24.1.2垂直于弦的直径课件
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课件38张PPT。能记住圆是轴对称图形，并能正确说出圆的对称轴.
能记住垂径定理及推论，并能运用它们解决相关的证明、计算、作图等问题.24.1 圆的有关性质学习目标1第2课时 垂直于弦的直径什么是轴对称图形？
我们学过哪些轴对称图形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形．回 顾线段角等腰三角形矩形菱形等腰梯形正方形互动课堂(探究与合作)探究点1：圆的对称性1.动手做一做： 剪一个圆形纸片，用对折的方法，在纸片上找出圆心O，并画出圆的任意一条直径CD，A是⊙O上任意一点（不与点C、D重合），过点A作AA1⊥CD，交⊙O于点A1，垂足为E，连接OA、OA1.3⑵在△OAA1中，∵OA=OA1,AA1⊥CD，∴AE=A1E.
即CD是AA1的 .这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A1,因此⊙O关于直线 对称.⑴在对折找圆心的过程中，我们发现：任意折痕（即
圆的直径所在的直线）两旁的部分 完全重合.4能够垂直平分线CD 圆是 图形，任何一条直径所在的
都是它的对称轴，圆有 条对称轴.轴对称直线无数2.通过上面的探究，你能得出结论：探究点2：垂径定理62.质疑1：若AB是直径，上述结论还成立么？ 成立，当AB是直径时，OA=OB，CD⊥AB，所以CD是AB的垂直平分线，所以 ＝ ，
＝ ．⑵定理中的弦为直径时，结论仍然 ．⑴垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且
平分弦所对的两条 ．平分弧成立3.从上面的证明我们知道：注意：⑴垂径定理中的垂径可以是 、
半径或过圆心的直线或 ，其本
质是“过圆心”. ⑵垂径定理也可理
解为，如果一条直线，它具有两个性
质：①经过 ； ② 于弦.
那么这条直线就 这条弦， 弦
所对劣弧和优弧.7垂直直径线段圆心平分平分检测反馈解析：由垂径定理可知B、D均成立；由△OCE≌△ODE可得A也成立．不一定成立的是OE=BE．故选C．·OCDABE1.如图所示，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，则下列结论不一定成立的是（ ）
A.∠COE＝∠DOE B.CE＝DE
C.OE＝BE D. C探究点3 结论改为：②垂直于弦，④平分弦所对的劣弧，⑤平分弦所对的优弧.
这个命题正确吗？
１.垂径定理的条件和结论分别是什么？
条件：结论：③平分弦，④平分弦所对的劣弧，⑤平分弦所对的优弧.①过圆心，②垂直于弦.
质疑2.条件改为：①过圆心，③平分弦.
10探究点4：垂径定理的推论1.如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦（不是直径），AB、CD交于点E，且AE=BE，在⊙O中，连接OA、OB，则△OAB是 三角形，
∵AE=BE，
∴CD AB，即CD是垂直于弦的直径，
∴ ， ．⊥＝＝等腰11质疑3：如果上图中的AB是直径，上述结论成立么？ 不一定成立，如图所示，当AB是直径时，CD平分AB，但CD不垂直于AB，结论不成立.通过上面的证明，你能得出结论：⑴垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的
直径 于弦，并且 弦所对的两条弧.垂直平分⑵垂径定理的推论中的弦一定要 为 ，否
则命题就不一定成立.非直径① 直径过圆心
③ 平分弦 （不是直径）② 垂直于弦
④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论1① 直径过圆心
④ 平分弦所对优弧 ③ 平分弦
② 垂直于弦
⑤ 平分弦所对的劣弧垂径定理的推论1 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．② 垂直于弦
③ 平分弦 ① 直径过圆心
④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧 （3）弦的垂直平分线 经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 垂径定理的推论1② 垂直于弦
④ 平分弦所对优弧① 直径过圆心
③ 平分弦
⑤ 平分弦所对的劣弧推论1的其他命题......② 垂直于弦
⑤ 平分弦所对的劣弧① 直径过圆心
③ 平分弦
④ 平分弦所对优弧 （4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．③ 平分弦
④ 平分弦所对优弧① 直径过圆心
② 垂直于弦
⑤ 平分弦所对的劣弧 （5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧 ．③ 平分弦
⑤ 平分弦所对的劣弧① 直径过圆心
② 垂直于弦
④ 平分弦所对优弧④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧① 直径过圆心
② 垂直于弦
③ 平分弦 （6）平分弦所对的两条弧的直径过圆心，并且垂直平分弦．18归纳总结：综合以上探究可知： 如果一条直线具有：⑴经过 ；⑵垂直 ；⑶平分弦（被平分的弦不是 ）；⑷ 所对的优弧；⑸ 所对劣弧.这五条性质中的任意两条，那么必然具备其余三条性质.圆心于弦直径平分弦平分弦 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧．平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧． 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧．平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．3．垂径定理的推论垂径定理的推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等．MOABNCD证明：作直径MN垂直于弦AB∵ AB∥CD
∴ 直径MN也垂直于弦CD两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论2有这两种情况：考考你探究案p147第6题垂径定理三角形d + h = rdhar有哪些等量关系？ 在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量． 经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件．4． 解决有关弦的问题1.如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
B解析：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，
