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《平面直角坐标系》教案说明
《平面直角坐标系》是人教版《数学》七年级下册第六章的内容，是本章中继《有序数对》之后的第2课时．下面我从教材分析、目标分析、问题诊断与教法特点这四方面来介绍我对这节课的教学设计．
一、教材分析
《平面直角坐标系》是在学生学习了“有序数对”，初步认识了用有序数对可以确定物体的位置之后，为进一步探讨是否可以用有序数对表示平面内点的位置问题而引入的．
利用平面直角坐标系可以确定平面内任一点的位置；有了坐标系，就建立了点与有序实数对（坐标）的对应，于是有了函数（数量关系）与它的图象（几何图形）之间的对应，进而可以通过图象来研究和解决函数的有关问题；有了坐标系，就可以把代数问题转化成几何问题，也可以把几何问题转化成代数问题．可见，平面直角坐标系是沟通代数和几何的桥梁，是非常重要的数学工具．
在本章学习中，平面直角坐标系是学生从数的角度进一步认识平移变换的基础，也是后续学习函数、平面解析几何等必备的知识．
平面直角坐标系是数轴的发展，它的建立和应用过程，实现了认识上从一维到二维的发展，体现了类比方法、渗透着数形结合等数学思想，因此学习平面直角坐标系这一内容是发展学生思维，提高能力的极好时机．
二、目标分析
根据《数学课程标准》中关于“平面直角坐标系”的相关教学要求，结合教材特点和学生的实际情况，从而确定了“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”的三维教学目标．
【目标1】
初步掌握平面直角坐标系及相关概念；能由坐标描点，由点写出坐标．
学习本节内容之前，学生已经具有借助数轴用一个数表示直线上点的位置的经验，了解了直线上的点与坐标之间的对应；也学习了用有序数对确定物体的位置．这些均是本节课学习新知识、完成知识目标的基础．
【目标2】
经历知识的形成过程，引导学生用类比的方法思考和解决问题，进一步体会数形结合的思想，认识平面内的点与坐标的对应．
新课程标准指出：“展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉．”
遵循新课标的这一理念，我确立本节课教学目标的第2点．为了实现这一教学目标，帮助学生真正经历知识的形成过程，我以校庆为背景，通过表示校门位置设计情境，逐一展开；并将此环节分为四个阶段：独立思考—共同讨论—类比建系—解决问题．
首先，学生经过独立思考提出：可以利用两个数表示平面内点的位置．为了让学生更好地体会这一点，教师追问：只用一个数可以吗？引发学生讨论，并进一步感受只用一个数表示的点很多，具有不确定性．在此基础上，明确用有序数对描述．但由于没有约定顺序与方向，对于同一位置学生提出了用不同的有序数对描述，怎样才能用一个统一的标准表示呢？学生类比数轴的建立提出再引入一条数轴，并约定数对的顺序，至此建立了平面直角坐标系．为了体会这种表示方法具有一般性，设计表示平面内其它位置的点，在解决问题的同时，加深对平面直角坐标系的理解，实现对学生能力的培养．
【目标3】
通过介绍相关数学史培养学生善于观察，勤于思考的品质．
数学教育的目的是促进学生的全面发展．把学生良好品质的培养和形成渗透到每一节课．为此我确立了教学目标3．
在教学过程中，适时给学生介绍一些相关数学史，使他们了解概念、定理及公式的由来，了解数学家追求真理、善于观察、热爱思考的事迹，从中受到人文精神的熏陶，继而促进学生良好品格的形成．
本节课的教学重点是平面内点的坐标概念以及由坐标描点和由点写出坐标．由于“对应”的概念比较抽象，所以认识点与坐标的对应是本节课教学的难点．
三、问题诊断
1．对于坐标概念有序性的理解也是学生的一个易错点．在辨析用不同有序数对表示同一个点的位置时，首次强调了顺序的重要性；在提炼坐标概念时，再次强调先横后纵，加深印象；在“由坐标描点”的活动中，提出问题“点（3，-3）和点（-3，3）表示同一个点吗？”学生又一次体会了坐标的有序性．这样逐一深入，落实重点．
