2.3.1平面向量基本定理（带解析）
一、选择题
1.已知向量，，，若，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
3.已知向量，则 ( )
A． B．3 C． D．2
4.已知，为非零向量，若，则
A．，方向相同，且 B．，方向相反，且
C．，方向相同，且 D．，方向相反，且
5.已知向量=（2，3），=（cosθ，sinθ）且∥，则tanθ=（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
6.（2015秋?和平区期末）已知不共线向量，，=t﹣（t∈R），=2+3，若A，B，C三点共线，则实数t=（ ）21cnjy.com
A．﹣ B．﹣ C． D．﹣
7.以下给出了4个命题：
（1）两个长度相等的向量一定相等；
（2）相等的向量起点必相同；
（3）若，且，则；
（4）若向量的模小于的模，则.
其中正确命题的个数共有 （ ）
A、3个 B、2个 C、1个 D、0个
二、填空题
8.已知向量，则 ．
9.已知. 若，则与夹角的大小为 ．
10.已知向量设与的夹角为，则= ．
11.已知向量=（sin2θ，cosθ），||的最小值为 ．
三、解答题
12.已知向量，并且。
13.已知向量与的夹角为60°，||=1，||=2
（1）求（2﹣）?；
（2）求：|2+|．
参考答案及解析
1.C
【解析】由得，
5.A
【解析】根据两个向量共线的性质，得到2sinθ﹣3cosθ=0，再同角三角函数的基本关系求得 tanθ的值．21世纪教育网版权所有
∵向量=（2，3），=（cosθ，sinθ），且∥，∴2sinθ﹣3cosθ=0，
∴tanθ=，
6.B
【解析】根据向量，不共线，作为基底表示出、；利用共线定理列出方程，求出t的值．
向量，不共线，作为基底时，
=t﹣=（t，﹣1），
=2+3=（2，3）；
又A，B，C三点共线，
与共线，
所以3t﹣2×（﹣1）=0，
解得t=﹣．
7.D
【解析】长度相等方向相同的向量是相等向量，故（1）错误；根据相等向量的定义知，相等向量起点不一定相同，故（2）错；又因为,所以必有21教育网
11.
【解析】利用同角三角函数关系式、配方法求解．
∵向量=（sin2θ，cosθ），
∴|=
==≥，
当时，||取最小值．
即 ② 由①②得
13.（1）1；（2）．
【解析】（1）根据向量的数量积的运算法则和向量的夹角公式计算即可，
（2）根据向量模的计算方法计算即可．
（1）
（2）=．
2.3.2~2.3.3平面向量的正交分解及坐标运算（带解析）
一、选择题
1.若A（2，-1），B（-1，3），则的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（-1，-2） C．（-3，4） D．（3，-4）
2.若=（2，4），=（1，3），则=（ ）
A．（1，1） B．（-1，-1） C．（3，7） D．（-3，-7）
3.已知，若，则实数对（λ1，λ2）为（ ）
A．（1，1） B．（-1，1） C．（-1，-1） D．无数对
4.已知向量=（x，y），=（-1，2?），且+=（1，3），则||等于（ ）
A． B． C． D．
5.已知向量=（1，2）和=（x，1），若向量与2平行，则实数x等于（ ）
A． B．1 C． D．2
6.若向量=（1，1），=（-1，1），=（4，2），则=（ ）
A．3+ B．3- C．-+3 D．+3
7.已知，，求=（ ）
A．（2，3） B．（8，6） C．（2，6） D．（-8，2）
二、填空题
8.设平面向量，则=??? ．
9.已知=（-2，5），||=||，且与互相垂直，则的坐标是?? ? ．
10.已知=（1，1），=（1，-1），=（-1，2），则向量可用向量、表示为?? ? ．
11.已知O?是坐标原点，点A在第二象限，||=2，∠xOA=150°求向量的坐标为?? ? ．
三、解答题
12.已知向量=（sinθ，cosθ-2sinθ），=（1，2）． （1）若，求tanθ的值； （2）若，求θ的值．21世纪教育网版权所有
13.已知点O（0，0）A（1，2）及B（4，5）及=+t，试问： （1）当t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第三象限？ （2）四边形OABP是否能构成平行四边形？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
14.已知向量=（1，2），=（-3，2）， （1）求|+|； （2）当k为何值时，（k+）∥（-3）．21教育网
参考答案及解析
1.C 【解析】∵的坐标等于B的坐标减去A的坐标， ∴=（-1，3）-（2，-1）=（-3，4）， 2.B
