第二十八章锐角三角函数全章教案
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| 名称 | 第二十八章锐角三角函数全章教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-04-21 12:54:00 | ||
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文档简介
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义务教育课标实验教科书数学九年级（下）
28.1.1锐角三角函数
学 校 主备人 时 间
设 计理 念 注重学生经历观察、操作等探索过程，强调学生对知识的感觉与对新知识的理解与认知。鼓励学生自主探索与合作交流，培养学生概括的能力，使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
教学目标 1、知识目标：使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定这一事实，进而认识正弦（sinA）．2、技能目标：经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维．3、情感态度与价值观：使学生体验数学活动充满着探索与创造，能积极参与数学学习活动
重 点 使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，认识正弦（sinA）．
难 点 学生很难想到对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论．
方 法 体验、探索式教学 课 型 新授课
教 学 过 程
教学环节 教 学 内 容 师生活动 设计意图
观察发现 问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？思考：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？若斜坡与水平面所成角的度数是45°，结果会如何呢？3．若斜坡与水平面所成角的度数是40°，结果会如何呢？4．若已知出水口高度为40m，斜坡上铺设的水管长50m，那么斜坡与水平面所成角的度数是多少呢？ 教师提出问题，给学生一定的时间进行思考，之后可让学生进行交流。得到在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都是 由实际需要引出新知．前两个问题学生很容易回答．主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识．后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对九年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用．
二、探究说理 1．请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边与斜边的比值．2．请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对边与斜边的比值。 教师提出问题后，学生积极动手，学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值． 在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探究说理
三、感悟深化 任意画Rt△ABC和Rt△A1B1C1，使得∠C=∠C1 =90°，∠A==，那么有什么关系，你能解释一下吗？经过学生的实验和证明，得出： 在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine）,记作：sinA， 即．同样sinB= 1、通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，一旦角度确定，它的对边与斜边的比值也随之确定”．但是怎样证明这个命题呢？学生这时的思维很活跃．对于这个问题，部分学生可能能解决它．因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成．2、学生经过研究，也许能解决这个问题．若不能解决，教师可适当引导： 通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到知识教学目标，同时培养学生观察问题、解决问题的能力， 起到培养学生思维能力的作用
四、巩固提高 （1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值．（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求sinA的sinB的值；（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，求sinA的sinB的值． 学生独立完成，教师巡视，对学习基础较弱的学生及时给予指点． 巩固正弦概念，学会一种新的解题格式．求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比．
五、体验收获 一、在Rt△ABC中，∠C =90°： 即．同样sinB=当∠A=300时，sinA=？当∠A=450时，sinA=？当∠A=600时，sinA=？二、注意：1、sinA不是 sin与A的乘积，而是一个整体；2、正弦的三种表示方式：sinA、sin56°、sin∠DEF3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位。 教师引导学生作知识总结，不断扩充学生的知识结构，学习新的解题方法． 培养学生概括的能力，使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
六、实践延伸 1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是﹙） A． B． C． D．2．如图，在直角△ABC中，∠C＝90o，若AB＝5，AC＝4，则sinA＝（ ）A． B． C． D．3． 在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=，则边AC的长是( )A． B．3 C． D． 4．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AB＝5，BC＝3．则sin∠BAC= ；sin∠ADC= ．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD＝（ ）A． B． C． D．6、探索与思考：如图，在梯形ABCD中，AB//DC，∠BCD=，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.⑴求证：DC=BC；⑵E是梯形内的一点，F是梯形外的一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；⑶在⑵的条件下，当BE:CE=1:2，∠BEC=时，求sin∠BFE的值。
七、预习探究 在Rt△ABC中，∠C =90°：当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其它边之间的比是否也随之确定？为什么？ 给学生留下思考的空间。
义务教育课标实验教科书数学九年级（下）
28.1.2锐角三角函数
学 校 主备人 时 间
设 计理 念 注重学生经历观察、操作等探索过程，用类比的方法得到在直角三角形中，邻边与斜边、对边与邻边的比值也是固定值这一事实，发展学生的形象思维．
教学目标 1、知识目标：使学生在上节课的基础上知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也是固定值这一事实，进而认识余弦（cosA）、正切（tanA），进而得到锐角三角函数的概念．2、技能目标：在直角三角形中，进一步建立边与角之间的关系，为解决有关三角形的问题做好准备．3、情感态度与价值观：使学生体验数学活动充满着探索与创造，能积极参与数学学习活动，感受数学结论的确定性．
重 点 使学生知道当锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也是固定值这一事实，认识余弦（cosA）、正切（tanA），从而得到锐角三角函数的概念
难 点 正弦、余弦、正切概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，用含几个字母的符号组来表示， 因此概念是难点．
方 法 课 型
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
观察发现 复习引入： 问题：什么叫做正弦，如何表示？它是如何引入的？探究活动：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（记作：cosA）,即；∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（记作：tanA）,即；锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 教师提出问题，学生在思考的基础上作答．教师要关注学生对问题的理解学生的探讨、交流，归纳出：当锐角A的大小确定后，∠A邻边与斜边的比、对边与邻边的比都是固定值，从而引出结论。 只要直角三角形的锐角固定，它的对边与斜边的比值也固定．这样只要能求出这个比值，那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而解了．用类比的方法引出本节课的知识，学生自然产生想学习的欲望，产生浓厚的学习兴趣。
二、探究说理 当∠A为锐角时，sinA、cosA、tanA的值会在什么范围内？得结论0＜sinA＜1，0＜cosA＜1(∠A为锐角)． 培养学生观察、思考的学习习惯，并发展学生的数形结合思想．
三、感悟深化 2、sin2a +cos2a =13、tan a = 为了巩固余弦、正切概念，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点．进一步巩固所学知识．
四、巩固提高 例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求coaA、tanA、cosB和tanB的值．例2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，，求cosA、tanB的值． 教师出示练习，学生认真思考后独立解答 巩固余弦、正切概念，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点。在此渗透解直角三角形的方法，即已知一锐角的正弦值和它的对边求斜边的方法。
五、体验 收获 问题：在本节课中，你有哪些收获要与大家交流？1．主要研究了锐角的余弦、正切和锐角三角函数概念，2．知道任意锐角A的正、余弦值都在0～1之间，即0＜sinA＜1,0＜cosA＜1,tanA＞0． 3．利用锐角三角函数的定义得到直角三角形中的边角关系，从而为解决直角三角形的问题指出了新的方法．
六、实践延伸 （1）复习所学知识，记忆三个锐角三角函数； （2）归纳30°、45°、60°的锐角三角函数值． （3）补充题：已知Rt中，，，，所对的边分别是，，，且，，求sinA、cosA、tanA的值． 教师布置作业，学生记录并认真独立完成． 巩固本节课所学的知识，并为下节课的教学做准备．
七、预习探究 两块三角尺中有几个不同的锐角？这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值各是多少？ 引导学生做好预习准备工作。
义务教育课标实验教科书数学九年级（下）
28.1.3锐角三角函数
学 校 主备人 时 间
设 计理 念 加深学生对锐角三角函数的认识，了解特殊与一般的关系，并对学生进行逆向思维的训练。
教学目标 熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数。3、引导学生积极参加数学活动，增强学习数学的好奇心。
重 点 会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子。
难 点 会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数。
方 法 课 型
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
一、观察发现 复习引入：练习：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，求∠B的锐角三角函数值．说出30°、45°、60°的各个锐角三角函数值．30°45°60°sinAcosAtanA 教师提出问题，学生思考并解答，教师关注学生对特殊角三角函数值的记忆方法和正确率。教师可用列表的方法表示特殊角的三角函数值，教给学生记忆的方法，并引导学生观察此表格，归纳出一些规律。 回忆所学内容，为本节课的教学做好准备。
二、探究说理 例题分析例1：求下列各式的值： （1）； （2） 教师出示题目后，学生观察题目特点，找到解题方法，即将特殊三角函数值代入求值。 再次熟悉特殊角的三角函数值，并培养学生的运算能力。
三、感悟深化 （1）如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=，求∠A的度数． （2）如图（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径）OB的倍，求．分析：如图（1），BC边是∠A的邻边，AB是斜边，由此想到利用∠A的余弦值来求∠A的度数．图（2）中，OA是角的对边，OB是角的邻边，由此想到利用角的正切值来求角的度数 教师出示题目后，让学生认真读题，分析题目条件与要求的结论，分析它们之间的关系，教师关注学生的分析思路，适当时给予指点 利用此题目（1）培养学生的逆向思维；（2）初次渗透在直角三角形中，利用边角关系求角的度数，这也是解直角三角形的一部分。
四、巩固提高 练习一、1．P83页：练习12． 求下列各式的值：(1)2sin30°+3tg30°+ctg45°；(2)cos245°+tg60°·cos30°练习二、1．求出下列各锐角的度数：（1）；（2）；（3）；（4）． 巩固所学知识，加深对知识的理解，并能独立的完成解题过程。
五、体验收获 你在本节课中有什么收获与大家交流？特殊角的三角函数值必须熟记；2．在直角三角形中，知道两边，可求出每个锐角的各个三角函数；反之，由特殊角的三角函数值，可求出锐角的度数． 学生总结知识点，交流学习中的点滴收获以及使用哪些数学方法。 为下节课用计算器求任意角的三角函数值和由已知任意角的某个三角函数值而求出它所对应的锐角埋下伏笔。
六、实践延伸 1、在Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的各三角函数值（ ）A．都扩大2倍 B. 都缩小到一半 C．没有变化 D. 不能确定2、 在Rt△ABC中，∠C = 90°，则SinB + CosB的值（ ） A大于1 B小于1 C等于1 D不确定3、下列名式中，错误的是（ ） A． B. tan 80＞tan90 C． D. 以上都是错误的4、若α+β=90 ，且，则cosβ= 。5、将cos21 、cos37 、sin41 、cos46 的值按由小到大的顺序排列是： 。 6、△ABC中,若∠A,∠B都是锐角,且sinA=,sinB=,你能判断出△ABC的形状吗 7、已知Rt△ABC中,∠C=90°,a+b=2+2,c=4,求锐角A的度数.
