它往往以“是否存在”“是否有”“是否变化”等疑问句出现，以示结论成立与否有待判断．
解题策略是：通常对结论作出肯定存在的假设，再按题设条件进行推理计算，若导出矛盾，则否定先前的假设，若推出合理的结论，则说明先前的假设成立．
题8：(2009·江西样卷)、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点A（0，2），点C（-1，0），如图；抛物线经过点B．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），
使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？
若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
简析：（1）借助全等三角形，容易求得点B的坐标；
（2）代入点A、点C、点B的坐标，抛物线的解析式还
是可以求得的；（3）满足条件的点P仍需要在抛物线上，
假设这样的点P存在，思考过程中，考虑点P是否是点B
关于直线AC的轴对称点？考虑点P是否是关于线段AC
中点的中心对称点？（或者将等腰直角三角板ABC物化，
把它沿直线AC的翻折或绕线段AC的中点旋转180°．）
如此寻求到：求点P的方法与思路．
解：(1) 过点B作，垂足为D，
∵
∴
又∵
∴△≌△， ∴==1，==2；
∴点B的坐标为（-3，1）；
（2）抛物线经过点B(-3,1)，则得到，
解得，所以抛物线解析式为；
（3）假设存在P、Q两点，使得△ACP是直角三角形：
①若以AC为直角边，点C为直角顶点；
则延长至点，使得，得到等腰直角三角形△，过点作,
∵1=，，；∴△≌△
∴==2, ∴==1, 可求得点P1（1，-1）；经检验点P1（1，-1）在抛物线上，使得△是等腰直角三角形；
②若以AC为直角边，点A为直角顶点；则过点A作,且使得,
得到等腰直角三角形△,过点P2作，同理可证△≌△；
∴==2, == 1, 可求得点（2，1）；经检验点（2，1）也在抛物线上，使得△也是等腰直角三角形．
（解法二：从中点坐标入手，点C是BP1的中点，由此可得点P1的坐标；四边形ABC P2是平行四边形，AC的中点Q也就是BP2的中点，由此可得点P2的坐标．）
二、能力提高
【实现目标】掌握各类探索性问题入手解答的基本套路，能将较为复杂的问题各个击破，类比转化为较为熟悉或简单的问题；在解题的过程中注重数学思想方法的运用；如：①、研究几何的运动变化情境时，常常借助代数变量的思想来表达变化中的几何量；②、经常利用数形结合观点、方程函数辩证统一的思想构通代数与几何两大板块，最终达到数学本质意义的化归与统一；③、用分类讨论的数学思想考虑问题的多变性与复杂性，减少失误；④、通过观察数学对象的独立性、特殊性，猜想、归纳、抽象、概括出具有更加一般性的数学规律，并注意条件的不同带来的数学变化和转化．
经过这一阶段的学习、演练之后，老师与同学们的思路会更为灵活与开阔，解题也会变得更加深刻与严密，数学思维与能力将获得有效的提升．
题9（2009·河南）、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B =60°，BC=2．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．
过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为．
(1)①当=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；
②当=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；
(2)当=90°时，判断四边形EDBC是否为菱形？并说明理由．
简析：第(1)问是典型的条件探索；在保证了CE∥AB的
前提下，则四边形EDBC一定可能是梯形（ED∥BC除外）；
问：逆推分析：当∠EDB=∠B =60°此时∠=30°，
四边形EDBC是等腰梯形，AD的长为1；
因为；
同理第②问：逆推分析：当∠EDB=90°时，此时∠=60°，
四边形EDBC是直角梯形，AD的长为1.5;
因为．
（2）当∠=90°时，四边形EDBC是菱形；
∵∠=∠ACB=90°，∴BC//ED；又∵CE//AB，∴四边形EDBC是平行四边形；
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2；∴∠A=30°，
∴AB=4，AC=；∴ AO==．
在Rt△AOD中，∠A=30°，∴AD=2．∴BD=2，∴BD=BC．
又∵四边形EDBC是平行四边形，∴四边形EDBC是菱形．
