3.4 基本不等式
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课件20张PPT。§3.4基本不等式2002年国际数学家大会会标 创设情境、体会感知：三国时期吴国数学家赵爽一、新课引入ADCBHGFE“风车”中有哪些图形，这些图形的面积有什么相等关系和不等关系？探究问：那么它们有相等的情况吗？
证明推导1：问：何时相等？探究2结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有
当且仅当a=b时，等号成立当a,b为任意实数时， 还成立吗？形数此不等式称为重要不等式2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数2.代数证明:3.几何意义：半弦长小于等于半径（当且仅当a=b时，等号成立）二、新课讲解3.几何证明:从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项1.思考:如果当 用 去替换
中的 ,能得到什么结论? 基本不等式探究3基本不等式：当且仅当a =b时，等号成立.当且仅当a=b时，等号成立.重要不等式：注意：
（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。例1．用篱笆围一个面积为 的矩形菜园, 问该矩形的长、宽各为多少时, 所用篱笆最短，最短的篱笆是多少?三、应用解: (1)设矩形菜园的长为 ,宽为 , 则 , 篱笆的长为 . 由(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？已知a,b都是正数，
（1）若ab是定值P, 则当a=b时,
a+b有最小值 ；
（2）若a+b是定值S, 则当a=b
时,ab有最大值 ；
利用基本不等式求最值（均值不等式定理）积一定，和有最小值； 和一定，积有最大值。积一定，和有最小值； 和一定，积有最大值。注意：一正二定三相等！1、本节课主要内容？你会了吗？五 、小结2、两个结论:两个正数,积定和最小;和定积最大。构造条件三、应用例1、若 ,求 的最小值.变3:若 ,求 的最小值.变2:若 ,求 的最小值.发现运算结构，应用不等式问:在结论成立的基础上,条件“a>0,b>0”可以变化吗？变1:若 求 的最小值三、应用例2、已知 ,求函数 的最大值.变式:已知 ,求函数 的最大值.发现运算结构，应用不等式应用要点：
一正数 二定值 三相等结论1：两个正数积为定值，则和有最小值结论2：两个正数和为定值，则积有最大值3.已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时,两条直角边的和最小，最小值是多少？
4.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应怎样折？ 四 、巩固大933小证明:要证只要证 ( )① ② 要证②，只要证 ( )③ 要证③，只要证（ － ) ④证明:当 时, . 探究３作业课本P100习题3.4A组
第1,2题再见!oabABPQ1.如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP,
则半弦PQ=__ __,半径AO=_____几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长探究4你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?2.PQ与AO的大小关系怎样?
证明推导1：问：何时相等？探究2结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有
当且仅当a=b时，等号成立当a,b为任意实数时， 还成立吗？形数此不等式称为重要不等式2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数2.代数证明:3.几何意义：半弦长小于等于半径（当且仅当a=b时，等号成立）二、新课讲解3.几何证明:从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项1.思考:如果当 用 去替换
中的 ,能得到什么结论? 基本不等式探究3基本不等式：当且仅当a =b时，等号成立.当且仅当a=b时，等号成立.重要不等式：注意：
（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。例1．用篱笆围一个面积为 的矩形菜园, 问该矩形的长、宽各为多少时, 所用篱笆最短，最短的篱笆是多少?三、应用解: (1)设矩形菜园的长为 ,宽为 , 则 , 篱笆的长为 . 由(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？已知a,b都是正数，
（1）若ab是定值P, 则当a=b时,
a+b有最小值 ；
（2）若a+b是定值S, 则当a=b
时,ab有最大值 ；
利用基本不等式求最值（均值不等式定理）积一定，和有最小值； 和一定，积有最大值。积一定，和有最小值； 和一定，积有最大值。注意：一正二定三相等！1、本节课主要内容？你会了吗？五 、小结2、两个结论:两个正数,积定和最小;和定积最大。构造条件三、应用例1、若 ,求 的最小值.变3:若 ,求 的最小值.变2:若 ,求 的最小值.发现运算结构，应用不等式问:在结论成立的基础上,条件“a>0,b>0”可以变化吗？变1:若 求 的最小值三、应用例2、已知 ,求函数 的最大值.变式:已知 ,求函数 的最大值.发现运算结构，应用不等式应用要点：
一正数 二定值 三相等结论1：两个正数积为定值，则和有最小值结论2：两个正数和为定值，则积有最大值3.已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时,两条直角边的和最小，最小值是多少？
4.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应怎样折？ 四 、巩固大933小证明:要证只要证 ( )① ② 要证②，只要证 ( )③ 要证③，只要证（ － ) ④证明:当 时, . 探究３作业课本P100习题3.4A组
第1,2题再见!oabABPQ1.如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP,
则半弦PQ=__ __,半径AO=_____几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长探究4你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?2.PQ与AO的大小关系怎样?