七、预习探究 1、如何得到cos21 、tan37 、sin41 、cos46 的值？2、能否由任意的锐角求出三角函数值，或知道任意三角函数值都可以求出它所对应的锐角呢？
义务教育课标实验教科书数学九年级（下）
28.1.4锐角三角函数
学 校 主备人 时 间
设 计理 念 进一步加深学生对锐角三角函数的理解，学会正确使用计算器
教学目标 1、让学生熟识计算器一些功能键的使用2、会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角3、引导学生积极参加数学活动，增强学习数学的好奇心。
重 点 运用计算器处理三角函数中的值或角的问题
难 点 知道值求角的处理
方 法 课 型
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
一、观察发现 复习引入 通过上课的学习我们知道，当锐角A是等特殊角时，可以求得这些角的正弦、余弦、正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？我们可以用计算器来求锐角的三角函数值。 解决非特殊角的函数值的求法。
二、探究说理 1、用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值sin37°24′ sin37°23′ cos21°28′ cos38°12′ 可完全放手让学生去完成，教师只需巡回指导 计算器的使用。
三、感悟深化 熟练掌握用科学计算器由已知三角函数值求出相应的锐角.例如：sinA=0.9816.∠A＝?????? .cosA＝0.8607，∠A＝?????? ；tanA＝0.1890，∠A=?????? ；tanA＝56.78，∠A＝?????? 函数值的应用——角度的求解可完全放手让学生去完成，教师只需巡回指导 引导学生积极参加数学活动 培养学生逆向思维。
四、巩固提高 4、如果∠A为锐角，CosA= ，那么（ ） A. 0°< A ≤30° B. 30°< A≤45° C. 45°< A ≤60° D. 60°< A < 90°5、当a=sin45 ，b=sin60 时，求 值。 巩固学习成果
五、体验收获 1、交流能由任意的锐角求出三角函数值，或知道任意三角函数值都可以求出它所对应的锐角的方法。2、学习了哪些内容 解题过程中运用了哪些数学思想方法
六、实践延伸 1、已知为锐角，，则为（ ）A. B. C. D. 2、 3、已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕点B旋转，使点D落到CB的延长线上的处，那么等于（ ）A. B. C. D.
七、预习探究
义务教育课标实验教科书数学九年级（下）
28.1.5锐角三角函数
学 校 主备人 时 间
设 计理 念 理解、掌握锐角三角函数的意义与应用，加深学生对锐角三角函数的认识，了解特殊与一般的关系，并对学生进行逆向思维的训练。
教学目标 1、熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数。2、会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数。3、引导学生积极参加数学活动，增强学习数学的好奇心。
重 点 正确理解锐角三角函数的题型考查。
难 点 解决锐角三角函数的各类题型考查。
方 法 课 型 复习课
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
观察发现 1、锐角三角函数在Rt△ABC中，∠C=900（以锐角A为例）则：2、特殊角的三角函数值300450600sincostan 学生回顾学习知识点。加深对本节课的考查 回忆所学内容，为本节课的教学做好准备。
二、探究说理 1、锐角三角函数定义的考查例1 如图1，P是的边OA上一点，且点P的坐标为， 则（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．例2 在正方形网格中，的位置如图2所示，则的值为（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2、锐角三角函数值的考查 例3、若2cosa－＝0，则锐角a＝（ ）30°（B）15° （C）45°（D）60° 例4、＋3、锐角三角函数应用的考查 例5、已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，BD为AC边上中线，求sin∠ABD和tan∠ABD的值。在锐角△ABC中，求证： （1）；（2） 督促学生主动独立完成。 本节课是习题课，关键是对本段知识点的一个总结对考点进行分析考查学生掌握具体基础知识和基本技能
三、感悟深化 例7、（2009临沂）如图，AC是的直径，PA，PB是的切线，A，B为切点，AB=6，PA=5．求（1）的半径；（2）的值．解：（1）连接．设交于．是的切线．，，．，．．在和中，．，即的半径为．（2）在中，．． 难度提升、中考考点分析。
四、巩固提高 1．Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝2，则sinA＝（ ） （B） （C） （D）2．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA·cosA的值是（ ） （B） （C） （D）3．已知∠A＋∠B＝90°，则下列各式中正确的是（ ）（A）sinA＝sinB (B)cosA＝cosB (C)tanA＝cogB (D)tanA＝tanB4．已知a为锐角， 若cosa＝， 则sina＝ ，tan(90°－a)＝ 5.计算：sin60°＋ cos45°＋sin30°·cos30° 督促学生主动独立完成。 反复训练考点、难点
1、交流阶段：学习了哪些内容 解题过程中运用了哪些数学思想方法
2、在学生回答的基础上教师归纳出以下几点：Sina cosa tana 的意义计算与应用
六、实践延伸 1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝ 则AC= 2、 计算：2cos600-(2010-∏)0+
七、预习探究 锐角三角函数有什么意义？有什么应用呢？
义务教育课标实验教科书数学九年级（下）
28.2.1锐角三角函数
学 校 主备人 时 间
设 计理 念 在熟练掌握锐角三角函数知识后，对直角三角形进行分析，知道某些元素，对余下元素的求解。其中渗透一题多解、多题一解的类比数学方法。引导学生学会分析，择优使用的方法。
教学目标 1、正确理解什么叫做解直角三角形；2、能在不同的情况下，正确选择恰当的方法和合适的锐角三角函数，根据已知的元素来求出未知的元素3、培养学生学数学、用数学的能力。
重 点 正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形
难 点 选择适当的关系式解直角三角形
方 法 体验、探索式教学 课 型 新授课
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
观察发现 １、直角三角形中两个锐角的关系？２、直角三角形中三边的关系是什么？在计算时有什么灵活性和技巧？３、直角三角形中边和角具有什么样的关系？它们可以进行怎样的变形？有些意义？4、如图，甲、乙两船同时从Ａ处出发，甲船以每小时海里的速度向正东方向航行，乙船以每小时20海里的速度向南偏东60°的方向航行，1小时后,甲、乙两船分别到达Ｂ、Ｃ两处，求此时两船之间的距离ＢＣ． 学生理顺直角三角形中角角、边角、边边之间的关系。潜意识理解解直角三角形所包含的内容。 复习巩固直角三角形中角角、边角、边边之间的关系。
二、探究说理 1、解直角三角形的概念：在直角三角形中，由已知的边和角求出未知的边和角的过程，叫做解直角三角形．例1、△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c,且b＝3,∠A＝30°，解这个直角三角形。分析：①未知元素是∠B，a，c； ②∠B最容易求，∠B＝90°－∠A； ③由tanA＝，可以求a； ④由cosA＝，可以求c； 解：①∠B＝90°-∠A=90°－30°＝60°； ②因为tanA＝， 所以a＝b·tanA＝3×tan30°＝； ③因为cosA＝， 教师引导，学生独立完成。教师巡视，对学习基础较弱的学生及时给予指点． 培养学生应用的能力，使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
三、感悟深化 解直角三角形的分类：①已知两边，如果是两条直角边、:则第三边斜边，如果是一条直角边和一条斜边:则第三边直角边,∠B=(90°－∠Ａ)②已知两个角,此时解不出这个直角三角形,所以要解一个三角形,至少需要知道一条边.③已知一个锐角和它所对的直角边,如已知∠A=,BC=,需要求出另一个锐角,另一条直角边以及斜边．∠B=(90°－)；因为,所以；因为,所以；④已知一个锐角和它的一条邻边,如已知∠A=,ＡC=,需要求出另一个锐角,另一条直角边和斜边．∠B=(90°－)；因为,所以；因为,所以； ⑤已知一条斜边和一个锐角：如已知AB=,∠A=,需要求出另一个锐角,两条直角边．由条件知∠B=(90°－)；因为,所以,因为,所以
四、巩固提高 例2 在△ABC中，∠C＝90°，，解这个直角三角形。 教师分析：此题解法灵活性很强.求c边可根据求得，也可先用正切求出∠A(或∠B)，再用正余弦求得c边。 培养学生多元思维。培养一题多解的好习惯。
五、体验收获 1、从特殊到一般归纳总结：由以上所述，引导学生归纳总结出解直角三角形题目分为四种类型： 2、交流学习中的点滴收获以及使用哪些数学方法。 体会从特殊到一般的数学思想，对各种类型的掌握使用。
六、实践延伸 在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，根据下列条件解直角三角形.
