中考数学复习过程中的几个关键词
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课件52张PPT。中考数学复习过程中的几个关键词清浦区教研室 沈文汉
●关键词一：定位——准确1．复习的目的完善体系 弥补缺陷 提高技能 优化方法 拓展思维 丰富经验 调适心理 发展能力 2．定位的依据（1）课标（3）近几年的中考试题（4）近几年中考成绩（2）中考说明（5）近几年中考学生答卷中存在的主要问题①对基本概念的理解、掌握不到位，基本运算能力较差 。②阅读能力不强，读不懂题意，对应用题、文字量大的试题存在一种本能的恐惧心理。获取信息、整合信息的能力差。③解题格式和数学语言表达不规范。⑤“做数学”的能力差。⑥部分学生习惯存在问题。比如审题不仔细、缺乏克服困难的勇气和毅力，心理素质、考试习惯也比较差，相当一部分考生遇到第27题、第28题看也不看就完全放弃。⑦不适应阅卷方式的转变,无谓失分太多。④“用数学”的意识差。● 关键词二：计划——合理以知识为立意，突出“基础性”，追求数学内容的本质理解.第一轮复习建议:以能力为立意，突出“发展性”，追求数学素养的全面提升. 第二轮复习建议: 以状态为立意，突出“综合性”，追求数学水平的有效发挥. 第三轮复习建议:● 关键词三：过程——精细1．从哪里选题？（1）原题 （2）替换数值或背景 （3）改变题型 （5）纵向挖掘 （6）横向拓展 （7）综合变衍 （4）更换条件或结论 教材中题目如何处理2．怎么选题？例1．下列调查，适合用普查方式的是 A.了解淮安市居民的年人均消费 B.了解淮安市夏季冷饮市场上冰淇淋的质量 C.查找某本书上的印刷错误 D.了解淮安市公民保护环境的意识（1）统计概念、统计意识 （2）读图、释图、作图和评图能力①若西瓜、苹果和香蕉的售价
分别是6元/千克、8元/千克和
3元/千克，则这7天销售额最大
的水果品种是
A．西瓜 B．苹果 C．香蕉
②估计一个月（按30天计算）
该水果店可销售苹果多少千克？例2．为了估计西瓜、苹果和香蕉三种水果一个月的销售量，某水果店对这三种水果7天的销售量进行了统计，统计结果如图1如示。 图1例3．某中学七年级（8）班同学全部参加课外体育活动情况统计如图2：①请你根据以上统计图中的信息，填写下表： ②请你将该条形统计图
补充完整。 图2（3）对统计量本质的理解 例4．某校体育节有13名同学参加女子百米赛跑，他们预赛成绩各不相同，取前6名参加决赛。小颖已经知道自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A．方差 B．极差
C．中位数 D．平均数（4）利用统计量进行决策例5．甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等。比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）。依据统计数据制了如下尚不完整的统计图表。甲校成绩统计表图3图4①在图3中，“7分”所在扇形的圆心角等于 度；
②请你将图4的统计图补充完整；
③经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好；
④如果该教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便于管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？
3．怎么用题？题目：已知，如图5，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形 的顶点 与点O重合， 交BC于点E， 交CD于点F.
求证：OE=OF（苏科版《数学》九年级（上）P18 例4）图5拓展一：条件不变，直接寻找其他结论 变式1：BE与CF相等吗？请说明理由。变式2：求证：∠OEC=∠OFD（请用不同的方法进行证明）。变式3：连接EF，判断△OEF的形状，
并说明理由。拓展二：改变图形的状态。（将静止的图形变为运动的图形，如将图形旋转、平移或折叠）变式4：如图6，正方形ABCD对角线相交于点O，正方形 的顶点 与点O重合， 交BC于点E， 交CD于点F,将正方形 绕点O转动.
(1)试说明，无论正方形 怎样转动，OE与OF都相等.
(2)试说明，无论怎样转动，两个正方形重叠部分面积，总等于正方形ABCD面积的 .