∴AC=BC= AB=12，在Rt△AOC中，
由勾股定理得：
故选B. 2． 在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．
求证：AC＝BD．证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE．
AE－CE＝BE－DE．
所以，AC＝BDECDABE作法：1． 连结AB．小练习ABCDE作法：1． 连结AB．3． 连结AC．5． 点G同理．ABC作AC的垂直平分线作BC的垂直平分线这种方法对吗？ 等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线．×你能破镜重圆吗？ABCmnO 作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆．作法：依据： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥， 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m． 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 垂径定理的应用 用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R．
经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高．解：AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2解得 R≈27.9（m）在Rt△OAD中，由勾股定理，得即 R2=18.72+（R－7.2）2∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m．OA2=AD2+OD2 1． 判断：
（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧． （ ）
（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧． （ ）
（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦． （ ）
（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行．
（ ）
（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧．
（ ）√???√随堂练习2.如图所示，P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为______；最长弦长为______．8cm10cm解析：当弦与OP垂直时，弦最短，连接OA,由勾股定理可得，AP= =4，∵OP⊥AB，∴AB=2AP=8，最短弦为8cm.过P点经过圆心的弦最长为直径，最长弦为10cm．故填8cm,10cm.3.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D.
（1）若AB=8cm，OC=5cm,求CD的长；
（2）若OC=5cm，OD=3cm，求AB的长；
（3）若AB=8cm，CD=2cm，求⊙O的半径.（3）设⊙O的半径为r，则OD=r-2,∵OC⊥AB，∴AD= AB=4cm，在Rt△OAD中，OA2=DO2+AD2，∴r2=（r-2)2+42，解得r=5，∴⊙O的半径为5cm.解：连接OA，则AO=OC=5cm.∵OC⊥AB,∴∠ODA=90°.
（1） ∵OC⊥AB，∴AD= AB=4cm，在Rt△OAD中，
∴CD=OC-OD=2cm. （2）在Rt△OAD中，
∵OC⊥AB，AB=2AD=8cm. 4． 在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
求证：四边形ADOE是正方形．证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴ AE=AD∴ 四边形ADOE为正方形． 5． 一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600m，E为弧CD上的一点，且OE⊥CD垂足为F，EF=90m．求这段弯路的半径．解:连接OC．
能记住垂径定理及推论，并能运用它们解决相关的证明、计算、作图等问题.24.1 圆的有关性质学习目标1第2课时 垂直于弦的直径什么是轴对称图形？
我们学过哪些轴对称图形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形．回 顾线段角等腰三角形矩形菱形等腰梯形正方形互动课堂(探究与合作)探究点1：圆的对称性1.动手做一做： 剪一个圆形纸片，用对折的方法，在纸片上找出圆心O，并画出圆的任意一条直径CD，A是⊙O上任意一点（不与点C、D重合），过点A作AA1⊥CD，交⊙O于点A1，垂足为E，连接OA、OA1.3⑵在△OAA1中，∵OA=OA1,AA1⊥CD，∴AE=A1E.
即CD是AA1的 .这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A1,因此⊙O关于直线 对称.⑴在对折找圆心的过程中，我们发现：任意折痕（即
圆的直径所在的直线）两旁的部分 完全重合.4能够垂直平分线CD 圆是 图形，任何一条直径所在的
都是它的对称轴，圆有 条对称轴.轴对称直线无数2.通过上面的探究，你能得出结论：探究点2：垂径定理62.质疑1：若AB是直径，上述结论还成立么？ 成立，当AB是直径时，OA=OB，CD⊥AB，所以CD是AB的垂直平分线，所以 ＝ ，
＝ ．⑵定理中的弦为直径时，结论仍然 ．⑴垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且
平分弦所对的两条 ．平分弧成立3.从上面的证明我们知道：注意：⑴垂径定理中的垂径可以是 、
半径或过圆心的直线或 ，其本
质是“过圆心”. ⑵垂径定理也可理
解为，如果一条直线，它具有两个性
质：①经过 ； ② 于弦.
那么这条直线就 这条弦， 弦
所对劣弧和优弧.7垂直直径线段圆心平分平分检测反馈解析：由垂径定理可知B、D均成立；由△OCE≌△ODE可得A也成立．不一定成立的是OE=BE．故选C．·OCDABE1.如图所示，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，则下列结论不一定成立的是（ ）
A.∠COE＝∠DOE B.CE＝DE
C.OE＝BE D. C探究点3 结论改为：②垂直于弦，④平分弦所对的劣弧，⑤平分弦所对的优弧.
这个命题正确吗？
１.垂径定理的条件和结论分别是什么？
条件：结论：③平分弦，④平分弦所对的劣弧，⑤平分弦所对的优弧.①过圆心，②垂直于弦.