七、预习探究 题目中没有直角三角形，又如何求边求角呢？
义务教育课标实验教科书数学九年级（下）
28.2.2锐角三角函数
学 校 主备人 时 间
设 计理 念 在熟练掌握锐角三角函数知识后，对直角三角形进行分析，知道某些元素，对余下元素的求解。其中渗透一题多解、多题一解的类比数学方法。引导学生学会分析，择优使用的方法。
教学目标 1、正确理解什么叫做解直角三角形；2、能在不同的情况下，正确选择恰当的方法和合适的锐角三角函数，根据已知的元素来求出未知的元素3、培养学生学数学、用数学的能力。
重 点 正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形
难 点 选择适当的关系式解直角三角形
方 法 体验、探索式教学 课 型 复习课
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
这三个关系式中，每个关系式都包含三个元素，知其中两个元素就可以求出第三个元素。题目类型有：
(1)已知两边求第一边；(2)已知一锐角求另一角；(3)已知两边求锐角；（4）已知一边一角求另一边. 这些关系式是解直角三角形的依据，已知其中两个元素(至少有一个是边)就可以求出其余的三个未知元素 复习巩固直角三角形中角角、边角、边边之间的关系。
例2 △ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，
(1)a＝4,，sinA＝，求b,c,tanB； (2)a＋C＝12，b＝8，求a，c，cosB解(1)：因为sinA＝＝，所以设a＝2t,c＝5t, 因为a＝4,所以2t＝4,t＝2，所以c＝10, 所以tanB＝ (2)解方程组 得. 题中已给条件cos39°＝0.7778，很自然考虑到cosA＝，因此可将∠A求得。教师只作简单的引导，让学生独立完成，在巡视中可作学困生的个别辅导。 学生讨论找出解题途径例2在于考查学生的知识转化的应用
△ABC中，∠C=90°，AC＝12，∠A的平分线AD＝8，求 △ABC的面积。
┏解：在Rt△ABD中，cos∠DAC＝ 所以∠DAC＝30°? 因为AD平分∠A，所以∠BAC＝60°， 所以∠B＝30°，所以AB＝2AC＝24， 学生分析：根据三角形面积公式S＝AC·BC，已知AC＝12，只需求BC，确定解题的方向 体会解直角三角形的应用
四、巩固提高 1、填空：在直角三角形ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.(1)c＝10,∠B＝45°,则a＝ ，b＝ ，S△ABC = (2)a＝10 S△＝,则b＝ ,∠A＝ 2、
1、交流阶段：学习了哪些内容 解题过程中运用了哪些数学思想方法
(2)直接运用直角三角形的边边关系、角角关系、边角关系解四种类型(已知一锐角
一直角边；一锐角一斜边；一直角边一斜边；两直角边)的题? 学生归纳，说说自己的体会与心得。 培养学生在探讨中发现问题，找到解决问题的方法。
六、实践延伸
七、预习探究 △ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝4，求AB的长 在非直角三角形中解直角三角形的转化。
义务教育课标实验教科书数学九年级（下）
28.2.3锐角三角函数
学 校 主备人 时 间
设 计理 念 在掌握解直角三角形知识后，对非直角三角形进行分析，转化为直角三角形求解。其中渗透一题多解、多题一解的类比数学方法。引导学生学会分析，择优使用的方法。
教学目标 1、正确理解什么叫做解直角三角形；2、能在不同的情况下，正确选择恰当的方法和合适的锐角三角函数，根据已知的元素来求出未知的元素3、培养学生学数学、用数学的能力。
重 点 正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形
难 点 选择适当的关系式解直角三角形
方 法 体验、探索式教学 课 型 习题课
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
题目类型有：
复习巩固直角三角形中角角、边角、边边之间的关系。正确选择恰当的方法和合适的锐角三角函数求解。
二、探究说理 例1、在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且c=287.4， ∠B=42°6′，解这个三角形．解：(1)∠A=90°-∠B＝90°-42°6′=47°54′，∴a=c． cosB=28.74×0.7420≈213.3．∴b=c·sinB=287.4×0.6704≈192.7．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底例2、在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝4，求AB的长解：作CD⊥AB于D，则CD＝2， 让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演示范。 培养学生解决问题的能力和计算器的使用。解直角三角形中辅助线的做法
三、感悟深化 例3、某居民小区有一朝向正南方向的居民楼（如图3），该居民楼的一楼是高6m的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面15m处要盖一栋高20m的新楼，设冬季正午的阳光与水平线的夹角是。（1）通过计算判断超市以上的居民住房采光是否会受影响；（2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？（结果保留整数，参考数据，，）解：如图1，设CE=x m，则，显然11>6，居民楼采光受影响（2）如图2，，故两楼至少相距32m。 图1 图2 图1 实际生活中的实例在解直角三角形中的应用。
四、巩固提高 1、如图，在中，，，AD是的平分线。已知，那么AD=____________。2、如图，在△ABC中,∠C=90°,D为BC上的一点,若∠ADC=45°,BD=2DC,求∠B、∠BAD的正弦值3、等腰三角形中，AB=AC,∠C=30°,BC=,求BC边上的高和△ABC的周长
1、交流阶段：学习了哪些内容 解题过程中运用了哪些数学思想方法
2、在学生回答的基础上教师归纳出以下几点： (1)解直角三角形的意义? (2)运用化归的思想方法，将已知条件化为四种类型之一的条件，从而解直角三角形? 学生归纳，说说自己的体会与心得。 培养学生在探讨中发现问题，找到解决问题的方法。
六、实践延伸 1、某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=1500，BC长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）A、mB、4mC、mD、8m2、一艘货船以30海里/小时的速度向正北航行，在A处看见灯塔C。在船的北偏西300，20分钟后，货船至B处，看见灯塔C在船的北偏西600，已知灯塔C周围71海里以内有暗礁，问这艘船继续航行是否有触暗礁的危险？
七、预习探究
义务教育课标实验教科书数学九年级（下）
28.2.4锐角三角函数
学 校 主备人 时 间
设 计理 念 在掌握解直角三角形知识后，对实际问题进行分析，转化为直角三角形求解。其中渗透一题多解、多题一解的类比数学方法。引导学生学会分析，择优使用的方法。培养学生将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，写出已知和所求)的能力．
教学目标 1、使学生理解仰角与俯角等概念的意义，为解决有关实际问题扫除障碍；2、使学生能适当的选择锐角三角函数关系式去解决直角三角形的问题； 3、培养学生将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，写出已知和所求)的能力．
重 点 将实际问题抽象为数学问题，通过添加辅助线构造出直角三角形，解决问题。
难 点 将实际问题抽象为数学问题，通过添加辅助线构造出直角三角形，解决问题。
方 法 体验、探索式教学 课 型 新授课
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
题目类型有：
仰角定义：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角俯角定义：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的叫俯角 学生回顾知识点以及各知识点的具体应用。在问题中找到互补。 复习巩固直角三角形中角角、边角、边边之间的关系。正确选择恰当的方法和合适的锐角三角函数求解。
二、探究说理 学生自主分析完成。教师分析剖析。巡视中帮助一些学困生。视线在水平线上方的是仰角α=300视线在水平线下方的是俯角β=600 让学生了解如何将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，写出已知和所求)的能力
三、感悟深化 已知点A，B，D在同一直线上，且A，B在点D的同侧，CD⊥AD于D，AB＝m，∠CAD＝α，∠CBD＝β，求CD的长（用含α，β，m的式子表示）。解：在△ACD中，∠ADC＝90°， ，即同理，在△BCD中有解得（变式训练）若把上例中“A，B在点D的同侧”改为“A，B在点D的两侧”，其他条件不变（如图），求CD的长。解：由上例的分析、解答过程可知解得 师生分析：该题图中存在两个直角三角形：△ACD和△BCD。它们有一条公共直角边CD，根据锐角的正切定义，可用含CD的式子表示AD和BD，然后列出等量关系式求解。 学会分析解决实际问题尝试一题多解，多题同解应用。
四、巩固提高 3、一人工湖的岸边有一条笔直的小路，湖上原有一座小桥与小路垂直相通，现小桥有一部分已断裂，另一部分完好，在完好的桥头A处测得路边的小树D在它的北偏西30°，前进32m到断口B处，测得小树D在它的北偏西45°。请计算小桥断裂部分的长（结果用根号表示）
五、体验收获 1、掌握仰角俯角的定义，并了解它们在实际中的应用2、交流阶段：学习了哪些内容 解题过程中运用了哪些数学思想方法 学生归纳，说说自己的体会与心得。 培养学生在探讨中发现问题，找到解决问题的方法。
六、实践延伸 1、在等腰梯形ABCD中，DC∥AB， DE⊥AB于E，2、天空中有一静止的广告气球C，从地面上A点测得C点的仰角为45°，从地面上B点测得C点的仰角为60°。已知AB＝20m，点C和直线AB在同一铅垂面上，求气球C离地面的高度（结果保留根号）。3、有一段斜坡BC长为10米，坡角∠CBD=120，为方便残疾人的轮椅通行，现准备把坡角降为50.求坡高CD求斜坡新起点A与原起点B的距离（精确到0.1米）
七、预习探究
义务教育课标实验教科书数学九年级（下）
28.2.5锐角三角函数
学 校 主备人 时 间
设 计理 念 在熟练掌握锐角三角函数知识后，对直角三角形进行分析，知道某些元素，对余下元素的求解。其中渗透一题多解、多题一解的类比数学方法。引导学生学会分析，择优使用的方法。
教学目标 1、使学生理解坡度，坡角等概念的意义，为解决有关实际问题扫除障碍； 2、使学生能适当的选择锐角三角函数关系式去解决直角三角形的问题； 3、使学生学会将解非直角三角形的问题通过添加辅助线转化为解直角三角形的问题； 4、培养学生将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，写出已知和所求)的能力．
重 点 将实际问题抽象为数学问题，通过添加辅助线构造出直角三角形，解决问题。
难 点 将实际问题抽象为数学问题，通过添加辅助线构造出直角三角形，解决问题。
方 法 体验、探索式教学 课 型 新授课
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
题目类型有：
例 如图,太阳光与地面成60度角,一棵倾斜的大树AB与地面成30度角,这时测得大树在地面上的影长为10m,请你求出大树的高. 学生回顾知识点以及各知识点的具体应用。在问题中找到互补。 复习巩固直角三角形中角角、边角、边边之间的关系。正确选择恰当的方法和合适的锐角三角函数求解。
二、探究说理 善于分析、归纳、总结，充分发挥“试题模型”的作用，这就是数学中的“类比思想”。学会类比，精通一道题，会解一类题。
三、感悟深化 拦水坝的横断面为梯形ABCD，坡角，斜坡AB=9m，求拦水坝的高BE。（精确到0.1m，参考数据，，，）解：在中，，2、一轮船原在A处，它的北偏东方向上有一灯塔P，轮船沿着北偏西方向航行4h到达B处，这时灯塔P正好在轮船的正东方向上。已知轮船的航速为25n mile/h，求轮船在B处时与灯塔的距离（结果可保留根号）。解：在中，过点A作BP的垂线AC，垂足为C，则，，。在中，，CP=AC=，。所以轮船到达B点时，与灯塔P的距离为n mile。 结合实际生活生产的应用问题，有一些常用的名词应理解其意义，比如坡角、坡度、坡比等。航海问题是解直角三角形中测量问题最常见的题型。 解这类题关键是理解方位角、坡角、坡度、坡比的概念，准确画图，理解图形
四、巩固提高 1、为保卫祖国的海疆，我国海军在相距20海里的A，B两地设立观测站（海岸线是过A，B的直线），按国际惯例，海岸线以外12海里范围内均为我国领海，外国船只除特许外，不得私自进入我国领海。某日，观测员发现一外国船只行驶至P处，在A观测站测得∠BAP＝63°，同时在B观测站测得∠ABP＝34°。问：是否需要向此未经特许的船只发生警告，命令其退出我国领海？（参考数据：）2、在某段限速公路BC上（公路视为直线），交通管理部门规定汽车最高行驶速度不能超过60千米/小时，并在离公路100米处设置一个监测点A，如图，测速路段BC在x轴上，监测点A在y轴上，点C在点A的东北方向上，点B在点A的北偏西600方向上（1）求点B和点C的坐标（2）一辆汽车从点B行驶到点C时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速？ 学生自主学习，独立完成。