图6变式5：如图a，正方形ABCD是边长为1的正方形，正方形EFGH的边HE、HG与正方形ABCD的边AB、BC交于点M、N，顶点在对角线BD上移动，设点M、N到BD的距离分别是 、 ，四边形MBNH的面积是S；
（1）当顶点H和正方形ABCD的中心O重合时（如图a），
S=________ ， =______ ；
(2) 当顶点H为OB的中点（如图b），则S=_______， =_____（只要求写出结果，不用证明）；
（3）按要求完成下列问题（如图c）：
我们准备探索：当BH= n 时，S=____， =_____；
①简要写出你的探究过程；
②在上面的横线上填上你的结论；
③证明你得到的结论.
图a图b图c拓展三：变换题型。（证明题变计算题或探究题，解答题变为填空题或选择题等）变式6：已知，如图7，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形 的顶点 与点O重合， 交BC于点E， 交CD于点F，连接EF。若正方形ABCD的边长为12，EF= ，则FC= 。图7变式7：已知，如图8，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形 的顶点 与点O重合， 交BC于点E， 交CD于点F， 交BC于点G，连接FG。若正方形ABCD的边长为12，FG=5，则FC= 。图8变式8：正方形ABCD对角线相交于点O，正方形 的顶点 与点O重合，正方形 绕点O转动， 交BC于点E， 交CD于点F.
（1）若点E为BC的中点，如图9，则点F也为CD的中点吗？证明你的结论。
（2）若点E为BC的三等分点，即 ，如图10，则点F也是CD的三等分点吗？证明你的结论。
（3）由（1）、（2）你得到什么结论？图9图10拓展四：改变图形的形状。（如将正方形变为三角形或其他图形）变式10：有两块全等的等腰直角三角尺△ABC和△ ，△ 的直角顶点 与△ABC的斜边AB的中点O重合， 与AC相交于点D， 与BC相交于点E，如图11，若BC=5，则四边形 的面积为 。图11变式11：如图12，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M=∠B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E.
（1）求证：ME=MF；
（2）如图13，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并加以证明；
（3）如图14，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB=mBC，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并说明理由；
（4）根据前面的探索和图15，你能否将本题推广到一般的平行四边形的情况？若能，写出推广命题；若不能，请说明理由.图12图14图13图15变式12：（1）如图16，正方形ABCD对角线相交于点O，正方形 的顶点 与点O重合.若将正方形 绕点O转动，求两个正方形重叠部分面积与阴影部分面积之比；
（2）如图17，正六边形ABCDEF中心为O，正六边形
的一个顶点在点O处.若将正六边形 绕点O转动，求两个正六边形重叠部分面积与阴影部分面积之比；
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况（n为大于2的偶数）？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由（如图18）.图16图17图18拓展五：改变旋转点的位置。（从绕正方形中心旋转变为绕正方形顶点旋转）变式13：如图19，边长为a的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为______；四边形CDHF的面积为________ 。图19● 关键词四：重点——给力视角1：从探索、归纳的角度入手例1（2010年南昌第30题）课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题.
实验与论证 设旋转角 , , , , 所表示的角如图所示.（1）用含 的式子表示角的度数： ＝ , ＝ , ＝ ；（2）图20—图23中，连接 时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线 垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中一个图给出证明；若不存在，请说明理由；图20图21图22图23归纳与猜想
设正 边形 与正 边形 重合（其中 与 重合），现将正 边形 绕顶点 逆时针旋转 .
