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《二元一次方程和一次函数》教学设计
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生理解二元一次方程与一次函数的关系。
（2）能用（一次函数图象）形的方法处理（二元一次方程组）数的问题。
2、过程与方法
让学生自主探索与合作交流建立“数”——二元一次方程的解与“形”—一次函数的图象之间的对应，培养学生数形结合的意识与能力。
3、情感态度与价值观
通过对比与类比，积极引导学生通过探索获得发现：二元一次方程的无数个解与直线上无数个点的对应，培养学生的创新意识，激发学生学习数学的兴趣，使学生体验数学学习充满探索与创造。
二、教学重点和难点
重点：（1）二元一次方程与一次函数关系的探索；
（2）学会用作图象的方法求二元一次方程组的近似解
难点：揭示二元一次方程与一次函数之间的对应关系，即数形结合的意识与能力。
三、教学方法
引导—探究式教学法.
学生通过自己操作和思考，结合新旧知识的联系，从特殊到一般探索出方程与图象之间的对应关系，引入二元一次方程组的图象解法，同时也建立了“数”——二元一次方程组与“形”——一 一次函数的图象(直线)之间的对应关系，培养了学生数形结合的意识和能力。
四、教学准备
教师准备
多媒体课件，学生随堂练习与课后探索作业。
学生准备
复习二元一次方程组的求解与作一次函数的图象，准备直尺等作图工具。
五、教学过程
（一）以问质疑
动脑想：两数和为2，这两数分别是多少？
动手写：方程x+y=2的解。
动口说：它的解有多少个？
估计绝大多数同学都能写出如： ， ， 。
有些同学还可写出， 等，并能说出有无数个解。
动手描：在直角坐标系描出以这些解为坐标的点，看谁描的又好又快。
动手画：在同一坐标系画出一次函数y=2-x的图象。
放眼看：同学们发现了什么？请认真观察描出的点与此图象的关系。
猜想：二元一次方程的解与相应的一次函数图象上的点有无对应关系呢？
（二）突破疑难
逆向思维：直线y=2-x上任取一点，它的坐标都适合方程x+y=2吗？
大胆猜想，并探索你猜想的理由。
特殊性：如图在直线上取一点（3，-1）。
c(3，-1)
一般性：其它的点如何验证？
利用对比与类比积极引导学生探索发现：二元一次方程与一次函数是自己与自己的不同展现形式。
从而解决上面两个问题：1、直线y=2-x上的所有点，它的坐标都适合对应方程；2、以方程x+y=2的解为坐标的所有点，都在对应直线上。
即：直线上的点与二元一次方程解的对应。
（三）知识升华
动手操作：在同一坐标系内再作出一次函数y=x的图象，观察图象，你有什么发现？
发现：有交点为（1，1）
看：是方程组的解吗 为什么？
由此探索：解二元一次方程组还可以用——图象法。
（四）学以致用
例1：用作图象的方法解方程组
解：①变为一次函数ｙ＝0.5x +1
②变为一次函数ｙ＝２x－２
在同一坐标系画出各自的图象
可见，交点坐标为（２，２）
所以是方程组的解。
练习
1、一次函数y=5-x与y=-2x+8图象的交点为(3,2) 则方程组 的解为_________。
2、若二元一次方程组 的解为 ， 则函数 y=5-X与 y=-2x+8 的图象的交点坐标为 。
3、你能用几种方法解方程组 ？并比较各种方法的优缺点。
（五）归纳小结
（1）通过本节课学习，你学会了哪些知识？掌握了哪些学习数学的思想方法？
（2）通过本节课学习，你最大的体验是什么？你还有什么思维疑惑？
(六)作业设计
（1）必做题： 240页习题 第1，2题
（2）选做题： 240页习题 第3题（有时间可以课堂探究）
（3）课后探索：某移动公司对本地通话制定了两种话费套餐，A套餐每分钟0.1元；B套餐每分钟0.05元，加收套餐费20元，请你为准备办理套餐的李大爷考虑一下，购哪一种套餐划算？
●板书设计
六、教学反思
1、内容安排合理、有序、容量安排恰当，教学设计有很好的操作性。充分体现自主、探究学习方式，注意学生学习过程的体验，展现学生思维的亮点，并揭示创新的火花，能很好突出重点，巧破难点。
2、教学实施不足之处是：师生配合总体默契，但细节处未能完全达到预期效果。
①
②
课题：二元一次方程与一次函数 例1：用图象法解方程组 归纳图象法解方程组的
解： 步骤---------------
方程x+y=2的解 ………………….
