广东省揭阳市普宁市2015-2016学年高一下学期期末学业水平测试数学试卷 Word版含答案

2015－2016学年度高中一年级学业水平考试
数学科试题卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（
＊
）
A．
B．
C．
D．
2．某中学有学生270人，其中一年级10
( http: / / www.21cnjy.com )8人，二、三年级各81人，现要用抽样方法抽取10人组成一个样本．将学生按一、二、三年级依次同一编号为1，2，……，270．如果抽得号码有如下四种情况：
①5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；
②7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
③30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；
④11，38，60，90，119，146，173，200，227，254．
则其中可能由分层抽样、而不可能由系统抽样得到的样本是（
＊
）
A．①②
B．①④
C．②③
D．②④
3．按如图所示的程序框图，在运行后输出的结果为（
＊
）
A．
B．
C．
D．
4．已知点在函数的图像上，则下列点中不可能在此图像上的是（
＊
）
A．
B．
C．
D．
高一级学业水平数学科试题
第1页（共4页）
5．已知平面向量，的夹角为，，，则（
＊
）
A．
B．
C．
D．
6.
已知，则（
＊
）
A．
B．
C．
D．
7．使得函数有零点的一个区间是（
＊
）
A．
B．
C．
D．
8．如图所示，正方体的上、下底面中心分别为，，将正方体绕直线旋转一周，其中由线段旋转所得图形是（
＊
）
( http: / / www.21cnjy.com )
9．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量（只）与引入时间（年）的关系为，若该动物在引入一年后的数量为只，则第年它们发展到（
＊
）
A．只
B．只
C．只
D．只
10．设，将函数的图像向左平移个单位，若所得的图像与原图像重合，则正数的最小值为（
＊
）
A．
B．
C．
D．
11．在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（
＊
）
A．
B．
C．
D．
12．如图甲，边长为的正方形中，、
分别是、的中点，将△、△、
△折起，使、、三点重合于点，所
得的三棱锥的俯视图如图乙，则该三棱锥
的正视图的面积为（
＊
）
A．
B．
C．
D．
高一级学业水平数学科试题
第2页（共4页）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．过圆的圆心并且垂直于的直线的方程是
＊
．
14．直角坐标系中，已知点，函数的图像在轴右侧的第一个最高点为，则
＊
．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
14题图
15题图
15．上面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综
( http: / / www.21cnjy.com )合测评中的成绩，其中一个数字被污损；则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为
＊
．
16．已知幂函数在上单调递增，函数，当时，记和的值域分别为和，若，则实数的取值范围是
＊
．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）已知函数，．
（1）求的最小正周期；（5分）
（2）求的单调递增区间．（5分）
18．（本小题满分12分）已知是定义在上的奇函数，当时，，
（1）求在时的解析式；（5分）
（2）如果在上单调递减，求实数的取值范围．（7分）
19．（本小题满分12分）随着移动互联网的
( http: / / www.21cnjy.com )发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷．现从使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：
（1）试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数；（6分）
（2）根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答以下问题：（6分）
（ⅰ）能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%？
（ⅱ）如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？并说明理由．
高一级学业水平数学科试题
第3页（共4页）
20．（本小题满分12分）如图所示，直三棱柱中，，，为底棱的中点．
（1）求证：平面；（4分）
（2）过以及点的平面与交于点，
求证：为中点；（4分）
（3）求三棱锥的体积．（4分）
21．（本小题满分12分）直角坐标系中，已知点、，点到点的距离是到点的距离的倍，
（1）求点的轨迹的方程；（4分）
（2）已知不经过原点的直线与轨迹交于、两点，若以为直径的圆恒经过点，求．（8分）
22．（本小题满分12分）已知函数（且）．
（1）求函数的定义域；（5分）
（2）是否存在实数，使得函数满足：对于任意，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．（7分）
高一级学业水平数学科试题
第4页（共4页）
2015－2016学年度高中一年级学业水平考试
数学科参考答案及评分意见
一、选择题
C
B
C
B
A
D
C
D
A
D
B
B
二、填空题13．；
14．；
15．；
16．．
三、解答题
17．解：（1）
……………………………………4分
的最小正周期；…………………………………………………………5分
（2）由，得………………………………………………6分
，即，……………………………9分
故的单调递增区间为，．……………………………10分
18．解：（1）当时，，故，
由于为奇函数，，
于是，；……………………………………………………………6分
（2）要使在上单调递减，必须，…………………………10分
解得．………………………………………………………………………………12分
19．解：（1）依题意可得，使用A款订餐软件的50个商家的
“平均送达时间”的众数为
（分钟）……………………………………………………………………………………2分
使用A款订餐软件的50个商家的
“平均送达时间”的平均数：
（分钟）………6分
（2）（ⅰ）使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过分钟的商家的比例估计值为
高一级学业水平数学科参考答案
第1页（共3页）
……………………………………………………………8分
故可认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过分钟的商家达到
………9分
（ⅱ）使用B款订餐软件的50个商家的
“平均送达时间”的平均数：
所以选B款订餐软件…………………………………………………………………………12分20．（1）证明：在直三棱柱中，，
又，即，
因为，故平面，即平面，………………2分
因为平面，故
又因为，故侧面为正方形，
因为，故平面………………………………………………4分
（2）证明：因为平面平面，
平面平面，平面平面，
故，
又因为，于是
因为为中点，故为中点；……………………………………………………8分
（3）解：由（2）知，故平面，
故点
到平面的距离等于点到平面的距离，
因为为中点，故点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，
结合（1），这个距离为，
于是………………………12分
【也可由，同样算得体积】
21．解：（1）设点，依题意，，
，
化简，得，此即点的轨迹的方程；…………………………………4分
（2）联立，消去并整理，
得，设，，
利用根与系数的关系，可得，；…………………6分
高一级学业水平数学科参考答案
第2页（共3页）
因为以为直径的圆恒经过点，即有，
于是
，……………………………………8分
解得或；……………………………………………………………………………9分
当时，直线过原点，不合题意，舍去，
故，直线的方程为………………………………………………………10分
圆心到的距离，
由垂径定理，．…………………………………………………12分
22．解：（1）由，得；
当时，，的定义域为；……………………………3分
当时，，的定义域为……………………………5分
（2）假设存在实数满足题意，则区间是定义域的子集，
由（1）知，且，解得；……………………………7分
令，结合，得，………………………………9分
，
当时，，解得；……………10分
由，得．………………………………………………………………12分
高一级学业水平数学科参考答案
第3页（共3页）
是
否
开始
i=1
i≤10
s=s+i
结束
输出s
i=i+1
s=10
A
B
C
A’
B’
C’
D
E