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新课标人教版 八年级下册第十八章
《探索勾股定理》第一课时教学设计说明
一、教材本质、地位与作用
勾股定理是一条古老而著名的数学定理，从某种意义上说是人类智慧的结晶，是古代文化的精华。我国著名数学家华罗庚曾建议让人造卫星把勾股定理带到宇宙中翱翔，如果的确存在星外文明，那么他们也定能从中感悟到地球文明。勾股定理是在学生已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的。在教材中起到承上启下的作用，为下面学习勾股定理的逆定理作了铺垫，为以后学习“四边形”和“解直角三角形”奠定基础。勾股定理的探索和证明蕴含着丰富的数学思想和科学研究方法，是培养学生具有良好思维品质的载体。它在数学的发展过程中起着重要的作用。勾股定理是一坛陈年佳酿，品之芬芳，余味无穷，它以其简洁优美的形式，丰富深刻的内涵刻画了自然界和谐统一关系，是数与形结合的优美典范。
二、教学目标
知识技能
了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程。
数学思考
在勾股定理的探索过程中，体会数形结合思想，发展合情推理能力。
解决问题
1．通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。
2．在探究活动中，学会与人合作，并在与他人交流中获取探究结果。
情感态度
1．通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情。
2．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神。
三、教学重点及难点
重点：经历探索及验证勾股定理的过程。
难点：用拼图的方法证明勾股定理。
结合本班实际，通过对学生学习状况的了解及对前面章节的教学活动，并布置课前预备下，分析当前学生现状如下：
1．学生认知基础：学生之前已接触了直角三角形，已经知道了它的一些性质，并且在数学问题的解决上已初步形成了一定的方法。
2．学生心理特点：八年级学生具有好强、好胜、思维活跃的特点。在学习上有强烈的求知欲望，他们乐于探索及表现自我。
3．学生能力分析：已初步具有对数学问题进行合理探究的意识与能力。但在数学说理和一些重要数学思想方法上尚不能熟练掌握，缺乏严谨的逻辑推理能力。
四、教法与学法分析
教法分析:八年级学生经过一年半的几何学习，几何图形的观察、几何证明的理性思维能力已初步形成。因此在教学中要力求实现以教师为主导，以学生为主体，以知识为载体，以培养学生的“思维能力，动手能力，探究能力”为重点的教学思想。
学法分析:八年级学生生活经验积累较少，缺乏严谨的逻辑推理能力。所以在探索勾股定理时，主要通过直观的，乐于接受的拼图法去验证勾股定理。“操作＋思考”的方式符合八年级学生认知水平，适应其思维发展规律及心理特征。
五、教法特点及预期效果分析
本节课的教学设计，以“再创造”教学原则和建构主义的学习观为指导，在静态的知识中注入了动态的活力，在课堂教学过程中引进了数学实验，增添了观察、探究等可形成能力的新因素。体现在，结合动画讲故事，吸引学生尽快投入学习活动；通过实验让学生进行再发现；通过拼图激活学生原有的知识、经验和能力，培养学生的观察能力和动手实践的能力，使学生在做数学中学数学；结合实际生活应用，让学生在触摸数学的气息中尝试数学建模，培养学生的应用意识。
整个教学过程的设计，力图创设一个和谐、平等、宽松的学习环境，给学生提供自主探索、合作交流的时空，使学生在这个环境中，手、脑、口能真正地动起来。教师不仅在学生的探索学习中进行问题引导，而且在关键处进行适当点拨，恰当运用多媒体辅助教学手段，帮助学生更好地理解与掌握勾股定理，解决教学中的难点问题，使学生真正完成知识感知、形成和巩固过程。课堂教学证实，学生猜想结论、拼图思考、证明定理、应用定理，成功地经历了知识的形成过程，体验到了成功带来的愉悦。本节课运用了“启发探索”式教学方法，努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变。课前查资料，培养学生的自学能力及归类总结能力；课上的探究培养学生的动手动脑能力、观察能力、归纳猜想总结的能力、合作交流的能力。整节课都是在生生互动、师生互动的和谐气氛中进行的。在教师的鼓励、引导下学生进行了自主学习；小组合作使各类学生均能得到最大限度的发展；学生上讲台展示自己的思路、想法，有利于学生在激烈的多样化的思维碰撞中感悟数学的魅力。