质疑2.条件改为：①过圆心，③平分弦.
10探究点4：垂径定理的推论1.如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦（不是直径），AB、CD交于点E，且AE=BE，在⊙O中，连接OA、OB，则△OAB是 三角形，
∵AE=BE，
∴CD AB，即CD是垂直于弦的直径，
∴ ， ．⊥＝＝等腰11质疑3：如果上图中的AB是直径，上述结论成立么？ 不一定成立，如图所示，当AB是直径时，CD平分AB，但CD不垂直于AB，结论不成立.通过上面的证明，你能得出结论：⑴垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的
直径 于弦，并且 弦所对的两条弧.垂直平分⑵垂径定理的推论中的弦一定要 为 ，否
则命题就不一定成立.非直径① 直径过圆心
③ 平分弦 （不是直径）② 垂直于弦
④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论1① 直径过圆心
④ 平分弦所对优弧 ③ 平分弦
② 垂直于弦
⑤ 平分弦所对的劣弧垂径定理的推论1 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．② 垂直于弦
③ 平分弦 ① 直径过圆心
④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧 （3）弦的垂直平分线 经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 垂径定理的推论1② 垂直于弦
④ 平分弦所对优弧① 直径过圆心
③ 平分弦
⑤ 平分弦所对的劣弧推论1的其他命题......② 垂直于弦
⑤ 平分弦所对的劣弧① 直径过圆心
③ 平分弦
④ 平分弦所对优弧 （4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．③ 平分弦
④ 平分弦所对优弧① 直径过圆心
② 垂直于弦
⑤ 平分弦所对的劣弧 （5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧 ．③ 平分弦
⑤ 平分弦所对的劣弧① 直径过圆心
② 垂直于弦
④ 平分弦所对优弧④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧① 直径过圆心
② 垂直于弦
③ 平分弦 （6）平分弦所对的两条弧的直径过圆心，并且垂直平分弦．18归纳总结：综合以上探究可知： 如果一条直线具有：⑴经过 ；⑵垂直 ；⑶平分弦（被平分的弦不是 ）；⑷ 所对的优弧；⑸ 所对劣弧.这五条性质中的任意两条，那么必然具备其余三条性质.圆心于弦直径平分弦平分弦 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧．平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧． 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧．平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．3．垂径定理的推论垂径定理的推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等．MOABNCD证明：作直径MN垂直于弦AB∵ AB∥CD
∴ 直径MN也垂直于弦CD两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论2有这两种情况：考考你探究案p147第6题垂径定理三角形d + h = rdhar有哪些等量关系？ 在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量． 经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件．4． 解决有关弦的问题1.如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
B解析：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，
∴AC=BC= AB=12，在Rt△AOC中，
由勾股定理得：
故选B. 2． 在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．
求证：AC＝BD．证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE．
AE－CE＝BE－DE．
所以，AC＝BDECDABE作法：1． 连结AB．小练习ABCDE作法：1． 连结AB．3． 连结AC．5． 点G同理．ABC作AC的垂直平分线作BC的垂直平分线这种方法对吗？ 等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线．×你能破镜重圆吗？ABCmnO 作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆．作法：依据： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥， 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m． 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 垂径定理的应用 用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R．
经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高．解：AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2解得 R≈27.9（m）在Rt△OAD中，由勾股定理，得即 R2=18.72+（R－7.2）2∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m．OA2=AD2+OD2 1． 判断：
（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧． （ ）
（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧． （ ）
（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦． （ ）
（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行．
（ ）
（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧．
（ ）√???√随堂练习2.如图所示，P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为______；最长弦长为______．8cm10cm解析：当弦与OP垂直时，弦最短，连接OA,由勾股定理可得，AP= =4，∵OP⊥AB，∴AB=2AP=8，最短弦为8cm.过P点经过圆心的弦最长为直径，最长弦为10cm．故填8cm,10cm.3.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D.
（1）若AB=8cm，OC=5cm,求CD的长；
（2）若OC=5cm，OD=3cm，求AB的长；
（3）若AB=8cm，CD=2cm，求⊙O的半径.（3）设⊙O的半径为r，则OD=r-2,∵OC⊥AB，∴AD= AB=4cm，在Rt△OAD中，OA2=DO2+AD2，∴r2=（r-2)2+42，解得r=5，∴⊙O的半径为5cm.解：连接OA，则AO=OC=5cm.∵OC⊥AB,∴∠ODA=90°.
（1） ∵OC⊥AB，∴AD= AB=4cm，在Rt△OAD中，
∴CD=OC-OD=2cm. （2）在Rt△OAD中，
∵OC⊥AB，AB=2AD=8cm. 4． 在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
求证：四边形ADOE是正方形．证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴ AE=AD∴ 四边形ADOE为正方形． 5． 一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600m，E为弧CD上的一点，且OE⊥CD垂足为F，EF=90m．求这段弯路的半径．解:连接OC．
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