2．本节课学生不易理解点与坐标的对应，为此教师做了一番精心设计．设计了两个活动：（1）由坐标描点；（2）由点写坐标．使其先通过动手操作实现感性的认识，落实描点与写坐标；再通过利用几何知识解释，进行理性思考，深入体会点与坐标的对应．同时希望学生进一步体会实际问题抽象成数学问题，反过来利用数学问题的解决指导实际．
四、教法特点
1．联系实际，以学生为主体设计教学过程，符合学生的认知规律．无论是六十年校庆做志愿者，还是课间操方队表演，都是选自贴近学生生活的素材，使学生经历由实际问题抽象出数学问题及通过对数学问题的研究解决实际问题的过程，让学生充分感受到数学来源于生活、服务于生活，感受到平面直角坐标系在解决实际问题中的作用．
2．揭示“平面直角坐标系”的形成过程，使学生经历了观察、思考、比较、类比、抽象、概括等一系列思维过程．这样也使得教学过程更符合学生的认知特点，有利于学生能力的培养．
3．改变学生的学习方式是新课程理念的核心，交流讨论是新课标所倡导的学生学习的方式．与之相适应，我在教学中组织学生充分讨论和交流，如：在展示作业环节，在“建立模型、解决问题”环节，在“辨析概念、深入理解”环节．在讨论过程中，一方面学生用数学语言发表自己的想法和观点，倾听他人的思路，从中得到启发，进一步改进和完善自己的想法；另一方面，讨论交流针对的是教学中的重点、难点，针对学生可能碰到的疑难、单独解决有困难处展开．这样就打破了课堂模式单调的局面，使学生间有直接交流合作的机会，真正实现共同学习、共同提高．
从本节课预期教学效果来看，学生的学习兴致会很高．能够初步掌握平面直角坐标系及相关概念，能由坐标描点，由点写出坐标；在轻松愉快的氛围中经历了概念的形成过程，体会几种重要的数学思想方法．
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教案
§6.1.2 平面直角坐标系
课题：平面直角坐标系（第六章第一节第二课时）．
教材：人教版实验教科书《数学》七年级下册．
教学目标：
1．初步掌握平面直角坐标系及相关概念；能由坐标描点，由点写出坐标．
2．经历知识的形成过程，引导学生用类比的方法思考和解决问题，进一步体会数形结合的思想，认识平面内的点与坐标的对应．
3．通过介绍相关数学史培养学生善于观察，勤于思考的品质．
教学重点：平面内点的坐标概念以及由坐标描点和由点写出坐标．
教学难点：认识平面内点与坐标的对应．
教学方法：启发引导与共同讨论．
教学手段：投影和计算机辅助教学．
教学流程：
教学过程设计：
教学环节 教学过程 设计意图
一、展示交流提出问题 【上一节课后作业】
人大附中校庆，你作为志愿者如何为嘉宾描述学校东门的位置？学生作业中提出可能的各种方案：1．坐302路公交车，海淀黄庄南站下车就是人大附中；2．海淀影剧院往南400米；3．从海淀医院向东到海淀黄庄十字路口往南200米；4．用图1表示：（图1） 5．按地图册里表示地理位置的方法（上北下南，左西右东）用图2表示；（图2） 6．从黄庄路口向南200米，向西50米，用有序数对（200，50）表示．……（也许还有其它的答案）……教师针对学生的各种回答及时鼓励、点拨．教师简单总结作业：主要有文字语言描述、图形语言描述两类；重点点评两种描述方法(图1和图2)： 点评作业，复习巩固表示物体位置的方法，也为提出本节课的研究问题创设了情境，贴近学生生活的背景调动学生的学习热情．
教学环节 教学过程 设计意图