整个教学过程的设计意图总体突出如下特点：
1．教学内容的设计由浅入深，层层递进，其中有效地渗透了数形结合以及从特殊到一般、又从一般回到特殊的思想方法，充分体现新课改的先进理念。
2．问题、例题的探究由易到难、由浅入深，直接体现了勾股定理的应用及其简单变形，而后过渡到其后的拓展练习，分层布置，有一定的梯度性，为学有余力的同学提供了展示才能的空间，体现了因材施教，符合新课标的要求。
3．从整个文化背景中看，勾股定理蕴藏着丰富的文化底蕴．目前全世界范围内关于勾股定理的证法已有近400种，这近400种的证法展示了不同的文化背景的思维方式，同时也闪烁着人类自身智慧的光芒，将这些多元文化的事例引入中小学课堂，我们就会发现“谁比谁早多少年”已经不是最重要的了，重要的是要让学生消除民族中心主义的偏见，以更宽阔的视野去认识古代文明的数学成就，通过不同数学思想方法的对比，来提高学生的数学创造性思维，并学会欣赏丰富多彩的数学文化．
4．正确评价一系列教学环节的设计对培养学生思维和创新意识的作用。课堂重点关注学生的参与程度,思维方式,合作交流等情况,并及时记录学生的独特想法,渗透数学思想,改进学生的学习方式等，促使他们在学习中不断获得成功的体验.
5．注重理论联系实际，体现了数学来源于生活，又运用于生活，同时又注重对学生进行德育教育，培养他们的爱国情操。
在教学过程中，我始终：
坚持一个原则——教为主导，学为主体的原则
坚守一个理念——先学后教，以学定教的理念
贯穿一个思想——享受数学，快乐学习的思想
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新课标人教版 八年级下册第十八章
《探索勾股定理》第一课时教学设计
一、 教材分析
（一）教材地位与作用
勾股定理是在学生已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的。在教材中起到承上启下的作用，为下面学习勾股定理的逆定理作了铺垫，为以后学习“四边形”和“解直角三角形”奠定基础。勾股定理的探索和证明蕴含着丰富的数学思想和科学研究方法，是培养学生具有良好思维品质的载体。它在数学的发展过程中起着重要的作用。勾股定理是一坛陈年佳酿，品之芬芳，余味无穷，它以其简洁优美的形式，丰富深刻的内涵刻画了自然界和谐统一关系，是数与形结合的优美典范。
（二）教学目标
知识技能
了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程。
数学思考
在勾股定理的探索过程中，体会数形结合思想，发展合情推理能力。
解决问题
1．通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。
2．在探究活动中，学会与人合作，并在与他人交流中获取探究结果。
情感态度
1．通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情。
2．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神。
（三）教学重点及难点
重点：经历探索及验证勾股定理的过程。
难点：用拼图的方法证明勾股定理。
（四）教学媒体准备
教学媒体：多媒体课件。
学具准备：方格纸（老师准备）、4个全等的直角三角形（学生四人一组，分组准备）。
二、教法与学法分析
教法分析:八年级学生经过一年半的几何学习，几何图形的观察、几何证明的理性思维能力已初步形成。因此在教学中要力求实现以教师为主导，以学生为主体，以知识为载体，以培养学生的“思维能力，动手能力，探究能力”为重点的教学思想。尽量为学生创设“做数学、玩数学”的情境，让学生从“学会”到“会学”，使学生真正成为学习的主人。
学法分析:八年级学生生活经验积累较少，缺乏严谨的逻辑推理能力。所以在探索勾股定理时，主要通过直观的，乐于接受的拼图法去验证勾股定理。“操作＋思考”的方式符合八年级学生认知水平，适应其思维发展规律及心理特征。让学生感悟到：学习任何知识的最好方法就是自己去探索，在探索中领悟、在领悟中理解，让他们“学会学习”。
三、教学过程
新课标指出，数学教学过程是教师引导学生进行学习的过程，是教师和学生互动共同发展的过程。为有序、有效地进行教学，本节课我主要安排以下教学环节：
