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《探索勾股定理（一）》教学设计
课题：（北师大版）八年级（上册）第一章第一节《探索勾股定理（一）》第1课时。
教学目标
（1）、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生合情推理意识，体会数学与现实生活的紧密联系。
（2）、能说出勾股定理的内容并会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
（3）、在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的探究过程，并体会由特殊到一般、数形结合以及转化的思想方法。
（4）、在探究活动中，培养学生独立思考、合作交流的学习习惯，通过解决实际问题，增强自信心，激发学习数学的兴趣在教师的介绍下，体会勾股定理的文化价值。
教学重点：勾股定理的发现、探索过程。
教学难点：将边不在格线上的图形转化边在格线上的图形，以便于计算图形的面积。
课前准备：方格纸、课件
教学过程：
一、创设情景 导入新课：
活动内容：情境一：情境1：出示章前图，通过“怎样与外星人联系”的话题激发学生的探究欲望，明确本章的学习内容。
情境二：如图，强大的台风使的一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。旗杆折断之前有多高？
想一想：你需要求哪些线段长度，这些长度确定吗？
活动目的：教师引导学生把实际问题转化成数学问题，也就是“已知直角三角形的两边，如何求第三边？”的问题。再结合“想一想”中的问题，让学生认识到在直角三角形中，任意两边确定了，另外一条边也就随之确定了，三条边之间确实存在一个特定的数量关系，从而引出对直角三角形三边关系的探索。
注意事项：学生能够获取信息，但对于直角三角形中已知任意两边，第三边也就随之确定了理解比较困难，教师可让学生尝试画图并充分的交流自己的想法。
二、尝试猜想 探索验证：
活动内容：活动1：尝试猜想
在纸上任意画若干个直角三角形，测量它们各边的长度，看看三边长的平方有什么关系？
活动目的：让学生画直角三角形，通过测量得出结论，猜想出了直角三角形三边长平方的关系
注意事项：在学生画直角三角形测量时，教师要适当给予帮助，尽可能的减小误差。
活动内容：活动2：探索特殊直角三角形的三边关系。
如图1—2，直角三角形的三边的平方分别是多少？它们满足上面所猜想的数量关系吗？你是如何计算的？
A的面积 B的面积 C的面积
图1
图2
A、B、C面积间的关系
直角三角形三边关系
活动目的：让学生通过直接数格子或正方形的面积公式得出A、B的面积，用割或补的方法得出C的面积，再利用表格有条理地呈现数据，在得出：正方形A、B的面积之和等于正方形C的面积的基础上，归纳得出：等腰直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
注意事项：教师要引导学生观察图表中正方形与三角形间的关系，从“形”、“数”的角度分析二者的联系，从而将问题转化为求正方形的面积。
活动内容：活动3：探索一般直角三角形的三边关系。
(合作探究)等腰直角三角形是特殊的直角三角形，对于如图1—3中的直角三角形三边的平方分别是多少？你是如何计算的？它们也满足上面的数量关系吗？
活动目的：让学生通过类比活动2的方法，探索一般直角三角形的三边关系。
注意事项：此环节中，求正方形Ｃ的面积是本节课的难点，教师可根据课堂的实际需要，组织学生小组讨论。然后学生以组为单位，交流、展示求面积的不同方法。
三、归纳验证 形成结论：。
活动内容：(1)在单位长度不同的方格纸上任画几个顶点在格点上的直角三角形。看它的三边是否满足上述规律？
(2)直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，它们的三边是否满足上述规律？
活动目的：让学生在课前准备好的方格纸上任意画直角三角形，进而使上面的结论更加一般化。
教师用弯曲的手臂形象的向学生介绍“勾、股、弦”的含义，板书勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果用a,b、c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2.
活动内容：填空：
１、如图，正方形A的面积是 。
2、如图，直角三角形中未知边的长度是 。
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，a=15，c=25，则b= 。
活动目的：这三道填空题是对定理的直接运用，也让学生再次认识到在直角三角形中已知任意两边的长就可以求得第三边。
四、应用新知 解决问题：
活动内容：（1）提出：“大家还记得开始提出的旗杆问题吗？”
活动目的：让学生利用所学定理解决开始提出的实际问题，前后呼应，使学生从中体会到成功的快乐。
活动内容：（2）出示课本中“随堂练习”2题
小米妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。小米量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
活动目的：让学生亲身经历将实际问题“数学化”的过程，体现 “人人学有用的数学”这一理念。从而达到了“学以致用”的目的。
五、回顾反思 交流体会：
（1）、知识内容及应用
（2）、学习方法：
数形结合 、转化、割补图形
特殊 一般
（3）、解决途径：尝试猜想 理性验证 归纳总结 实际应用
活动目的：引导学生从内容、数学思想方法、获取知识的途径等方面小结本节课的收获，帮助学生将知识系统化，锻炼学生的综合及表达能力。
六、布置作业
（1）、必做题：P7 第1、2题
（2）、选做题：P7 第4题
9
12
A
B
C
A
B
C
B
A
C
