2.5.1平面几何中的向量方法（带解析）
一、选择题
1.在四边形ABCD中，若，且，则（ ）
A．ABCD是矩形 B．ABCD是菱形 C．ABCD是正方形 D．ABCD是平行四边形
2.在△AOB中，，若，则△AOB的面积为（ ）
A． B． C． D．
3.点O在△ABC所在平面上，若，则点O是△ABC的（ ）
A．三条中线交点 B．三条高线交点 C．三条边的中垂线交点 D．三条角分线交点
4.在△ABC所在的平面内有一点P，满足，则△PBC与△ABC的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
5.△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2++=，||=||，则?等于（ ）
A． B． C．3 D．
6.若点P为△ABC的外心，且，则∠ACB的大小是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
7.如图，若G，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，O是△ABC的重心，则=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8.在△ABC中，已知BC=2，=1，则△ABC面积的最大值是??? ．
9.在四边形ABCD中，=且||=||，则四边形的形状为??? ．
10.在?ABCD中，=，=，M为BC的中点，则=??? （用、来表示）
11.已知向量，，且直线2xcosα-2ysinα+1=0与圆（x-cosβ）2+（y+sinβ）2=1相切，则向量与的夹角为 ? ?? ．
三、解答题
12.在△ABC中，=，=，AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求：向量．
13.如图，在四边形ABCD中，R），，，且△BCD是以BC为斜边的直角三角形．
求：（1）λ的值； （2）的值．
14.已知向量=（cosx，sinx），=（cosx，-sinx），且x∈[0，]．求： （Ⅰ）?及； （Ⅱ）若f（x）=-2λ的最小值是-，求λ的值．21世纪教育网版权所有
参考答案及解析
1.B 【解析】∵，∴AB=DC，且AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴， 同理，． 因此点O是△ABC的三条高线的交点． 4.C 【解析】由得=， 即=2，所以点P是CA边上的三等分点， 故S△PBC：S△ABC=2：3． 5.C21教育网
【解析】利用向量的运算法则将已知等式化简得到 ，得到BC为直径，故△ABC为直角三角形，求出三边长可得∠ACB 的值，利用两个向量的数量积的定义求出的值． ∵ ∴ ∴．
6.C
【解析】由题意可知外心P应在三角形的外部，知△ABC为钝角三角形，且PA=PB=PC，由向量加法的平行四边形法则，可知（AB的中点为M） +=2 ，结合已知 且，可得APBC是菱形，即可得出答案． 21cnjy.com
由，可知△ABC为钝角三角形，外心P应在三角形的外部，且PA=PB=PC， 如图． 设AB的中点为M，则+=2 ，又， ∴2 =，即P，C，M三点共线，且M是PC的中点， ∴APBC是菱形， 由可得∠ACP=∠BCP=60°， ∴∠ACB=120°， 7.D21·cn·jy·com
【解析】由题意先证明ADEF为平行四边形，再由向量加法的平行四边形法则得 ，同理求出 ，再把三个式子加起来，重新组合利用向量加法的首尾相www.21-cn-jy.com
= = 8. 【解析】∵=1，∴cosA=1?? ∴1=AB2AC2cos2A（1） 又∵S=|AB||AC|sinA ∴4S2=AB2AC2sin2A（2） （1）+（2）得：1+4S2=AB2AC2（cos2A+sin2A） 即1+4S2=AB2AC2 由题知：=-， ∴BC2=AC2-2+AB2=AC2+AB2-2 ∵BC=2， ∴AC2+AB2=6 由不等式：AC2+AB2≥2AC?AB?当且仅当，AC=AB时，取等号 ∴6≥2AC?AB 即AC?AB≤3 ∴1+4S2=AB2AC2《9 ∴4S2≤8，即：S2≤2 ∴S≤，所以△ABC面积的最大值是：． 9.菱形
解得 向量== 故两向量的夹角为60° 12.+ 【解析】∵=，D为边BC的中点，∴== ∵=，∴=+=+ ∵G为△ABC的重心，可得= ∴=（+）=+
所以与的夹角为120°． 故． 14.（I）=2cosx （II）λ= 【解析】（Ⅰ）=cos2x2·1·c·n·j·y
= ∵x∈[0，]，
∴cosx＞0，
∴=2cosx．
③当λ＞1时，当且仅当t=1时，y取得最小值1-4λ． 由已知得，解得λ=，这与λ＞1相矛盾． 综上λ=为所求．
2.5.2向量在物理中的应用举例（带解析）
一、选择题
1.一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（ ）21cnjy.com
A．6 B．2 C．2 D．2
2.若，，均为单位向量，且?=-，=x+y（x，y∈R），则x+y的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．1
