解直三角形应用 （4）--坡度问题
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汝阳县城关三中导学案
编写人：杜瑞庄
一、课题：解直三角形应用 （4）——坡度问题
二、学习目标：
1.用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度（坡比）问题。
2.进一步培养分析问题、解决问题的能力。
3.渗透数形结合的思想方法，进一步培养用数学的意识。
三、教学重点、难点和疑点
1．重点：解决有关坡度的实际问题．
2．难点：理解坡度的有关术语．
3．疑点：对于坡度i表示成1∶m的形式学生易疏忽，教学中应着重强调，引起学生的重视．
四、知识准备
1.三角函数定义。
sinA=,cosA=,
tanA=，cotA=
2.直角三角形的边角关系:
（1）三边关系： 。
（2）两锐角关系： 。
（3）边角关系：
。
五、预习案
1．预习指导：
通过前面例题的教学，学生已基本了解解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为几何问题加以解决．但此题中提到的坡度与坡角的概念对学生来说比较生疏，同时这两个概念在实际生产、生活中又有十分重要的应用，因此本节课关键是理解坡度与坡角的意义．
【重要概念】坡度与坡角
我们把坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示，常写成ｉ＝（或写成i=1:m）的形式，我们把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
【结合图形思考】:
(1) 坡度i与坡角α之间具有什么关系？
答：i＝＝tan
2．预习测试：
（1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；
（2）已知一段坡面上，铅直高度为，坡面长为，则坡度i=________，坡角=______度．
（3）坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？举例说明．
（4）坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系，举例说明．
3．我的疑惑：
六、探究案：
1．创设情境，学生自主探索．
探究问题：同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如下图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．
引导点拨：
图中ABCD是梯形，若BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成Rt△ABE，矩形BEFC和Rt△CFD，AD=AE+EF+FD，AE、DF可在△ABE和△CDF中通过坡度求出，EF=BC=6m，从而求出AD．
解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，
∴AE=3BE=3×23=69(m)，FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．
因为斜坡AB的坡度i＝tan＝≈0.3333，查表得
α≈18°26′
答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．
七、总结与扩展
1．弄清坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题．
2．认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题．
3．选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错．
4．按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位．
八、训练案
1．（2010四川达州）如图5，一水库迎水坡AB的坡度︰，
则该坡的坡角 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 = 。
2．（2010江苏宿迁）小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m，则他升高了__________m。
3．（2010浙江湖州）河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（ ）
A．5米 B．10米 C．15米 D．10米
4．（2010四川广安）如图．是一座人行天桥的示意图，天桥的高是l0米，坡面的倾斜角为45°，为了方便行人安全过天桥，市政部门决定降低坡度．使新坡面的倾斜角为30°若新坡脚前需留2 ．5米的人行道，问离原坡脚10米的建筑物是否需要拆除 请说明理由(参考数据压)
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九、作业
1．（2010江苏泰州）庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度，山坡长为240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？（将山路AB、AC看成线段，结果保留根号）
2．（2010 四川泸州）如图5，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固.经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：.
（1）求加固后坝底增加的宽度AF；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）
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一、课题：解直三角形应用 （4）——坡度问题
二、学习目标：
1.用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度（坡比）问题。
2.进一步培养分析问题、解决问题的能力。
3.渗透数形结合的思想方法，进一步培养用数学的意识。
三、教学重点、难点和疑点
1．重点：解决有关坡度的实际问题．
2．难点：理解坡度的有关术语．
3．疑点：对于坡度i表示成1∶m的形式学生易疏忽，教学中应着重强调，引起学生的重视．
四、知识准备
1.三角函数定义。
sinA=,cosA=,
tanA=，cotA=
2.直角三角形的边角关系:
（1）三边关系： 。
（2）两锐角关系： 。
（3）边角关系：
。
五、预习案
1．预习指导：
通过前面例题的教学，学生已基本了解解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为几何问题加以解决．但此题中提到的坡度与坡角的概念对学生来说比较生疏，同时这两个概念在实际生产、生活中又有十分重要的应用，因此本节课关键是理解坡度与坡角的意义．
【重要概念】坡度与坡角
我们把坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示，常写成ｉ＝（或写成i=1:m）的形式，我们把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
【结合图形思考】:
(1) 坡度i与坡角α之间具有什么关系？
答：i＝＝tan
2．预习测试：
（1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；
（2）已知一段坡面上，铅直高度为，坡面长为，则坡度i=________，坡角=______度．
（3）坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？举例说明．
（4）坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系，举例说明．
3．我的疑惑：
六、探究案：
1．创设情境，学生自主探索．
探究问题：同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如下图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．
引导点拨：
图中ABCD是梯形，若BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成Rt△ABE，矩形BEFC和Rt△CFD，AD=AE+EF+FD，AE、DF可在△ABE和△CDF中通过坡度求出，EF=BC=6m，从而求出AD．
解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，
∴AE=3BE=3×23=69(m)，FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．
因为斜坡AB的坡度i＝tan＝≈0.3333，查表得
α≈18°26′
答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．
七、总结与扩展
1．弄清坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题．
2．认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题．
3．选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错．
4．按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位．
八、训练案
1．（2010四川达州）如图5，一水库迎水坡AB的坡度︰，
则该坡的坡角 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 = 。
2．（2010江苏宿迁）小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m，则他升高了__________m。
3．（2010浙江湖州）河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（ ）
A．5米 B．10米 C．15米 D．10米
4．（2010四川广安）如图．是一座人行天桥的示意图，天桥的高是l0米，坡面的倾斜角为45°，为了方便行人安全过天桥，市政部门决定降低坡度．使新坡面的倾斜角为30°若新坡脚前需留2 ．5米的人行道，问离原坡脚10米的建筑物是否需要拆除 请说明理由(参考数据压)
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九、作业
1．（2010江苏泰州）庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度，山坡长为240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？（将山路AB、AC看成线段，结果保留根号）
2．（2010 四川泸州）如图5，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固.经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：.
（1）求加固后坝底增加的宽度AF；
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