高2011级学生学业调研抽测试卷（第二次）重庆数学（文）

高2011级学生学业调研抽测试卷（第二次）
数 学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．
参考公式：
如果事件、互斥，那么；
如果事件、相互独立，那么；
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率
第I卷（选择题，共50分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在机读卡上．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔在机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．
3．考试结束，监考人将本试题和机读卡一并收回．
一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
2．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．设向量，，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数的定义域为 （ ）
A． B．
C． D．
5．若实数满足 则的最小值为（ ）

A． B. C. D.
6．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 （ ）
A．
B．
C．
D． 第6题图
7．函数在上的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．要从4名女生和2名男生中选出3名学生组成课外学习小组，则是按分层抽样组成的课外学习小组的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．设函数，若时，有＞0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．　 B． C．　　 D．
10．如图，正方体中，点在上运动，
给出下列四个命题：
①三棱锥的体积不变； ②⊥；
③∥平面； ④平面；
其中正确的命题个数有（ ）
第10题图
A． 个 B．个 C．个 D． 个
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题5个小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡Ⅱ相应位置上．
11．的展开式中的系数为　 ．
12．设函数的图象为，函数的图象为，若与关于直线对称，则 ．
13．已知数列为等差数列，且，则　 ．
14．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求最后播放的不能是商业广告且两个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式有　 种（用数字作答）．
15. 过双曲线的一个焦点作渐近线的垂线，垂足为，交轴于点，若，则该双曲线的离心率为　 ．
三、解答题：本大题6个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡Ⅱ相应位置上．
16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问5分）
已知数列为等差数列，且，为等比数列，数列的前三项依次为，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．
17．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）
某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进行第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品的合格率依次为 ，，．经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品的合格率均为．
(Ⅰ)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
(Ⅱ)求经过前后两次烧制后三件产品均合格的概率．
18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）
已知．
（Ⅰ）若向量，，且∥，求的值；
（Ⅱ）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围．
19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）
已知函数，．
（I）若函数在处取得极值，求的单调区间；
（II）当时，恒成立，求的取值范围．
20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问3分，（Ⅱ）小问5分，（Ⅲ）小问4分）
已知正△的边长为4，是边上的高，分别是和边的中点，现将△沿翻折成直二面角，如图所示．
（I）证明：∥平面；
（II）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使？证明你的结论．

21．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问3分，（Ⅱ）小问3分，（Ⅲ）小问6分）
设椭圆：的左、右焦点分别为、，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且⊥．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若过、、三点的圆恰好与直线
相切，求椭圆的方程； 第21题图
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于、两点，
若点使得以为邻边的平行四边形是菱形，求的取值范围．
高2011级学生学业调研抽测（第二次）
数学(文科)参考答案及评分意见
一、选择题：1—5：C B A CD 6—10：BD BCC
二、填空题：11． 12． 13． 14． 15．
三、解答题：
解：（Ⅰ）由题意设数列公差为，数列的公比为．
∵，，∴ ………………………………………1分
又∵， ∴ ……… 3分
解得： ……………………………………… 5分
∴ ……………………………………… 8分
（Ⅱ）…）+…）
． …………………………………… 13分
17．解：（Ⅰ）分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件；
设E表示第一次烧制后恰好有一件合格，则：
……………………………………… 7分
∴第一次烧制后恰好有一件产品合格的概率为
（Ⅱ）分别记甲、乙、丙经两次烧制后合格为事件为A、B、C，则：
…………………………………………………… 10分
设F表示经过两次烧制后三件产品均合格，则：

∴经过前后两次烧制后三件产品均合格的概率． ………………………… 13分
18．解：（Ⅰ）∵∥ ∴
………………………………………………………………………………………3分
即，所以 ……………………… 6分
（Ⅱ）∵ 则
………………… 8分
∴ ∴ ……………………………………… 9分
∴ ∴ ………………………………………10分
又，，其中
∴，即的取值范围为． ……………………………… 13分
19．解：（I），∵在处取得极值
∴ ………………………………………… 2分
∴ ∴ …………………………………………3分
由得或，由得， ……………………5 分
故单调递增区间为和；单调递减区间为． ……… 6分
（II）由题意知在上恒成立，
即在上恒成立． ………………………………… 7分
令 ……… 9分
故在上恒成立等价于
…………………………………………… 11分
解得． …………………………………………… 12分
20.解：法一：（I）证明：如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，
得EF//AB，又AB平面DEF，EF平面DEF．
∴AB∥平面DEF． ……………………………………………………………………3分
（II）∵AD⊥CD，BD⊥CD
∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角
∴AD⊥BD ∴AD⊥平面BCD
取CD的中点M，这时EM∥AD ∴EM⊥平面BCD
过M作MN⊥DF于点N，连结EN，则EN⊥DF
∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角， ………………………………………6分
在Rt△EMN中，EM=1，MN=
∴tan∠MNE=，cos∠MNE=． ………………………………………8分
（Ⅲ）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE ………………………………………9分
证明：在线段BC上取点P，使，过P作PQ⊥CD与点Q，
∴PQ⊥平面ACD ∵在等边△ADE中，∠DAQ=30°
∴AQ⊥DE∴AP⊥DE． …………………………………………12分
法二：（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，，平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为
则 即
所以二面角E—DF—C的余弦值为． ……………………………………8分
（Ⅲ）在平面坐标系xDy中，直线BC的方程为
设

所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE． ……………………………………12分
21.解：（Ⅰ）由题意知，，
∵知为的中点，⊥
∴中，
，又
∴
故椭圆的离心率 …………………………………………………………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知得，于是, ，
的外接圆圆心为（，0），半径=,
所以，解得=2，∴，，
所求椭圆方程为 ……………………………………………………6分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，设，
由 代入得
则， …………………………………8分

由于菱形对角线垂直，则
故
即
…………………………………………10分
由已知条件知
∴ ∴ 故的取值范围是．……………12分