黑龙江省虎林市第一中学2017届高三上学期第三次月考数学（理）试题 Word版含答案

数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.
已知错误！不能通过编辑域代码创建对象。为虚数单位，
则复数
的虚部为
（
）
A．
B．
C．
D．
2.在的展开式中，
常数项是（
）
A．
B．
C．
D．
3.
已知均为锐角，
则（
）
A．
B．
C．
D．
4.
函数
的导数是
（
）
A．
B．
C.
D．
5.
下列说法中正确的是：
（
）
A．若命题
，则
B．命题“
若圆
与两坐标轴都有公共点，
则实数
”
的逆否命题为真命题
C.
已知相关变量满足回归方程，若变量增加一个单位，则平均值增加个单位.
D.
已知随机变量，若，则.
6.
用三段论推理：
“任何实数的平方大于
，因为是实数，
所以
”，你认为这个推理
（
）
A．大前提错误
B．小前提错误
C.
推理形式错误
D．是正确的
7.
随机变量的分布列为为常数，
则
的值为
（
）
A．
B．
C.
D．
8.
已知随机变量服从正态分布，且,则
（
）
A．
B．
C.
D．
9.
曲线
和曲线
围成的图形面积是
（
）
A．
B．
C.
D．
10.若，则
（
）
A．
B．
C.
D．
11.
曲线
在点处的切线方程是
，则下列说法正确的是
（
）
A．函数是偶函数且有最大值
B．函数是偶函数且有最小值
C.
函数
是奇函数且有最大值
D．函数
是奇函数且有最小值
12.函数
是定义在区间
上的可导函数，
其导函数为
，且满足
，则不等式
的解集为
（
）
A．
B．
C.
D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.
过函数
图像上一个动点作函数的切线，
则切线倾斜角的取值范围是
__________.
14.
将边长为的正沿边上的高
折成直二面角
，
则三棱锥
的外接球的表面积为
__________.
15.
已知函数
，
若存在
，
满足
，则实数的取值范围是
_________.
16.
若函数
在
上单调递减，
则实数的取值范围是
_________.
三、解答题
（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）已知函数，
其中为常数．
（1）
当
时，
求
的极值；
（2）若是区间内的单调函数，
求实数
的取值范围．
18.（本小题满分12分）“
奶茶妹妹”
对某时间段的奶茶销售量及其价格进行调查，
统计出售价元和销售量杯之间的一组数据如下表所示：
价格
销售量
通过分析，
发现销售量
对奶茶的价格具有线性相关关系.
（1）求销售量对奶茶的价格
的回归直线方程；
（2）欲使销售量为杯，
则价格应定为多少
注：
在回归直线中，,
.
19.（本小题满分12分）某大学依次进行科、科考试，
当
科合格时，
才可考
科，
且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过．
甲同学参加考试，
已知他每次考科合格的概率均为，每次考
科合格的概率均为.假设他不放弃每次考试机会，
且每次考试互不影响．
（1）求甲恰好次考试通过的概率；
（2）记甲参加考试的次数为，
求
的分布列和期望.
20.（本小题满分12分）第届夏季奥林匹克运动会将于
2016
年
8
月
5
日—21
日在巴西里约热内卢举行.下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（
单位：
枚）.
第届伦敦
第届
北京
第届雅典
第届悉尼
第届亚特兰大
中国
俄罗斯
（1）根据表格中两组数据完成近五届奥运会
( http: / / www.21cnjy.com )两国代表团获得的金牌数的茎叶图，
并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（
不要求计算出具体数值，
给出结论即可）
；
（2）甲、
乙、
丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（
假设两国代表团获得的金牌数不会相等）
，
规定甲、
乙、
丙必须在两个代表团中选一个，
已知甲、
乙猜中国代表团的概率都为，
丙猜中国代表团的概率为
，
三人各自猜哪个代表团的结果互不影响.现让甲、
乙、
丙各猜一次，
设三人中猜中国代表团的人数为，
求的分布列及数学期望
.
( http: / / www.21cnjy.com )
21.（本小题满分12分）已知函数.
（1）求函数
的单调区间；
（2）若函数
的图象在点
处的切线的倾斜角为
，对于任意的,函数在区间上总不是单调函数，
求的取值范围；
（3）求证：.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲
如图，
四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点,且.
（1）证明：
;
（2）设不是
的直径，的中点为，
且，证明：为等边三角形.
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23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
曲线的参数方程为为参数），是曲线上的动点，
且是线段
的中点，点的轨迹为曲线，直线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点.
（1）求曲线的普通方程；
（2）求线段
的长.
24.
（本小题满分10分）4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）解不等式;
（2）若的定义域为
，
求实数的取值范围．
黑龙江省虎林市第一中学2017届高三上学期第三次月考
数学（理）试题参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1-5.CCCCC
6-10.ABCAB
11-12.
BC
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.
14.
15.
16.
三、解答题
17.解：（1）当时，，所以在区间
内单调递减，
在内单调递增
，于是
有极小值，
无极大值.
( http: / / www.21cnjy.com )
.
（2）令.
答：
商品的价格定为元.
19.解：（1）.
（2）;
;
.
.
20.解：（1）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下
( http: / / www.21cnjy.com )
通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数
( http: / / www.21cnjy.com )的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值；俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散
.
（2）由已知得的可能取值为,设事件别表示甲、乙、丙猜中国代表团，则
;
;
；
，
故的分布列为：
.
21.解：（1）由
，①当时，显然
时，；当时，
，所以此时的单调增区间为减区间为；
②同理当时，的单调增区间为
，
减区间为；
③当
时，
不是单调函数．
（2）由题知，得，所以，所以.因为,所以一定有两个不等的实根,又因为.不妨设
,
由已知时时，即在上递减，
在上递增，
依题意知，于是只需得.
（3）由（1）知当
a
1时，
在上递增，
所以
.在上式中分别令得
，以上不等式相乘得，两边同除以得
，即证．
22.解：（1）由题设知得
四点共圆，
所以，由已知得，
，所以
.
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）设中点为，
连接，则由，知，所以在
上，又不是的直径，
为中点，故，即，所以，故，又，故.由（1）知，所以为等边三角形．
23.解：（1）
设，
则由条件知，因为点在曲线上，所以，即，化为普通方程为，
即为曲线的普通方程.
（2）直线的方程为，
化为直角坐标方程为.由（1）知曲线是圆心为，
半径为的圆,因为圆的圆心到直线的距离,所以.
24.解：（1）原不等式等价于,因此不等式的解集为
.
（2）由于的定义域为
,则在上无解.又,即的最小值为,所以，即.