（3）设 与上述“ , ,…”的意义一样，请直接写出 的度数；
（4）试猜想在正 边形的情况下，是否存在与直线 垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由视角2：从方法迁移的角度入手例2 （2010年 淮安第26题）
（1）观察发现
如图24，若点 在直线 同侧，在直线 上取一点 ，使 的值最小．
做法如下：作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，其与直线 的交点就是所求的点 ．
再如图25，在等边三角形 中， ，点 是 边上的中点， 是高，在 上取一点 ，使 的值最小．
做法如下：作点 关于 的对称点，恰好与点 重合，连接 交 于一点，则这点就是所求的点 ，故 的最小值为 ．
图25（2）实践运用
如图26，已知⊙O的直径CD为4，弧AD的度数为60°，点B是弧AD的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．
（3）拓展延伸
如图27，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使得∠APB= ∠ APD．保留作图痕迹，不必写出作法．例3．（2010年南京第26题）学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。
（1）“对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”。类似地，你可以等到：“满足 ，或 ，两个直角三角形相似”。
（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足 的两个直角三角形相似”。请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程。
已知：如图28， 。
试说明Rt△ABC∽Rt△ .图28视角3：从动手操作的角度入手例4 （2009 江苏）（1）观察与发现
小明将三角形纸片 沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到 （如图②）．小明认为 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（2）实践与运用
将矩形纸片 沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中 的大小．视角4：从阅读理解的角度入手例5（2010年无锡第26题） （1）如图29，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．
下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．
证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．
正方形ABCD中∠B=∠BCD=90°，AB=BC．
∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．
（下面请你完成余下的证明过程）图29（2）若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图30）,N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．图30（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCD…X”，请你作出猜想：当∠AMN= °时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）例6（2010年北京22题）阅读下列材料：
小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm。现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着AB边夹角为45?的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45?的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿着BC边夹角为45?的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45?的方向作直线运动，…，如图31所示，问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路线的总长是多少。小贝的思考是这样开始的：如图32，将矩形ABCD沿直线CD折迭，得到矩形A1B1CD，由轴对称的知识，发现P2P3=P2E，P1A=P1E。请你参考小贝的思路解决下列问题：
(1) P点第一次与D点重合前与边相碰 次；P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是 cm；
(2) 进一步探究：改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足AD>AB，动点P从A点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上。若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB：AD的值为 。视角5：从实际应用的角度入手例7（2010年河北第23题）观察思考
某种在同一平面进行传动的机械装置如图33，图34是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH?⊥l于点H，并测得OH?=?4分米，PQ?=?3分米，OP?=?2分米．解决问题
（1）点Q与点O间的最小距离是 分米；点Q与点O间的最大距离是 分米；点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是 分米．
（2）如图35，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？
（3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是 分米；
②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．
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●关键词一：定位——准确1．复习的目的完善体系 弥补缺陷 提高技能 优化方法 拓展思维 丰富经验 调适心理 发展能力 2．定位的依据（1）课标（3）近几年的中考试题（4）近几年中考成绩（2）中考说明（5）近几年中考学生答卷中存在的主要问题①对基本概念的理解、掌握不到位，基本运算能力较差 。②阅读能力不强，读不懂题意，对应用题、文字量大的试题存在一种本能的恐惧心理。获取信息、整合信息的能力差。③解题格式和数学语言表达不规范。⑤“做数学”的能力差。⑥部分学生习惯存在问题。比如审题不仔细、缺乏克服困难的勇气和毅力，心理素质、考试习惯也比较差，相当一部分考生遇到第27题、第28题看也不看就完全放弃。⑦不适应阅卷方式的转变,无谓失分太多。④“用数学”的意识差。● 关键词二：计划——合理以知识为立意，突出“基础性”，追求数学内容的本质理解.第一轮复习建议:以能力为立意，突出“发展性”，追求数学素养的全面提升. 第二轮复习建议: 以状态为立意，突出“综合性”，追求数学水平的有效发挥. 第三轮复习建议:● 关键词三：过程——精细1．从哪里选题？（1）原题 （2）替换数值或背景 （3）改变题型 （5）纵向挖掘 （6）横向拓展 （7）综合变衍 （4）更换条件或结论 教材中题目如何处理2．怎么选题？例1．下列调查，适合用普查方式的是 A.了解淮安市居民的年人均消费 B.了解淮安市夏季冷饮市场上冰淇淋的质量 C.查找某本书上的印刷错误 D.了解淮安市公民保护环境的意识（1）统计概念、统计意识 （2）读图、释图、作图和评图能力①若西瓜、苹果和香蕉的售价
分别是6元/千克、8元/千克和
3元/千克，则这7天销售额最大
的水果品种是
A．西瓜 B．苹果 C．香蕉
②估计一个月（按30天计算）
该水果店可销售苹果多少千克？例2．为了估计西瓜、苹果和香蕉三种水果一个月的销售量，某水果店对这三种水果7天的销售量进行了统计，统计结果如图1如示。 图1例3．某中学七年级（8）班同学全部参加课外体育活动情况统计如图2：①请你根据以上统计图中的信息，填写下表： ②请你将该条形统计图
补充完整。 图2（3）对统计量本质的理解 例4．某校体育节有13名同学参加女子百米赛跑，他们预赛成绩各不相同，取前6名参加决赛。小颖已经知道自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A．方差 B．极差
C．中位数 D．平均数（4）利用统计量进行决策例5．甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等。比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）。依据统计数据制了如下尚不完整的统计图表。甲校成绩统计表图3图4①在图3中，“7分”所在扇形的圆心角等于 度；
②请你将图4的统计图补充完整；
③经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好；
④如果该教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便于管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？
3．怎么用题？题目：已知，如图5，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形 的顶点 与点O重合， 交BC于点E， 交CD于点F.
