导数综合复习（有答案）

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导数综合复习
例题精讲
例1 已知曲线y=和这条曲线上的一点P(2,),判断曲线y=在点P处是否有切线,如果有,求出切线方程.
分析一:本题考查导数的几何意义.对斜率存在的情况,可将切线是否存在的问题转化为研究割线PQ的斜率的极限问题,因而可先求出函数的增量Δy,写出kPQ,再讨论kPQ的极限.
解法一:在曲线y=上点P附近取一点Q.设Q点的横坐标为2+Δx,则点Q的纵坐标为.
∴函数的增量Δy=.
∴割线PQ的斜率.
∴Δx→0时,kPQ有极限为,这表明曲线y=在点P处有切线,且切线的斜率是,由点斜式可得切线方程为y－=(x－2),即x－4y+2=0.
分析二:函数y=是可导的.对y=求导,就得到曲线y=的切线的斜率.在x=2处切线的斜率就是导函数在该点处的函数值.
解法二:y′=()′=. ∴y′|x=2=.
由点斜式可得在P点处切线的方程为y－=(x－2), 即x－4y+2=0.
评注:本题主要考查导数的几何意义.过曲线上一点P,若存在切线,则切线是过该点的割线PQ的极限位置,从而反映了事物之间量变到质变的辩证关系.
例2 求函数y=lg(1+cos2x)的导数.
分析:求复合函数的导数关键在于分清函数的复合关系,选好中间变量.复合函数的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.解题的过程不必写出中间步骤,可直接运算.
解:由y=lg(1+cos2x)得
说明:可先把1+cos2x化简为2cos2x,再求导.
评注:对复合函数的求导,关键是要分清函数的复合过程.中间变量选取的依据是该变量是我们熟悉的导数公式的形式.我们要牢记导数的运算法则和常见函数的导数.注意观察分析函数的结构形式,有的题目经过同解变形后再求导更简单.
例3 物体的运动方程是s=－t3+3t2－2,求物体在t=3时的速度.
例4
分析:以题目的物理意义为切入点,即瞬时速度是位移函数s(t)对时间t的导数,同时应掌握常见函数的导数及导数的运算法则.
解:∵s=－t3+3t2－2, ∴s′=－×3t2+3×2t=－t2+6t.
∴s′|t=3=－×32+6×3=15, 即物体在t=3时的速度为15.
评注:掌握导数的物理意义,即s(t)对t的导数是t时刻的瞬时速度.v(t)对t的导数是t时刻的加速度.学会用数学的方法解决物理问题,以培养学生的应用能力.
例4在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？
分析：解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数.把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解.
解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km,则
∵BD=40,AC=50－x,
∴BC=
又设总的水管费用为y元，依题意有：
y=30(5a－x)+5a (0＜x＜50)
y′=－3a+,令y′=0,解得x=30
在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，
函数在x=30(km)处取得最小值，此时AC=50－x=20(km)
∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.
解法二：设∠BCD=Q,则BC=,CD=40cotθ,(0＜θ＜),∴AC=50－40cotθ
设总的水管费用为f(θ),依题意，有
f(θ)=3a(50－40·cotθ)+5a·
=150a+40a·
∴f′(θ)=40a·
令f′(θ)=0,得cosθ=
根据问题的实际意义，当cosθ=时，函数取得最小值，此时sinθ=,∴cotθ=,
∴AC=50－40cotθ=20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.
评注：
1.f(x)在某个区间内可导，若f′(x)＞0,则f(x)是增函数；若f′(x)＜0,则f(x)?是减函数.
2.求函数的极值点应先求导，然后令y′=0得出全部导数为0的点，(导数为0的点不一定都是极值点，例如：y=x3,当x=0时，导数是0，但非极值点)，导数为0的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的y′的符号，若改变符号，则该点为极值点；若不改变符号，则非极值点，一个函数的极值点不一定在导数为0的点处取得，但可得函数的极值点一定导数为0.
3.可导函数的最值可通过(a,b)内的极值和端点的函数值比较求得，但不可导函数的极值有时可能在函数不可导的点处取得，因此，一般的连续函数还必须和导数不存在的点的函数值进行比较，如y=|x|,在x=0处不可导，但它是最小值点.