所以=（1，2）+2（x，1）=（2x+1，4）． 2=2（1，2）-（x，1）=（2-x，3）． 由与2平行，所以3（2x+1）-4（2-x）=0． 解得x=． 6.B 【解析】设 =λ+μ =（λ，λ）+（-μ，μ）=（λ-μ，λ+μ ）=（4，2），∴λ-μ=4，λ+μ=2， ∴λ=3，μ=-1，可得 ， 7.C 【解析】由题意可得 =（-3，4）+（5，2）=（2，6） 8.（7，3） 【解析】=（3，5）-2?（-2，1）=（3，5）-（-4，2）=（7，3）． 9.（5，2）、（-5，-2） 【解析】∵已知=（-2，5），||=||，且与互相垂直，设的坐标是（x，y）， 则有-2x+5y=0，且x2+y2=4+25=29． 12.（1） （2）θ=或θ=π 【解析】（1）∵a∥b ∴2sinθ=cosθ-2sinθ即4sinθ=cosθ ∴tanθ= （2）由|a|=|b| ∴sin2θ+（cosθ-2sinθ）2=5 即1-2sin2θ+4sin2θ=5化简得sin2θ+cos2θ=-1 故有sin（2θ+）=- 又∵θ∈（0，π）∴2θ+∈（，π） ∴2θ+=π或2θ+=π ∴θ=或θ=π 13.（1）见解析21cnjy.com
（2）不存在t使四边形OABP构成平行四边形 【解析】=（{1+4t，2+5t） （1）点P（1+4t，2+5t） 当2+5t=0即t=-时，点P在x轴上； 当1+4t=0解得t=-时，点P在y轴上；
所以 +=（-2，4），所以|+|==2； （2）k+=（k-3，2k+2），-3=（10，-4） 据题意得到10（k-3）-（-4）（2k+2）=0 解得k=-．
2.3.4平面向量共线的坐标表示（带解析）
一、选择题
1.已知A（2，3），B（-4，5），则与共线的单位向量是（ ）
A． B．或 C． D．或（6，2）
2.已知向量，，若向量，则x=（ ）
A．- B． C．-2 D．2
3.已知P1（2，-1），P2（0，5）且点P在P1P2的延长线上，||=2||，则点P的坐标为（ ）www.21-cn-jy.com
A．（2，11） B． C． D．（-2，11）
4.已知向量，若，则实数m的值为（ ）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
5.向量=（1，-2），=4||，且、共线，则可能是（ ）
A．（4，8） B．（-4，8） C．（-4，-8） D．（8，4）
6.已知平面内三点A（-1，0），B（x，6），P（3，4），且=λ，x和λ的值分别为（ ）
A．-7，2 B．5，2 C．-7， D．5，
7.已知向量=（2，3），=（cosθ，sinθ）且∥，则tanθ=（ ）
A． B．- C． D．-
二、填空题
8.与向量=（-5，12）共线的单位向量为?? ? ．
9.若与共线，则y=??? ．
10.已知向量=（2，-1），=（-1，m），=（-1，2），若（+）∥，则m=??? ．
11.已知A（2，3），B（4，-3），点P在线段AB的延长线上，且||=||，则点P的坐标为??? ．21世纪教育网版权所有
三、解答题
12.已知=（-2，-1），=（m，1） （1）若与垂直，求m的值； （2）若与共线，求m的值．21教育网
13.已知向量，． （1）当∥时，求2cos2x-sin2x的值； （2）求在上的最大值．21cnjy.com
14.已知， （1）求的坐标； （2）当k为何值时？与共线． （3）设向量与的夹角为θ，求sin2θ的值．21·cn·jy·com
参考答案及解析
1.B 【解析】=（-6，2），||=2， 【解析】∵ ∴x1y2-x2y1=0即1×（1-m）-（-2）×（1+m）=0 解得m=-3 5.B 【解析】由题意可得，可设=λ=（λ，-2λ），再由=4||=4，可得 =4，解得λ=±4， 故=（-4，8）或（4，-8）， 6.B 【解析】∵平面内三点A（-1，0），B（x，6），P（3，4），∴，， ∵=λ， ∴（4，4）=λ（x-3，2），∴，解得． ∴x和λ的值分别为5，2． 7.A 【解析】∵向量=（2，3），=（cosθ，sinθ），且∥，∴2sinθ-3cosθ=0， ∴tanθ=，故选A．
∵点P在线段AB的延长线上，且||=|| ∴ 即（x-2，y-3）=（4-x，-3-y） 解得点P的坐标（8，-15） 12.（1）m=- （2）m=2 【解析】（1）∵=（-2，-1），=（m，1），又向量 与垂直 ∴=0，（-2，-1）?（m，1）=m×（-2）+（-1）=0 ∴m=-； （2）因为 与共线，所以1×（-2）-m（-1）=0，解得：m=2． 13.（1）2·1·c·n·j·y
（2） 【解析】（1）∵∥，
14.（1）（7，-2） （2）k=- （3） 【解析】（1）-2=（1，2）-2（-3，2）=（7，-2） （2）k+=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2），-2=（1，2）-2（-3，2）=（7，-2） ∵k+与-2共线， ∴7（2k+2）=-2（k-3） ∴k=-【来源：21·世纪·教育·网】
（3）∵?=1，||=，||= ∴cosθ=== ∴sinθ== ∴sin2θ=2sinθcosθ=
