山东省济南市章丘一中《选修2-1》复习测试题

山东省济南市章丘一中《选修2-1》复习测试题
选择题：（共12个小题，每题5分，本题满分60分）
1、有下列四个命题：①｛Φ｝是空集；②｛0｝是空集；③若a∈N，则－aN；④集合A=｛x|x2+2x+1=0｝是两元素集。其中正确的命题个数为（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
答案：A
2、抛物线 y = ax2 的准线方程为y = 2 ，则a的值为：（ ）
A、 B、—  C、 8 D、 — 8
答案:B.
解：方程可化为：x2 = y , 所以 准线方程为：y = — = 2 , 所以a = —  .
3、平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，=x+2y+3z，则x + y + z =( )
A、1 B、 C、  D、
答案：B
解：=++=+－ 可得： x + y + z = 1 +  －  = 
故选B
4、如果命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，则（ ）
A、命题p和命题q都是假命题 B、命题p和命题q都是真命题
C、命题p和命题“非q”真值不同 D、命题p和命题“非q”真值相同
答案：D
解: 命题“p或q”为真,则命题p和命题q至少有一个为真命题; 命题“p且q”为假，则命题p和命题q至少有一个为假命题;所以, 命题p和命题q必定一真一假,故命题p和命题“非q”真值相同,选D.
5、如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是( )
A、arccos B、 C、arccos D、
答案：D
解：∵A1E∥B1G, 且 A1E=B1G, ∴ ∠B1GF为异面直线A1E与GF所成的角。
 得出：∠B1GF=90°，故选D。
6、在边长为1的正三角形ABC 中，·+·+·=( )
A、1.5 B、－1.5 C、0.5 D、－0.5
答案：B
解：·+·+·=－(·+·+·)
=－(1×1×+1×1×+1×1×) = －  故选B
7、△ABC的边BC在平面 α内， A不在平面 α内， △ABC与α所成的角为θ（锐角）， AA＇⊥α，则下列结论中成立的是： （ ）
A、S△ABC = S△A＇BC cosθ B、S△A＇BC = S△ABC cosθ
C、S△A＇BC = S△ABC sinθ D、S△ABC = S△A＇BC sinθ
答案：B
8、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为( )
A、 B 、 C、  D、

答案：B
解：连结B1C1的中点H与O，则HO∥面ABC1D1，过H作HK⊥BC1于K，则HK为所求距离。由HK =  =  ，故选B。
9、对任意实数a,b,c,，给出下列命题：
①“a=b”是“ac=bc”的充分条件；
②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；
③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；
④“a<5”是“a<3”的必要条件。 其中真命题的个数是( )
A、1 B、2 C、3 D、4
答案：C
解：①对；②对；③不对；④对。故选C
10、点P(－3,1)在椭圆 =1（a＞b＞0）的左准线上,过点P且方向为=(2,－5)的光线,经过直线y=－2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为( )
A、 B、 C、  D、
答案：A
解：首先 =3 ∴ a2=3c
椭圆的左焦点F(－c,0) 关于直线y=－2的对称点为G(－c,－4), 则∥
由=（3－c，－5）, ∴ = － ∴c=1 故a =  ∴e = 
11、无论=(x1,x2,x3), =(y1,y2,y3), =(z1,z2,z3),是否为非零向量，下列命题中恒成立的是( )
cos<,> = 
B、若∥，∥，则∥
C、 （·）·= ·（ ·）
D、| ||－|| |≤|±|≤||+||
答案：D
12、如图所示：在正方体ABCD－A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P，P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为( )
B、 C、 D、
A1 B1 A1 B1 A1 B1 A1 B1
A B A B A B A B
答案：C
解：问题可转化成：点P到点B的距离和点P到直线A1B1的距离相等，所以点P的轨迹为以B为焦点，以A1B1为准线的抛物线。故而选C。
二、填空题：
13、用反证法证明命题:“若整数系数一元二次方程：ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 有有理根，那么a,b,c中至少有一个是偶数”时，第一步应假设_____________。
答案：假设a,b,c都不是偶数
解：“a,b,c中至少有一个是偶数”是存在性命题，它的否定应是全称命题.
14、如图,∠BAD=90°的等腰直角△ABD和正△CBD所在平面互相垂直,E是BC的中点,则AE与平面BCD所成角的大小是_____________。
答案：45°
解：设AB=AD=1 可推出BD=2=BC=CD,取BD中点为F,连结AF 可得出：AF⊥BD。所以 AF⊥面BCD，连结EF，
∠AEF即为与平面所成的角。 可得出：tan∠AEF =  =1 。 ∴∠AEF=45°
15、已知A(λ+1,μ－1, 3),B(2λ, μ, λ－2μ),C(λ+3, μ－3,9)三点共线,则实数λ和μ的值为_____________。
答案：λ=0, μ=0.
解：因为A(λ+1,μ－1, 3),B(2λ, μ, λ－2μ),C(λ+3, μ－3,9)三点共线,
所以∥ 所以=k 而=(λ—1,1, λ－2μ－3), =(2,－2,6),
所以有 所以
16、以下关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，若||－|| = k，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若=(+), 则动点P的轨迹为椭圆；
③方程2x2－5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线 =1与椭圆 =1有相同的焦点。
其中真命题的序号为______________（填上所有真命题的序号）
答案：③④
解：① ||－|| = k<|AB|, 才有动点P的轨迹为双曲线,故而①不对。
②点P的轨迹为圆。所以②不对。
③方程2x2－5x+2=0的两根为2和，可以作为椭圆(01)的离心率, 故而③对。
④在双曲线 =1中：c2=25+9=34, 其焦点为F(±,0)；在椭圆  =1中：c2 = 35－1 = 34, 其焦点为F(±,0) 。它们有相同的焦点，故而④对。
解答题：
17、设原命题为：
⑴若 ab≤ 0 ,则a ≤0 或b≤ 0. ⑵若a ,b都是奇数,则ab是奇数.
