高一数学人教A版必修1第3.2.2 函数模型的应用实例 课时同步附解析

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3.2.2函数模型的应用举例
一、选择题（本题共8个小题）
1．【题文】夏季高山上温度从山脚起每升高100米，降低0.7℃，已知山顶的温度是14．1℃，山脚的温度是26℃，则山的相对高度是
(
)
A．1
800米
B．1
700米
C．1
600米
D．1
500米
2．【题文】某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为
和，其中为销售量（单位：辆）.若该公司这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为
（
）
A．120.25万元
B．120万元
C.
90.25万元
D．132万元
3．【题文】小明离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合小明走法的
（
）
4．【题文】某林场计划第一年造林10
000亩，以后每年比前一年多造林，则第四年造林
（
）
A.
14
400亩
B.
172
800亩
C.
17
280亩
D.
20
736亩
5．【题文】已知甲、乙两车间的月产值在2016年元月份相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到2016年7月份发现两车间的月产值又相同，比较甲、乙两个车间2016年4月份产值的大小，则有（
）
A．甲大于乙
B．甲等于乙
C．甲小于乙
D．不确定
6．【题文】某企业为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的成本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为，为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积(单位：平方米)之间的函数关系是C()＝(>0)．记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和为F()(万元)，则F(40)等于
(　　)
A．80
B．60
C．
D．40
7．【题文】大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵.经研究发现：鲑鱼的游速(单位：m/s)与耗氧量的单位数的函数关系式为.若某条鲑鱼想把游速提高1
m/s，它的耗氧量将增大到原来的倍，则=
（
）
A.2
B.3
C.8
D.9
8．【题文】衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后体积与天数的关系式为，已知新丸经过50天后，体积变为.若一个新丸体积变为，则需经过的天数为
（
）
A．75天
B．100天
C．125天
D．150天
二、填空题(本题共3个小题)
9．【题文】用长度为的材料围一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______.
10．【题文】邮局规定，邮寄包裹，在5千克内(含5千克)每千克5元，超过5千克时，超过部份按每千克3元收费，则邮费与邮寄包裹重量的函数关系式为
.
11．【题文】随着电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，每隔五年计算机的成本降低，现在成本为8
100元的计算机经过15年的成本为
元.
三、解答题（本题共3个小题）
12．【题文】如图所示，有一块半径为的半圆形钢板，设计剪裁成矩形ABCD的形状，它的边
在圆O的直径上，边CD的端点在圆周上，设矩形的边的长为.
（1）将矩形的面积表示为关于的函数，并求其定义域；
（2）求矩形面积的最大值及此时边的长度．
13．【题文】为节约用水，某市打算出台一项水费收费措施，其中规定：每月每户用水量不超过7吨时，每吨水费收基本价3元；超过7吨而不超过11吨时，超过部分水费加收100%；超过11吨而不超过15吨时，超过部分的水费加收200%,
现在设某户本月实际用水量为吨，应交水费为元．
（1）试求出函数的解析式；
（2）如果一户人家本月应交水费39元，那么该户本月的实际用水量是多少？
14．【题文】某租凭公司拥有汽车100辆，当每辆汽车的月租为3
000元时，可全部租出，当每辆车的月租金增加50元时，未租出的车辆会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3
600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少钱时，租凭公司的月收益最大？最大收益是多少？
3.2.2函数模型的应用举例
参考答案与解析
1.
【答案】B
【解析】设山的相对高度为，单位为百米，相应的温度为，单位为℃，则，令，解得，所以山的相对高度为1
700米.
考点：一次函数模型.
【题型】选择题
【难度】较易
2.
【答案】B
【解析】设该公司在甲地销售辆车，在两地共获得的利润为万元，则在乙地销售
辆车，由题意可得，当或10时，能获得的最大利润120万元，故选B.
考点：一次函数和二次函数模型.
【题型】选择题
【难度】一般
3.
【答案】B
【解析】由题意可知由于小明怕迟到，所以一开始就跑步，刚开始离学校的距离随时间的推移应该相对较快．而等跑累了再走余下的路程，则说明离学校的距离随时间的推移在后半段时间应该相对较慢．所以适合的图形为B.
考点：一次函数模型.
【题型】选择题
【难度】一般
4.
【答案】
C
【解析】
根据题意得（亩），故选C.
考点：指数函数模型.
【题型】选择题
【难度】一般
5.
【答案】A
【解析】设甲以后每个月比前一个月增加的产值为，乙每个月比前一个月增加产值的百
分比为，由题意得①，而4月份甲的产值为
，4月份乙的产值为
，由①得．再由
可得4月份甲的产值大于乙的产值，故选A．
考点：函数的应用.
【题型】选择题
【难度】一般
6.
【答案】B
【解析】根据题意得F()＝＋15×，所以F(40)＝60，故选B.
考点：函数的模型的应用.
【题型】选择题
【难度】一般
7.
【答案】D
【解析】设提速后速度为，耗氧量为，则，∴，∴，∴，耗氧量增大到原来的9倍，即.
考点：对数函数模型的应用.
【题型】选择题
【难度】一般
8.
【答案】A
【解析】由题意，得，解得.令，
即，即需经过的天数为75天.
考点：指数函数模型.
【题型】选择题
【难度】一般
9.
【答案】
【解析】设隔墙的长度为，则矩形与隔墙垂直的一边长为(0<<12)，所以矩形的面积，当且仅当时，面积最大，即隔墙的长度为.
考点：二次函数模型.
【题型】填空题
【难度】较易
10.
【答案】
【解析】设邮寄包裹的重量为千克，邮费为元，则依题意可知，
当时，，当时，，
综上可知，邮费与邮寄包裹重量的函数关系式为
考点：一次函数，分段函数模型.
【题型】填空题
【难度】一般
11.
【答案】2
400
【解析】每隔五年计算机的成本降低，那么降低一次降低了元，可知降低后的成本为元，那么经过两次降价后降低了元，故两次降价后成本为元，故可知计算机15年后的成本为（元）,故答案为2
400.
考点：指数函数模型.
【题型】填空题
【难度】一般
12.
【答案】（1）
（2）当边的长度为时，矩形面积最大为
【解析】（1）连接OD，，，，
．
（2），
当时，.
答：当边的长度为时，矩形面积最大，为4.
考点：二次函数模型.
【题型】解答题
【难度】一般
13.
【答案】（1）
（2）10
【解析】（1)当时，；
当时，；
当时，.
故
（2)当时，易知，
由，解得，即该户本月的实际用水量是10吨.
考点：分段函数模型.
【题型】解答题
【难度】一般
14.
【答案】（1）88
（2）当每辆车的月租金为4
050元时，租凭公司的月最大收益是307
050元
【解析】（1）当每辆汽车的月租金定为3
600元时，
（元），
（辆），
此时能租出88辆车.
（2）设每辆汽车的月租金定为元时，租凭公司的月收益为元，
则
，
因此当时，函数有最大值307
050.
答：当每辆车的月租金为4
050元时，租凭公司的月最大收益是307
050元.
考点：二次函数模型.
【题型】解答题
【难度】较难