课件13张PPT。2 直角三角形（第1课时）第一章 三角形的证明北师版
八年级
下册 一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC，
∠BAC=30°，AB=10 cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂
足分别是B1、C1，那么BC的长是多少? B1C1呢?
解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10cm，
∴BC=0.5AB=5 cm．
∵CBl⊥AB，∴∠B+∠BCBl=90°
又∵∠A+∠B=90°
∴∠BCBl=∠A=30°
在Rt△ACBl中，BBl=0.5BC=2．5 cm．
∴AB1=AB-BBl=10-2.5=7.5cm．
∴在Rt△ABlC中，∠A=30°
∴B1C1=0.5ABl=3．75cm．讲授新课一般的直角三角形的三边具有什么样的性质呢?勾股定理 在直角三角形中,两直角边的平方和
等于斜边的平方.你会证明吗?证明方法: 数方格和割补图形的方法你会利用公理及由其推导出的定理证明吗?
讲授新课已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c．
求证：证明：延长CB至D，使BD=b，作∠EBD=∠A，并取BE=c，
连接ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED．
∴∠BDE=90°，ED=a．
∴四边形ACDE是直角梯形．
∴S梯形ACDE= (a+b)(a+b)= (a+b)．
∴∠ABE=180°-∠ABC-∠EBD=180°-90°=90°，
AB=BE． ∴S△ABE=
∵S梯形ACDE=S△ABE+S△ABC+S△BED，
∴
即
∴讲授新课两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理直角三角形中,在两直角边的平方和等于斜边的平方.反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的
平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”
的结论．你能证明此结论吗? 讲授新课逆定理的证明已知：如图，在△ABC中，
求证：△ABC是直角三角形．证明：作Rt△DEF，使∠D=90°，
DE=AB， DF=AC(如图)，
则 .(勾股定理)．
∵ DE=AB，DF=AC
∴
∴BC= EF
∴△ABC≌△DEF（SSS）
∴∠A=∠D=90°(全等三角形的对应角相等)．
因此，△ABC是直角三角形．讲授新课勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么
这个三角形是直角三角形． 观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系? 勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．在前面的学习中还有类似的命题吗? 讲授新课1.两直线平行，内错角相等. 与内错角相等，两直线平行. 2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的
直角边就等于斜边的一半 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么
这条直角边所对的锐角等于30° 例如:讲授新课观察下面三组命题： 上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?
与同伴交流．讲授新课 在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是
另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆
命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对
于逆命题来说，另一个就为原命题．互逆命题原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题!! 讲授新课原命题是真命题，而且逆命题也是真命题，那么我
们称它们为互逆定理.其中逆命题成为原命题(即原
定理)的逆定理． 互逆定理大胆尝试！举例说出我们已学过的互逆定理. 讲授新课说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:(1)四边形是多边形；
(2)两直线平行，同旁内角互补；
(3)如果ab=0，那么a=0 b=0解：(1)多边形是四边形．原命题是真命题，而逆命题是假命题．
(2)同旁内角互补，两直线平行．原命题与逆命题同为真命题．
(3)如果a=0，b=0，那么ab=0．原命题是假命题，而逆命题
是真命题．讲授新课1.了解了勾股定理及逆定理的证明方法; 2.了解了逆命题的概念，会识别两个互逆命题，
知道原命题成立，其逆命题不一定成立; 3.了解了逆定理的概念，知道并非所有的定理
都有逆命题.
课后小结课件18张PPT。第一章 三角形的证明北师版
八年级
下册2 直角三角形（第2课时）设矩形的对角线AC与BD的交点为O，那么BO是直角△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∵∠ABC=90°，OA=OC
∴AC=2BO 或 OA=OB=OC讲授新课特殊的直角三角形的性质:1.在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.2.在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.讲授新课如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,
那么这个三角形是直角三角形.勾股定理：勾股定理逆定理：讲授新课从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺.另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了. 知道竹竿有多长吗？
请根据这一问题列出方程.（只列不解）问题讨论讲授新课直角三角形全等的判定定理及其三种语言定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL).如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900 ,
∵AC=A′C ′, AB=A′B′(已知),
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).讲授新课用三角尺作角平分线再过点M作OA的垂线,如图:在已知∠AOB的两边OA,OB上分别取点M,N,使 OM=ON;过点N作OB的垂线,两垂线交于点P,那么射线OP就是∠AOB的平分线.请你证明OP平分∠AOB.●P已知:如图,OM=ON,PM⊥OM,PN⊥ON.
