5.2 二次函数图象和性质 学案（无答案）

第五章二次函数复习导学案
班级：
姓名：____________　
【课前热身】
一、一般地如果y=
（a、b、c是常数a≠0）那么y叫做x的二次函数
【提醒：
二次函数y=kx
2+bx+c(a≠0)的结构特征是：1、等号左边是函数，右边是
关
于
自
变
量x
的
二
次
式，x的
最
高
次
数
是
，
按
依次排列
2、强调二次项系数a
0】
二、二次函数的同象和性质：
1．二次函数y=ax
2+bx+c(a≠0)的图象是一条
，其顶点坐标为
对称轴为
2．在抛物线y=ax
2+bx+c(a≠0)中：
当a>0时，开口向
，当时，y随x的增大而
，当x
时，y随x的增大而增大，
当a<0时，开口向
，当时，y随x增大而增大，当x
时，y随x增大而减小
【提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点】
1．y=ax2
,对称轴
顶点坐标
2．y=
ax2
+k，对称轴
顶点坐标
3．y=a(x-h)
2对称轴
顶点坐标
4．y=a(x-h)
2
+k对称轴
顶点坐标
三、二次函数图象的平移二次函数的平移本质可看作是
的平移。
四、二次函数y=
ax2+bx+c的图象与字母系数之间的关系：
a:开口方向
向上则a
0,向下则a
0
｜a｜越大，开口越
b:对称轴位置，与a联系一起，用
判断b=0时，对称轴是
c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c
0负半轴上则c
0，当c=0时，抛物点过
点
【提醒：在抛物线y=
ax2+bx+c中，当x=1时，y=
当x=-1时y=
,经常根据对应的函数值判考a+b+c和a-b+c的符号】
【典例分析】
考点一：二次函数图象上点的坐标特点
例1．已知二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），当自变量x分别取、3、0时，对应的函数值分别：y1，y2，y3，，则y1，y2，y3的大小关系正确的是
（　　）
A．y3＜y2＜y1
B．y1＜y2＜y3
C．y2＜y1＜y3
D．y3＜y1＜y2
【对应训练】已知二次函数y=x2-7x+，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是
（　　）
A．y1＞y2＞y3
B．y1＜y2＜y3
C．y2＞y3＞y1
D．y2＜y3＜y1
考点二：二次函数的图象和性质
例2．对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：
①它的图象与x轴有两个公共点；
②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；
④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3．
其中正确的说法是
．（把你认为正确说法的序号都填上）
【对应训练】如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），过
点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：
①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；
其中正确结论是（　　）A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
考点三：抛物线的特征与a、b、c的关系
例3．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论：
①c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，
则正确的结论是
（　　）
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④
【对应训练】已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为x=．下列正
确的是
（　　）
A．abc＞0
B．a+b=0
C．2b+c＞0
D．4a+c＜2b
考点四：抛物线的平移
例4．如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平
移后的抛物线解析式是
（　　）
A．y=（x+1）2-1
B．y=（x+1）2+1
C．y=（x-1）2+1
D．y=（x-1）2-1
【对应训练】已知下列函数①y=x2；②y=-x2；③y=（x-1）2+2．其中，图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有
（填写所有正确选项的序号）．
【巩固练习】
1．二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（　　）
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、三、四象限
2．如图，二次函数的图象经过（-2，-1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数
的说法正确的是
（　　）
A．y的最大值小于0
B．当x=0时，y的值大于1
C．当x=-1时，y的值大于1
D．当x=-3时，y的值小于0
3．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数
在同一平面直角坐标系中的图象大致是
（　　）
A．
B．
C．
D．
4．设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=-（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3
B．y1＞y3＞y2
C．y3＞y2＞y1
D．y3＞y1＞y2
5．已知二次函数y=2（x-3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=-3；③其图象顶点坐标为（3，-1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2-4ac＞0；②2a+b＜0；③4a-2b+c=0；④a：b：c=-1：2：3．其中正确的是（　　）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
7．将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y=3（x+2）2+3
B．y=3（x-2）2+3
C．y=3（x+2）2-3
D．y=3（x-2）2-3
8．许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题．某款燃气灶旋转位置从0度到90度（如图），燃气关闭时，燃气灶旋转的位置为0度，旋转角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋转角度为90度．为测试燃气灶旋转在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水（当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90），记录相关数据得到下表：
旋钮角度（度）
20
50
70
80
90
所用燃气量（升）
73
67
83
97
115
（1）请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函
数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律？说明确定是
这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；
（2）当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少？最少是多少？
（3）某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省
燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前
每月的平均燃气量．
【课后练习】
一、选择题
1．（二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是
（　　）
A．x＜-1
B．x＞3
C．-1＜x＜3
D．x＜-1或x＞3
第1题图
第2题图
第3题图
2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
（　　）
A．k＜-3
B．k＞-3
C．k＜3
D．k＞3
3．设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（　　）
A．c=3
B．c≥3
C．1≤c≤3
D．c≤3
4．已知二次函数y=x2-4x+5的顶点坐标为
（　　）
A．（-2，-1）
B．（2，1）
C．（2，-1）
D．（-2，1）
5．若二次函数y=ax2+bx+a2-2（a、b为常数）的图象如图，则a的值为
（　　）
A．1
B．
C．-
D．-2
6．对于二次函数y=2（x+1）（x-3），下列说法正确的是
（　　）
A．图象的开口向下
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．当x＜1时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴是直线x=-1
7．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，
0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0．其
中正确的有
（　　）
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
8．将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（　　）
A．y=（x+2）2+2
B．y=（x+2）2-2
C．y=（x-2）2+2
D．y=（x-2）2-2
9．在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2-4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是
（　　）
A．（-2，3）
B．（-1，4）
C．（1，4）
D．（4，3）
10．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-x-6向上（下）或向左（右）平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．6
二、填空题
11．二次函数y=-（x-2）2+的图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），
横、纵坐标都是整数的点有
个（提示：必要时可利用下面
的备用图画出图象来分析）
12．在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x-3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛
物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为
．
13．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的
一部分如图所示．对于下列说法：
①abc＜0；
②a-b+c＜0；
③3a+c＜0；
④当-1＜x＜3时，y＞0．
其中正确的是
（把正确的序号都填上）．
14．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x-1）2+1的图象上，若x1
＞x2＞1，则
（填“＞”、“＜”或“=”）．
15．有七张正面分别标有数字-3，-2，-1，0，l，2，3的卡片，它们除数字不同外
其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的
数字为a，则使关于x的一元二次方程x2-2（a-1）x+a（a-3）=0有两个不相等的实数根，且以x为自
变量的二次函数y=x2-（a2+1）x-a+2的图象不经过点（1，0）的概率是
．
16．把二次函数y=（x-1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为
．
三．解答题
17．规律是数学研究的重要内容之一．初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号（数）及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：
（1）写出奇数a用整数n表示的式子；
（2）写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；
（3）函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律（课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律）．
下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究：
xi
0
1
2
3
4
5
…
yi
0
1
4
9
16
25
…
yi+1﹣yi
1
3
5
7
9
11
…
由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5…
请回答：
①当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？
②当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？
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