【湘教版】高一（下）数学必修4同步辅导练习题十三

数学综合练习题十三
一概念复习:
1．常用的算法语句及格式。程序框图和画法。
2．随机抽样方法。简单随机抽样，分层抽样和系统抽样。用样本估计总体。
3．频率分布直方图的画法意义。
3．随机事件的概率。互斥事件，对立事件。
4．古典概型和几何概型的计算。
5．正弦定理和余弦定理。它们解决的几种题型。解三角形问题中的思路。
6.任意角的三角函数的定义。各象限的三角函数的符号。诱导公式。
7.同角三角函数关系。求值问题的三种类型。
8.和差倍半公式。
一、选择题
1．假设吉利公司生产的“远景”、“金刚”、“自由舰”三种型号的轿车产量分别是1600辆、6000辆和2000辆，为检验公司的产品质量，现从这三种型号的轿车中抽取48辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取( ) A．16，16，16； B．8，30，10 ；
C．4，33，11； D．12，27，9.
2．如下右框图输出的S为（ ）
A 15； B 17； C 26； D 40
3.如左下图算法输出的结果是 ( )
A.满足1×3×5×…×n＞2005的最小整数n
B. 1+3+5+…+2005
C.求方程1×3×5×…×n=2005中的n值
D. 1×3×5×…×2005



4．从装有3个白球,2个黑球的盒子中任取两球,则取到全是白球的概率是( )
A. B. C. D. 21世纪教育网
5．从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
6．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为[CK]
A． B． C． D．
7．下列关于算法的说法中正确的个数有 （ ）
①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；④算法执行后一定产生确定的结果。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8．是，，，的平均数，是，，，的平均数，是，，，的平均数，则下列各式正确的是 （ ）
A. B．
C． D．
9.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况， 记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 ( )
（A）分层抽样法，系统抽样法 （B）分层抽样法，简单随机抽样法
（C）系统抽样法，分层抽样法 （D）简单随机抽样法，分层抽样法
10．sin()= ( )
A. B. C. - D. -
11．已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+ 3b| = （ ）
A． B． C． D．4
12．已知函数的一部分图象如右图所示，如果，则
A. B.　
　
C. D.
13．有下列四种变换方式:
①向左平移,再将横坐标变为原来的; ②横坐标变为原来的,再向左平移;
③横坐标变为原来的,再向左平移; ④向左平移,再将横坐标变为原来的;
其中能将正弦曲线的图像变为的图像的是（ ）
①和② ①和③ ②和③ ②和④
14.在△ABC中,a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)的值是( )
A. B.0 C.1 D.π
15．在边长为的正三角形ABC中，设=c, =a, =b,则a·b+b·c+c·a等于（ ）
A．0 B．1 C．3 D．－3
16. 等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 55 B. 95 C. 100 D. 190
二、填空题
17．掷两枚骰子，出现点数之和为3的概率是
18．已知的平均数为a，则的平均数是 .
19．如右图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长。在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为 。（用分数表示）
20．|a|=4 , |b|=5 , |a－b|=,则 a , b的夹角的大小为 .
21．函数y=2cos()的单调递减区间是___________________.
三、解答题
22.（10分）已知并与向量的关系为,
（Ⅰ）求向量的坐标；（Ⅱ）求的值.
23.给出30个数：1，2，4，7，……，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1, 第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，依此类推.要计算这30个数的和，现已给出了该问题算法的程序框图（如图所示），
（I）请在图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能；
（II）根据程序框图写出程序。

24. 在4和64之间依次插入三个正数a、b、c，使4、a、b及b、c、64依次成等比数列，且a、b、c依次成等差数列，求a、b、c的值。
25．为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8：00—10：00间各自的点击量，得如下所示的统计图，根据统计图：
（1）甲、乙两个网站点击量的极差分别是多少？
（2）甲网站点击量在[10，40]间的频率是多少？
（3）甲、乙两个网站哪个更受欢迎？并说明理由。
26．有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：
（1）列出样本的频率分布表；（2）画出频率分布直方图和频率折线图。
21世纪教育网
27．x∈[],求y=2sinx+2cosx+2sin2x－1的最值
28．在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：
摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱。
（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？
（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？
（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？
29．（1）某海上缉私小分队驾驶缉私艇以的速度从处出发沿北偏东的方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达处，发现在北偏西的方向上有一艘船，船位于处北偏东的方向上，求缉私艇与船的距离。
（2）已知顶点的直角坐标分别为，，．（1）若，求的值；（2）若是钝角，求的取值范围．
21．（1）解：如图，由题意，，
所以，由正弦定理：
即
故缉私艇与船的距离为
（2）解析： （1），，若c=5， 则，∴，∴sin∠A＝；
2）若∠A为钝角，则解得，∴c的取值范围是；
1、an={ 注意验证a1是否包含在an 的公式中。
2、

