简单线性规划的应用
图片预览
文档简介
本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
简单线性规划的应用
张园和
教学目标：
1．会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题；
2．培养学生观察、分析、联想、以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，培养学生自主探究意识，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；
教学重、难点：
教学重点：把实际问题转化成线性规划问题，即建模，并给出解答．
教学难点：1．建立数学模型．把实际问题转化为线性规划问题；
2．寻找整点最优解的方法．
教学方法：讲练结合、分组讨论法
教学过程：
（一）讲解新课
例1、医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种原料每含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元。若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质，试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养又使费用最省？
解析：
蛋白质(单位/10g) 铁质(单位/10g) 售价(元/10g)
甲 5 10 3
乙 7 4 2
设甲、乙两种原料分别用和，需要的费用为，病人每餐至少需要35单位蛋白质，可表示为。同理，对铁质的要求可表示为。
问题成为：在约束条件下，求目标函数的最小值。
作出可行域，令，作直线。
由图可知，把直线平移至顶点时，取最小值。
由，元。
所以用甲种原料，乙种原料，
费用最省。
小结：简单线性规划应用问题的求解步骤：（教师示意学生观看板书，并给予适当的提示）
1．将已知数据列成表格的形式(这一步可以省略)，设出变量x，y和z;
2．找出约束条件和目标函数;
3．作出可行域，并结合图象求出最优解;
4．按题意作答．
例2、某厂生产一种产品，其成本为27元/，售价为50元/，生产中，每千克产品产生的污水，污水有两种排放方式：
方式一：直接排入河流
方式二：经厂内污水处理站处理后排入河流，但受污水处理站技术水平的限制，污水处理率只有，污水处理站最大处理能力是，处理污水的成本是5元/
另外，环保部门对排入河流的污水收费标准是元/，，且允许该厂排入河流中污水的最大量是，那么，该厂应选择怎样的生产与排污方案，可使其每净收益最大？
分析：为了解决问题，首先要搞清楚是什么因素决定收益
净收益 = 售出产品的收入—生产费用
其中生产费用包括生产成本、污水处理、排污费等
设该厂生产的产量为，直接排入河流的污水为，每小时净收益为元，则：（1）售出产品的收入为元/
（2）产品成本为元/
（3）污水产生量为，污水处理量为，污水处理费为元/
（4）污水未处理率为，所以污水处理厂处理后的污水排放量为，环保部门要征收的排污费为元/
（5）
需要考虑的约束条件是：
（1）污水处理能力是有限的，即
（2）允许排入河流的污水量也是有限的即
解析：根据题意，本问题可归纳为：在约束条件下，求目标函数的最大值
作出可行域。令，作直线
，由图可知，平
移直线，在可行域中的顶点处,
取得最大值。
由
故该厂生产该产品，直接排入河流的污水为时，可使每小时净收益最大，最大值为（元）
答：该厂应安排生产该产品，直接排入河流的污水为时，其每小时净收益最大。
例3、滨江校区高一(17)班举行元旦文艺晚会，布置会场要制作“中国结”，班长购买了甲、乙两种颜色不同的彩绳，把它们截成A、B、C三种规格．甲种彩绳每根8元，乙种彩绳每根6元，已知每根彩绳可同时截得三种规格彩绳的根数如下表所示：
A规格 B规格 C规格
甲种彩绳 2 1 1
乙种彩绳 1 2 3
今需要A、B、C三种规格的彩绳各15、18、27根，问各截这两种彩绳多少根，可得所需三种规格彩绳且花费最少？
分析：将已知数据列成下表
甲种彩绳 乙种彩绳 所需条数
A规格 2 1 15
B规格 1 2 18
C规格 1 3 27
单 价 8 6
解析：设需购买甲种彩绳x根、乙种彩绳y根，共花费z元，则
，z=8x+6y
在用图解法求解的过程中，学生发现：
直线l最先经过可行域内的点A(3.6,7.8)并不是最优解,学生马上想到最优解可能是（4，8），引导学生计算花费，花费为80元，有没有更优的选择
进一步激发学生兴趣：可能是（3，9）吗 此时花费为78元，可能是（2，10）吗？此时花费为76元，可能是……，如何寻找最优解？
满足题意的点是可行域内的整点，首先要找整点，引导学生采用打网格或利用坐标纸的方法；根据线性规划知识，平移直线l,最先经过的整点坐标是整数最优解．
由网格法可得：当x=3，y=9时，zmin=78．
答：班长应购买3根甲种彩绳、9根乙种彩绳，可使花费最少。
小结：确定最优整数解的方法：
1．若可行域的“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；（在包括边界的情况下）
2．若可行域的“顶点”不是整点或不包括边界时，一般采用网格法，即先在可行域内打网格、描整点、平移直线l、最先经过或最后经过的整点坐标是整数最优解；这种方法依赖作图，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范．
（二）课堂练习
1．已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少
解析：设甲煤矿向东车站运万吨煤，乙煤矿向东车站运万吨煤，那么
总运费z=x+1.5(200－x)+0.8y+1.6(300－y)(万元) ，即z=780－0.5x－0.8y.