（提供解法二：第①问：以斜边AB上的中线CM（设点M是斜边AB的中点）为辅助线，逆推分析：当ED∥CM时，ED∥CM且ED=BC； 此时∠=30°，四边形EDBC是等腰梯形，AD的长为1；因为；同理第②问：以斜边AB上的高线CH（设点H是垂足）为辅助线，逆推分析：当ED∥CH时，此时∠=60°， 四边形EDBC是直角梯形，AD的长为1.5；因为．）
（点评：本题的第2问又是结论探索型问题,顺应条件的变化与不同，做出正确的解答即可．）
题10（2010·福建南平，有改动）、如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正六边形ABCDEF，点P沿直线AB从右向左移动，当出现：点P与正六边形六个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点P有( )．
A．9个 B．10个 C．11个 D．12个
简析：本题是一道探索结论的典型试题，并且符合
条件的点P有多种可能，需要确定它的个数；为了探索
本题的方便，不妨设正六边形ABCDEF的边长为
则依据三角函数知识可得对角线，对角线
；
因而在点P沿直线AB从右向左移动时：
①当时，此时的点与正六边形ABCDEF六个顶点中的点、构造成等腰、；
②当时，构造成等腰、；
③当时，构造成等边、和等腰；
④当时，构造成等腰、；
⑤当点与点B重合时，构造成等腰、、和等边；
⑥当位于线段的中点时，构造成等腰、；
同理根据对称性，可推测在线段的延长线上，还存在这样的五个点．
故选择答案C．
【引入几何画板动画演示，验证结论！】
【方法提炼】：
1、注意分类讨论时的不重不漏；2、利用了对称性的数学思想方法，使求解更简便，思考的过程中还可以通过平移方法来检验；3、将原试题进行了改编，适当增加了它的思考性与难度！
题11（2010·四川乐山）、在△ABC中，D为BC的中点，O为AD的中点，直线l过点O.过A、B、C三点分别做直线l的垂线，垂足分别是G、E、F，设AG=h1，BE=h2，CF=h3.
（1）如图（11.1），当直线l⊥AD时（此时点G与点O重合）.求证：h2+h3= 2h1；
（2）将直线l绕点O旋转，使得l与AD不垂直.
①如图（11.2），当点B、C在直线l的同侧时，猜想（1）中的结论是否成立？请你说明理由；
②如图（11.3），当点B、C在直线l的异侧时，猜想h1、h2、h3满足什么关系.（只需写出关系，不要求说明理由）
简析：（1）当直线l⊥AD时，本图满足直角梯形的中位线性质，易得结论；（2）将直线l绕点O旋转，使得l与AD不垂直.此时的图形（11.2）依然通过辅助线、转化至（11.1），继续运用直角梯形的中位线性质，容易得结论：；（3）抓住中点O不放，继续过点D作DH⊥l，垂足为H，依然有DH=AG= h1；又知点D是线段BC的中点，连结FD并延长交线段BE于F1，构建三角形中位线图形，可得：．
解答：（1）证明：∵BE⊥l， CF⊥l，∴四边形BCFE是梯形.
又∵GD⊥l，D是BC的中点，∴DG是梯形的中位线，
∴BE+CF=2DG.又O为AD的中点，∴AG=DG，∴BE+CF=2AG.即.
（2）成立.
证明：过点D作DH⊥l，垂足为H，
∴∠AGO=∠DHO=Rt∠，∠AOG=∠DOH，OA=OD，
∴△AGO≌△DHO，∴DH=AG.又∵D为BC的中点，由梯形的中位线性质，
得2 DH=BE+CF，即2 AG =BE+CF，∴成立.
（3）猜想h1、h2、h3满足h1、h2、h3满足关系：.
【引入几何画板动画演示，验证结论！】
【方法提炼】：
第(3)问是在感悟了前两问的猜想与推理的前提下,作出的合情推理；考查着学生的数学直觉能力与发现、猜想能力；此处猜想时，需要有直觉的感知：估算正确图形下的线段的长短，再作出一种合乎逻辑的大胆猜测（为节约时间，不要求证明而已）．
三、挑战中考
【实现目标】接触到中考型探索性数学问题，需要做到认真审题、分类思考，具体问题具体分析，针对不同的题型：或特殊探路，或逆推分析，或用数学思想方法研究、分析、转化．
老师和同学们掌握了这些规律，并在练习中不断领悟，提高综合解决问题的能力，形成自己的数学思维和能力；同时还需要培养并掌握一定的应试技巧与心理素质，相信同学们一定能在中考中取得理想的数学成绩.
题12：（2010江西）、如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆
绕A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB垂直于地面时的影长为AC（假定AC＞AB），影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论：①m＞AC；②m=AC；
③n=AB；④影子的长度先增大后减小．
其中，正确的结论的序号是 ．(多填或错填的得0分，少填的酌情给分)
简解：本题对“点光源下物体的投影所形成的阴影”的知识与能力的考查非常深刻，需要较好的空间想象力和运动变化的观点.