1、交流阶段：学习了哪些内容 解题过程中运用了哪些数学思想方法
2、在学生回答的基础上教师归纳出以下几点： (1)解直角三角形的意义? (2)运用化归的思想方法，将已知条件化为四种类型之一的条件，从而解直角三角形? 学生归纳，说说自己的体会与心得。 培养学生在探讨中发现问题，找到解决问题的方法。
六、实践延伸 1、巩固（3）若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车速度是货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少？（米）2、线段AB、CD表示甲、乙两幢楼的高，从甲楼底部B处测得乙楼顶部C的仰角为45 ，从乙楼顶部C测得甲楼顶部A的俯角为30 ；已知甲、乙两楼的距离BD=60m，求甲、乙两楼的高。
七、预习探究
义务教育课标实验教科书数学九年级（下）
28.2.6锐角三角函数
学 校 主备人 时 间
设 计理 念 在熟练掌握锐角三角函数知识后，对直角三角形进行分析，知道某些元素，对余下元素的求解。其中渗透一题多解、多题一解的类比数学方法。引导学生学会分析，择优使用的方法。
教学目标 1、使学生理解生活实例的意义，为解决有关实际问题扫除障碍；2、使学生能适当的选择锐角三角函数关系式去解决直角三角形的问题； 3、使学生学会将解非直角三角形的问题通过添加辅助线转化为解直角三角形的问题； 4、培养学生将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，写出已知和所求)的能力．
重 点 将实际问题抽象为数学问题，通过添加辅助线构造出直角三角形，解决问题。
难 点 将实际问题抽象为数学问题，通过添加辅助线构造出直角三角形，解决问题。
方 法 体验、探索式教学 课 型 活动课
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
题目类型有：
如图：若Rt△ABC中，∠C=90°，AC=b，∠A=α，怎样表示BC的长2、 如图：若Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，∠A=β，怎样表示AC的长3、思考：如何测出学校中旗杆的长度。测长度需要用到测角仪，测角仪是测仰角和俯角的工具。 学生回顾知识点以及各知识点的具体应用。在问题中找到互补。 复习巩固直角三角形中角角、边角、边边之间的关系。正确选择恰当的方法和合适的锐角三角函数求解。
二、探究说理 任务：设计方案，测量旗杆高度。工具：皮尺，测角仪 若测量数据如下：水平距离:20米 仰角：32° 测角仪高度:1米 试计算旗杆的高度。（精确到1米） 备用数据：tan32°≈0.6 cos32°≈解：在Rt△ABC中 BC=0.6×20=12BE=12+1=13练习：设计方案，利用教学楼的高度测量学校的银杏树高 工具：测角仪 备注：银杏树与教学楼在同一水平面上，且教学楼高度已知。 在学生独立思考的基础上，开展合作讨论，教师进行启发引导，共同解决问题。 培养学生将实际问题抽象为数学问题
三、感悟深化 （青岛市中考题）在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下方案①在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角；②量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN=m；③量出测倾器的高AC=h。根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN。图1如果测量工具不变，那么请你依照上述过程，设计一个测量某小山高度（如图10）的方案。（1）在图2中，画出你测量小山的高度MN的示意图（标上适当字母）；（2）写出你的设计方案。图2解：（1）画出示意图如图3。图3（2）①在测点A处安放测倾器，测得山顶M的仰角。②在A与小山之间的B处安放测倾器（A、B、N在同一直线上），测得此时山顶M的仰角。③量出测倾器的高AC=BD=h，设两测点间的距离，根据上述数据即可求出高MN。 考查操作应用能力体现数形结合的思想，同时考查学生在限时的应变能力 这类题将是以后中考命题的重点。体现课改精神。
四、巩固提高 1、小明想测量塔CD的高度。他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1m）图12、有一座建筑物，在地面上A点测得其顶点C的仰角为30°。向建筑物前进50m到B点，又测得C的仰角为45°，求建筑物的高度（结果精确到0.1m）3、为测量汉江某段河面宽度，秋实同学设计了如图10所示的测量方案：先在河的北岸选一定点A，再在河的南岸选定相距am的两点B，C，分别测得∠ABC＝α，∠ACB＝β。请你根据秋实同学测得的数据，计算河宽AD。 图2
五、体验收获 学生小结几个例题，对于测量高度的问题，如何用解直角三角形的方法加以解决。体会数学知识在实际生活中的应用，从而提高数学与用数学的兴趣。 学生归纳，说说自己的体会与心得。 培养学生在探讨中发现问题，找到解决问题的方法。
六、实践延伸 运用今天所学知识，设计一个方案，利用皮尺，测角仪测量学校荷花池的宽度。请画出示意图，并把所测数据用字母表示。
七、预习探究
义务教育课标实验教科书数学九年级（下）
28.2.7锐角三角函数
学 校 主备人 时 间
设 计理 念 在熟练掌握锐角三角函数知识后，对直角三角形进行分析，知道某些元素，对余下元素的求解。其中渗透一题多解、多题一解的类比数学方法。引导学生学会分析，择优使用的方法。
教学目标 1、掌握解直角三角形方法。逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．2、学会将解非直角三角形的问题通过添加辅助线转化为解直角三角形的问题；3、培养学生将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，写出已知和所求)的能力．4、学会学数学、用数学的能力。
重 点 将实际问题抽象为数学问题，通过添加辅助线构造出直角三角形，解决问题。
难 点 将实际问题抽象为数学问题，通过添加辅助线构造出直角三角形，解决问题。
方 法 体验、探索式教学 课 型 复习课
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
题目类型有：
一、锐角三角函数的应用例1、如图1，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕点B旋转，使点D落到CB的延长线上的处，那么等于（ ）A. B. C. D. 图1例2、如图2，在中，，，AD是的平分线。已知，那么AD=____________。解：，所以解直角三角形的实际应用例3 如图3郯城县妇联在“六一”国际儿童节到来之际，在县民族广场升起了一个氢气球以示祝贺，小明为测量氢气球离地面的高度CD，在地面上相距80米的A，B两点，测得，．已知A，D，B三点在同一直线上，那么氢气球离地面的高度是多少米（精确到0.1米）？（参考数据，，，） 学生回顾知识点以及各知识点的具体应用。在问题中找到互补。学会转化，学会变通。要求学生独立完成要求学生独立完成 复习巩固直角三角形中角角、边角、边边之间的关系。正确选择恰当的方法和合适的锐角三角函数求解。直角三角形计算问题是常见的题型，将非直角三角形或四边形转化为直角三角形求解的问题。
二、探究说理 一、生活中常见实例：例4 “村村通路工程”加快了临沂市建设社会主义新农村的步伐．如图4，C村村民们欲修建一条水泥公路将C村与县级公路相连．在公路A处测得C村在北偏东方向，前进500米，在B处测得C村在北偏东方向．（1）为节约资源，要求所修公路长度最短．试求符合条件的公路长度．（结果保留整数）（2）经预算，修建1 000米这样的水泥公路约需人民币20万元．按国家的相关政策，政府对修建该条水泥公路拨款人民币5万元，其余部分由村民自发筹集．试求修建该条水泥公路村民需自筹资金多少万元．二、坡面上的计算例5 一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图5所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形．现需将其整修并进行美化，方案如下：①将背水坡AB的坡度由改为；②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花．（1）求整修后背水坡面的面积；（2）如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？ 考查学生将计算坡面面积问题转化为直角三角形来解决，体现了数学在生活中的应用以及数学的价值和作用．问题设计较为合理、自然． 选题背景公平。以测量为载体，考查同学们如何解决实际问题．解决这个问题的策略是转化为解直角三角形．
三、感悟深化 （2009济南）九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得右图所放风筝的高度，进行了如下操作：（1）在放风筝的点处安置测倾器，测得风筝的仰角；（2）根据手中剩余线的长度出风筝线的长度为70米；（3）量出测倾器的高度米．根据测量数据，计算出风筝的高度约为 米．（精确到0.1米，） 难度进一步提升要求学生独立完成
四、巩固提高 1、如图1，海中有一个小岛A，该岛四周10n mile内有暗礁。今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20n mile后到达该岛的南偏西25°的C处。之后，货轮继续向东航行。你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？ 图12、如图2，小明想测量塔CD的高度。他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1m）图23、拦水坝的横断面为梯形ABCD，坡角，斜坡AB=9m，求拦水坝的高BE。（精确到0.1m，参考数据，，，）图34、如图4 拦水坝的横断面为梯形ABCD，根据图示数据求： (1)求 tanα和tanβ的值；(2)坝底宽AD和斜坡AB的长．(精确到0.1米)
1、交流阶段：学习了哪些内容 解题过程中运用了哪些数学思想方法
2、在学生回答的基础上教师归纳出以下几点： (1)解直角三角形的意义? (2)运用化归的思想方法，将已知条件化为四种类型之一的条件，从而解直角三角形?（3）体会数学知识在实际生活中的应用，从而提高数学与用数学的兴趣。 学生归纳，说说自己的体会与心得。 培养学生在探讨中发现问题，找到解决问题的方法。
六、实践延伸
E
O
A
B
C
D
·
三角函数
角度
三角函数
B
A
c
a
b
C
P
O
A
B
C
（第23题图）
D
P
O
A
B
C
（第23题图）
B
D
A
C
A
B
C
A
B
C
D
B
A
C
D
1500
h
D
B
A
参考数据
Sin120=0.21
cos120=0.98
tan50=0.09
A
B
C
D
30°
60°
太阳光线
地面
C
A
B
B
A
C
a
β
B
320
C
A
F
E
A
D
B
E
C
60°
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 46 页 （共 46 页） 版权所有@21世纪教育网
义务教育课标实验教科书数学九年级（下）
28.1.1锐角三角函数
学 校 主备人 时 间
设 计理 念 注重学生经历观察、操作等探索过程，强调学生对知识的感觉与对新知识的理解与认知。鼓励学生自主探索与合作交流，培养学生概括的能力，使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
教学目标 1、知识目标：使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定这一事实，进而认识正弦（sinA）．2、技能目标：经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维．3、情感态度与价值观：使学生体验数学活动充满着探索与创造，能积极参与数学学习活动
重 点 使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，认识正弦（sinA）．
难 点 学生很难想到对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论．
方 法 体验、探索式教学 课 型 新授课
教 学 过 程
教学环节 教 学 内 容 师生活动 设计意图
观察发现 问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？思考：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？若斜坡与水平面所成角的度数是45°，结果会如何呢？3．若斜坡与水平面所成角的度数是40°，结果会如何呢？4．若已知出水口高度为40m，斜坡上铺设的水管长50m，那么斜坡与水平面所成角的度数是多少呢？ 教师提出问题，给学生一定的时间进行思考，之后可让学生进行交流。得到在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都是 由实际需要引出新知．前两个问题学生很容易回答．主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识．后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对九年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用．
