课件17张PPT。1 等腰三角形（第1课时）第一章 三角形的证明北师版
八年级
下册1.复习与三角形全等有关的公理和定理；
2.掌握等腰三角形的性质。学习目标讲授新课（1）把你们准备的顶角分别为锐角、直角和钝角的等腰三角形拿出来.
（2）把三角形的顶角顶点记为A，底角顶点记为B，C.
（3）把三角形对折，让两腰AB，AC重叠在一起，折痕为AD. 观察后你发现了什么现象？讲授新课1、等腰三角形是轴对称图形2、∠ B =∠ C3、BD = CD ，AD 为底边上的中线4、∠ADB = ∠ADC = 90°，AD为底边上的高5、∠BAD = ∠CAD ，AD为顶角平分线问题1、结论（2）用文字如何表述？等腰三角形的两个底角相等（简写“等边对等角”）问题2、结论（3）、（4）、（5）用一句话可以归纳为什么？结论：讲授新课性质一：等腰三角形的两个底角相等
（简写成“等边对等角”）.几何书写：∵AB=AC（已知）∴?B=?C（等边对角）讲授新课∴AD⊥BC BD=CD（等腰三角形三线合一）几何书写：∵AB=AC （已知）
∠1=∠2 （已知）推论：
等腰三角形 顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线 互相重合.（三线合一）12讲授新课证明：作顶角的平分线AD. 在△BAD和△CAD中，AB=AC ( 已知 ),∠ 1= ∠ 2 ( 辅助线作法 )，AD=AD (公共边) ,∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).已知： △ ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.12证明：等腰三角形的两个底角相等D证明等腰三角形的性质 作顶角的平分线讲授新课证明： 作底边中线AD.
在△BAD和△CAD中，AB=AC ( 已知 ),BD=CD ( 辅助线作法 )，AD=AD (公共边) ,∴ △BAD ≌ △CAD (SSS).∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).已知： △ ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.D证明：等腰三角形的两个底角相等作底边中线证明等腰三角形的性质 讲授新课证明： 作底边高线AD.
AB=AC ( 已知 ),AD=AD (公共边) ,∴ Rt △BAD ≌ Rt △CAD (HL).∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).已知： △ ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.D证明：等腰三角形的两个底角相等在Rt△BAD和△Rt△CAD中，证明等腰三角形的性质 作底边的高线讲授新课(等腰三角形三线合一)性质2 等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合思考：
由△BAD ≌ △CAD，除了可以得到∠ B= ∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
性质3 等腰三角形是轴对称图形，其顶角的平分线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线就是等腰三角形的对称轴。讲授新课 1. 根据等腰三角形性质二填空,
在△ABC中， AB=AC， (1) ∵AD⊥BC，∴∠_____ = ∠_____，____= ____. (2) ∵AD是中线，∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____.(3) ∵AD是角平分线，∴____ ⊥____ ，_____ =_____.BADCADCADBDCDADBCBDBADBCADCD 知一线得二线
“三线合一”可以帮助我
们解决线段的垂直、相等
以及角的相等问题。课堂练习2、等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.3、等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为___________
_________________.4、等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为___________.① 顶角度数+2×底角度数=180°② 0°＜顶角度数＜180°③ 0°＜底角度数＜90°结论: 在等腰三角形中,40 °35 °，35 °70°,40° 或 55°,55°课堂练习5、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。1、图中有哪几个等腰三角形？ABCD△ABC △ABD △BDC2、有哪些相等的角？∠ABC=∠ACB=∠BDC ∠ A=∠ABD3、这两组相等的角之间还有什么关系？∠BDC=2∠ A
∠ABC+∠ACB+∠ A=180 °课堂练习 6 已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100 o, 过屋顶A的立柱AD ? BC , 屋椽AB=AC. 求顶架上∠B、∠C、∠BAD、
∠CAD的度数.
课堂练习 (1)猜想一下，等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？如图将等腰三角形ABC沿对称轴折叠，观察DE与DF的关系，并证明你的结论。ABCDEF (2)如果DE、DF分别是AB,AC上的中线或∠ADB, ∠ADC的平分线，它们还相等吗？由等腰三角形是轴对称图形，利用类似的方法，还可以得到等腰三角形中哪些相等的线段？已知：在△ABC中，AB=AC.点D
是BC的中点，DE⊥AB于E,
DF⊥AC于F
求证：DE＝DF课堂练习通过本节课的学习，你有哪些收获？定理：等边对等角推论：“三线合一” 常用来证明两角相等，求等腰三角形各角的度数． 研究等腰三角形的有关问题时“三线”是常用的辅助线． 等 腰 三 角 形课后小结课件16张PPT。1 等腰三角形（第2课时）第一章 三角形的证明北师版
八年级
下册1、掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、会证明和应用等腰三角形的相关结论。
3、会证明和应用等边三角形的性质定理。
学习目标复习旧知 1.等腰三角形的性质是什么？
2.等边三角形有哪些性质？
已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的角平分线例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等.求证：BD=CE．证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．
∵∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB，
∴∠1=∠2．
在△BDC和△CEB中，
∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．
∴△BDC≌△CEB(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．讲授新课已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的角平分线．例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等.求证：BD=CE．一题多解证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵∠3= ∠ABC，∠4= ∠ACB，
∴∠3=∠4．
在△ABD和△ACE中，
∵∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．
∴△ABD≌△ACE(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．讲授新课已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的高．1. 证明: 等腰三角形两腰上的高相等.求证：BD=CE．分析：要证BD=CE，就需证BD和CE 所在的两个三角形的全等．讲授新课已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的中线．2. 证明: 等腰三角形两腰上
的中线相等.求证：BD=CE．分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两个三角形的全等．讲授新课 刚才，我们只是发现并证明了等腰三角形中比较特殊的线段(角平分线、中线、高)相等
讲授新课 1．在等腰三角形ABC中，
(1)如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE吗?如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB呢?由此，你能得到一个什么结论?