求证:∠AOP=∠BOP.先把它转化为一个纯数学问题:讲授新课如图,已知∠ACB=∠BDA=900 , 要使△ABC≌△BDA, 还需要什么条件?把它们分别写出来.增加AC=BD;增加BC=AD;增加∠ABC=∠BAD ;增加∠CAB=∠DBA ;你能分别写出它们的证明过程吗?若AD,BC相交于点O,图中还有全等的三角形吗?O你能写出图中所有相等的线段,相等的角吗?你能分别写出它们的证明过程吗?讲授新课 四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为20，每个小直角三角形两条直角边的和是6，求中间小正方形的面积.拓展:若有一个矩形长为5,宽为4,请你把它
分割成6块,使得这6块拼成一个正方形.2144讲授新课定理1 直角三角形的两个锐角互余.
定理2 在直角三角形中，两条直角
边的平方和等于斜边的平方.
定理3 在直角三角形中，如果 一个
锐角等于30°，那么它所对
的直角边等于斜边的一半.
定理4 直角三角形斜边上的中线等
于斜边的一半
特殊图形
直角三角形的性质讲授新课命题:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.
是真命题吗?
如果是,请你证明它.已知:如图,△ABC,∠ACB=900,
BC=AB/2.求证:∠A=300.讲授新课 ∵∠ACB=900,CD=BC(已知)
∴AB=AD(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)
又∵BC=AB/2(已知),
BC=BD/2(作图),
∴AB=BD(等量代换).
∴AB=BD=AD(等式性质）.
∴△ABD是等边三角形(等边三角形意义)
∴∠B=600(等边三角形意义).
∴∠A=300(直角三角形两锐角互余).证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD.讲授新课这是一个通过线段之间的关系来判定一个角的具体度数(300)的根据之一.定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.在△ABC中
∵∠ACB=900,BC=AB/2(已知),
∴∠A=300(在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300).讲授新课1.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分别是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得A落在EF上(如图(2)), 折痕交AE于点G,那么∠ADG等于多少度?你能证明你的结论吗?巩固提高证明:∵DF=DC/2(中点意义),A1D=AD=CD(正方形各边都相等)∴DF=A1D/2(等量代换).∴∠DA1F=300 (在直角三角形中,
如果一条直角边等于斜边的一半,
那么它所对的锐角等于300).又∵AD∥EF∴∠A1DA=∠DA1F=300 (两直线平行,内错角相等).∴∠ADG=∠A1DA/2=150(角平分线意义).●●300巩固提高直角三角形全等的判定定理:
定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL).
公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.
公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.
公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）.
推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.
综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为:
一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
两边对应相等的两个直角三角形全等;课后小结1.已知:如图,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且DE=DF.
求证: △ABC是等腰三角形. 分析:要证明△ABC是等腰三角形,就需要证明AB=AC; 进而需要证明∠B∠C所在的△BDF≌△CDE;而△BDF≌△CDE的条件: 从而需要证明∠B=∠C; BD=CD,DF=DE均为已知.因此, △ABC是等腰三角形可证.课后练习2.已知:如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E,F,DE=BF.
求证:(1)AE=AF;(2)AB∥CD. 老师期望:请将证明过程规范化书写出来. 分析:(1)要证明AE=CF,由此AE=CF可证. 需要证明内错角∠A=∠C;而由△ABF≌△CDE可得证. (2)要证明AB∥CD, 由已知条件, AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC, DE=BF.可证得△ABF≌△CDE,从而可得AF=CE.课后练习