二、探究说理 1．请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边与斜边的比值．2．请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对边与斜边的比值。 教师提出问题后，学生积极动手，学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值． 在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探究说理
三、感悟深化 任意画Rt△ABC和Rt△A1B1C1，使得∠C=∠C1 =90°，∠A==，那么有什么关系，你能解释一下吗？经过学生的实验和证明，得出： 在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine）,记作：sinA， 即．同样sinB= 1、通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，一旦角度确定，它的对边与斜边的比值也随之确定”．但是怎样证明这个命题呢？学生这时的思维很活跃．对于这个问题，部分学生可能能解决它．因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成．2、学生经过研究，也许能解决这个问题．若不能解决，教师可适当引导： 通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到知识教学目标，同时培养学生观察问题、解决问题的能力， 起到培养学生思维能力的作用
四、巩固提高 （1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值．（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求sinA的sinB的值；（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，求sinA的sinB的值． 学生独立完成，教师巡视，对学习基础较弱的学生及时给予指点． 巩固正弦概念，学会一种新的解题格式．求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比．
五、体验收获 一、在Rt△ABC中，∠C =90°： 即．同样sinB=当∠A=300时，sinA=？当∠A=450时，sinA=？当∠A=600时，sinA=？二、注意：1、sinA不是 sin与A的乘积，而是一个整体；2、正弦的三种表示方式：sinA、sin56°、sin∠DEF3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位。 教师引导学生作知识总结，不断扩充学生的知识结构，学习新的解题方法． 培养学生概括的能力，使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
六、实践延伸 1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是﹙） A． B． C． D．2．如图，在直角△ABC中，∠C＝90o，若AB＝5，AC＝4，则sinA＝（ ）A． B． C． D．3． 在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=，则边AC的长是( )A． B．3 C． D． 4．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AB＝5，BC＝3．则sin∠BAC= ；sin∠ADC= ．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD＝（ ）A． B． C． D．6、探索与思考：如图，在梯形ABCD中，AB//DC，∠BCD=，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.⑴求证：DC=BC；⑵E是梯形内的一点，F是梯形外的一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；⑶在⑵的条件下，当BE:CE=1:2，∠BEC=时，求sin∠BFE的值。
七、预习探究 在Rt△ABC中，∠C =90°：当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其它边之间的比是否也随之确定？为什么？ 给学生留下思考的空间。
义务教育课标实验教科书数学九年级（下）
28.1.2锐角三角函数
学 校 主备人 时 间
设 计理 念 注重学生经历观察、操作等探索过程，用类比的方法得到在直角三角形中，邻边与斜边、对边与邻边的比值也是固定值这一事实，发展学生的形象思维．
教学目标 1、知识目标：使学生在上节课的基础上知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也是固定值这一事实，进而认识余弦（cosA）、正切（tanA），进而得到锐角三角函数的概念．2、技能目标：在直角三角形中，进一步建立边与角之间的关系，为解决有关三角形的问题做好准备．3、情感态度与价值观：使学生体验数学活动充满着探索与创造，能积极参与数学学习活动，感受数学结论的确定性．
重 点 使学生知道当锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也是固定值这一事实，认识余弦（cosA）、正切（tanA），从而得到锐角三角函数的概念
难 点 正弦、余弦、正切概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，用含几个字母的符号组来表示， 因此概念是难点．
方 法 课 型
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
观察发现 复习引入： 问题：什么叫做正弦，如何表示？它是如何引入的？探究活动：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（记作：cosA）,即；∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（记作：tanA）,即；锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 教师提出问题，学生在思考的基础上作答．教师要关注学生对问题的理解学生的探讨、交流，归纳出：当锐角A的大小确定后，∠A邻边与斜边的比、对边与邻边的比都是固定值，从而引出结论。 只要直角三角形的锐角固定，它的对边与斜边的比值也固定．这样只要能求出这个比值，那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而解了．用类比的方法引出本节课的知识，学生自然产生想学习的欲望，产生浓厚的学习兴趣。
二、探究说理 当∠A为锐角时，sinA、cosA、tanA的值会在什么范围内？得结论0＜sinA＜1，0＜cosA＜1(∠A为锐角)． 培养学生观察、思考的学习习惯，并发展学生的数形结合思想．
三、感悟深化 2、sin2a +cos2a =13、tan a = 为了巩固余弦、正切概念，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点．进一步巩固所学知识．
四、巩固提高 例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求coaA、tanA、cosB和tanB的值．例2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，，求cosA、tanB的值． 教师出示练习，学生认真思考后独立解答 巩固余弦、正切概念，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点。在此渗透解直角三角形的方法，即已知一锐角的正弦值和它的对边求斜边的方法。
五、体验 收获 问题：在本节课中，你有哪些收获要与大家交流？1．主要研究了锐角的余弦、正切和锐角三角函数概念，2．知道任意锐角A的正、余弦值都在0～1之间，即0＜sinA＜1,0＜cosA＜1,tanA＞0． 3．利用锐角三角函数的定义得到直角三角形中的边角关系，从而为解决直角三角形的问题指出了新的方法．
六、实践延伸 （1）复习所学知识，记忆三个锐角三角函数； （2）归纳30°、45°、60°的锐角三角函数值． （3）补充题：已知Rt中，，，，所对的边分别是，，，且，，求sinA、cosA、tanA的值． 教师布置作业，学生记录并认真独立完成． 巩固本节课所学的知识，并为下节课的教学做准备．
七、预习探究 两块三角尺中有几个不同的锐角？这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值各是多少？ 引导学生做好预习准备工作。
义务教育课标实验教科书数学九年级（下）
28.1.3锐角三角函数
学 校 主备人 时 间
设 计理 念 加深学生对锐角三角函数的认识，了解特殊与一般的关系，并对学生进行逆向思维的训练。
教学目标 熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数。3、引导学生积极参加数学活动，增强学习数学的好奇心。
重 点 会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子。
难 点 会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数。
方 法 课 型
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
一、观察发现 复习引入：练习：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，求∠B的锐角三角函数值．说出30°、45°、60°的各个锐角三角函数值．30°45°60°sinAcosAtanA 教师提出问题，学生思考并解答，教师关注学生对特殊角三角函数值的记忆方法和正确率。教师可用列表的方法表示特殊角的三角函数值，教给学生记忆的方法，并引导学生观察此表格，归纳出一些规律。 回忆所学内容，为本节课的教学做好准备。
二、探究说理 例题分析例1：求下列各式的值： （1）； （2） 教师出示题目后，学生观察题目特点，找到解题方法，即将特殊三角函数值代入求值。 再次熟悉特殊角的三角函数值，并培养学生的运算能力。
三、感悟深化 （1）如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=，求∠A的度数． （2）如图（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径）OB的倍，求．分析：如图（1），BC边是∠A的邻边，AB是斜边，由此想到利用∠A的余弦值来求∠A的度数．图（2）中，OA是角的对边，OB是角的邻边，由此想到利用角的正切值来求角的度数 教师出示题目后，让学生认真读题，分析题目条件与要求的结论，分析它们之间的关系，教师关注学生的分析思路，适当时给予指点 利用此题目（1）培养学生的逆向思维；（2）初次渗透在直角三角形中，利用边角关系求角的度数，这也是解直角三角形的一部分。
四、巩固提高 练习一、1．P83页：练习12． 求下列各式的值：(1)2sin30°+3tg30°+ctg45°；(2)cos245°+tg60°·cos30°练习二、1．求出下列各锐角的度数：（1）；（2）；（3）；（4）． 巩固所学知识，加深对知识的理解，并能独立的完成解题过程。
五、体验收获 你在本节课中有什么收获与大家交流？特殊角的三角函数值必须熟记；2．在直角三角形中，知道两边，可求出每个锐角的各个三角函数；反之，由特殊角的三角函数值，可求出锐角的度数． 学生总结知识点，交流学习中的点滴收获以及使用哪些数学方法。 为下节课用计算器求任意角的三角函数值和由已知任意角的某个三角函数值而求出它所对应的锐角埋下伏笔。
六、实践延伸 1、在Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的各三角函数值（ ）A．都扩大2倍 B. 都缩小到一半 C．没有变化 D. 不能确定2、 在Rt△ABC中，∠C = 90°，则SinB + CosB的值（ ） A大于1 B小于1 C等于1 D不确定3、下列名式中，错误的是（ ） A． B. tan 80＞tan90 C． D. 以上都是错误的4、若α+β=90 ，且，则cosβ= 。5、将cos21 、cos37 、sin41 、cos46 的值按由小到大的顺序排列是： 。 6、△ABC中,若∠A,∠B都是锐角,且sinA=,sinB=,你能判断出△ABC的形状吗 7、已知Rt△ABC中,∠C=90°,a+b=2+2,c=4,求锐角A的度数.