(2)如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗?
如果AD= AC，AE= AB呢?由此你得到什么结论?讲授新课 （1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE.
（2）在△ABC中，如果AB=AC，AD= AC，
AE= AB，那么BD=CE. 简述为：
（1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ACE，
那么：BD=CE.
（2）在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE.讲授新课想一想：
等边三角形都具有哪些性质？讲授新课1. 求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC。
求证：∠A=∠B=∠C=60°.
证明：在ΔABC中，∵AB=AC，
∴∠B=∠C(等边对等角).
同理：∠C=∠A，
∴∠A=∠B=∠C（等量代换）.
又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理）
∴∠A=∠B=∠C＝60°.讲授新课1.如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,
求证:AE=CD
证明:∵ △ABC和△BDE都是等边三角形∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD∴ △ABE≌△CBD∴AE=CD讲授新课例2、已知：如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，并PB=PQ=QC=AP=AQ，
求∠BAC的大小．讲授新课例3、如图，已知△ABC是等边三角形，P是BC上一点，问在CA和AB上是否存在点Q和R，使△PQR为等边三角形？若存在，求出点Q和R，并加以证明；若不存在.请说明理由.APBC●●Q●R讲授新课课后小结通过本节课的学习，你有哪些收获？ 等 腰 三 角 形等边三角形性质定理等边三角形的判定方法课件21张PPT。1 等腰三角形（第3课时）第一章 三角形的证明北师版
八年级
下册1、学会证明等角对等边,并进行等腰三角形的判定;
2、体会反证法，并会用反证法进行证明;
3、规范证明的书写过程.学习目标请同学们回答下面的问题：1、等腰三角形的性质是什么？①有两个相等的角.
②有两条相等的边.
③底边上的中线、高和顶角的平分线重合.讲授新课等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.请一位同学说出已知、求证.已知:在△ABC中,∠B= ∠C求证：AB=AC讲授新课证法一：作∠BAC的平分线AD.
在 △BAD和△CAD中，
∠BAD= ∠ CAD，
∠B=∠C,
AD=AD(公共边），
∵△BAD≌△CAD（AAS）,
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）.讲授新课证法二：作AD⊥BC，垂足为D.
在 △BAD和△CAD中，
∠ADB= ∠ADC，
∠B=∠C,
AD=AD(公共边），
∵△BAD≌△CAD（AAS）,
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）.请同学们想一想：作等腰三角形底边上的中线可以证明吗？为什么？讲授新课从以上讲解我们可以得到什么结论？已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C
求证：AB=AC=BC讲授新课这是由判定定理推导出的一个定理，即判定一个三角形是等边三角形的一种方法.推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.讲授新课60°你又可以得到什么？已知：在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=60°(或者∠B=60°）
求证：AB=AC=BC
讲授新课推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.这是由判定定理推导出的又一个定理，即判定一个三角形是等边三角形的另外一种方法.
讲授新课小明说,在一个三角形中，如果两个角不相等,
那么这两个角所对的边也不相等.即在△ABC中, 如果∠B≠∠C,
那么AB≠AC. 你认为这个结论成立吗?
如果成立,你能证明它吗? 如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,
此时,AB与AC要么相等,要么不相等. 假设AB=AC, 那么根据“等边对等角”定理可得∠B=∠C,
但已知条件是 ∠B≠∠C.
“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾，
因此， AB≠AC.讲授新课论证的新方法----反证法 小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.
这种证明方法称为反证法(reduction to absurdity) 假设AB=AC, 那么根据“等边对等角”
定理可得∠B=∠C .
但已知条件是∠B≠∠C.
“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾,
因此,AB≠AC.反证法是一种重要的数学证明方法.
在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.讲授新课求证: 一个三角形中不能有两个角是直角。(用反证法来证)证明：
假设△ABC中有两个直角 ，不妨设∠A=∠B=90° ，
那么∠A+∠B+∠C=180°+∠C＞180°，
这与三角形的内角和定理相矛盾
∴假设不成立
∴△ABC中不能有两个直角已知：△ABC
求证： ∠A、 ∠ B、∠C中不能有两个角是直角讲授新课求证: 如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且a1+a2+a3+a4+a5=1,
那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.假设这五个数中没有一个大于或等于1/5,
即都得小于1/5,
那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.
