4.1.2圆的一般方程

(共13张PPT)
方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形
方程x2+y2-2x-4y+6=0表示什么图形
配方可得: (x-1)2+(y+2)2=4
方程表示一个以(1，-2)为圆心，半径长为2的圆．
配方可得: (x-1)2+(y-2)2=-1
方程不表示任何图形．
由x2+y2+Dx+Ey＋F＝0 　　(1)
方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0在什么条件下表示圆
>
(x＋—)2＋(y＋—)2＝————
D
2
E
2
D2+E2-4F
4
① D2+E2-4F＞0时，
方程(1)表示圆心在
② D2+E2-4F＝0时，
　　　　　　　　　方程(1)表示点
(－—,－—).
２
Ｄ
２
Ｅ
　　　　　　　　　方程(1)不表示任何图形.
③ D2+E2-4F＜0时，
２
Ｄ
２
Ｅ
————
D2+E2-4F
2
(－—,－—),半径为 的圆.
由x2+y2+Dx+Ey＋F＝0 　　(1)
方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0在什么条件下表示圆
>
(x＋—)2＋(y＋—)2＝————
D
2
E
2
D2+E2-4F
4
所以D2+E2-4F>0时,方程(1)表示一个圆.
圆的一般方程:
x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)
圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点
圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2．
指出了圆的圆心坐标与半径大小,几何特征明显.
圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)
圆的方程是一种特殊的二元二次方程,代数特
征明显.
解：
例：求过点O(0，0)，M1(1，1)，M２(4，2)的
圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．
设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0． ①
因为点O，M1，M２都在圆上，所以三点的
坐标都满足方程①．
代入得:
F＝0
D+E+F+2＝0
4D+2E+F+20＝0
{
解得：
D＝-8
E＝6
F＝0
{
即圆的方程为x2+y2-8x+6y=0．
所以圆心坐标为(4，-3)，半径长为5．
与前面所学例2的方法比较，你有什么体会？
用待定系数法求圆的方程的步骤：
① 根据题意选择方程的形式——标准方程或
一般方程；
② 根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方
程组；
③ 解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或
一般方程．
求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长:
x2+y2-6x=0;
(2) x2+y2+2by=0;
(3) x2+y2-2Ax-2 Ay+3A2=0;
3
圆心坐标为(3，0)，半径长为3．
圆心坐标为(0，-b)，半径长为|b|．
圆心坐标为(A，A)，半径长为|A|．
判断下列方程分别表示什么图形:
x2+y2=0;
(2) x2+y2-2x+4y-6=0;
(3) x2+y2+2Ax-b2=0;
表示坐标为(0，0)的点．
表示圆心为(1，-2)，半径长为的圆．
表示圆心为(-a，0)，半径长为 a2+b2的圆．
　　如图，过圆O:x2+y2=4与y轴正半轴交点A作
此圆的切线AT，M为AT上任一点，过M作圆O的另
一条切线，切点为Q，求△MAQ垂心P的轨迹方程．
-
2
2
4
3
2
1
-
1
-
2
p
M
O
A
Q
T
y
x
解：连OQ，
则由OQ⊥MQ，
AP⊥MQ得OQ//AP．
同理，OA//PQ．
又OA//OQ，
∴OAPQ为菱形，
∴|PA|=|OA|=2．
设P(x，y)，Q(x0，y0)，
则{
x0=x
y0=y-2
又x02+y02=4，
∴x2+(y-2)2=4(x≠0)．