求证：OE=OF（苏科版《数学》九年级（上）P18 例4）图5拓展一：条件不变，直接寻找其他结论 变式1：BE与CF相等吗？请说明理由。变式2：求证：∠OEC=∠OFD（请用不同的方法进行证明）。变式3：连接EF，判断△OEF的形状，
并说明理由。拓展二：改变图形的状态。（将静止的图形变为运动的图形，如将图形旋转、平移或折叠）变式4：如图6，正方形ABCD对角线相交于点O，正方形 的顶点 与点O重合， 交BC于点E， 交CD于点F,将正方形 绕点O转动.
(1)试说明，无论正方形 怎样转动，OE与OF都相等.
(2)试说明，无论怎样转动，两个正方形重叠部分面积，总等于正方形ABCD面积的 .
图6变式5：如图a，正方形ABCD是边长为1的正方形，正方形EFGH的边HE、HG与正方形ABCD的边AB、BC交于点M、N，顶点在对角线BD上移动，设点M、N到BD的距离分别是 、 ，四边形MBNH的面积是S；
（1）当顶点H和正方形ABCD的中心O重合时（如图a），
S=________ ， =______ ；
(2) 当顶点H为OB的中点（如图b），则S=_______， =_____（只要求写出结果，不用证明）；
（3）按要求完成下列问题（如图c）：
我们准备探索：当BH= n 时，S=____， =_____；
①简要写出你的探究过程；
②在上面的横线上填上你的结论；
③证明你得到的结论.
图a图b图c拓展三：变换题型。（证明题变计算题或探究题，解答题变为填空题或选择题等）变式6：已知，如图7，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形 的顶点 与点O重合， 交BC于点E， 交CD于点F，连接EF。若正方形ABCD的边长为12，EF= ，则FC= 。图7变式7：已知，如图8，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形 的顶点 与点O重合， 交BC于点E， 交CD于点F， 交BC于点G，连接FG。若正方形ABCD的边长为12，FG=5，则FC= 。图8变式8：正方形ABCD对角线相交于点O，正方形 的顶点 与点O重合，正方形 绕点O转动， 交BC于点E， 交CD于点F.
（1）若点E为BC的中点，如图9，则点F也为CD的中点吗？证明你的结论。
（2）若点E为BC的三等分点，即 ，如图10，则点F也是CD的三等分点吗？证明你的结论。
（3）由（1）、（2）你得到什么结论？图9图10拓展四：改变图形的形状。（如将正方形变为三角形或其他图形）变式10：有两块全等的等腰直角三角尺△ABC和△ ，△ 的直角顶点 与△ABC的斜边AB的中点O重合， 与AC相交于点D， 与BC相交于点E，如图11，若BC=5，则四边形 的面积为 。图11变式11：如图12，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M=∠B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E.