在图1这种图示的方法中，将马路看成一条直线，将学校东门等地看作是这条直线上的点，既简洁又清晰．◆问题1你能分别用一个数表示人大附中东门和新中关东门的位置吗？ 以黄庄路口为原点，1米为单位长度，由南向北的方向为正方向，建立一条数轴（如图3），就可以用数-200和200分别表示附中东门和新中关东门的位置． （图3）针对学生可能会有的不同表示方法（如：原点选择不同），引导学生体会：把原点选在黄庄路口，可以用正、负数更好地区分附中东门与新中关东门在黄庄路口的不同方向上．师：实际生活中，我们更习惯于“上北下南、左西右东”的表示方法，将图3改成图4．小结：在建立了数轴之后，这条直线上的点的位置可用一个数（坐标）表示；借助数轴用正负数表示位置可以区分方向．结合图2提出本节研究课题：师： 在这幅图中我们怎样用更简捷的方法表示位置呢？这正是我们这节课要研究的问题：如何表示平面内任意一点的位置． 肯定学生将实际问题数学化．复习数轴及其三要素，为引入新知识作铺垫．回顾数的正负可以表示相反意义的量．由研究直线上点的位置的表示过渡到平面内点的位置的表示．
二、建立模型解决问题 【问题情境】为了分流入场，还有一些嘉宾会从南门进入学校．
教学环节 教学过程 设计意图
（一）独立思考（二）共同讨论（三）类比建系 ◆问题22.1 用几个数可以表示我校南门相对于黄庄路口的位置？为了有一个统一的标准表示位置，确定了在学校附近、大家又比较熟知的黄庄路口作为参照点．学生可能提出的方法：①可以表示南门与黄庄路口的距离（如650米），再说明方向（如南偏西60゜）就可以了； ②可以分别表示附中南门到海淀南路与中关村南大街的距离．针对学生提出的两种方法，教师追问：2.2 只用其中的一个数表示位置可以吗？ ①只用一个数650，可以表示以黄庄路口为圆心，650米长为半径的圆上的所有点的位置；②只用表示方向的角（如南偏西60゜）可以表示平面上的许多点，它们都在射线上；③只用400（或500）可以表示平面上许多个点，它们都在一条直线上．在此思维冲突基础上，明确确定平面内点的位置只用一个数不可以，应该用两个数（有序数对）表示．师：用怎样的有序数对表示？学生答案可能会有：用有序数对（400，500）、（500，400）、（-400，500）、（-500，-400）…表示．2.3 表示的位置相同，为什么有序数对不同？①因为数对的顺序不同，不妨约定先西后南，这样就统一了；②利用正负可以区分方向． 确定参照点，简化研究问题.加深对用两个数表示平面内点的位置的认识．引导学生充分讨论，教师适时点评．体会没有约定序的数对不能确定位置．
教学环节 教学过程 设计意图
（四）解决问题 师：以黄庄路口为原点，竖直方向的数轴，可以区分南北；怎样区分东西方向？再建立一条水平方向的数轴，就可以利用数的正、负区分东西方向了．师：你们简直不得了，这样表示位置的方法就是平面直角坐标系，是当年大数学家笛卡儿发现的．笛卡儿是17世纪法国杰出的数学家、是近代生物学的莫基人、是当时世界一流的物理学家．◆问题3借助平面直角坐标系是否可以表示平面内任意一点相对于黄庄路口的位置？针对图中其它标志性建筑位置，练习说出有序数对.小结：建立两条相互垂直、且原点重合的数轴，就可用有序数对表示平面内点的位置. 引导学生类比着再建一条数轴．鼓励性评价．体会表示方法的一般性．
三、抽象概念辨析理解 引导学生总结：（1）平面直角坐标系的定义．（2）介绍各部分名称.并在图中标出x轴（横轴），y轴（纵轴），原点．各象限. 注意：坐标轴上的点不属于任何一个象限.（3）坐标的定义：由点分别向两轴作垂线，垂足在x轴的坐标a叫做该点的横坐标，垂足在y轴的坐标b叫做该点的纵坐标，有序数对(a，b)就叫做点的坐标．【活动1】由坐标描点1．请你画一个平面直角坐标系（学生相互评判强调细节之处）．2．在你画的坐标系中，描出下列各点，并顺次连结，绘制出图案．（3，6），（3，3），（1，1），（1，-1），（3，-3），（-3，-3），（-1，-1），（-1，1），（-3，3），（-3，6）． 至此形成平面直角坐标系的概念，已水到渠成．落实正确画出坐标系的技能．
教学环节 教学过程 设计意图
