数学选修2-2模块综合测试
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数学选修2-2模块综合测试
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.请把答案填写后面的选择题答题卡中,否则不评分.
1、分析法证明不等式的推理过程是寻求使不等式成立的 （ ）
(A)必要条件 (B)充分条件 (C)充要条件 (D)必要条件或充分条件
2、设是原点，向量对应的复数分别为那么向量对应的复数是( )
A. B. C. D.
3、函数，则（ ）
（A）在上递增； （B）在上递减；
（C）在上递增； （D）在上递减
4、函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是( )
A. B.
C. D.
5、已知函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ）
（A）-16 (D) a<-1或a>2
6、曲线上的点到直线的最短距离是 （ ）
0
7、计算（ ）．
A． B． C． D．
8、函数导数是（ ）
A.. B. C. D.
9、设a、b为正数，且a+ b≤4，则下列各式中正确的一个是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
10、函数的极值情况是 （ ）
（A）在处取得极大值，但没有最小值 (B) 在处取得极小值，但没有最大值
（C）在处取得极大值，在处取得极小值 (D)既无极大值也无极小值
11、是的导函数，的图象如右图所示，则的图象只可能是
（A） （B） （C） （D）
12、函数的递增区间是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）.
13．设函数，则′＝____________________
14、关于的不等式的解集为，则复数
所对应的点位于复平面内的第________象限．
15、设，试通过计算来猜想的
解析式：_________________________．
16．对于定义在区间上的函数，给出下列命题：（1）若在多处取得极大值，那么的最大值一定是所有极大值中最大的一个值；（2）若函数的极大值为，极小值为，那么；（3）若，在左侧附近，且，则是的极大值点；（4）若在上恒为正，则在上为增函数，
其中正确命题的序号是 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17、（本小题满分12分）
若。
18、（本小题满分12分）
在半径为的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为多少时，它的面积最大？
19、（本小题满分12分）
20、（本小题满分12分）
已知中至少有一个小于2.
21、（本小题满分12分）
已知函数，其中。
（1）求的极大值和极小值；
（2）设（1）问中函数取得极大值的点为，求点所在的曲线。
22、（本小题满分14分）
已知A（-1，2）为抛物线C: y=2x2上的点，直线过点A，且与抛物线C 相切，直线:x=a(a≠-1)交抛物线C于B，交直线于点D.
（1）求直线的方程.
（2）设的面积为S1，求及S1的值.
（3）设由抛物线C，直线所围成的图形的面积为S2，求证S1:S2的值为与a无关的常数.
参考答案
一、选择题答题卡（共12个小题，每小题5分，共60分）。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
D
D
C
A
C
C
C
C
D
C
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）.
13、-15 14、二 15、. 16、⑶⑷
三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17、（本小题满分12分）
18、（本小题满分12分）
解：如图，设圆内接等腰三角形的底边长为，高为，那么
，
解得，于是内接三角形的面积为：
，
从而
，
令，解得，由于不考虑不存在的情况，所在区间上列表示如下：
增函数
最大值
减函数
由此表可知，当时，等腰三角形的面积最大．
19、（本小题满分12分）
解：（1），
， …………………………………2分
（2）猜想： 即：
（n∈N*）……5分
下面用数学归纳法证明
n=1时，已证S1=T1 ………………………………………………………………6分
假设n=k时，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），即：
………………8分
则
……………………………………………………10分
……………………11分
由①，②可知，对任意n∈N*，Sn=Tn都成立. ………………………………………14分
20、（本小题满分12分）
证明：假设 都不小于2，则
因为，所以，
即，这与已知
相矛盾，故假设不成立
综上中至少有一个小于2
21、（本小题满分12分）
解：（1），其中
当，见下表
x
＋
0
－
0
＋
增函数
极大
减函数
极小
增函数
∴当时，函数取得极大值，；
当时，函数取得极小值，
当，见下表
x
＋
0
－
0
＋
增函数
极大
减函数
极小
增函数
当时，函数取得极大值，；
当时，函数取得极小值，
（2）当时， ，消去得，；
当时，，消去得，，
所以点的轨迹方程为：
22、（本小题满分14分）
（1）由当x=1时，y＇=-4 ………………2分
∴的方程为y-2=-4(x+1)即y=-4x-2 ……………………3分
(2)得B点坐标为（） ……………………4分
由得D点坐标（,-4-2） ……………………5分
点A 到直线BD的距离为 ………………………………6分
= 22+4+2=2（+1）2
∴S1= ………………………………7分
(3)当>-1时，S1=（+1）3， ………………………………………8分
…………………………………………9分
…………………………………………10分
∴S1:S2= ………………………………………………………………………11分
当<-1时，S1= -（+1）3 ……………………………………………………12
……………………………………………13分
∴S1:S2=
综上可知S1:S2的值为与无关的常数，这常数是 …………………………………14分
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一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.请把答案填写后面的选择题答题卡中,否则不评分.