（1）求证：ME=MF；
（2）如图13，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并加以证明；
（3）如图14，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB=mBC，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并说明理由；
（4）根据前面的探索和图15，你能否将本题推广到一般的平行四边形的情况？若能，写出推广命题；若不能，请说明理由.图12图14图13图15变式12：（1）如图16，正方形ABCD对角线相交于点O，正方形 的顶点 与点O重合.若将正方形 绕点O转动，求两个正方形重叠部分面积与阴影部分面积之比；
（2）如图17，正六边形ABCDEF中心为O，正六边形
的一个顶点在点O处.若将正六边形 绕点O转动，求两个正六边形重叠部分面积与阴影部分面积之比；
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况（n为大于2的偶数）？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由（如图18）.图16图17图18拓展五：改变旋转点的位置。（从绕正方形中心旋转变为绕正方形顶点旋转）变式13：如图19，边长为a的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为______；四边形CDHF的面积为________ 。图19● 关键词四：重点——给力视角1：从探索、归纳的角度入手例1（2010年南昌第30题）课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题.
实验与论证 设旋转角 , , , , 所表示的角如图所示.（1）用含 的式子表示角的度数： ＝ , ＝ , ＝ ；（2）图20—图23中，连接 时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线 垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中一个图给出证明；若不存在，请说明理由；图20图21图22图23归纳与猜想
设正 边形 与正 边形 重合（其中 与 重合），现将正 边形 绕顶点 逆时针旋转 .
（3）设 与上述“ , ,…”的意义一样，请直接写出 的度数；
（4）试猜想在正 边形的情况下，是否存在与直线 垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由视角2：从方法迁移的角度入手例2 （2010年 淮安第26题）
（1）观察发现
如图24，若点 在直线 同侧，在直线 上取一点 ，使 的值最小．
做法如下：作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，其与直线 的交点就是所求的点 ．
再如图25，在等边三角形 中， ，点 是 边上的中点， 是高，在 上取一点 ，使 的值最小．
做法如下：作点 关于 的对称点，恰好与点 重合，连接 交 于一点，则这点就是所求的点 ，故 的最小值为 ．
图25（2）实践运用
如图26，已知⊙O的直径CD为4，弧AD的度数为60°，点B是弧AD的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．
（3）拓展延伸
如图27，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使得∠APB= ∠ APD．保留作图痕迹，不必写出作法．例3．（2010年南京第26题）学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。
（1）“对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”。类似地，你可以等到：“满足 ，或 ，两个直角三角形相似”。
（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足 的两个直角三角形相似”。请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程。
已知：如图28， 。
试说明Rt△ABC∽Rt△ .图28视角3：从动手操作的角度入手例4 （2009 江苏）（1）观察与发现
小明将三角形纸片 沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到 （如图②）．小明认为 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（2）实践与运用
将矩形纸片 沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中 的大小．视角4：从阅读理解的角度入手例5（2010年无锡第26题） （1）如图29，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．
下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．
证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．
正方形ABCD中∠B=∠BCD=90°，AB=BC．
∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．
（下面请你完成余下的证明过程）图29（2）若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图30）,N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．图30（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCD…X”，请你作出猜想：当∠AMN= °时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）例6（2010年北京22题）阅读下列材料：
小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm。现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着AB边夹角为45?的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45?的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿着BC边夹角为45?的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45?的方向作直线运动，…，如图31所示，问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路线的总长是多少。小贝的思考是这样开始的：如图32，将矩形ABCD沿直线CD折迭，得到矩形A1B1CD，由轴对称的知识，发现P2P3=P2E，P1A=P1E。请你参考小贝的思路解决下列问题：
(1) P点第一次与D点重合前与边相碰 次；P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是 cm；
(2) 进一步探究：改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足AD>AB，动点P从A点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上。若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB：AD的值为 。视角5：从实际应用的角度入手例7（2010年河北第23题）观察思考
某种在同一平面进行传动的机械装置如图33，图34是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH?⊥l于点H，并测得OH?=?4分米，PQ?=?3分米，OP?=?2分米．解决问题
（1）点Q与点O间的最小距离是 分米；点Q与点O间的最大距离是 分米；点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是 分米．
（2）如图35，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？
（3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是 分米；
②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．
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