教学过程 问题与情景 设计意图
课前探究知识储备 请各个学习小组从网络或书籍上，尽可能多的寻找和了解验证勾股定理的方法，并填写探究报告。 《勾股定理证明方法探究报告》方法种类及历史背景验证定理的具体过程知识运用及思想方法 查有关勾股定理的资料，这样可使学生在上这节课前就对勾股定理历史背景有一定的了解。同时培养学生的自学能力及归类总结能力。有了课前充足的知识储备，学生充满自信地迎接新知识的挑战。
设置悬念引出课题 请同学们观看视频和图片。提问：为什么我国科学家向太空发射勾股图试图与外星人沟通？为什么把这个图案作为2002年在北京召开第24届国际数学家大会会徽？——引出课题《勾股定理》 “问题是思维的起点”，用一段生动有趣的动画，点燃学生的求知欲，以景激情，以情激思，引领学生进入学习情境，使学生带着疑问进行教学。同时为探索勾股定理提供背景材料，进而引出课题。
画图实践大胆猜想 沿着先人的足迹，开始勾股定理的探索之旅。活动一：毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种数量关系。（1）同学们，请你也来观察下图中的地面，看看能发现些什么？ 地面 图18.1-1（2）你能找出图18.1-1中正方形A、B、C面积之间的关系吗？（3）图中正方形A、B、C所围等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系 出示毕达哥拉斯做客故事，提出问题。学生独立思考隐藏的规律，提出猜想。我配合演示，使问题更形象、具体，学生容易得出等腰直角三角形三边满足关系。教学活动从“数小方格”开始，起点低、趣味性浓，照顾了各个知识层面的学生，有利于实现“每一个学生的发展”。这样的设计能让学生在轻松的伟人故事中积极参与对数学问题的讨论和探索。看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的道理。激励学生用心观察，带领学生情绪激昂的继续探索。
画图实践大胆猜想 由等腰直角三角形中的发现，进一步提问：是否其余的直角三角形也有这个性质呢？学生们展开活动二：在方格纸上，画一个顶点都在格点上的直角三角形；并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外作正方形，（四人小组每组成员所画图形相同，派小组代表前台投影展示）（1）以斜边为边的正方形面积可以怎样求？（2）三个正方形面积有何关系？（3）直角三角形三边长有何关系？（4）请大胆提出你的猜想。学生在网格纸上按要求画图，然后回答给出的问题。 分以下几步引领：1．先让学生独立画图，要求小组内同学所画图形相同，便于组内交流。2．小组内共同探索计算A、B、C的面积，求以斜边为边的正方形面积是难点，此处正是学生互相学习，充分交流的好时机，在此要给学生探索的时间与空间。在讨论过程中大部分学生能想到用割、补的方法求出C的面积，各种方法都应给予学生肯定。我用提前预设方法一、方法二配合演示，引领学生尝试从不同角度寻求解决问题的方法。这里的割补图形为后面的拼图活动作了积极铺垫。3．小组代表前台投影展示本组猜想结果，学生有了画图的亲身体验，对猜想结果印象深刻。每组所画图形不同，但探究猜想结果相同，渗透从特殊到一般的数学思想。大胆猜想环节培养了学生的类比迁移能力。
进一步追问：是否任意直角三角形三边都满足此关系？ 用几何画板直观演示。将探究活动进一步深化，从而扩展到更一般的情况。利用几何画板的高效性、动态性反映这一过程，形象直观，学生的印象也更深刻。
由学生归纳，得出命题：如果直角三角形的两直角边长分别为、，斜边长为，那么 尽管学生可能讲的不完全正确，但对于培养学生运用数学语言进行抽象、概括的能力是有益的，同时让学生经历前人发现这一结论时大致相同的思考过程，让学生在长知识的同时，也长了智慧。
动手拼图定理证明 设问：这是个真命题吗？活动三：现有四个全等的直角三角形，两直角边为、，斜边为，请同学们动手拼一拼。（1）请用尽可能多的方法拼成一个正方形；（2）请从你拼的图形中验证； 分以下几步展开活动：1．先让学生拼图游戏2．让学生从拼图中通过面积找到3．小组代表前台展示本组验证过程我的设问使学生认识到证明的必要性。通过学生动手拼图的探究和交流，发现利用代数观点证明几何问题的思路，同时证明过程体现步步有据。学生经历“由直观判断到理性证明的过程”，创造性地得出拼图的多种方法，我配以演示，如拼法一、拼法二，从而分散了教学难点，发现了利用面积相等去证明勾股定理的方法。这样的设计培养了学生的发散思维、一题多解和探究数学问题的能力。