x、y应满足：
作出上面的不等式组所表示的平面区域，设直线x+y=280与y轴的交点为M，则M(0，280) ，把直线l：0.5x+0.8y=0向上平移至经过平面区域上的点M时，z的值最小。
∵点M的坐标为(0，280)，
∴甲煤矿生产的煤全部运往西车站、乙煤矿向东车站运280万吨向西车站运20万吨时，总运费最少。
2．高一年级准备组织学生分批去师大新校区参观，每天至少要派送480名学生．学校与某旅游公司联系客运，该公司有7辆小巴、4辆大巴，其中小巴能载16人、大巴能载32人． 已知每辆客车每天往返次数小巴为5次、大巴为3次，每次运输成本小巴为48元，大巴为60元．请问每天应派出小巴、大巴各多少辆，能使总费用最少？
解析：设每天派出小巴x辆、大巴y辆，总运费为z元，则
，z=240x+180y
由网格法可得：x=2，y=4时，zmin=1200．
答：派4辆小巴、2辆大巴费用最少．
（三）回顾与小结
1．把实际问题转化成线性规划问题即建立数学模型的方法．建模主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关。
求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的格式与步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
2．求解整点最优解的解法：网格法．网格法主要依赖作图，要规范地作出精确图形．
（四）布置作业
1、P109页 B组第2题
2、要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示：
规格类型 A规格 B规格 C规格
甲种钢管 2 1 4
乙种钢管 2 3 1
今需A、B、C三种规格的钢管各13、16、18根，问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管，且使所用钢管根数最少
解析：设需截甲种钢管x根，乙种钢管y根，则
作出可行域(如图)：
目标函数为，作出一组平行直线中(t为参数)经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线4x+y=18和直线x+3y=16的交点A()，直线方程为.由于和都不是整数，所以可行域内的点()不是最优解
经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是，经过的整点是B(4，4)，它是最优解
答：要截得所需三种规格的钢管，且使所截两种钢管的根数最少方法是，截甲种钢管、乙种钢管各4根.
l
0
:3x+2y=0
5x+7y=35
10x+4y=40
A
-2
-2
6
4
2
10
6
4
2
y
x
O
l
0
:20.708x-9.96y=0
0.3x-y=0.9
0.3x-y=0
9x+170y=45
3
-1
1
2
2
1
y
x
O
x=200
y=300
x+y=280
x+y=140
x
y
O
钢管类型
O
x
y
4x+y=18
2x+2y=13
x+3y=16
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
简单线性规划的应用
张园和
教学目标：
1．会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题；
2．培养学生观察、分析、联想、以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，培养学生自主探究意识，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；
教学重、难点：
教学重点：把实际问题转化成线性规划问题，即建模，并给出解答．
教学难点：1．建立数学模型．把实际问题转化为线性规划问题；
2．寻找整点最优解的方法．
教学方法：讲练结合、分组讨论法
教学过程：
（一）讲解新课
例1、医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种原料每含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元。若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质，试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养又使费用最省？
解析：
蛋白质(单位/10g) 铁质(单位/10g) 售价(元/10g)
甲 5 10 3
乙 7 4 2
设甲、乙两种原料分别用和，需要的费用为，病人每餐至少需要35单位蛋白质，可表示为。同理，对铁质的要求可表示为。
问题成为：在约束条件下，求目标函数的最小值。
作出可行域，令，作直线。
由图可知，把直线平移至顶点时，取最小值。
由，元。
所以用甲种原料，乙种原料，
费用最省。
小结：简单线性规划应用问题的求解步骤：（教师示意学生观看板书，并给予适当的提示）
1．将已知数据列成表格的形式(这一步可以省略)，设出变量x，y和z;
2．找出约束条件和目标函数;
3．作出可行域，并结合图象求出最优解;
4．按题意作答．
例2、某厂生产一种产品，其成本为27元/，售价为50元/，生产中，每千克产品产生的污水，污水有两种排放方式：
方式一：直接排入河流
方式二：经厂内污水处理站处理后排入河流，但受污水处理站技术水平的限制，污水处理率只有，污水处理站最大处理能力是，处理污水的成本是5元/
另外，环保部门对排入河流的污水收费标准是元/，，且允许该厂排入河流中污水的最大量是，那么，该厂应选择怎样的生产与排污方案，可使其每净收益最大？
分析：为了解决问题，首先要搞清楚是什么因素决定收益
净收益 = 售出产品的收入—生产费用
其中生产费用包括生产成本、污水处理、排污费等
设该厂生产的产量为，直接排入河流的污水为，每小时净收益为元，则：（1）售出产品的收入为元/
（2）产品成本为元/
（3）污水产生量为，污水处理量为，污水处理费为元/