（1）先理解静止状态下，原题与图形所表达的含义：电光源O，静止直立于地面LH的木杆AB在点光源O下的投影是影长AC； （此时由直立于地面的电线杆、木杆构成一个平面，以下的运动操作均在本平面内实施.）
（2）按原题意：当木杆绕点A按逆时针方向
旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化：
木杆AB在旋转过程中将超出原投影光线OC而达到新的投影线OL，从而使得影长的最大值m=AL ，因此①m＞AC成立；继续旋转此木杆AB躺至地面AB1时，从而影长的最小值③n=AB
也成立（此时AB=AB1）；联想原题意的整个过程，显然④影子的长度先增大后减小也是成立的；
至此原题的解答为选填①、③、④．
拓展：将此题作变式深化理解与处理(条件是:木杆与灯杆有足够的距离)：将木杆绕点A按顺时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化的情况又如何呢？直立时木杆AB的投影是AC在木杆的左侧，按顺时针方向旋转时，首先影长逐渐减小，其中当木杆AB旋转至与OA 重合时影长缩小成点A，即影长为0；这是一个极其重要的临界状态，相当于点光源的正投影；继续顺时针旋转，影长由0逐渐变长，此时影子落在了木杆AB的右侧，其影长至最长时是当木杆躺至地面AB2，按原题假定方法，在木杆绕点A按顺时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化：有最大值m=AC，最小值n=0，从影长最大值AC逐渐变成影长最小值点A，影子落在木杆的左侧与底端A；然后逐渐地由最小值0变化至影长为AB2（AB2=AB），此阶段影子落在木杆的右侧．
题13（2009·浙江衢州）、如图，AD是⊙O的直径．
(1)如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是 ，
∠B2的度数是 ；
(2)如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求出∠B1，∠B2，
∠B3的度数；
(3)如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3 C3，…，BnCn把圆周2n等分，请你用含n
的代数式表示∠Bn的度数(只需直接写出答案)．
简析：观察图形，从∠B1所对的圆周得出特性：它是垂直于AD的n条弦把圆周2n等分后，第一条圆弧又被二等分之一后的弧所对的圆周角，因此∠B1=；验算第（1）问中的∠B1（此时n=2）；验算第（2）问中的∠B1=（此时n=3）；第（2）问中的∠B2用几何方法容易获得45°；第（3）问，观察前后图形，从∠Bn所对的圆周得出特性：(1)∠Bn与前面所求的通项中∠B1互余（几何特性）；（2）∠Bn所对的圆周是∠B1所对圆周加上（n-1）段被2n等分后的圆周的圆弧所对的圆周角，因此也可计算得到：
或者是或者
．
解答： (1)、22.5°，67.5°；(2)、15°，45°，75°．(3) ∠Bn．
(或)．
题14（2011·江西省样卷）、如图，边长为1的正方形ABCD中，以A为圆心，1为半径作，将一块直角三角板的直角顶点P放置在（不包括端点B、D）上滑动，一条直角边通过顶点A，另一条直角边与边BC相交于点Q，连接PC，并设PQ=x，以下我们对△CPQ进行研究．
（1）△CPQ是否成为等边三角形？若能，则求出x的值；
若不能，则说明理由；
（2）求△CPQ周长的最小值；
（3）当△CPQ分别为锐角三角形、直角三角形和钝角
三角形时分别求x的取值范围．
简析：这是一道动态几何的探索性数学试题；我们首先通过分
析图，将图形中隐藏的性质或结论作一剖析：延伸直线PQ，显然
直线NQ是的切线，而ND、QB也是的切线，得到ND=NP、
PQ=QB；，；
所以四边形NDAP、QPAB都是轴对称图形，,△CPQ周长
等等结论．
【引入几何画板动画演示，探究图形点P运动相关结论！】
第（1）问是存在性探索题，通常先假设“△CPQ是等边三角形”；
第(2)问是条件探索性问题，点P在何处时？△CPQ周长最小，
并求出最小值；而此时，点P又恰是处于临界点；由此引发了对第(3)
问△CPQ形状的结论性探索；环环相扣，变化自然天成！
解答：（1）假设△CPQ为等边三角形时，
一方面，
另一方面，连接AQ，，，
得出自相矛盾；∴证明△CPQ不能为等边三角形．
（2）的周长=
；
又∵，
∴的周长，即的周长最小值是．
（3）连接AC，交于，则，，;
∴，，．
①当P在上运动时，∵，∴，
此时是锐角三角形，．
②当P与重合时，，此时是直角三角形，．
③当P在上运动时，∵，，∴，
此时是钝角三角形，．
题15：(2010·江西)、如图，已知经过原点的抛物线与轴的另一交点为，现将它向右平移（）个单位，所得抛物线与轴交于、两点，与原抛物线交于点.