3.已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，三角形的重心G.，则∠A=（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
4.已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为20N，合力与F1的夹角为30°，那么F1的大小为（ ）21·cn·jy·com
A．N B．10?N C．20?N D．N
5.一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知D成120°角，且y=g（x）的大小分别为1和2，则有（ ）www.21-cn-jy.com
A．F1，F3成90°角 B．F1，F3成150°角 C．F2，F3成90°角 D．F2，F3成60°角
二、填空题
6.在水流速度为4km/h的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8km/h的速度航行，则船实际航行的速度的大小为?? ? km/h．2·1·c·n·j·y
7.如图，用两条绳提起一个物体处于平衡状态，此时每条绳用力5N，且两条绳的夹角是120°，则物体G的重量是??? N．【来源：21·世纪·教育·网】
8.一条河的两岸平行，河的宽度为480m，一艘船从某岸的A处出发到河对岸，已知船的速度，水流的速度，当行驶航程最短时，所用的时间是?? ? min，若=（2，1），=（3，4），则向量在向量方向上的投影为??? ．
三、解答题
9.已知，，与的夹角为60°． （1）求与的夹角的余弦值； （2）当取得最小值时，试判断与的位置关系，并说明理由．
10.已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)，作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．
(1)求F1，F2分别对质点所做的功；
(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．
11.已知e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，今有动点P从P0(－1,2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度为e1＋e2；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为3e1＋2e2，设P、Q在t＝0 s时分别在P0、Q0处，问当⊥时所需的时间t为多少？21世纪教育网版权所有
参考答案及解析
1.D 【解析】∵F32=F12+F22-2F1F2cos（180°-60°）=28， ∴， 2.A ∵. ∴ ∴ ∵ ∴a-c=0，b-c=0即a=b=c ∴三角形为等边三角形，∠A=60° 4.A 【解析】设向F1，F2的对应向量分别为、 以OA、OB为邻边作平行四边形OACB如图，则=+，对应力F1，F2的合力 ∵F1，F2的夹角为90°，∴四边形OACB是矩形 在Rt△OAC中，∠COA=30°，=20 ∴=cos30°=10 5.A 【解析】由?
∴||==， ∴实际速度为km/h． 7.5 【解析】由题意，物体G的重量与每条绳用力的合力的大小相等 根据每条绳用力5N，且两条绳的夹角是120°，可得 ∴==25+25+2?5?5?cos120°=25 ∴每条绳用力的合力的大小为5N ∴物体G的重量为5N． 8.2.4；2 【解析】∵河的宽度为480m，船的速度 ∴当行驶航程最短时， 需要使得航行的路线是与河岸垂直， 在垂直与河岸的分速度是=12???? ∴过河需要=0.04小时， ∴0.04×60=2.4（分钟） ∵=（2，1），=（3，4）
【解析】(1)＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，
W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，
W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．
∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99 J和－3 J.
(2)W＝F·＝(F1＋F2)·
＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)
＝(9，－1)·(－13，－15)
＝9×(－13)＋(－1)×(－15)
＝－117＋15＝－102(J)．
∴合力F对质点所做的功为－102 J.
11.当⊥时所需的时间为2 s.
【解析】e1＋e2＝(1,1)，|e1＋e2|＝，其单位向量为(，)；3e1＋2e2＝(3,2)，|3e1＋2e2|＝，其单位向量为(，)，如图．21教育网
依题意，||＝t，||＝t，
∴＝||(，)＝(t，t)，＝||(，)＝(3t,2t)，
由P0(－1,2)，Q0(－2，－1)，得P(t－1，t＋2)，Q(3t－2,2t－1)，
∴＝(－1，－3)，＝(2t－1，t－3)，
由于⊥，∴·＝0，即2t－1＋3t－9＝0，解得t＝2.
∴当⊥时所需的时间为2 s.