七、预习探究 1、如何得到cos21 、tan37 、sin41 、cos46 的值？2、能否由任意的锐角求出三角函数值，或知道任意三角函数值都可以求出它所对应的锐角呢？
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28.1.4锐角三角函数
学 校 主备人 时 间
设 计理 念 进一步加深学生对锐角三角函数的理解，学会正确使用计算器
教学目标 1、让学生熟识计算器一些功能键的使用2、会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角3、引导学生积极参加数学活动，增强学习数学的好奇心。
重 点 运用计算器处理三角函数中的值或角的问题
难 点 知道值求角的处理
方 法 课 型
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
一、观察发现 复习引入 通过上课的学习我们知道，当锐角A是等特殊角时，可以求得这些角的正弦、余弦、正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？我们可以用计算器来求锐角的三角函数值。 解决非特殊角的函数值的求法。
二、探究说理 1、用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值sin37°24′ sin37°23′ cos21°28′ cos38°12′ 可完全放手让学生去完成，教师只需巡回指导 计算器的使用。
三、感悟深化 熟练掌握用科学计算器由已知三角函数值求出相应的锐角.例如：sinA=0.9816.∠A＝?????? .cosA＝0.8607，∠A＝?????? ；tanA＝0.1890，∠A=?????? ；tanA＝56.78，∠A＝?????? 函数值的应用——角度的求解可完全放手让学生去完成，教师只需巡回指导 引导学生积极参加数学活动 培养学生逆向思维。
四、巩固提高 4、如果∠A为锐角，CosA= ，那么（ ） A. 0°< A ≤30° B. 30°< A≤45° C. 45°< A ≤60° D. 60°< A < 90°5、当a=sin45 ，b=sin60 时，求 值。 巩固学习成果
五、体验收获 1、交流能由任意的锐角求出三角函数值，或知道任意三角函数值都可以求出它所对应的锐角的方法。2、学习了哪些内容 解题过程中运用了哪些数学思想方法
六、实践延伸 1、已知为锐角，，则为（ ）A. B. C. D. 2、 3、已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕点B旋转，使点D落到CB的延长线上的处，那么等于（ ）A. B. C. D.
七、预习探究
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28.1.5锐角三角函数
学 校 主备人 时 间
设 计理 念 理解、掌握锐角三角函数的意义与应用，加深学生对锐角三角函数的认识，了解特殊与一般的关系，并对学生进行逆向思维的训练。
教学目标 1、熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数。2、会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数。3、引导学生积极参加数学活动，增强学习数学的好奇心。
重 点 正确理解锐角三角函数的题型考查。
难 点 解决锐角三角函数的各类题型考查。
方 法 课 型 复习课
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
观察发现 1、锐角三角函数在Rt△ABC中，∠C=900（以锐角A为例）则：2、特殊角的三角函数值300450600sincostan 学生回顾学习知识点。加深对本节课的考查 回忆所学内容，为本节课的教学做好准备。
二、探究说理 1、锐角三角函数定义的考查例1 如图1，P是的边OA上一点，且点P的坐标为， 则（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．例2 在正方形网格中，的位置如图2所示，则的值为（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2、锐角三角函数值的考查 例3、若2cosa－＝0，则锐角a＝（ ）30°（B）15° （C）45°（D）60° 例4、＋3、锐角三角函数应用的考查 例5、已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，BD为AC边上中线，求sin∠ABD和tan∠ABD的值。在锐角△ABC中，求证： （1）；（2） 督促学生主动独立完成。 本节课是习题课，关键是对本段知识点的一个总结对考点进行分析考查学生掌握具体基础知识和基本技能
三、感悟深化 例7、（2009临沂）如图，AC是的直径，PA，PB是的切线，A，B为切点，AB=6，PA=5．求（1）的半径；（2）的值．解：（1）连接．设交于．是的切线．，，．，．．在和中，．，即的半径为．（2）在中，．． 难度提升、中考考点分析。
四、巩固提高 1．Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝2，则sinA＝（ ） （B） （C） （D）2．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA·cosA的值是（ ） （B） （C） （D）3．已知∠A＋∠B＝90°，则下列各式中正确的是（ ）（A）sinA＝sinB (B)cosA＝cosB (C)tanA＝cogB (D)tanA＝tanB4．已知a为锐角， 若cosa＝， 则sina＝ ，tan(90°－a)＝ 5.计算：sin60°＋ cos45°＋sin30°·cos30° 督促学生主动独立完成。 反复训练考点、难点
1、交流阶段：学习了哪些内容 解题过程中运用了哪些数学思想方法
2、在学生回答的基础上教师归纳出以下几点：Sina cosa tana 的意义计算与应用
六、实践延伸 1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝ 则AC= 2、 计算：2cos600-(2010-∏)0+
七、预习探究 锐角三角函数有什么意义？有什么应用呢？
义务教育课标实验教科书数学九年级（下）
28.2.1锐角三角函数
学 校 主备人 时 间
设 计理 念 在熟练掌握锐角三角函数知识后，对直角三角形进行分析，知道某些元素，对余下元素的求解。其中渗透一题多解、多题一解的类比数学方法。引导学生学会分析，择优使用的方法。
教学目标 1、正确理解什么叫做解直角三角形；2、能在不同的情况下，正确选择恰当的方法和合适的锐角三角函数，根据已知的元素来求出未知的元素3、培养学生学数学、用数学的能力。
重 点 正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形
难 点 选择适当的关系式解直角三角形
方 法 体验、探索式教学 课 型 新授课
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
观察发现 １、直角三角形中两个锐角的关系？２、直角三角形中三边的关系是什么？在计算时有什么灵活性和技巧？３、直角三角形中边和角具有什么样的关系？它们可以进行怎样的变形？有些意义？4、如图，甲、乙两船同时从Ａ处出发，甲船以每小时海里的速度向正东方向航行，乙船以每小时20海里的速度向南偏东60°的方向航行，1小时后,甲、乙两船分别到达Ｂ、Ｃ两处，求此时两船之间的距离ＢＣ． 学生理顺直角三角形中角角、边角、边边之间的关系。潜意识理解解直角三角形所包含的内容。 复习巩固直角三角形中角角、边角、边边之间的关系。
二、探究说理 1、解直角三角形的概念：在直角三角形中，由已知的边和角求出未知的边和角的过程，叫做解直角三角形．例1、△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c,且b＝3,∠A＝30°，解这个直角三角形。分析：①未知元素是∠B，a，c； ②∠B最容易求，∠B＝90°－∠A； ③由tanA＝，可以求a； ④由cosA＝，可以求c； 解：①∠B＝90°-∠A=90°－30°＝60°； ②因为tanA＝， 所以a＝b·tanA＝3×tan30°＝； ③因为cosA＝， 教师引导，学生独立完成。教师巡视，对学习基础较弱的学生及时给予指点． 培养学生应用的能力，使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
三、感悟深化 解直角三角形的分类：①已知两边，如果是两条直角边、:则第三边斜边，如果是一条直角边和一条斜边:则第三边直角边,∠B=(90°－∠Ａ)②已知两个角,此时解不出这个直角三角形,所以要解一个三角形,至少需要知道一条边.③已知一个锐角和它所对的直角边,如已知∠A=,BC=,需要求出另一个锐角,另一条直角边以及斜边．∠B=(90°－)；因为,所以；因为,所以；④已知一个锐角和它的一条邻边,如已知∠A=,ＡC=,需要求出另一个锐角,另一条直角边和斜边．∠B=(90°－)；因为,所以；因为,所以； ⑤已知一条斜边和一个锐角：如已知AB=,∠A=,需要求出另一个锐角,两条直角边．由条件知∠B=(90°－)；因为,所以,因为,所以
四、巩固提高 例2 在△ABC中，∠C＝90°，，解这个直角三角形。 教师分析：此题解法灵活性很强.求c边可根据求得，也可先用正切求出∠A(或∠B)，再用正余弦求得c边。 培养学生多元思维。培养一题多解的好习惯。
五、体验收获 1、从特殊到一般归纳总结：由以上所述，引导学生归纳总结出解直角三角形题目分为四种类型： 2、交流学习中的点滴收获以及使用哪些数学方法。 体会从特殊到一般的数学思想，对各种类型的掌握使用。
六、实践延伸 在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，根据下列条件解直角三角形.