练习优选
一、选择题
1.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为
A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44
2.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y+1=0,则
A.f′(x0)>0 B.f′(x0)=0 C.f′(x0)<0 D.f′(x0)不存在
3.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)－f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a、b为常数),则
A.f′(x)=a B.f′(x)=b C.f′(x0)=a D.f′(x0)=b
4.下列四个命题中,正确命题的个数为
①若f(x)=,则f′(0)=0
②若函数f(x)=2x2+1,图象上点(1,3)的邻近一点为(1+Δx, 3+Δy),则=4+2Δx
③加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数
④曲线y=x3在(0,0)处没有切线
A.1 B.2 C.3 D.4
5.设函数f(x)在x=x0处可导,则
A.与x0、h都有关 B.仅与x0有关，而与h无关
C.仅与h有关,而与x0无关 D.与x0、h均无关
6、函数y=xcosx－sinx的导数为
A.xsinx B.－xsinx C.xcosx D.－xcosx
7.已知函数y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2=0平行,则y′|x=2等于
A.－3 B.－1 C.3 D.1
8..设f(x)=(x≠－1),则f′(x)等于
A.3x2－2x+1 B.3x2+2x+1 C.3x2－2x－1 D.x2－2x+1
9、数y=sin2x在点M()处的切线斜率为
A.－1 B.－2 C.1 D.2
10.函数y=exlnx的导数是
A.y′= B.y′=exlnx C.y′=exlnx+ D.y′=
11..若曲线y=x2－1与y=1－x3在x=x0处的切线互相垂直,则x0等于
A. B.－ C. D.或0
12、.函数y=x3+x的单调增区间为
A.(－∞,+∞) B.(0,+∞) C.(－∞,0) D.不存在
13.若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,则函数f′(x)的图象是
14.下图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下面判断正确的是
A.在区间(－2,1)内f(x)是增函数 B.在(1,3)内f(x)是减函数
C.在(4,5)内f(x)是增函数 D.在x=2时,f(x)取到极小值
15、.下列说法正确的是
A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值
C.对于f(x)=x3+px2+2x+1,若|p|<,则f(x)无极值 D.函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值
二、填空题
16.已知曲线y=－1上两点A(2,－)、B(2+Δx,－+Δy),当Δx=1时,割线AB的斜率
为__________.
17.设f(x)=sin2,则f′(x)=__________.
18、若曲线y=－x3+3与直线y=－6x+b相切,则b为__________.
19、.若f′(x0)=1,则=__________.
20.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f(x)g′(x)+f′(x)g(x)>0且g(－3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是__________.
三、解答题
21.求函数y=的导数.
22. 设函数f(x)=ax3+3x2+2,若f′(－1)=4,试求a的值.
23.求函数y=(+1)(－1)的导数.
25. 设f(x)=试讨论当a、b为何值时,f(x)在x=1处可导.
26.已知抛物线y=ax2+bx+c通过点(1,1),且在点(2,－1)处与直线y=x－3相切,求a、b、c的值.
26、某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？
27.已知函数y=ax与y=－在区间(0，+∞)上都是减函数，试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.
参考答案：
一、1、:B 2、C 3、 C 4、A 5、:B 6、B 7、:C 8、:C 9、:C 10、:C
11、:A 12、A 13、:A 14、C 15、C
二、16、:－ 17、 18、3±4 19、－ 20、(－∞,－3)∪(0,3)
三、
21分析:本题主要考查导数的概念.可直接运用导数的运算法则求解,也可用导数的定义求解,若用定义求解时,应先求函数值的增量Δy,再求平均变化率,最后求极限,得导数.
解法一:∵y=,∴y′=.
解法二:∵Δy=, ∴. ∴ =［－4·］=－. ∴y′=－.
22、解:∵f(x)=ax3+3x2+2,∴f′(x)=(ax3)′+(3x2)′=3ax2+6x.
∵f′(－1)=4,∴3a－6=4. ∴a=.
23解法一:∵y=(+1)(－1),
∴y′=(+1)′(－1)+(+1)(－1)′=(－1)－(+1)=－(1+).
解法二:y=(+1)(－1)=. ∴.
25 解:要使f(x)在x=1处可导,则f(x)在x=1处必连续, 则f(x)=f(1),即a+b=1.
又若存在,则当x=1时,有=.
∵==(2+Δx)=2,==b,
∴b=2,a=－1, 即当a=－1,b=2时,函数f(x)在x=1处可导.
26解:∵f(1)=1,∴a+b+c=1. 又f′(x)=2ax+b,
∵f′(2)=1,∴4a+b=1. 又切点(2,－1),∴4a+2b+c=－1. 把①②③联立得方程组解得 即a=3,b=－11,c=9.
27、解：要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短.如下图所示，设场地一边长为x m，则另一边长为 m，因此新墙总长度L=2x+(x>0),
L′=2－. 令L′=2－=0,得x=16或x=－16. ∵x>0,∴x=16. ∵L在(0,+∞)上只有一个极值点,∴它必是最小值点. ∵x=16,∴=32. 故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省.
注：本题也可利用均值不等式求解.
27、分析：本题主要考查利用导数确定函数的单调区间.可先由函数y=ax与y=－的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.
解：∵函数y=ax与y=－在区间(0，+∞)上是减函数，∴a<0,b<0. 3分
由y=ax3+bx2+5,得y′=3ax2+2bx. 6分
令y′>0，即3ax2+2bx>0,∴－因此当x∈(－,0)时，函数为增函数; 8分
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