…………………. ……………….
学生板演1：……………… 学生板演2：………… 学生板演3: ………
………………………… …………………… ………………
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《二元一次方程与一次函数》（第一课时）设计说明
对于这节课，我将以教什么，怎么教，为什么这样教为思路，从教材分析，学情分析，设计思想，过程设计, 教学反思五个方面加以说明。
一、教材分析
本节是义务教育课程标准试验教科书北师大版数学八年级上册第七章第六节第一课时内容（第238页至240页）。
（一）地位与作用
函数与方程都是人们刻画现实世界的重要数学模型，这节课不仅涉及了方程与函数两大知识体系，而且在两大知识有机融合过程中很好地应用了数形结合的思想，这种渗透与融合可以较好地发展学生数学思维。一方面，这是在学习了一次函数及其图象，二元一次方程及二元一次方程组解法基础上的进一步探索；另一方面，为今后学习其他函数，方程与不等式等许多知识奠定基础，所以这一课时在初中数学所占地位极为重要。
（二）教学目标确定
教学三维目标是紧密联系的一个整体，在学习知识与与技能的同时，要注重过程，讲究方法，并形成良好的情感态度与价值观。这告诉我们，在教学中应以知识与技能为主线，渗透情感态度价值观，并充分体现在过程与方法中。
（三）重点和难点教学策略
根据教材的地位和作用，结合新课标对本节课内容要求，针对重点采取策略：在操作与探索中，让好生带中等生，中等生拉学困生，我再推一把学困生，相互启发，获知提高。针对难点采取策略：在质疑中猜想、在猜想中探究，一步一步地寻找解决问题的金钥匙。
二、学情分析
我校是乡镇级中学,学生基础相对较弱,但我校是县课改重点校,学习氛围浓厚,学生有自主探究与合作交流的经验和意识。
1、从认识角度来说,学生在此之前已经学习了二元一次方程及其方程组解法，也学会了
作一次函数的图象——直线，初步具备了数形结合的能力。
2、从身心角度来说,学生好动，勇于探索，渴望交流，爱发表见解，希望获得老师的表
扬，但是注意力易分散。
3、从学习障碍来说, 难以弄清二元一次方程与一次函数的关联，即数与形结合意识模糊。
三、设计思想
本节教材内容只有四个问题串，做一做，与一个例题，呈现形式单一，不利于突破难点，学以致用，为此，我对教材加以简单修改与整合，采用探究式教学法，在学生知识的“最近发展区”设置问题，层层递进，充分让学生动脑思考、动手操作、动口交流，不断释疑解惑。
四、过程设计
（一）以问质疑
1．动脑想，动手写，动口说
[设计意图]从简单的问题情境入手，构建二元一次方程，并写出方程的一些解，回顾二元一次方程有无数个解，为描点与画直线做好准备。
2．动手描
[学情预设] 在准备好的坐标纸上描点学生们已较熟练，描点如左下图。
[设计意图] 从数到形渗透。
3．动手画
[学情预设] 作一次函数的图象 ——直线，学生也不难用过两点的办法连线得到右上图：
4．放眼看
[学情预设] 图中很直观感知：所有的点都在直线上。
[设计意图] 引导学生操作与探索，产生新的问题：为何这些点会全部在直线上？
5．猜想
[设计意图] 为进一步探索二元一次方程与一次函数的关系奠定良好的基石。
（二）突破疑难
1．逆向思维
[学情预设] 多数同学答案是肯定的，但理由是它的特殊性：如图在直线上取一点（3，-1）。
2．进而激发又一个疑问：其它的点如何验证？
[设计意图]这显然是一般性问题，让学生探索，若有个别学生能有所发现，要及时表扬，让其他同学学习他勇于探索、敢于发现的精神。
若没有，利用对比与类比积极引导学生探索发现：二元一次方程与一次函数是自己与自己的不同展现形式。从而解决上面两个问题 。
即：直线上的点与二元一次方程解的对应。