1、分析法证明不等式的推理过程是寻求使不等式成立的 （ ）
(A)必要条件 (B)充分条件 (C)充要条件 (D)必要条件或充分条件
2、设是原点，向量对应的复数分别为那么向量对应的复数是( )
A. B. C. D.
3、函数，则（ ）
（A）在上递增； （B）在上递减；
（C）在上递增； （D）在上递减
4、函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是( )
A. B.
C. D.
5、已知函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ）
（A）-1
6、曲线上的点到直线的最短距离是 （ ）
0
7、计算（ ）．
A． B． C． D．
8、函数导数是（ ）
A.. B. C. D.
9、设a、b为正数，且a+ b≤4，则下列各式中正确的一个是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
10、函数的极值情况是 （ ）
（A）在处取得极大值，但没有最小值 (B) 在处取得极小值，但没有最大值
（C）在处取得极大值，在处取得极小值 (D)既无极大值也无极小值
11、是的导函数，的图象如右图所示，则的图象只可能是
（A） （B） （C） （D）
12、函数的递增区间是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）.
13．设函数，则′＝____________________
14、关于的不等式的解集为，则复数
所对应的点位于复平面内的第________象限．
15、设，试通过计算来猜想的
解析式：_________________________．
16．对于定义在区间上的函数，给出下列命题：（1）若在多处取得极大值，那么的最大值一定是所有极大值中最大的一个值；（2）若函数的极大值为，极小值为，那么；（3）若，在左侧附近，且，则是的极大值点；（4）若在上恒为正，则在上为增函数，
其中正确命题的序号是 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17、（本小题满分12分）
若。
18、（本小题满分12分）
在半径为的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为多少时，它的面积最大？
19、（本小题满分12分）
20、（本小题满分12分）
已知中至少有一个小于2.
21、（本小题满分12分）
已知函数，其中。
（1）求的极大值和极小值；
（2）设（1）问中函数取得极大值的点为，求点所在的曲线。
22、（本小题满分14分）
已知A（-1，2）为抛物线C: y=2x2上的点，直线过点A，且与抛物线C 相切，直线:x=a(a≠-1)交抛物线C于B，交直线于点D.
（1）求直线的方程.
（2）设的面积为S1，求及S1的值.
（3）设由抛物线C，直线所围成的图形的面积为S2，求证S1:S2的值为与a无关的常数.
参考答案
一、选择题答题卡（共12个小题，每小题5分，共60分）。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
D
D
C
A
C
C
C
C
D
C
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）.
13、-15 14、二 15、. 16、⑶⑷
三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17、（本小题满分12分）
18、（本小题满分12分）
解：如图，设圆内接等腰三角形的底边长为，高为，那么
，
解得，于是内接三角形的面积为：
，
从而
，
令，解得，由于不考虑不存在的情况，所在区间上列表示如下：
增函数
最大值
减函数
由此表可知，当时，等腰三角形的面积最大．
19、（本小题满分12分）
解：（1），
， …………………………………2分
（2）猜想： 即：
（n∈N*）……5分
下面用数学归纳法证明
n=1时，已证S1=T1 ………………………………………………………………6分
假设n=k时，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），即：
………………8分
则
……………………………………………………10分
……………………11分
由①，②可知，对任意n∈N*，Sn=Tn都成立. ………………………………………14分
20、（本小题满分12分）
证明：假设 都不小于2，则
因为，所以，
即，这与已知
相矛盾，故假设不成立
综上中至少有一个小于2
21、（本小题满分12分）
解：（1），其中
当，见下表
x
＋
0
－
0
＋
增函数
极大
减函数
极小
增函数
∴当时，函数取得极大值，；
当时，函数取得极小值，
当，见下表
x
＋
0
－
0
＋
增函数
极大
减函数
极小
增函数
当时，函数取得极大值，；
当时，函数取得极小值，
（2）当时， ，消去得，；
当时，，消去得，，
所以点的轨迹方程为：
22、（本小题满分14分）
（1）由当x=1时，y＇=-4 ………………2分
∴的方程为y-2=-4(x+1)即y=-4x-2 ……………………3分
(2)得B点坐标为（） ……………………4分
由得D点坐标（,-4-2） ……………………5分
点A 到直线BD的距离为 ………………………………6分
= 22+4+2=2（+1）2
∴S1= ………………………………7分
(3)当>-1时，S1=（+1）3， ………………………………………8分
…………………………………………9分
…………………………………………10分
∴S1:S2= ………………………………………………………………………11分
当<-1时，S1= -（+1）3 ……………………………………………………12
……………………………………………13分
∴S1:S2=
综上可知S1:S2的值为与无关的常数，这常数是 …………………………………14分
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