七、预习探究 题目中没有直角三角形，又如何求边求角呢？
义务教育课标实验教科书数学九年级（下）
28.2.2锐角三角函数
学 校 主备人 时 间
设 计理 念 在熟练掌握锐角三角函数知识后，对直角三角形进行分析，知道某些元素，对余下元素的求解。其中渗透一题多解、多题一解的类比数学方法。引导学生学会分析，择优使用的方法。
教学目标 1、正确理解什么叫做解直角三角形；2、能在不同的情况下，正确选择恰当的方法和合适的锐角三角函数，根据已知的元素来求出未知的元素3、培养学生学数学、用数学的能力。
重 点 正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形
难 点 选择适当的关系式解直角三角形
方 法 体验、探索式教学 课 型 复习课
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
这三个关系式中，每个关系式都包含三个元素，知其中两个元素就可以求出第三个元素。题目类型有：
(1)已知两边求第一边；(2)已知一锐角求另一角；(3)已知两边求锐角；（4）已知一边一角求另一边. 这些关系式是解直角三角形的依据，已知其中两个元素(至少有一个是边)就可以求出其余的三个未知元素 复习巩固直角三角形中角角、边角、边边之间的关系。
例2 △ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，
(1)a＝4,，sinA＝，求b,c,tanB； (2)a＋C＝12，b＝8，求a，c，cosB解(1)：因为sinA＝＝，所以设a＝2t,c＝5t, 因为a＝4,所以2t＝4,t＝2，所以c＝10, 所以tanB＝ (2)解方程组 得. 题中已给条件cos39°＝0.7778，很自然考虑到cosA＝，因此可将∠A求得。教师只作简单的引导，让学生独立完成，在巡视中可作学困生的个别辅导。 学生讨论找出解题途径例2在于考查学生的知识转化的应用
△ABC中，∠C=90°，AC＝12，∠A的平分线AD＝8，求 △ABC的面积。
┏解：在Rt△ABD中，cos∠DAC＝ 所以∠DAC＝30°? 因为AD平分∠A，所以∠BAC＝60°， 所以∠B＝30°，所以AB＝2AC＝24， 学生分析：根据三角形面积公式S＝AC·BC，已知AC＝12，只需求BC，确定解题的方向 体会解直角三角形的应用
四、巩固提高 1、填空：在直角三角形ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.(1)c＝10,∠B＝45°,则a＝ ，b＝ ，S△ABC = (2)a＝10 S△＝,则b＝ ,∠A＝ 2、
1、交流阶段：学习了哪些内容 解题过程中运用了哪些数学思想方法
(2)直接运用直角三角形的边边关系、角角关系、边角关系解四种类型(已知一锐角
一直角边；一锐角一斜边；一直角边一斜边；两直角边)的题? 学生归纳，说说自己的体会与心得。 培养学生在探讨中发现问题，找到解决问题的方法。
六、实践延伸
七、预习探究 △ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝4，求AB的长 在非直角三角形中解直角三角形的转化。
义务教育课标实验教科书数学九年级（下）
28.2.3锐角三角函数
学 校 主备人 时 间
设 计理 念 在掌握解直角三角形知识后，对非直角三角形进行分析，转化为直角三角形求解。其中渗透一题多解、多题一解的类比数学方法。引导学生学会分析，择优使用的方法。
教学目标 1、正确理解什么叫做解直角三角形；2、能在不同的情况下，正确选择恰当的方法和合适的锐角三角函数，根据已知的元素来求出未知的元素3、培养学生学数学、用数学的能力。
重 点 正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形
难 点 选择适当的关系式解直角三角形
方 法 体验、探索式教学 课 型 习题课
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
题目类型有：
复习巩固直角三角形中角角、边角、边边之间的关系。正确选择恰当的方法和合适的锐角三角函数求解。
二、探究说理 例1、在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且c=287.4， ∠B=42°6′，解这个三角形．解：(1)∠A=90°-∠B＝90°-42°6′=47°54′，∴a=c． cosB=28.74×0.7420≈213.3．∴b=c·sinB=287.4×0.6704≈192.7．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底例2、在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝4，求AB的长解：作CD⊥AB于D，则CD＝2， 让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演示范。 培养学生解决问题的能力和计算器的使用。解直角三角形中辅助线的做法
三、感悟深化 例3、某居民小区有一朝向正南方向的居民楼（如图3），该居民楼的一楼是高6m的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面15m处要盖一栋高20m的新楼，设冬季正午的阳光与水平线的夹角是。（1）通过计算判断超市以上的居民住房采光是否会受影响；（2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？（结果保留整数，参考数据，，）解：如图1，设CE=x m，则，显然11>6，居民楼采光受影响（2）如图2，，故两楼至少相距32m。 图1 图2 图1 实际生活中的实例在解直角三角形中的应用。
四、巩固提高 1、如图，在中，，，AD是的平分线。已知，那么AD=____________。2、如图，在△ABC中,∠C=90°,D为BC上的一点,若∠ADC=45°,BD=2DC,求∠B、∠BAD的正弦值3、等腰三角形中，AB=AC,∠C=30°,BC=,求BC边上的高和△ABC的周长
1、交流阶段：学习了哪些内容 解题过程中运用了哪些数学思想方法
2、在学生回答的基础上教师归纳出以下几点： (1)解直角三角形的意义? (2)运用化归的思想方法，将已知条件化为四种类型之一的条件，从而解直角三角形? 学生归纳，说说自己的体会与心得。 培养学生在探讨中发现问题，找到解决问题的方法。
六、实践延伸 1、某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=1500，BC长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）A、mB、4mC、mD、8m2、一艘货船以30海里/小时的速度向正北航行，在A处看见灯塔C。在船的北偏西300，20分钟后，货船至B处，看见灯塔C在船的北偏西600，已知灯塔C周围71海里以内有暗礁，问这艘船继续航行是否有触暗礁的危险？
七、预习探究
义务教育课标实验教科书数学九年级（下）
28.2.4锐角三角函数
学 校 主备人 时 间
设 计理 念 在掌握解直角三角形知识后，对实际问题进行分析，转化为直角三角形求解。其中渗透一题多解、多题一解的类比数学方法。引导学生学会分析，择优使用的方法。培养学生将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，写出已知和所求)的能力．
教学目标 1、使学生理解仰角与俯角等概念的意义，为解决有关实际问题扫除障碍；2、使学生能适当的选择锐角三角函数关系式去解决直角三角形的问题； 3、培养学生将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，写出已知和所求)的能力．
重 点 将实际问题抽象为数学问题，通过添加辅助线构造出直角三角形，解决问题。
难 点 将实际问题抽象为数学问题，通过添加辅助线构造出直角三角形，解决问题。
方 法 体验、探索式教学 课 型 新授课
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
题目类型有：
仰角定义：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角俯角定义：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的叫俯角 学生回顾知识点以及各知识点的具体应用。在问题中找到互补。 复习巩固直角三角形中角角、边角、边边之间的关系。正确选择恰当的方法和合适的锐角三角函数求解。
二、探究说理 学生自主分析完成。教师分析剖析。巡视中帮助一些学困生。视线在水平线上方的是仰角α=300视线在水平线下方的是俯角β=600 让学生了解如何将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，写出已知和所求)的能力
三、感悟深化 已知点A，B，D在同一直线上，且A，B在点D的同侧，CD⊥AD于D，AB＝m，∠CAD＝α，∠CBD＝β，求CD的长（用含α，β，m的式子表示）。解：在△ACD中，∠ADC＝90°， ，即同理，在△BCD中有解得（变式训练）若把上例中“A，B在点D的同侧”改为“A，B在点D的两侧”，其他条件不变（如图），求CD的长。解：由上例的分析、解答过程可知解得 师生分析：该题图中存在两个直角三角形：△ACD和△BCD。它们有一条公共直角边CD，根据锐角的正切定义，可用含CD的式子表示AD和BD，然后列出等量关系式求解。 学会分析解决实际问题尝试一题多解，多题同解应用。
四、巩固提高 3、一人工湖的岸边有一条笔直的小路，湖上原有一座小桥与小路垂直相通，现小桥有一部分已断裂，另一部分完好，在完好的桥头A处测得路边的小树D在它的北偏西30°，前进32m到断口B处，测得小树D在它的北偏西45°。请计算小桥断裂部分的长（结果用根号表示）
五、体验收获 1、掌握仰角俯角的定义，并了解它们在实际中的应用2、交流阶段：学习了哪些内容 解题过程中运用了哪些数学思想方法 学生归纳，说说自己的体会与心得。 培养学生在探讨中发现问题，找到解决问题的方法。
六、实践延伸 1、在等腰梯形ABCD中，DC∥AB， DE⊥AB于E，2、天空中有一静止的广告气球C，从地面上A点测得C点的仰角为45°，从地面上B点测得C点的仰角为60°。已知AB＝20m，点C和直线AB在同一铅垂面上，求气球C离地面的高度（结果保留根号）。3、有一段斜坡BC长为10米，坡角∠CBD=120，为方便残疾人的轮椅通行，现准备把坡角降为50.求坡高CD求斜坡新起点A与原起点B的距离（精确到0.1米）
七、预习探究
义务教育课标实验教科书数学九年级（下）
28.2.5锐角三角函数
学 校 主备人 时 间
设 计理 念 在熟练掌握锐角三角函数知识后，对直角三角形进行分析，知道某些元素，对余下元素的求解。其中渗透一题多解、多题一解的类比数学方法。引导学生学会分析，择优使用的方法。
教学目标 1、使学生理解坡度，坡角等概念的意义，为解决有关实际问题扫除障碍； 2、使学生能适当的选择锐角三角函数关系式去解决直角三角形的问题； 3、使学生学会将解非直角三角形的问题通过添加辅助线转化为解直角三角形的问题； 4、培养学生将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，写出已知和所求)的能力．
重 点 将实际问题抽象为数学问题，通过添加辅助线构造出直角三角形，解决问题。
难 点 将实际问题抽象为数学问题，通过添加辅助线构造出直角三角形，解决问题。
方 法 体验、探索式教学 课 型 新授课
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
题目类型有：
例 如图,太阳光与地面成60度角,一棵倾斜的大树AB与地面成30度角,这时测得大树在地面上的影长为10m,请你求出大树的高. 学生回顾知识点以及各知识点的具体应用。在问题中找到互补。 复习巩固直角三角形中角角、边角、边边之间的关系。正确选择恰当的方法和合适的锐角三角函数求解。
二、探究说理 善于分析、归纳、总结，充分发挥“试题模型”的作用，这就是数学中的“类比思想”。学会类比，精通一道题，会解一类题。
三、感悟深化 拦水坝的横断面为梯形ABCD，坡角，斜坡AB=9m，求拦水坝的高BE。（精确到0.1m，参考数据，，，）解：在中，，2、一轮船原在A处，它的北偏东方向上有一灯塔P，轮船沿着北偏西方向航行4h到达B处，这时灯塔P正好在轮船的正东方向上。已知轮船的航速为25n mile/h，求轮船在B处时与灯塔的距离（结果可保留根号）。解：在中，过点A作BP的垂线AC，垂足为C，则，，。在中，，CP=AC=，。所以轮船到达B点时，与灯塔P的距离为n mile。 结合实际生活生产的应用问题，有一些常用的名词应理解其意义，比如坡角、坡度、坡比等。航海问题是解直角三角形中测量问题最常见的题型。 解这类题关键是理解方位角、坡角、坡度、坡比的概念，准确画图，理解图形