3、等差数列中an=a1+(n-1)d;Sn===
等比数列中an= a1 qn-1;当q=1,Sn=na1 当q≠1,Sn==
4. 常用性质：等差数列中, an=am+ (n－m)d, ;当m+n=p+q,am+an=ap+aq；
等比数列中，an=amqn-m; 当m+n=p+q ，aman=apaq；
5. 等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。
等比数列{an}的任意连续m项的和且不为零时构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。 如：公比为-1时，、-、-、…不成等比数列
6、终边相同(β=2kπ+α); 弧长公式：，扇形面积公式：，1弧度(1rad).
7、函数y=b（）①五点法作图;②振幅?相位?初相?周期T=,频率?φ=kπ时奇函数;φ=kπ+时偶函数.③对称轴处y取最值,对称中心处值为0;余弦正切可类比.
④变换:φ正左移负右移；b正上移负下移;

8、正弦定理:2R===;余弦定理：a=b+c-2bc,;
9、诱导公式简记:奇变偶不变,符号看象限．(注意：公式中始终视(为锐角)
10、重要公式： ；．；;
11巧变角：如，，，，等）
12、辅助角公式中辅助角的确定：(其中)
13、, 44向量b在方向上的投影︱b︱cos＝
14、 和是平面一组基底,则该平面任一向量(唯一)
特别：. ＝则是三点P、A、B共线的充要条件
15、在中， 为的重心，
特别地为的重心；
16、为的垂心；
17、向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；
的内心；
17、随机事件的概率，其中当时称为必然事件；当时称为不可能事件P(A)=0；
等可能事件的概率（古典概率）：:P(A)=m/n互斥事件(不可能同时发生的):P(A+B)=P(A)+P(B) 独立事件(事件A、B的发生互不影响):P(A?B)＝P(A)·P(B) 独立事件重复试验：:Pn(K)=Cnkpk(1-p)n-k 为A在n次独立重复试验中恰发生k次的概率。
18、总体、个体、样本、样本容量;抽样方法:①简单随机抽样(包括随机数表法,抽签法)②分层抽样(用于个体有明显差异时). 共同点：每个个体被抽到的概率都相等。
19、总体分布的估计样本平均数：
样本方差：；＝(x12+x22+ x32+…+xn2－n)
方差和标准差用来衡量一组数据的波动大小，数据方差越大，说明这组数据的波动越大。
提醒：若的平均数为，方差为，则的平均数为，方差为。
数学综合练习题十三
一概念复习:
1．常用的算法语句及格式。程序框图和画法。
2．随机抽样方法。简单随机抽样，分层抽样和系统抽样。用样本估计总体。
3．频率分布直方图的画法意义。
3．随机事件的概率。互斥事件，对立事件。
4．古典概型和几何概型的计算。
5．正弦定理和余弦定理。它们解决的几种题型。解三角形问题中的思路。
6.任意角的三角函数的定义。各象限的三角函数的符号。诱导公式。
7.同角三角函数关系。求值问题的三种类型。
8.和差倍半公式。
26、an={ 注意验证a1是否包含在an 的公式中。
27、

29、等差数列中an=a1+(n-1)d;Sn===
等比数列中an= a1 qn-1;当q=1,Sn=na1 当q≠1,Sn==
30. 常用性质：等差数列中, an=am+ (n－m)d, ;当m+n=p+q,am+an=ap+aq；
等比数列中，an=amqn-m; 当m+n=p+q ，aman=apaq；
31. 等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。
等比数列{an}的任意连续m项的和且不为零时构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。 如：公比为-1时，、-、-、…不成等比数列
35、终边相同(β=2kπ+α); 弧长公式：，扇形面积公式：，1弧度(1rad).
36、函数y=b（）①五点法作图;②振幅?相位?初相?周期T=,频率?φ=kπ时奇函数;φ=kπ+时偶函数.③对称轴处y取最值,对称中心处值为0;余弦正切可类比.
④变换:φ正左移负右移；b正上移负下移;