[设计意图] 本问是教学难点，函数与方程的关系抽象，困扰许许多多的学生，数学教学论指出，数学学习应使学生的认识结构得到优化，那么知识脉络要十分清晰，而方程的解与函数的图象实质关系不点破，学生只能囫囵吞枣 ，为此，我设计此猜想，让学生从特殊性过渡到一般性，这种设问有利于学生在自主探索中观察、分析、多方位多角度思维，同时,妙比活跃了课堂，突破了难点，为后继的探究与学了道路。
（三）知识升华
1．动手操作，说说看
[学情预设] 生易通过操作，探索是方程组的解。
由此获得解二元一次方程组还可以用——图象法。
[设计意图] 通过巡视学生作图，了解学生“形”的操作过程与能力，再观察图象，发现交点， 进一步合作交流交点与方程组的关系，让学生加以叙述，培养语言表达能力，从方程组的解到函数图象的交点数形有机结合的探索中，获得知识升华——用图象法解方程组。
（四）学以致用
1．例1
[设计要求] 让学生思考后，独自动手解答，之后学生交流合作，再加以叙述，老师板书。
[学情预设] 多数同学能在短时间思考后，动手解答，少部分学有困难的同学，师要及时前往帮助，启发指导，或采取“兵教兵”策略，共同提高。
[设计意图] 用图象法解方程组是本节又一重点，要充分发挥学生的主体作用，先自主探索解法，老师不可代替学生思维，再生生合作交流提高解答能力，充分体验数形结合的思想。并融合集体智慧归纳出：图象法解方程组的一般步骤。
2．练习提高
①前三题
[设计意图] 从数与形不同角度进一步明确两直线交点坐标与二元一次方程组解的关系。
②第四题
[设计要求] 选2~3名不同程度学生上台板演，并选择其他同学不同的解法，展示台展示。
[设计意图] 展现不同程度学生思维与操作的全过程，从而更好帮助他们发现问题，提高
他们的解答能力，避免以后少错、不错，进一步体会数形结合的思想。
从中发现： 作图与读点的坐标都有可能产生误差，可见图象法所求的是近似解。
（五）归纳小结
[设计意图] 小结归纳不应该是知识的简单罗列，而应该是优化认识结构，完善知识体系的一种有效手段，要充分对学习的知识、方法、体验进行归纳，特别是迷惑不解的地方加以重视，不断修正教学。
[学情预设] 有同学可能提出——图象法解方程组不见得比消元法优越，为何还要学习？
[知识链接] 从比较看，确实不见得图象法更优越，所以一般不用图象法求解，但对于一些高次方程，无理方程，超越方程，图象法求解则更具一般性，学习图象法可为学生后继的学习打下良好的基础。并且，从不同角度去解方程，可以发散学生的思维，两种思想（数与形）的交织，又是创新的源泉。
(六)作业设计
[设计意图] 从作业的巩固性和发展性出发，（1）必做题是对本节课的一个反馈，面向全体学生，选做题是对本节知识的一个延伸，面对学有余力的学生，从而使不同的学生得到不同的发展。（2）课后思考题融基础性，灵活性，实践性，开放性为一体，为下一节预设伏笔。
五、教学反思
我来自农村中学，面对的学生学习程度差异较大，考虑到全体学生的发展，激发最大多数同学的学习欲望，我的教学设计以学困生不饿肚子、中等生能吃饱、好生能吃好为思路，用教材而不照搬教材。
我设计一大特点是：不断从问题中逆向思维，让学生多视角、全方位分析问题，操作探究；另一个特点是：尽量让学生通过比较获得发现。最大特色体现在突破难点环节，采取策略一：先从数到形探索,再从形到数演绎；策略二：从特殊性逐渐过渡到一般性；策略三：用孙悟空与美猴王妙比，彻底捅破二元一次方程与一次函数的实质关系这一层窗户纸，使学生拨云见日，经久记忆。
为了更好地进入第二课时教学即方程与函数关系的实际应用，我精心编制了一道十分贴近生活的课后探索题，从学以致用中进一步激发学生的学习兴趣。
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