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决战2010：高考数学专题精练（三）数列
1．已知数列的前项和是实数），下列结论正确的是 （ ）
A．为任意实数，均是等比数列 B．当且仅当时，是等比数列
C．当且仅当时，是等比数列 D．当且仅当时，是等比数列
2．在实数数列中，已知，，，…，，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列的通项为，下列表述正确的是（ ）
A．最大项为0，最小项为 B．最大项为0，最小项不存在
C．最大项不存在，最小项为 D．最大项为0，最小项为
4．若数列为 （ ）
A．递增数列 B．递减数列
C．从某项后为递减 D．从某项后为递增
二、填空题
1．已知无穷等比数列的前项和满足，则该数列所有项的和为_________．
2．设，，…，是各项不为零的（）项等差数列，且公差．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为______________________．
3．2008已知为等差数列，，则___________.
4．设等差数列的前n项和为. 若，且，则正整数 .
5．已知数列的通项公式是，数列的通项公式是，令集合，，．将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为．则数列的前28项的和．
6．已知等差数列的首项，设为的前项和，且，则当取得最大值时，____________.
7．已知数列的通项公式为，设为的前项和，则______.
8．在等比数列中，，，则公比为 .
9．已知数列是以为公差的等差数列，是其前项和，若是数列中的唯一最大项，则数列
的首项的取值范围是 .
10．用数学归纳法证明等式：（，），验证
时，等式左边= ．
11．等差数列中，公差，，则= ．
12．把数列的所有数按照从大到小，左大右小的原则写成如上图所示的数表，第行有个数，第行的第个数（从左数起）记为，则这个数可记为A（________）.
13．等比数列的公比为，前项和为满足，那么的值为____________．
14．正整数集合的最小元素为，最大元素为，并且各元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列，则并集中元素有___________个.
15．是等差数列，，则数列的前项和____________.
16．对于各数互不相等的正数数组（是不小于的正整数），如果在时有，则称与 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”。例如，数组中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，2”，其“逆序数”等于4。若各数互不相等的正数数组的“逆序数”是2，则的“逆序数”是 .
三、解答题
1．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．
设正数数列的前项和为，且对任意的，是和的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）在集合，，且中，是否存在正整数，使得不等式对一切满足的正整数都成立？若存在，则这样的正整数共有多少个？并求出满足条件的最小正整数的值；若不存在，请说明理由；
（3）请构造一个与数列有关的数列，使得存在，并求出这个极限值．
2．（本题满分16分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.
观察数列：
①；②正整数依次被4除所得余数构成的数列；
③
（1）对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周期数列的定义：对于数列，如果________________________，对于一切正整数都满足___________________________成立，则称数列是以为周期的周期数列；
（2）若数列满足为的前项和，且，证明 为周期数列，并求；
（3）若数列的首项，且，判断数列是否为周期数列，并证明你的结论.
3．（本题满分22分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题12分）
定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列.
已知无穷等比数列的首项、公比均为.
（1）试求无穷等比子数列（）各项的和；
（2）是否存在数列的一个无穷等比子数列，使得它各项的和为？若存在，求出满足条件的子数列的通项公式；若不存在，请说明理由；
（3）试设计一个数学问题，研究：是否存在数列的两个不同的无穷等比子数列，使得其各项和之间满足某种关系.请写出你的问题以及问题的研究过程和研究结论.
【第3小题说明：本小题将根据你所设计的问题的质量分层评分；问题的表达形式可以参考第2小题的表述方法.】
4．（本小题满分20分）已知数列和满足：
, 其中为实数，为正整数．
（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；
（Ⅱ）对于给定的实数，试求数列的前项和；
（Ⅲ）设，是否存在实数，使得对任意正整数，都有成立 若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
5．已知各项为正数的等比数列的公比为，有如下真命题：若，则（其中为正整数）.
（1）若，试探究与之间有何等量关系，并给予证明；
（2）对（1）中探究得出的结论进行推广，写出一个真命题，并给予证明.