37、正弦定理:2R===;余弦定理：a=b+c-2bc,;
39、诱导公式简记:奇变偶不变,符号看象限．(注意：公式中始终视(为锐角)
40、重要公式： ；．；;
41巧变角：如，，，，等）
42、辅助角公式中辅助角的确定：(其中)
43、, 44向量b在方向上的投影︱b︱cos＝
45、 和是平面一组基底,则该平面任一向量(唯一)
特别：. ＝则是三点P、A、B共线的充要条件
46、在中， 为的重心，
特别地为的重心；
47、为的垂心；
48、向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；
的内心；
96、随机事件的概率，其中当时称为必然事件；当时称为不可能事件P(A)=0；
等可能事件的概率（古典概率）：:P(A)=m/n互斥事件(不可能同时发生的):P(A+B)=P(A)+P(B) 独立事件(事件A、B的发生互不影响):P(A?B)＝P(A)·P(B) 独立事件重复试验：:Pn(K)=Cnkpk(1-p)n-k 为A在n次独立重复试验中恰发生k次的概率。
97、总体、个体、样本、样本容量;抽样方法:①简单随机抽样(包括随机数表法,抽签法)②分层抽样(用于个体有明显差异时). 共同点：每个个体被抽到的概率都相等。
98、总体分布的估计样本平均数：
样本方差：；
＝(x12+x22+ x32+…+xn2－n)
方差和标准差用来衡量一组数据的波动大小，数据方差越大，说明这组数据的波动越大。
提醒：若的平均数为，方差为，则的平均数为，方差为。
一、选择题（4分10=40分）
1．假设吉利公司生产的“远景”、“金刚”、“自由舰”三种型号的轿车产量分别是1600辆、6000辆和2000辆，为检验公司的产品质量，现从这三种型号的轿车中抽取48辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取( B ) A．16，16，16； B．8，30，10 ；
C．4，33，11； D．12，27，9.
2．如下右框图输出的S为（ D）
A 15； B 17； C 26； D 40
3.如左下图算法输出的结果是 ( A )
A.满足1×3×5×…×n＞2005的最小整数n
B. 1+3+5+…+2005
C.求方程1×3×5×…×n=2005中的n值
D. 1×3×5×…×2005


(第5题)
4．从装有3个白球,2个黑球的盒子中任取两球,则取到全是白球的概率是(A)
A. B. C. D. 21世纪教育网
5．从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是(C)
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
6．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为[CK]
A． B． C． D． B
7．下列关于算法的说法中正确的个数有 （C）
①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；④算法执行后一定产生确定的结果。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8．是，，，的平均数，是，，，的平均数，是，，，的平均数，则下列各式正确的是 （A）
A. B．
C． D．
9.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况， 记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 ( B )
（A）分层抽样法，系统抽样法 （B）分层抽样法，简单随机抽样法
（C）系统抽样法，分层抽样法 （D）简单随机抽样法，分层抽样法
10．sin()= ( B )
A. B. C. - D. -
11．已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+ 3b| = （ C ）
A． B． C． D．4
12．已知函数的一部分图象如右图所示，如果，则C
A. B.　
　
C. D.
13．有下列四种变换方式:
①向左平移,再将横坐标变为原来的; ②横坐标变为原来的,再向左平移;
③横坐标变为原来的,再向左平移; ④向左平移,再将横坐标变为原来的;
其中能将正弦曲线的图像变为的图像的是（ A ）
①和② ①和③ ②和③ ②和④
14.在△ABC中,a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)的值是( B )
A. B.0 C.1 D.π
15．在边长为的正三角形ABC中，设=c, =a, =b,则a·b+b·c+c·a等于（ D ）
A．0 B．1 C．3 D．－3
16. 等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 55 B. 95 C. 100 D. 190
二、填空题（4分4=16分）
17．掷两枚骰子，出现点数之和为3的概率是 1/18
18．已知的平均数为a，则的平均数是
3a+2
19．如右图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长。在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为 。（用分数表示）
20．|a|=4 , |b|=5 , |a－b|=,则 a , b的夹角的大小为 .
21．函数y=2cos()的单调递减区间是___________________.
（A）、[kπ+,kπ+]（B）、[kπ-,kπ+]（C）、[2kπ+,kπ+]（D）、[2kπ-,kπ+]
三、解答题
22.（10分）已知并与向量的关系为,
（Ⅰ）求向量的坐标；（Ⅱ）求的值.
（） 23
23.给出30个数：1，2，4，7，……，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1, 第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，依此类推.要计算这30个数的和，现已给出了该问题算法的程序框图（如图所示），
（I）请在图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能；
（II）根据程序框图写出程序。





24. 在4和64之间依次插入三个正数a、b、c，使4、a、b及b、c、64依次成等比数列，且a、b、c依次成等差数列，求a、b、c的值。
12.
25．为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8：00—10：00间各自的点击量，得如下所示的统计图，根据统计图：
（1）甲、乙两个网站点击量的极差分别是多少？
（2）甲网站点击量在[10，40]间的频率是多少？
（3）甲、乙两个网站哪个更受欢迎？并说明理由。
26．有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：
（1）列出样本的频率分布表；（2）画出频率分布直方图和频率折线图。
21世纪教育网
27．x∈[],求y=2sinx+2cosx+2sin2x－1的最值
28．在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：
摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱。
（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？
（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？
（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？
29．（1）某海上缉私小分队驾驶缉私艇以的速度从处出发沿北偏东的方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达处，发现在北偏西的方向上有一艘船，船位于处北偏东的方向上，求缉私艇与船的距离。
（2）已知顶点的直角坐标分别为，，．（1）若，求的值；（2）若是钝角，求的取值范围．
21．（1）解：如图，由题意，，
所以，由正弦定理：
即
故缉私艇与船的距离为
（2）解析： （1），，若c=5， 则，∴，∴sin∠A＝；
2）若∠A为钝角，则解得，∴c的取值范围是；