（1）求点的坐标，并判断PCA存在时它的形状（不要求说理）；
（2）在轴上是否存在两条相等的线段？若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含的式子表示）；若不存在，请说明理由；
（3）设的面积为，求关于的关系式.
简析：（1）要求点A的坐标，可令y的值为0，求解方程的根即得，要判断三角形的形状？可从图形的对称性上观察与发现；（2）要探究“是否存在
相等的线段？”，应借助平移的性质上去分析与突破；
（3）要探究△CDP的面积，通过操作或观察可发现，估计
存在多种可能情形，即交点P可能在x轴的上方，也可能在
x轴的下方；不少的同学在解答本例时，缺乏运动观念，
只考虑第一种情况，而将第二种情况遗漏．
解答：（1）令，得；
∴点A的坐标为（2，0）； 是等腰三角形.
（2）存在！
有；
(3)当0＜＜2时，如图1，作轴于H，
设.
∵A(2,0), C(,0), ∴.∴.
∴；把代入，
得：. ∵,
∴；
当时，不存在；
当时，如图2，作轴于H，
设.
∵A（2，0），C（，0），
∴，∴.
∴
把代入，得.
∵，∴
另一种方法更简洁：采用思路求解，注意排除．
【引入几何画板动画演示，探究图形平移运动的相关结论！】
点评：本题通过抛物线的平移变换，设置成融代数与几何为一体的综合探索题；构思新颖，入手容易，逐步上升；尤其在第(3)问的探索中，较好地运用了数学的空间观念和综合分析能力，以及分类讨论、数形结合的数学思想方法；解题的关键在于用含m的代数式表示点P的坐标，涉及到坐标系中线段长度、三角形面积等数量的求法，实现了数量与图形的辩证统一，难度较大，具有明显的区分度．
数学探索性问题既包含着问题又包含着求解，是数学学科的典型问题；从以上课案我们可以看出，它不具有确定方向的解题思路. 解题时总要有合情合理、实事求是的分析，要把归纳与演绎协调配合起来，把直觉发现与逻辑推理结合起来，把数学能力与心理素质同时发挥出来．
因此，通过探索性数学问题的求解活动，不仅可以促进数学知识和数学方法的巩固与掌握，而且更加有利于各方面能力的整体发展和思维品质的全面提高，有利于加强学生主体精神、探究态度、科学方法、创新才能的培养，这正是当前在数学教学中积极引进探索性数学问题的意义. 在考试中引进这类问题，更具有全面的检测效果，也具有正确教学导向的作用，故在中考试卷中，不仅出现频率高，而且题型不断丰富，备受命题者的青睐.
几何画板技术支持：赣县教师进修学校 马跃进老师，特此鸣谢！
欢迎批评指正！
个人工作邮箱：linwangchun@163.com QQ：1402859514
2011年3月20日
课件37张PPT。 决胜2011年中考
——空间图形、视图与投影赣州三中 叶振国会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图，会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型.
了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型.
了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系；知道这种关系在现实生活中的应用(如物体的包装）.
能根据光线的方向辩认实物的阴影.
