高一数学人教A版必修1第1.3.1单调性与最大（小 课时同步附解析值

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1.3.1.单调性与最大（小）（A卷）
一、选择题
1．【题文】函数y＝在区间[1,2]上的最大值，最小值分别是(　　)
A.1,　　　　　　　　　
B.1,
C.2
,1
D.4,
2
2．【题文】若，则函数的最小值是(　　)
A．－2
B．
C．2
D．
3.【题文】已知函数f(x)＝－x2＋2x＋a(x∈[0,2])有最大值2，则实数a的为(　　)
A．4
B．6
C．1
D．2
4.【题文】下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．f(x)＝3－x
B．f(x)＝－x2+1
C．f(x)＝－|x|
D．f(x)＝
5．【题文】若函数y＝2ax－b
在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(　　)
A．1
B．－1
C．1或－1
D．0
6.【题文】若函数f(x)＝－x2＋2x与g(x)＝在区间上都是减函数，则实数的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．(0,1]
7.【题文】已知函数f(x)＝若f(2－3a)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)　　　
B．(,)
C．(,)　　　
D．(1，＋∞)
8.【题文】某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　)
A．90万元　　　　　　　　B．60万元
C．120万元
D．120.25万元
填空题
9.【题文】定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a，b，总有＞0成立，且f(－3)＝－1，f(1)＝2，则f(x)在[－3，1]上的最大值是________．
10.【题文】已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若f(2a+1)11.【题文】已知函数f(x)＝x2－2ax+3在区间[0,2]上的最小值为－1，则实数a的值为________.
三．解答题
12.【题文】已知函数f(x)＝x＋＋1，其中x∈[1，＋∞)．
(1)试判断它的单调性；(2)试求它的最小值．
13.【题文】已知函数f(x)＝x2－2x－1.
(1)求f(x)在区间[，3]上的最大值和最小值；
(2)若g(x)＝f(x)－mx在[－1,2]上单调函数，求m的取值范围．
14.【题文】某厂今年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量(即该厂的年产量)x（万件）与年促销费m(万元)(m≥0)满足x＝3－.已知今年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将今年该产品的利润y万元表示为年促销费m(万元)的函数；
(2)求今年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？
1.3.1.单调性与最大（小）（A卷）
参考答案与解析
1.
【答案】C
【解析】∵y＝在[1,2]上是减函数，∴当x＝2时取最小值1；
当x＝1时取最大值2，故选C.
考点：利用单调性求最值
【题型】选择题
【难度】较易
2.
【答案】B
【解析】函数在区间上为增函数，当＝时，y有最小值，故选B.
考点：利用单调性求最值
【题型】选择题
【难度】较易
3.
【答案】C
【解析】f(x)＝－x2＋2x＋a
(x∈[0,2])，当时，f(x)取最大值，所以1＋a＝2，
.
考点：利用单调性求最值
【题型】选择题
【难度】较易
4.
【答案】D
【解析】　函数f(x)＝3－x在(0，＋∞)上为减函数；
函数f(x)＝－x2+1在上为增函数，在上为减函数；
函数f(x)＝－|x|在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数；
函数f(x)＝在(－∞，－1)上为增函数，在(－1，＋∞)上为增函数．
考点：函数的单调区间
【题型】选择题
【难度】一般
5.
【答案】C
【解析】当a>0时，最大值为4a－b，最小值为2a－b，差为2a，∴a＝1；当a<0时，最大值为2a－b，最小值为4a－b，差为－2a=2，∴a＝－1.
考点：利用单调性求最值
【题型】选择题
【难度】一般
6.
【答案】D
【解析】f(x)＝－(x－)2＋2，当≤1时，f(x)在上是减函数；g(x)＝要为减函数，需满足，得
.则实数的取值范围是＜≤1.
考点:根据函数的单调性求参数的范围
【题型】选择题
【难度】一般
7.
【答案】C
【解析】当x≥0时f(x)＝x2＋2x，可知f(x)在[0，＋∞)上递增，当x<0时f(x)＝2x－x2，可判断f(x)在(－∞，0)上递增，又
，函数f(x)
在R上单调递增.
故由f(2－3a)>f(a)得2－3a>a，即a.
考点：判断或证明函数单调性
【题型】选择题
【难度】一般
8.
【答案】　C
【解析】　设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，设两地销售的利润之和为y万元，则
y＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30.
由题意知，
∴0≤x≤15，且x∈Z.
当x＝－时，y值最大．
∵x∈Z，∴取x＝9或10.
当x＝9时，y＝120，当x＝10时，y＝120.
综上可知，公司能获得的最大利润为120万元．故选C.
考点：二次函数求最值
【题型】选择题
【难度】较难
9.
【答案】2
【解析】由题意可知函数f(x)在R上为增函数，则其在[－3，
1]上最大值应为f(1)＝2.
考点：函数单调性的定义
【题型】填空题
【难度】较易
10.
【答案】(0,)
【解析】∵f(x)的定义域是(0,+∞)，
∴解得.
∵f(x)在(0,+∞)上是减函数，
∴2a+1>－4a+1,∴a>0.
∴0考点：函数单调性的定义
【题型】填空题
【难度】一般
11.
【答案】2
【解析】函数f(x)＝x2－2ax+3=的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．
当时，函数f(x)在区间[0,2]单调递减，当时取最小值
当时，函数f(x)在区间[0,2]单调递增，当时取最小值不符合题意；
当
时，函数f(x)当时取最小值－1，即
解得，不符合题意
，综上可知.
考点：函数的单调区间
【题型】填空题
【难度】较难
12.
【答案】（1）略
（2）
【解析】　(1)函数f(x)＝x＋＋1，
设1≤x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋(－)＝(x1－x2)(1－)＝，
∵1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞1，
∴2x1x2－1＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0.
即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增．
由（1）可知当x＝1时，f(x)有最小值.
考点：函数单调性的定义，利用单调性求最值
【题型】解答题
【难度】较易
13.
【答案】（1）最大值为2，最小值为－2
（2）(－∞，－4]∪[2，＋∞)
【解析】(1)∵f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，x∈[，3]，
∴f(x)的最小值是f(1)＝－2.
又f()＝，f(3)＝2，
所以f(x)在区间[，3]上的最大值是2，最小值是－2.
(2)∵g(x)＝f(x)－mx＝x2－(m＋2)x－1，
∴
≤－1或≥2，即m≤－4或m≥2.
故m的取值范围是(－∞，－4]∪[2，＋∞)．
考点：二次函数求最值
【题型】解答题
【难度】一般
14.
【答案】(1)y=28－－m(m≥0)
(2)21，3
【解析】(1)每件产品的成本为元，故
y＝1.5××x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m＝4＋－m＝28－－m
(m≥0)．
可以证明当0≤m≤3时，函数y＝28－－m是增函数，当m＞3时，函数y＝28－－m是减函数，所以当m＝3时，函数y＝28－－m取最大值21，即今年该产品利润的最大值是21万元，此时的促销费是3万元．
考点：二次函数的最值.
【题型】解答题
【难度】较难