继续追问：你还有别的方法来验证这个结论吗？（请把你探究报告中了解的方法与大家一起分享） 我先抛砖引玉为学生介绍课本提到的赵爽弦图， 赵爽用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一树立了一个典范。这种证法不是最简单的，但向学生渗透证明思想对以后的学习是很重要的。有了课前探究报告中的知识储备，在老师带领下学生非常积极的展示了毕达哥拉斯证法、美国总统证法。我配合学生演示，及时
动手拼图定理证明 表扬鼓励学生就是小小发明家。学生们不仅建构自己对知识的了解，而且在欣赏自己作品的同时感到成功的喜悦。勾股定理的证法有三百多中，学生查阅到的比较集中的方法有十多种。此处没有全部展开，让学生把更多方法写到探究报告中。
探古博今感知勾股 被证明为正确的命题称为定理勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为、，斜边长为，那么。 分以下几步介绍勾股定理1．请学生讲述自已知道的有关勾股定理的小故事2．呼应课前引入的悬念3．展示图片介绍勾股定理的历史背景及应用学生讲解搜集的资料，丰富了学生的背景知识，体现自主的学习方式。此后由我介绍我国古代数学家关于勾股定理的研究，呼应课前引入的悬念，对学生进行爱国主义教育，激励学生强烈的民族自豪感和奋发向上的学习精神。欣赏丰富多彩的数学文化，展示不同文化背景下的勾股定理的应用，共同为全人类的伟大发现而骄傲。
学以致用体会美境 课件展示练习：（1）求下图中字母所代表的正方形的面积。（2）求下列图中表示边的未知数x、y的值。（3）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为__ _cm2。（4）几何画板演示运动的勾股树。 练习设计上我立足于巩固，着眼于发展，同时兼顾差异，满足部分同学渴望发展的要求。第1题第2题是基础训练，第3题变式为中考试题，由中考试题引出美丽勾股树，最后用几何画板演示运动的勾股树，让学生惊叹奇妙的数学之美。数学教学变得生机勃勃，我们的学生就会喜欢数学，热爱数学。
总结升华完善报告 1.总结收获：通过本节课的学习，大家有什么收获？有什么疑问？你还有什么想要继续探索的问题？2.结束寄语：牛顿——从苹果落地最终确立了万有引力定律我们——从朝夕相处的三角板发现了勾股定理虽然两者尚不可同日而语但探索和发现——终有价值也许就在身边也许就在眼前还隐藏着无穷的“万有引力定律”和“勾股定理”……祝愿同学们——修得一个用数学思维思考世界的头脑练就一双用数学视角观察世界的眼睛开启新的探索——发现平凡中的不平凡之谜…… 不只是对课堂内容的简单回顾，还是对所用数学思想、方法的总结。强调本节课的重点内容，注重知识体系的形成，培养学生回顾反思的良好习惯。通过结束寄语激励学生修得一个用数学思维思考世界的头脑，练就一双用数学视角观察世界的眼睛，发现平凡中的不平凡之谜……
总结升华完善报告 3.拓展型作业：把今天数学课的感受写进探究报告中，并发挥你的聪明才智，去探索、研究勾股定理，你又有什么新的发现？下节课展示交流探究报告。 作业这样设计是为了把课前探究报告完善，课内知识向课外知识延伸，打开学生思路，给学生提供更为广阔的空间，引领学生继续探索，从而让学生真正成为学习的主人。另外也为下节课的教学奠定基础。
四、教学说明
（一）时间安排
1．设置悬念引出课题——————————— 3分钟
2．画图实践大胆猜想———————————12分钟
3．动手拼图定理证明———————————16分钟
4．探古博今感知勾股——————————— 5分钟
5．学以致用体会美境——————————— 5分钟
6．总结升华完善报告——————————— 4分钟
（二）板书设计
18.1勾股定理（一）一、图形奥秘二、毕达哥拉斯故事 图形探究→猜想→命题三、验证方法 动手拼图证法 探究报告展示 “学生展示区” 四、勾股定理如果直角三角形两直角边长分别是，斜边是，那么五、勾股定理的历史背景及应用六、练习七、小结及作业
课前探究知识储备
探古博今感知勾股
学以致用体会美境
总结升华完善报告
动手拼图定理证明
画图实践大胆猜想
设置悬念引出课题
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