（4）污水未处理率为，所以污水处理厂处理后的污水排放量为，环保部门要征收的排污费为元/
（5）
需要考虑的约束条件是：
（1）污水处理能力是有限的，即
（2）允许排入河流的污水量也是有限的即
解析：根据题意，本问题可归纳为：在约束条件下，求目标函数的最大值
作出可行域。令，作直线
，由图可知，平
移直线，在可行域中的顶点处,
取得最大值。
由
故该厂生产该产品，直接排入河流的污水为时，可使每小时净收益最大，最大值为（元）
答：该厂应安排生产该产品，直接排入河流的污水为时，其每小时净收益最大。
例3、滨江校区高一(17)班举行元旦文艺晚会，布置会场要制作“中国结”，班长购买了甲、乙两种颜色不同的彩绳，把它们截成A、B、C三种规格．甲种彩绳每根8元，乙种彩绳每根6元，已知每根彩绳可同时截得三种规格彩绳的根数如下表所示：
A规格 B规格 C规格
甲种彩绳 2 1 1
乙种彩绳 1 2 3
今需要A、B、C三种规格的彩绳各15、18、27根，问各截这两种彩绳多少根，可得所需三种规格彩绳且花费最少？
分析：将已知数据列成下表
甲种彩绳 乙种彩绳 所需条数
A规格 2 1 15
B规格 1 2 18
C规格 1 3 27
单 价 8 6
解析：设需购买甲种彩绳x根、乙种彩绳y根，共花费z元，则
，z=8x+6y
在用图解法求解的过程中，学生发现：
直线l最先经过可行域内的点A(3.6,7.8)并不是最优解,学生马上想到最优解可能是（4，8），引导学生计算花费，花费为80元，有没有更优的选择
进一步激发学生兴趣：可能是（3，9）吗 此时花费为78元，可能是（2，10）吗？此时花费为76元，可能是……，如何寻找最优解？
满足题意的点是可行域内的整点，首先要找整点，引导学生采用打网格或利用坐标纸的方法；根据线性规划知识，平移直线l,最先经过的整点坐标是整数最优解．
由网格法可得：当x=3，y=9时，zmin=78．
答：班长应购买3根甲种彩绳、9根乙种彩绳，可使花费最少。
小结：确定最优整数解的方法：
1．若可行域的“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；（在包括边界的情况下）
2．若可行域的“顶点”不是整点或不包括边界时，一般采用网格法，即先在可行域内打网格、描整点、平移直线l、最先经过或最后经过的整点坐标是整数最优解；这种方法依赖作图，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范．
（二）课堂练习
1．已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少
解析：设甲煤矿向东车站运万吨煤，乙煤矿向东车站运万吨煤，那么
总运费z=x+1.5(200－x)+0.8y+1.6(300－y)(万元) ，即z=780－0.5x－0.8y.
x、y应满足：
作出上面的不等式组所表示的平面区域，设直线x+y=280与y轴的交点为M，则M(0，280) ，把直线l：0.5x+0.8y=0向上平移至经过平面区域上的点M时，z的值最小。
∵点M的坐标为(0，280)，
∴甲煤矿生产的煤全部运往西车站、乙煤矿向东车站运280万吨向西车站运20万吨时，总运费最少。
2．高一年级准备组织学生分批去师大新校区参观，每天至少要派送480名学生．学校与某旅游公司联系客运，该公司有7辆小巴、4辆大巴，其中小巴能载16人、大巴能载32人． 已知每辆客车每天往返次数小巴为5次、大巴为3次，每次运输成本小巴为48元，大巴为60元．请问每天应派出小巴、大巴各多少辆，能使总费用最少？
解析：设每天派出小巴x辆、大巴y辆，总运费为z元，则
，z=240x+180y
由网格法可得：x=2，y=4时，zmin=1200．
答：派4辆小巴、2辆大巴费用最少．
（三）回顾与小结
1．把实际问题转化成线性规划问题即建立数学模型的方法．建模主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关。
求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的格式与步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
2．求解整点最优解的解法：网格法．网格法主要依赖作图，要规范地作出精确图形．
（四）布置作业
1、P109页 B组第2题
2、要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示：
规格类型 A规格 B规格 C规格
甲种钢管 2 1 4
乙种钢管 2 3 1
今需A、B、C三种规格的钢管各13、16、18根，问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管，且使所用钢管根数最少
解析：设需截甲种钢管x根，乙种钢管y根，则
作出可行域(如图)：
目标函数为，作出一组平行直线中(t为参数)经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线4x+y=18和直线x+3y=16的交点A()，直线方程为.由于和都不是整数，所以可行域内的点()不是最优解
经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是，经过的整点是B(4，4)，它是最优解
答：要截得所需三种规格的钢管，且使所截两种钢管的根数最少方法是，截甲种钢管、乙种钢管各4根.
l
0
:3x+2y=0
5x+7y=35
10x+4y=40
A
-2
-2
6
4
2
10
6
4
2
y
x
O
l
0
:20.708x-9.96y=0
0.3x-y=0.9
0.3x-y=0
9x+170y=45
3
-1
1
2
2
1
y
x
O
x=200
y=300
x+y=280
x+y=140
x
y
O
钢管类型
O
x
y
4x+y=18
2x+2y=13
x+3y=16
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网