课件28张PPT。§2.2.1 椭圆及其标准方程
生活中的椭圆F1F2M[1]取一条细绳，
[2]把它的两端固定在板上
的两点F1、F2
[3]用铅笔尖（M）把细绳
拉紧，在板上慢慢移动观察
画出的图形数学实验注意:
椭圆定义中容易遗漏的三处地方：
（1） 必须在平面内.
（2）两个定点---两点间距离确定．
（3）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定．
思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（ 线段）在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（ 圆）
由此可知，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关．一、 椭圆定义：
平面内与两个定点 的距离和等于常数（大于
）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0, |F1F2|=2c)即2a>2c时表示椭圆即2a=2c时表示线段即2a<2c时不表示任何图形练习1.动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是10，则动点P的轨迹为（ ）变式：
(1)动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是8，则
动点P的轨迹为（ ）
(2)动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是7，则 动点P的轨迹为（ ）A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹ABD建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标.写出曲线上动点M适合的条件p的集合P={M|p(M)}用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)=0化方程f(x,y)=0为最简形式回顾:求曲线方程的一般方法建系、设点、列式、化简、证明证明方程为满足条件的方程探究活动? 探讨建立平面直角坐标系的方案建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”方案一思考？怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简单?. 建系的一般原则为：使已知点的坐标和曲线的方程尽可能简单，即原点取在定点或定线段的中点，坐标轴取在定直线上或图形的对称轴上，充分利用图形的对称性.建系的一般原则解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). 设M(x, y)是椭圆上任意一
点，椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正
常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐标分别是(?c,0)、(c,0) .（问题：下面怎样化简？）由椭圆的定义得，椭圆就是集合：代入坐标二、椭圆的标准方程的推导
两边除以 得由椭圆定义可知思考?观察右图,你能从中找出
表示a,c, 的线段么?总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式焦点在y轴：焦点在x轴：1.椭圆的标准方程其中 图 形方 程焦 点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2MF1+MF2=2a (2a>2c>0)定 义2.两类标准方程的对照表注:共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.不同点：焦点在x轴的椭圆 项分母较大.
焦点在y轴的椭圆 项分母较大.课堂练习：1.口答：下列方程哪些表示椭圆？ 若是,则判定其焦点在何轴？
并指明 ，写出焦点坐标.?A例1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) a =4，b=1，焦点在 x 轴上；
(2) a =4，b=1，焦点在坐标轴上；
(3) 两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2），并且经
过点P（ -1.5 ，2.5）.解： 因为椭圆的焦点在y轴上，
设它的标准方程为 ∵ c=2，且 c2= a2 - b2 ∴ 4= a2 - b2 ……①又∵椭圆经过点∴ ……②联立①②可求得：∴椭圆的标准方程为 (法一)或(法二) 因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的
标准方程为由椭圆的定义知，所以所求椭圆的标准方程为1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程练习2. 根据椭圆的方程填空例2 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是
（-2，0）和（2，0），并且经过 ，
求出椭圆的标准方程。 定义法：如果所给几何条件正好符合某一特定的曲线（圆，椭圆等）的定义，则可直接利用定义写出动点的轨迹方程. 待定系数法：所求曲线方程的类型已知，则可以设出所求曲线的方程，然后根据条件求出系数.用待定系数法求椭圆方程时，要“先定型，再定量”.~ 求曲线方程的方法：练习：
1.椭圆的方程是 焦点是 .
若CD为过左焦点F1的弦，则△F2CD的周长是 .
2.方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，
则k的范围是 .
3.椭圆mx2+ny2=-mn(m|F1F2|）和椭圆的标
准方程 2、椭圆的标准方程有两种，注意区分 4、求椭圆标准方程的方法 小结3、根据椭圆标准方程判断焦点位置的方法 1、49页习题2.2 1、2
作业再见!!课件22张PPT。2.2.1 椭圆及其标准方程
（第二课时）满足以下条件的动点的轨迹叫做椭圆？[1]平面上----这是大前提
[2]动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和是常数 2a
[3]常数 2a 要大于焦距 2c4复习回顾：椭圆的标准方程分母哪个大，焦点就在哪个轴上a2-c2=b2|MF1|+|MF2|=2a (2a>|F1F2|)建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标.写出曲线上动点M适合的条件p的集合P={M|p(M)}用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)=0化方程f(x,y)=0为最简形式回顾:求曲线方程的一般方法建系、设点、列式、化简、证明证明方程为满足条件的方程1、求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）满足a=4,b=1，焦点在X轴上的椭圆的标准方程为____________ （2）满足a=4,c= ，焦点在Y轴上的椭圆的标准方程为____________课前热身例题讲解两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程为：?2a=10，2c=8即 a=5，c=4故 b2=a2-c2=52-42=9所以椭圆的标准方程为：例1 求满足下列条件的椭圆的标准方程：变式 平面内有两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程。解：[1]判断：①和是常数；②常数大于两个定点之间的距离。故，点的轨迹是椭圆。 [2]取过两个定点的直线做 x 轴，它的线段垂直平分线做 y 轴，建立直角坐标系，从而保证方程是标准方程。 [3]根据已知求出a、c，再推出a、b写出椭圆的标准方程。12例2 已知三角形ABC的一边 BC 长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程答：OXYBCA 解：建立如图坐标系，使x轴经过点B、C，原点O与BC的中点重合。|BC|=6 ，|AB|+|AC|=16－6=10， 但当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是:所以点A的轨迹是椭圆，2c=6，2a=16-6=10，c=3，a=5,解：设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为则例3 在圆 上任取一点P，向x轴作垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，求线段PD中点M的轨迹方程。轨迹是什么图形？D所以M点的轨迹是一个椭圆。相关点法（代入法）例4 如图，设点A，B的坐标分别为(-5,0),(5,0)。
直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是 ，求点M的轨迹方程。解：设点M的坐标为(x,y)，因为点A的坐标是(-5,0)，所以直线AM的斜率同理，直线BM的斜率由已知有化简，得点M的轨迹方程为M“杂点”可不要忘了哟变式 设点A、B的坐标分别为(-1，0)，(1，0).直线AM、BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，求点M的轨迹方程.（课本P42 T4） 1.方程 表示的曲线是椭圆，求k的取值范围.