写出上面两个命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假。
解：(1) 逆命题: 若 a ≤0 或b≤ 0,则ab≤ 0. (假命题)
否命题: 若 ab > 0 ,则a > 0 且b > 0. (假命题)
逆否命题: 若 a > 0 且b > 0,则ab > 0. (真命题)
(2) 逆命题: 若ab是奇数,则a ,b都是奇数. (假命题)
否命题: 若a ,b不都是奇数,则ab不是奇数. (假命题)
逆否命题:若ab不是奇数,则a ,b不都是奇数. (真命题)
18、分别求满足下列条件的双曲线的标准方程：
两准线间的距离为，实轴长为8.
顶点间的距离为6，渐进线方程为 y = ± x
解：(1)由题意可知：2a = 8 ,可得a = 4 ,又= ,c = 5 .b2 = c2 – a2 = 9 .所求方程为： = 1 或  = 1 ,
(2)渐进线为 y = ± x ，设所求方程为= λ（λ≠0），
当焦点在x轴上时，顶点是（±3，0），代入方程有 =λ，所以所求方程为： = 1;
当焦点在y轴上时，顶点是(0,±3)，代入方程有λ= — 1 ，所以所求方程为：= 1
综上，所求方程为： = 1 或 = 1 .
19、在60°的二面角α－L－β的棱上，有A、B两点，线段AC、BD分别在二面角的两个面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，①求CD的长度；②求CD与平面α所成的角。
β
α
解：(1) =＋＋
∴2 = 2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
= 62＋42＋82－2×6×8cos60°=36＋16＋64－48 = 68 ∴ =2 
(2)过A作AE∥BD且AE=BD, 连结CE ∴∠CAE为二面角的平面角为60°
∴AB⊥面ACE, 过C作CF⊥AE于F, ∴CF⊥面α.
连结DF, 则∴∠CDF为CD与面α所成的角. ∴CF = 6× = 3
∴sin∠CDF =  = 
20、如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC = BC = AA1 = 2 ,∠ACB = 90°,E、F 、G 分别是棱AC 、AA1 、AB的中点。
(1)求异面直线AC1与GF所成的角；
(2)求二面角B1-EG –B 的大小。
解：(1) 以C为原点建立空间直角坐标系。 ∴A(2,0,0) B(0,2,0) C(0,0,2) G(1,1,0) F(2,0,1) E(1,0,0) B1(0,2,2)
=(－2,0,2) =(1,－1,1) ∴·=－2＋2=0 。
所以AC1与GF所成角为90°。
(2)平面ABC的法向量=(0,0,2) =  ，设 平面B1GE的法向量=(x,y,z),
则⊥,⊥
∵=(0,－1,0) ∴ y=0
∵=(1,－1,－2) ∴x－y－2z=0 ∴x=2z
令z=1 则=(2,0,1)
cos<, > =  = = 
∴ <, > = arccos  .
21、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，过它的右焦点 F2 引倾斜角为45° 的直线 L 交椭圆于M ,N 两点，M ,N 到椭圆右准线的距离之和为 ，它的左焦点 F1 到直线 L 的距离为 ，求椭圆方程。
解： 设椭圆方程为 =1， F1(－c,0)， F2(c,0)，
则L的方程为y=x－c， 由d==，即x－y－c=0，得2c=2，即c=1
设 M(x1,y1) N(x2,y2)，到椭圆右准线的距离之和为，
由椭圆第二定义，可得：－x1＋－x2 = －，代入c = 1 ， 可化为：x1＋x2 = 2a2－ 
由联立，得： (a2－1)x2＋a2(x2－1)= (a2－1)a2,所以 (2a2－1)x2－2a2x＋2a2－a4=0，
所以x1＋x2 =  所以 = 2a2－  可得a2 = 2 。所以椭圆的方程为：=1
22、已知点A(3,0)，B在x轴上，点M在直线x=1上移动，且·=0，动点C满足=3，
①求C点的轨迹D的方程；
②若直线L：y=k(x－1)与曲线D有两个不同的交点E,F，设P(－1,0)，当∠EPF为锐角时, 求k的取值范围。
解：(1)设B(x0,0)，M(1,y0)，C(x,y)，则=（2，－y0），=（x0－1，－y0）,
由·=02 x0－2+ y02=0 ① 又=（x－1,y－y0）, =(x－x0,y)
=3 ∴  ,  ,代入① 可得 ：
 — 2 + 4 y2 = 0 , ∴ 6y2 = 2 — 2x , 3y2 = 1 — x .
(2)  , 3k2 (x — 1) 2 + (x – 1 ) = 0 （ k≠ 0 ） , (x – 1 ) [3k2 (x — 1) + 1 ] = 0 , x = 1 ,
∴ x =  + 1 , ∴ E ( 1, 0 ) , F ( 1 - , — ) ,P ( — 1, 0 ) ∴  = ( 2, 0 ) ,  = ( 2 — , — ) , 因为 ∠EPF为锐角 ，所以  · = 4 —  ＞ 0 , 得 ：k2 ＞ 
∴ k ＞  或k ＜—