四、巩固提高 1、为保卫祖国的海疆，我国海军在相距20海里的A，B两地设立观测站（海岸线是过A，B的直线），按国际惯例，海岸线以外12海里范围内均为我国领海，外国船只除特许外，不得私自进入我国领海。某日，观测员发现一外国船只行驶至P处，在A观测站测得∠BAP＝63°，同时在B观测站测得∠ABP＝34°。问：是否需要向此未经特许的船只发生警告，命令其退出我国领海？（参考数据：）2、在某段限速公路BC上（公路视为直线），交通管理部门规定汽车最高行驶速度不能超过60千米/小时，并在离公路100米处设置一个监测点A，如图，测速路段BC在x轴上，监测点A在y轴上，点C在点A的东北方向上，点B在点A的北偏西600方向上（1）求点B和点C的坐标（2）一辆汽车从点B行驶到点C时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速？ 学生自主学习，独立完成。
1、交流阶段：学习了哪些内容 解题过程中运用了哪些数学思想方法
2、在学生回答的基础上教师归纳出以下几点： (1)解直角三角形的意义? (2)运用化归的思想方法，将已知条件化为四种类型之一的条件，从而解直角三角形? 学生归纳，说说自己的体会与心得。 培养学生在探讨中发现问题，找到解决问题的方法。
六、实践延伸 1、巩固（3）若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车速度是货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少？（米）2、线段AB、CD表示甲、乙两幢楼的高，从甲楼底部B处测得乙楼顶部C的仰角为45 ，从乙楼顶部C测得甲楼顶部A的俯角为30 ；已知甲、乙两楼的距离BD=60m，求甲、乙两楼的高。
七、预习探究
义务教育课标实验教科书数学九年级（下）
28.2.6锐角三角函数
学 校 主备人 时 间
设 计理 念 在熟练掌握锐角三角函数知识后，对直角三角形进行分析，知道某些元素，对余下元素的求解。其中渗透一题多解、多题一解的类比数学方法。引导学生学会分析，择优使用的方法。
教学目标 1、使学生理解生活实例的意义，为解决有关实际问题扫除障碍；2、使学生能适当的选择锐角三角函数关系式去解决直角三角形的问题； 3、使学生学会将解非直角三角形的问题通过添加辅助线转化为解直角三角形的问题； 4、培养学生将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，写出已知和所求)的能力．
重 点 将实际问题抽象为数学问题，通过添加辅助线构造出直角三角形，解决问题。
难 点 将实际问题抽象为数学问题，通过添加辅助线构造出直角三角形，解决问题。
方 法 体验、探索式教学 课 型 活动课
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
题目类型有：
如图：若Rt△ABC中，∠C=90°，AC=b，∠A=α，怎样表示BC的长2、 如图：若Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，∠A=β，怎样表示AC的长3、思考：如何测出学校中旗杆的长度。测长度需要用到测角仪，测角仪是测仰角和俯角的工具。 学生回顾知识点以及各知识点的具体应用。在问题中找到互补。 复习巩固直角三角形中角角、边角、边边之间的关系。正确选择恰当的方法和合适的锐角三角函数求解。
二、探究说理 任务：设计方案，测量旗杆高度。工具：皮尺，测角仪 若测量数据如下：水平距离:20米 仰角：32° 测角仪高度:1米 试计算旗杆的高度。（精确到1米） 备用数据：tan32°≈0.6 cos32°≈解：在Rt△ABC中 BC=0.6×20=12BE=12+1=13练习：设计方案，利用教学楼的高度测量学校的银杏树高 工具：测角仪 备注：银杏树与教学楼在同一水平面上，且教学楼高度已知。 在学生独立思考的基础上，开展合作讨论，教师进行启发引导，共同解决问题。 培养学生将实际问题抽象为数学问题
三、感悟深化 （青岛市中考题）在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下方案①在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角；②量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN=m；③量出测倾器的高AC=h。根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN。图1如果测量工具不变，那么请你依照上述过程，设计一个测量某小山高度（如图10）的方案。（1）在图2中，画出你测量小山的高度MN的示意图（标上适当字母）；（2）写出你的设计方案。图2解：（1）画出示意图如图3。图3（2）①在测点A处安放测倾器，测得山顶M的仰角。②在A与小山之间的B处安放测倾器（A、B、N在同一直线上），测得此时山顶M的仰角。③量出测倾器的高AC=BD=h，设两测点间的距离，根据上述数据即可求出高MN。 考查操作应用能力体现数形结合的思想，同时考查学生在限时的应变能力 这类题将是以后中考命题的重点。体现课改精神。
四、巩固提高 1、小明想测量塔CD的高度。他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1m）图12、有一座建筑物，在地面上A点测得其顶点C的仰角为30°。向建筑物前进50m到B点，又测得C的仰角为45°，求建筑物的高度（结果精确到0.1m）3、为测量汉江某段河面宽度，秋实同学设计了如图10所示的测量方案：先在河的北岸选一定点A，再在河的南岸选定相距am的两点B，C，分别测得∠ABC＝α，∠ACB＝β。请你根据秋实同学测得的数据，计算河宽AD。 图2
五、体验收获 学生小结几个例题，对于测量高度的问题，如何用解直角三角形的方法加以解决。体会数学知识在实际生活中的应用，从而提高数学与用数学的兴趣。 学生归纳，说说自己的体会与心得。 培养学生在探讨中发现问题，找到解决问题的方法。
六、实践延伸 运用今天所学知识，设计一个方案，利用皮尺，测角仪测量学校荷花池的宽度。请画出示意图，并把所测数据用字母表示。
七、预习探究
义务教育课标实验教科书数学九年级（下）
28.2.7锐角三角函数
学 校 主备人 时 间
设 计理 念 在熟练掌握锐角三角函数知识后，对直角三角形进行分析，知道某些元素，对余下元素的求解。其中渗透一题多解、多题一解的类比数学方法。引导学生学会分析，择优使用的方法。
教学目标 1、掌握解直角三角形方法。逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．2、学会将解非直角三角形的问题通过添加辅助线转化为解直角三角形的问题；3、培养学生将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，写出已知和所求)的能力．4、学会学数学、用数学的能力。
重 点 将实际问题抽象为数学问题，通过添加辅助线构造出直角三角形，解决问题。
难 点 将实际问题抽象为数学问题，通过添加辅助线构造出直角三角形，解决问题。
方 法 体验、探索式教学 课 型 复习课
教 学 过 程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
题目类型有：
一、锐角三角函数的应用例1、如图1，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕点B旋转，使点D落到CB的延长线上的处，那么等于（ ）A. B. C. D. 图1例2、如图2，在中，，，AD是的平分线。已知，那么AD=____________。解：，所以解直角三角形的实际应用例3 如图3郯城县妇联在“六一”国际儿童节到来之际，在县民族广场升起了一个氢气球以示祝贺，小明为测量氢气球离地面的高度CD，在地面上相距80米的A，B两点，测得，．已知A，D，B三点在同一直线上，那么氢气球离地面的高度是多少米（精确到0.1米）？（参考数据，，，） 学生回顾知识点以及各知识点的具体应用。在问题中找到互补。学会转化，学会变通。要求学生独立完成要求学生独立完成 复习巩固直角三角形中角角、边角、边边之间的关系。正确选择恰当的方法和合适的锐角三角函数求解。直角三角形计算问题是常见的题型，将非直角三角形或四边形转化为直角三角形求解的问题。
二、探究说理 一、生活中常见实例：例4 “村村通路工程”加快了临沂市建设社会主义新农村的步伐．如图4，C村村民们欲修建一条水泥公路将C村与县级公路相连．在公路A处测得C村在北偏东方向，前进500米，在B处测得C村在北偏东方向．（1）为节约资源，要求所修公路长度最短．试求符合条件的公路长度．（结果保留整数）（2）经预算，修建1 000米这样的水泥公路约需人民币20万元．按国家的相关政策，政府对修建该条水泥公路拨款人民币5万元，其余部分由村民自发筹集．试求修建该条水泥公路村民需自筹资金多少万元．二、坡面上的计算例5 一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图5所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形．现需将其整修并进行美化，方案如下：①将背水坡AB的坡度由改为；②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花．（1）求整修后背水坡面的面积；（2）如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？ 考查学生将计算坡面面积问题转化为直角三角形来解决，体现了数学在生活中的应用以及数学的价值和作用．问题设计较为合理、自然． 选题背景公平。以测量为载体，考查同学们如何解决实际问题．解决这个问题的策略是转化为解直角三角形．
三、感悟深化 （2009济南）九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得右图所放风筝的高度，进行了如下操作：（1）在放风筝的点处安置测倾器，测得风筝的仰角；（2）根据手中剩余线的长度出风筝线的长度为70米；（3）量出测倾器的高度米．根据测量数据，计算出风筝的高度约为 米．（精确到0.1米，） 难度进一步提升要求学生独立完成
四、巩固提高 1、如图1，海中有一个小岛A，该岛四周10n mile内有暗礁。今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20n mile后到达该岛的南偏西25°的C处。之后，货轮继续向东航行。你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？ 图12、如图2，小明想测量塔CD的高度。他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1m）图23、拦水坝的横断面为梯形ABCD，坡角，斜坡AB=9m，求拦水坝的高BE。（精确到0.1m，参考数据，，，）图34、如图4 拦水坝的横断面为梯形ABCD，根据图示数据求： (1)求 tanα和tanβ的值；(2)坝底宽AD和斜坡AB的长．(精确到0.1米)
1、交流阶段：学习了哪些内容 解题过程中运用了哪些数学思想方法
2、在学生回答的基础上教师归纳出以下几点： (1)解直角三角形的意义? (2)运用化归的思想方法，将已知条件化为四种类型之一的条件，从而解直角三角形?（3）体会数学知识在实际生活中的应用，从而提高数学与用数学的兴趣。 学生归纳，说说自己的体会与心得。 培养学生在探讨中发现问题，找到解决问题的方法。
六、实践延伸
E
O
A
B
C
D
·
三角函数
角度
三角函数
B
A
c
a
b
C
P
O
A
B
C
（第23题图）
D
P
O
A
B
C
（第23题图）
B
D
A
C
A
B
C
A
B
C
D
B
A
C
D
1500
h
D
B
A
参考数据
Sin120=0.21
cos120=0.98
tan50=0.09
A
B
C
D
30°
60°
太阳光线
地面
C
A
B
B
A
C
a
β
B
320
C
A
F
E
A
D
B
E
C
60°
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