问题（1） 怎样描点（3，6）？先在x轴上找出表示3的点，再在y轴上找出表示6的点，过这两个点分别作x轴、y轴的垂线，垂线的交点就是点（3，6）．学生描点，教师巡视；学生相互纠错（图形非奖杯者必有点描错）．问题（2） 点（3，-3）和点（-3，3）表示同一个点吗？说明什么？一般情况下，点的横纵坐标不能颠倒，点的坐标是有序数对．问题（3） 每一个坐标对应一个点，你能用学过的知识解释吗？两条直线相交，有且只有一个交点． 【活动2】由点写坐标 学生做操图片，练习用坐标表示同学们的位置．问题（1） 在坐标平面内，怎样写出点P的坐标？分别过点P向x轴、y轴引垂线，垂足所对应的数分别为a、b，则点P的坐标为（a，b）．问题（2） 一个点的坐标有几个？为什么？只有一个，因为过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．师：我们已经知道直线上的点与数（坐标）是对应的，那么坐标平面上的点与有序数对（坐标）是对应的吗？学生讨论：通过刚才的研究我们发现，平面上的点对应唯一一对坐标，反过来，一对坐标也对应唯一一个点，这表明坐标平面内的点与坐标一一对应．这种思想很重要，同学们在将来的学习中还会遇到，请注意体会．点 —— 坐标 （形）—— （数） 落实由坐标描点的方法，并从感性上体会由坐标到点的对应．体会坐标的有序性．从理性上体会由坐标到点的对应．形成数学来源于生活又服务于生活的认识．落实由点写坐标的方法，从感性上体会由点到坐标的对应．从理性上体会由点到坐标的对应．类比提出问题．
教学环节 教学过程 设计意图
问题（3） 观察平面内点的坐标，特殊位置的点的坐标有哪些特征？ 若学生回答无序，教师引导，解决这样一个问题应该分类．并列表示范：形数点的位置横坐标纵坐标第二象限（x轴上方，y轴左侧） 提出开放性的问题，给下节课学习特殊位置点的坐标作铺垫．体现形数转化．
四、归纳总结提升认识 【了解历史激发兴趣】师：前面提到这种方法是数学家笛卡尔提出的，你知道他是怎样想到这种方法的吗？【相关数学史】关于笛卡儿和平面直角坐标系，有一个有趣的传说：有一天，笛卡儿生病卧床，他看见屋顶有一只蜘蛛，就想怎样确定它的位置？他见蜘蛛拉着丝垂了下来．一会儿，蜘蛛又顺着丝爬了上去，在上面左右拉丝.蜘蛛的“表演”使笛卡儿豁然开朗，他想，可以把蜘蛛看成一个点，它在屋子里可以向上、向下、向左、向右运动，那能不能用横线和竖线描述蜘蛛在网上的位置呢？如果将蜘蛛网看成一个平面，就可以用一组数（a，b）表示平面上的一个点，平面上的一个点也就和一组有序的数对应起来了．于是，在蜘蛛网的启示下，笛卡儿创建了平面直角坐标系．师：从这个传说中可以看出笛卡儿是个勤于思考的人．像瓦特看到蒸汽顶起水壶盖发明了蒸汽机一样，笛卡儿在创建平面直角坐标系的过程中，受到周围一些事物的启发，触发了灵感．我们一定要善于观察、勤于思考．师：谈谈你学习本节课在知识和方法上的收获？学生可能从以下几方面总结：1．了解并会画平面直角坐标系．2．我学会了由点写坐标，由点的坐标描点．3．在学习过程中，我体会到了，平面内的点与有序数的对应．4．数学知识来源于实际生活．5．数学符号太简捷了！ 融入史料，激发学生的学习兴趣，同时培养学生善于思考、发现问题、提出问题的好品质．学法指导——怎样小结一节课．
教学环节 教学过程 设计意图
师强调：1．实际问题到数学问题再到实际问题．2．文字语言到图形语言再到符号语言．3．类比（由数轴到平面直角坐标系）的方法、数形结合的思想．华罗庚说“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．”数形结合的思想方法今后我们会常用到．【作业】A层：教材P43练习题；P44.2 ；P45.4．B层：特殊位置的点的坐标有哪些特征？C层：查阅资料：了解平面直角坐标系以外的各种坐标系． 满足学生多样化需求．
板书设计：§6.1.2 平面坐标系—如何确定平面内任一点的位置直线上的点 一个数 （400，500）平面内的点 两个数 （500，400） 点 坐 标 （-400，500） （-500，-400）
（图4）
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