2.方程 表示焦点在y轴上的椭圆，求k的
取值范围.
3.方程 表示焦点坐标为（±2，0）的椭圆，
求k的值.k>0且k≠5/4 k>5/4 k＝1/4 变式例5变式.当堂检测123、已知一椭圆的焦距为2 ，且经
过点（2，2），求椭圆的标准方程。4、已知⊿ABC中，边AB固定且长为6，sinA，sinC，sinB成等差数列，求
顶点C的轨迹方程。课堂小结：1、椭圆的定义：我们把平面内与两个定点 的距离之和等于常数 的点的轨迹叫做椭圆。（大于 ） 2、椭圆的图形与标准方程 这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做焦距。 标准方程中，分母哪个大，焦点就在哪个轴上!标 准 方 程相 同 点焦点位置的判断不 同 点图 形焦 点 坐 标a、b、c 的关系焦点在x轴上焦点在y轴上课件22张PPT。椭圆的简单几何性质(1)复习回顾：1.椭圆的定义: 平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数2a （大于|F1F2 |）的动点M的轨迹叫做椭圆。2.椭圆的标准方程：3.椭圆中a,b,c的关系:当焦点在X轴上时当焦点在Y轴上时a2=b2+c2 一、椭圆 简单的几何性质1.范围：
-a≤x≤a, -b≤y≤b 知
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称2.椭圆的对称性从方程上看：
（1）把x换成-x方程不变，图象关于 轴对称；
（2）把y换成-y方程不变，图象关于 轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，
图象关于 成中心对称。y x 原点 坐标轴是椭圆的对称轴，
原点是椭圆的对称中心。中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
*长轴、短轴：
线段A1A2、B1B2分别
叫做椭圆的长轴和短轴。
它们的长分别等于2 a和2 b 。
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。3.椭圆的顶点：令 x=0，得 y=？说明椭圆与 y轴的交点为（ ），
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点为（ ）。0, ±b±a, 0*顶点：椭圆与它的对称轴的四个
交点，叫做椭圆的顶点。根据前面所学有关知识画出下列图形（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 004.椭圆的离心率离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。[1]离心率的取值范围：
因为 a > c > 0，所以0 < e < 1[2]离心率对椭圆形状的影响：
1）e 越接近 1，c 就越接近 a，请问：此时椭圆的变化情况？
b就越小，此时椭圆就越扁 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，请问：此时椭圆又是如何变化的？b就越大，此时椭圆就越圆即离心率是反映椭圆扁平程度的一个量。
结论：离心率越大，椭圆越扁；
离心率越小，椭圆越接近圆。[3]e与a,b的关系:思考：当e＝0时，曲线是什么？
当e＝1时曲线又是什么？两个范围，三对称
四个顶点，离心率例1 求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标解：把已知方程化成标准方程这里，因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是离心率焦点坐标分别是四个顶点坐标是练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程
⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；
⑵长轴长等于20，离心率3/5。
（1）解：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故a＝3，b＝2，故椭圆的标准方程为 直接法：
建→设→限→代→化二、椭圆的焦半径公式 （a>b>0）左焦点为F1，右焦点为F2，P0（x0,y0）为椭圆上一点，则|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0。其中|PF1|、 |PF2|叫焦半径. （a>b>0）下焦点为F1，上焦点为F2，P0（x0,y0）为椭圆上一点，则|PF1|=a+ey0，|PF2|=a-ey0。其中|PF1|、 |PF2|叫焦半径.说明：（x0,y0）解：本堂总结椭圆的几何性质关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b. (a>b)(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)-a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b-a ≤ y ≤ a, - b≤ x ≤ ba2=b2+c2 作业P49A组 T3、4、5
选作：B组 3 再见！