了解中心投影和平行投影.了解视点、视角、盲区的涵义.课程标准与考试说明的要求命 题 趋 势 视图与投影是课程标准新增加的内容,通过立体图形与三视图、展开图的相互转换,可以很好地培养同学们的空间想象能力,为高中学习立体几何奠定良好的基础.这部分内容在日常生活与生产实践中有着广泛的应用(如测量问题、包装盒问题等等)，能够进一步培养同学们综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力.因此这些年来一直是中考命题的一个热点.题型主要以选择题、填空题为主,有时也会以解答题的形式出现.（如江西省2009年的第23题）；分值大约为3～12分.解 题 策 略◆ 三视图的解题主要涉及两个方面： 由物画图时，应符合三视图的位置关系、大小关系和虚、实线的有关规定；由图想物时，要先根据主视图、俯视图、左视图分别想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后再综合想象整体图形.◆ 遇到展开图问题时，通常想象展开图能围成什么样的几何体，也可以由几何体的特征来想象展开图的形状.◆ 在解决投影的有关问题时，首先要区分是平行投影还是中心投影，然后根据它们各自的性质来解题，在解题过程中，常常要用到相似三角形的有关知识.基础练习1．图（1）是一个正三棱柱，图（2）是四位学生画出的这个正三棱柱的三视图，其中正确的是 ( ) D方 法 提 炼 在画物体的三视图时，应遵循三视图的位置关系、大小关系和虚、实线的有关规定： 二、大小关系是:“长对正，高平齐，宽相等”； 三、虚、实线的规定是：看得见的轮廓线用实线表示，
看不见的轮廓线用虚线表示.一、位置关系是:俯视图在主视图的正下方，左视图在主
视图的正右方； 变式1：
如图是由正方体和圆锥组成的几何体，它的俯视图是（ ）D变式2.有一个圆柱形笔筒如图放置，它的左视图是（ ）A. B. C. D.
A B C D
C基础练习2：下面图形中，三棱锥的平面展开图是（ ） B方 法 提 炼 遇到展开图问题时，通常可以从两个方面来思考:(1)想象展开图能围成什么样的几何体，(2）也可以由几何体的特征来想象展开图的形状,从而更好的增强空间观念.变式1：在图中添加一个小正方形，使该图形经过折叠后能围成一个四棱柱，不同的添法共有（ ）A. 7种 B.4种 C.3种 D.2种 B变式2：一个正方体的每个面都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，则在该正方体中，和“崇”相对的面上写的汉字是（ ）
A.低 B.碳 C.生 D.活A变式3：某种药品包装盒的表面展开图如图所示．如果长方体盒子的长比宽多4cm，这种药品包装盒的体积是________ cm3． 设宽为xcm,则长为(x+4)cm,高为(7-x)cm.根据题意得： x+4+2(7-x)=13解得： x=5所以体积为：x (x+4)(7-x)=90cm3.解 题 思 路基础练习3 第（1）小题:下面四幅图是在一天中不同时间中太阳照射一个旗杆的影像图，请你按时间的先后顺序写出表示各图的字母________.
CDAB变式：小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能是（ ）
APFE解 题 思 路第（2）小题：如图，小华、小军、小丽同时站在路灯下， 其中小军和小丽的影子分别是AB、CD．
（1）请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点P表示）；
（2）画出小华此时在路灯下的影子（用线段EF表示）．
小红的影子扫过的面积是一个圆环的面积,即 解 题 思 路变式:如图,OM为公园景观灯,小红在A处的影子为AB，AB=1m,点A 到灯杆的距离OA=1.5m,小红从A点出发绕
O点转一圈（以OA为半径），则小红的影子“扫”过的
面积为________㎡能力提高题1：如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的形状是_________.三棱柱变式1：如图，分别是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．2个或3个 B．3个或4个 C．4个或5个 D．5个或6个解 题 思 路所以正方体的个数为4或5，选C变式2：如图是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（ ）D
变式3:如图是一个包装盒的三视图，则这个包装盒的体积是（ ）A.1000π㎝3 B.1500π㎝3 C.2000π㎝3 D.4000π㎝3 C能力提高题2：如图是一个几何体的三视图.
（1）写出这个几何体的名称；
（2）根据所示数据计算这个几何体的表面积；
（3）如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点A出发，沿表面爬到BC的中点D，请你求出这个线路的最短路程.解 题 思 路解：（1）由三视图可知，该几何体为圆锥.（2）S表=S侧+S底解 题 思 路设扇形的圆心角为α，（3）如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点A出发，沿表面爬到BC的中点D，请你求出这个线路的最短路程.挑战中考题1 第（1）小题：（2010江西）沿圆柱体上底面直径截去一部分的物体如图所示，它的俯视图是( )A B C D D第（2）小题（2010江西） 如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB垂直于地面时的影长为AC（假定AC＞AB），影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论：①m＞AC;
②m=AC;③n=AB;④影子的长度先增大后减小．
其中，正确的结论的序号是 ．
(多填或错填的得0分，少填的酌情给分)解 题 思 路①③④第（3）小题（2010东营市）将一直径为17㎝的圆形纸片（图①）剪成如图②所示形状的纸片，再将纸片沿虚线折叠得到正方体（图③）形状的纸盒，则这样的纸盒体积最大为 cm3．解 题 思 路挑战中考题2（2009江西）问题背景: 在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息：
甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm.
乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm.
丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm.任务要求
(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；即解 题 思 路任务要求
（2）如图3，设太阳光线NH与圆O 相切于点M.请根据甲、丙
两组得到的信息，求景灯灯罩的半径.
（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式 )与题（1）类似;可得GN=208解 题 思 路由勾股定理可得NH=260设圆O的半径为rcm,所以，灯罩的半径是12cm． 则ON=r+8 挑战中考题3.（2010宁波）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式. 请你观察下列几种简单多面体模型，解答
下列问题： 四面体 长方体 正八面体 正十二面体 根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
66你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是 ； (2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体
的面数是 ；(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形 和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值.解: (2)设面数为x,则顶点数为x-8，依题意得：
x +（x-8）-30=2，得x=20 挑战中考题4.（2010江苏无锡）如图1是一个三棱柱包装盒,它的底面
是边长为10cm的正三角形,三个侧面都是矩形.现将宽为15cm的彩色矩形纸带 AMCN 裁剪成一个平行四边形ABCD（如图2）,然后用这条平行四边形纸带按
如图 3 的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分）,纸带在侧面缠绕三圈,正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．
（1）请在图2中，计算裁剪的角度∠BAD；
（2）计算按图3方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度．图1图2动画演示图2（2）在图3中，将三棱柱沿过点A的侧棱剪开，得到如图甲的侧面展开图， 将图甲中的△ABE向左平移30cm，
△CDF向右平移30cm，拼成如图乙中
的平行四边形NAMC，此平行四边形
即为图2中的平行四边形ABCD.
在图乙中作CG⊥AM于点G,由题意得，在Rt△NBC中，NC=∴所需矩形纸带的长为NC+MG= 在Rt△MCG中，结束语：把教研作为一种生活方式
本项活动(全国初中数学青年教师优秀课观摩与评比活动)在我国中学数学教育界具有很大影响力，已成为研究课堂教学问题，探讨课堂教学规律，提高课堂教学质量和效益，促进教师专业化发展的重要平台。“重在参与，重在过程，重在交流，重在研究”的活动宗旨深入人心。我们欣喜地看到，本项活动在模式上不断创新，质量不断提高。所有这些都得益于大家的共同智慧和创造，得益于各会员单位在准备过程中不断加强和完善过程性、研究性，将活动宗旨具体化。在这几天的展示与观摩活动期间，做到了锦上添花，把各地的研究成果充分展示出来，通过现场互动交流，进一步发挥了这些成果的引领、示范作用。
教师专业化发展是一个没有止境的过程，要求广大教师把教学研究作为自己的生活常态甚至是一种生活方式，这是为人师表需要的一种态度，也是教师应具备的一种职业精神。做教研要有“默而识之，学而不厌，诲人不倦”的态度和精神：教研不是为了表演、作秀，要静下心来，心无旁骛，要默然领会在心，也就是要“默而识之”；教研还要有“学而不厌”的精神，因为它不能让你升官发财，更多的是“枯燥乏味”，甚至费九牛二虎之力而难入其门，很多教师也因此而放弃，但这正是进步的开端，因此做教研要有“面壁十年”的准备；当教师必须有“诲人不倦”的态度，当今的教育，受功利化社会环境的污染，已经忘记了自己“教书育人”的根本职责，家长、社会、行政部门以“教育GDP”（升学率）论英雄，这种社会氛围十分令人生厌。数学教学也不能置身事外，教师为了分数而不得不让学生进行大量机械重复训练，而数学的育人本分（培养思维能力、发展理性精神）则被抛到九霄云外，这种没有思想、没有灵魂的教育已经“造就”了大批只会解题不会读书的学生。在这样的环境下，一个真正的数学教师，必须怀有一种菩萨心肠，无私地热爱学生；还要有普度众生的学识、精神、耐心、耐力，不厌其烦地把自己所掌握的数学知识和领悟到的思想、精神传递给学生。唯有坚持“诲人不倦”的精神，我们才能在尽教书育人职责的同时，实现自己的人生价值，找到人生的乐趣。
愿广大数学教师真心诚意地热爱教研，专心致志地研究教学，在教学过程中，随时随地思考，随时随地发现，随时随地实践，随时随地体验，随时随地领悟，随时随地反省。这是教研的真谛，也是教好书、做好人的真谛。