6．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知，数列有（常数），对任意的正整数，并有满足。
（1）求的值；
（2）试确定数列是不是等差数列，若是，求出其通项公式。若不是，说明理由；
（3）对于数列，假如存在一个常数使得对任意的正整数都有且，则称为数列的“上渐进值”，令，求数列的“上渐进值”。
第3部分：数列
参考答案
一、选择题
1．B
2．C
3．A
4．D
二、填空题
1．
2．
3．
4．4
5．820；
6．
7．
8．
9．
10．
11．80
12．
13．
14．151
15．18
16．13
三、解答题
1．解：（1）由题意得， ①，
当时，，解得，……（1分）
当时，有 ②，
①式减去②式得，
于是，，，……（2分）
因为，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，……（3分）
所以的通项公式为（）．……（4分）
（2）设存在满足条件的正整数，则，，
，……（6分）
又，，…，，，，…，，
所以，，…，均满足条件，
它们组成首项为，公差为的等差数列．……（8分）
设共有个满足条件的正整数，则，解得．……（10分）
所以，中满足条件的正整数存在，共有个，的最小值为．……（12分）
（3）设，即，……（15分），
则
，其极限存在，且
．……（18分）
注：（为非零常数），（为非零常数），
（为非零常数，）等都能使存在．
按学生给出的答案酌情给分，写出数列正确通项公式的得3分，求出极限再得3分．
2．解：（1） 存在正整数；
（2）证明：由
所以数列是以为周期的周期数列
由
于是
又，
所以，
（3）当=0时，是周期数列，因为此时为常数列，所以对任意给定的正整数及任意正整数，都有，符合周期数列的定义.
当时，是递增数列，不是周期数列.
下面用数学归纳法进行证明：
①当时，因为
所以，
且
所以
②假设当n=k时，结论成立，即，
则即
所以当n=k+1时，结论也成立.
根据①、②可知，是递增数列，不是周期数列.
3．解：（1）依条件得： 则无穷等比数列各项的和为：
；
（2）解法一：设此子数列的首项为，公比为，由条件得：，
则，即
而 则 .
所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它的首项、公比均为，
其通项公式为，.
解法二：由条件，可设此子数列的首项为，公比为.
由………… ①
又若，则对每一都有………… ②
从①、②得；
则；
因而满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，此子数列是首项、公比均为无穷等比子数列，通项公式为，.
4．解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数，使｛｝是等比数列，………………………..1分
则有,即矛盾. 4分
所以｛｝不是等比数列. ……………………………………………………………………..…1分
（Ⅱ）解：因为…………………………………….…3分
又，所以
当，，此时……………………………………………………1分
当时，， ，
此时，数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列. …………………………1分
∴…………………………………………………………………2分
（Ⅲ）要使对任意正整数成立，
即
当为正奇数时，
∴的最大值为, 的最小值为,……………………………………3分
于是，由（1）式得
当时，由，不存在实数满足题目要求；…………………1分
当存在实数，使得对任意正整数，都有,且的取值范围是…………………………………………………………………..…1分
5．（1）因为，所以，又
即
（2）以下列出推广命题的评分建议：命题证明部分的得分，不得超过推广部分的得分.
对于命题仅作形式上的变化（或者不是对（1）的推广），不得分.
如：若则；
第一层次：（仅对题目所列进行简单总结或结构简单变化） ┅┅1分
如：①若，则；
②若，则；
③若，则.
以下两个层次，可以根据学生的实际答题情况再作划分.
第二层次：（对于确定项数（至少三项）给出一般性结论或部分推广常数）┅┅3分
如：①若，则；
②若，则；
③若互素），则
第三层次：（进行一般化推广） ┅┅5分
若是公比为的等比数列的任意项，则存在以下真命题：
①若，则有
成立.
②若互素），则有
成立.
6．解：（1）由已知，得， ∴…………………………4分
（2）由得则，∴，即，于是有，并且有，
∴即，
而是正整数，则对任意都有，
∴数列是等差数列，其通项公式是。………………10分
（3）∵
∴
；由是正整数可得，
并且有，
∴ 数列的“上渐进值”等于3。……………………18分www.
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