图1
图1—2
图2
A
B
C
B
AAA
C
图3
图4
图1—3
12
15
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《探索勾股定理》教学设计说明
一、本节课数学内容的本质、地位和作用的分析
勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理之一，它从边的角度刻画了直角三角形的特征。学习勾股定理是进一步认识和理解直角三角形的需要，也是后续有关几何度量运算和代数学习必要的基础；在勾股定理的发现、验证过程中蕴涵着丰富的数学思想，也正是基于此，教材设计了3个课时，力图再现勾股定理的探究过程，丰富学生的数学活动经验，并感受勾股定理的文化价值。本节课把三角形有一个直角这种“形”的特点转化为三角形三边边长之间的“数”的关系，是数形结合思想；把探求边的数量关系转化为探求面积的数量关系，将边不在格线上的图形转化为可计算面积的格点图形，是转化思想；从探求特殊直角三角形的三边关系到探求一般直角三角形的三边关系，是特殊到一般的思想；本节课主要通过让学生在方格纸上计算面积的方法，发现、探索得到勾股定理，并解决一些简单的问题。
为此本节课的教学重点是勾股定理的发现、探索过程。
二、教学目标分析
根据课程标准和本节内容在整个初中数学中的地位与作用，结合八年级学生知识结构和心理特征，我从知识与技能、过程与方法、情感与价值观三个目标领域综合考虑制定了本节课的教学目标。
（1）、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生合情推理意识，体会数学与现实生活的紧密联系。
（2）、能说出勾股定理的内容并会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
（3）、在探索勾股定理的过程中，经历“观察-猜想-归纳-验证”的探究过程，并体会由特殊到一般、数形结合以及转化的思想方法。
（4）、在探究活动中，培养学生独立思考、合作交流的学习习惯，通过解决实际问题，增强自信心，激发学习数学的兴趣在教师的介绍下，体会勾股定理的文化价值。
三、教学问题诊断分析
本节课的教学中需要注意以下几点：
1、数学思想、方法的渗透及学习方法的指导。在勾股定理的发现、验证过程中蕴涵着丰富的数学思想，如本节课中的数形结合思想、转化思想、特殊到一般的思想，为此在教学过程中，教师要注意发挥教师的主导作用，引导学生运用数学思想看待问题，分析问题、解决问题。例如由探究直角三角形三边平方的关系转化为探求正方形面积之间的关系的教学，教师要引导学生观察图表中正方形与三角形间的关系，从“形”的角度看，直角三角形的三边既为各正方形的边，从“数”的角度看，正方形的面积恰是三角形边长的平方，正方形的面积关系就是直角三角形的三边平方的关系，让学生体会数形结合及转化思想。
2、如何计算边长不在方格线上的正方形面积。本节课利用方格纸计算面积的方法，发现、探索得到勾股定理时，如何计算边长不在方格线上的正方形面积对学生来说有一定的困难，也是本节课的难点。教学过程中，正方形A、B的面积学生可以通过数格子或正方形面积公式得到，正方形C的面积需要学生通过拼凑或割或补的方法将不能利用网格线直接计算面积的图形转化成可以利用网格线直接计算面积的图形，尤其是在求一般直角三角形斜边上的正方形面积，学生虽然有意识使用割、补的方法计算其面积，但仍然有一部分学生不会进行割或补，这就需要在教学时结合学生的实际需要进行课堂讨论与合作学习。
3、关注过程性教学与评价。数学教学是数学活动的教学，教师要为学生提供数学活动的机会，本节课教科书设计了在方格纸上通过计算面积的方法验证勾股定理的活动，教师在教学时就要注意鼓励学生经历观察猜想、归纳、验证的过程，并就学生在活动过程中的表现采取多样化的方式给予评价，尤其是要尊重个性差异，对学习困难学生及时给予帮助与鼓励，使其能积极投入到教学活动中。
四、本节课的教法特点以及预期效果分析
1、注重情境的创设以及对实际问题的分析。在教学设计时考虑到本节课是第一章第一节的第一课时，我设计了两个情境：一个是利用章前图，通过“怎样与外星人联系”的话题引出勾股定理，激发学生的探究欲望，同时也明确了本章的学习任务。二是通过实际问题情境引入，引导学生把实际问题转化成数学问题，也就是“已知直角三角形的两边，如何求第三边？”的问题。教师再结合“想一想”，让学生认识到在直角三角形中，任意两边确定了，另外一条边也就随之确定了，三条边之间确实存在一个特定的数量关系，从而自然的引出对直角三角形三边关系的探索。教学时，当教师提出“这些线段的长度确定吗？”学生开始很茫然，不知如何解答，此时教师及时让学生进行讨论，结果学生通过由已知条件作直角三角形，发现它们都是全等关系，进而得出了肯定的结论。
2、充分体现教师主导、学生主体的教育理念。本节课我采用引导、探究、归纳的方法形成结论，把教学过程化为亲身观察、大胆猜想、自主探究、合作交流、归纳总结的过程。我设计了“情境导入—尝试猜想—归纳验证—应用新知”的教学环节，让学生经历知识的发生、发展与形成的过程。教学过程中，充分发挥教师“导”的作用，例如在探索等腰直角三角形的三边平方关系时，我首先引导学生由代数式联想到几何图形，再寻找直角三角形与正方形之间的联系，然后再通过几何图形联想到代数式，让学生体会数形结合、转化思想，又比如在探索正方形C的面积时，我在学生讨论的基础上，明晰割、补的目的与方法，并借助多媒体加以演示，结果在计算一般直角三角形斜边上的正方形C的面积时，学生自然的想到上面的方法，在交流时学生不但能展示自己割或补的图形，还能清晰的表述自己的作法。同时我又注重发挥学生的主体作用，在相信学生、信任学生的基础上，无论是画图猜想、归纳验证还是课堂小结，我都留给学生充分的学习时间，让学生通过自己动手、动脑、动口以及同伴合作来发现并解决问题，丰富了学生的数学活动经验。
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