这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.
因此,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.(用反证法来证)证明:讲授新课例1 如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°,计算∠1和∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形.讲授新课解：∵∠A=36°∠DBC= 36° ∠C= 72°
∴∠2=180 °－ ∠A － ∠DBC － ∠C ＝ 36°
(三角形内角和定理）
∴ ∠A＝ ∠2
∴AD=BD(等角对等边）
∵ ∠1= ∠A ＋∠2= 72°= ∠C
∴BD=BC (等角对等边）
∴图中的等腰三角形有△ADB、△ABC、△BDC三个.
讲授新课例2 如图，CD是等腰直角三角形ABC斜边上的高，找出图中有哪些等腰直角三角形。讲授新课答：图中的等腰直角三角形有：
等腰Rt△ABC、等腰Rt△ADC和
等腰Rt△ CDB讲授新课等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高 互相重合。顶角【定义】【性质定理】【性质定理的推论】有两边相等的三角形叫做等腰三角形;高(简称:“三线合一”)【判定定理】课后小结 等腰三角形：
底角的两条平分线相等；
两条腰上的中线相等；
两条腰上的高线相等。等边三角形（特殊的等腰三角形）等边三角形的三个内角都相等，
并且每个角都等于60°。【定义】【性质定理】有三边相等的三角形叫做等边三角形;课后小结用反证法证题的一般步骤1. 假设命题的结论不成立;
2. 从这个假设出发,应用正确的推理方法, 得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件 相矛盾的结果;
3. 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.课后小结课件18张PPT。1 等腰三角形（第4课时）第一章 三角形的证明北师版
八年级
下册1、探索一个三角形成为等边三角形的条件并证明正确性
2、探究有30°角的直角三角形的性质及推理过程
3、运用所学知识进行相关的证明和计算学习目标复习旧知 问题 已知△ABC 中，∠A =60°,（ ?????? ?）.
请你在括号内补充一个条件，使△ABC 能成为等边三角
形.∠B =60°（或∠C =60°）
AB =BC、AC =BC、AB =BC =AC 思考2 这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？ 思考1 等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一
条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？讲授新课 活动 用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能
拼出怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？请说说你的
理由． 讲授新课BC = AB． 问题 你能借助这个图形，找到含30°角的直角
△ABC 的直角边BC 与斜边AB 之间有什么数量关系吗？ 讲授新课 思考 这个命题是真命题吗？请进行证明． 问题 请说一说你猜想的命题中，条件和结论分别是什么？并结合图形，用符号语言表述出来. 猜想 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半.讲授新课证明：在△ABC 中，
∵ ∠C =90°，∠A =30°,
∴ ∠B =60°．
延长BC 到D，使BD =AB，
连接AD，
则△ABD 是等边三角形．已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A=30°.
求证： BC = AB D 讲授新课∴ BC = BD = AB ． 已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°. 追问：你还能用其他方
法证明吗？ 证明：由等边三角形的性质可知，
AC 也是BD 边上的中线， 证明： BC = AB 讲授新课另证：作∠BCE =60°，交AB于E，连接CE， 则∠ACE =90°-60°=30°．
在△ABC 中，
∵ ∠ACB=90°，∠A =30°，
∴ ∠B =60°．
在△BCE 中，
∵ ∠BCE=60°，∠B =60°，
∴ △BCE 是等边三角形．
∴ BC =BE =CE．讲授新课符号语言：
∵ 在Rt△ABC 中，
∠C =90°，∠A =30°， 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么
它所对的直角边等于斜边的一半.∴ BC = AB． 讲授新课1 例1 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是
高，∠A =30°，AB =4．则BD = . 强化训练例2.已知：如图，在△ABC中,高线BD和CE相交于H，∠BHC=120°,HD=1,HE=3,求BD和CE的长。CH=2
CE=5
BH=6
BD=7强化训练例3.已知：如图，△ABC是等边三角形,D.E分别是BC,AC上的点,且AE=CD,BE和AD相交于P,BQ⊥AD, 垂足是Q, (1)求∠BPD的度数
(2)求证:BP=2PQACDBPEQ60°强化训练例4.将不全等的两个等边三角形△ABC和等边三角形△DEF任意摆放,请你画出不少于5种的摆放示意图,使得AE=CF,同时满足在重合的一条直线上有且只有三个顶点(重合的顶点算一个),并说明理由.强化训练例5 矩形ABCD中,AB=6,BC=8,先把它对折,折痕为EF展开后再折成如图所示,使点A落在EF上的点A'处,求第二次折痕BG的长.36强化训练例6.已知正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线上的一点,MN⊥DM,且交∠CBE的平分线于N, (1)求证:MD=MN(2)若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任意一点”，其它条件不变，则结论“MD=MN”还成立吗？如果成立请证明；若不成立请说明理由.HH.强化训练课后小结等边三角形的判定:
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.
特殊的直角三角形的性质:
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
300
