普通高中课程标准实验教科书 数学选修2-2
1.3.1单调性
【教学内容解析】
1．导数这个概念是高等数学的基本概念，又是中学阶段数学学习的一个主干知识，它是进一步学习数学和其他自然科学的基础，更是研究函数相关性质的重要工具之一。
2．单调性作为函数的主要性质之一，主要用来刻画图象的变化趋势，在必修1的学习中定义了单调性，并且在学习幂指对及三角函数时，能够借助于函数图象特征和单调性的定义来研究函数的单调性.
3．这节课我们是在学习了导数的平均变化率、瞬时变化率、导数的定义和几何意义之后，试图通过导数来研究函数的单调性，为研究单调性提供了更一般的方法，是后面学习函数的极值、最值的知识铺垫、能力基础和方法指导。起到了承上启下、完善建构、拓展提升的作用。
4．教学重点：导数与函数单调性的关系的探索和发现；利用导数研究函数的单调性.这节课将结合例题研究二次函数、三次函数以及三角函数的单调性。
【教学目标设置】
1．借助几何直观，通过实例归纳函数的单调性与导数的关系；
2．理解并掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数单调区间；
3．通过用定义与用导数在研究函数单调性时的两种方法的比较，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，同时感受和感悟数学自身发展的一般规律．
【学生学情分析】
1. 已有的知识储备：（1）本节课的授课对象是南通中学高二年级的学生，他们在经历了高一一学年的数学学习后，已经基本了解高中数学的基本思想和研究方法，具备了一定的发现问题、探究问题、分析问题和解决问题的能力。
（2）学生已经掌握了基本初等函数的图象特征和基本性质，而且已经掌握了导数的定义、导数的计算以及其几何意义，已经具备了用导数探究函数单调性的知识储备。
存在问题：将导数与函数单调性联系起来，学生的抽象概括能力还不够；
解决方法：需引导学生通过不断探究，数学联想，逐步得出导数研究函数单调性的结论。
2. 教学难点：发现和揭示导数与函数单调性的关系；并利用导数研究函数的单调性．
突破策略：课堂中引导学生通过探究、验证、回归逐步得出导数研究函数单调性的结论，再结合例题研究二次函数、三次函数以及三角函数的单调性。
【教学策略分析】
1. 精心设计教学内容
站在系统的高度组织教学内容，从生活情境入手，精心设问，帮助学生联想、抽象出数学问题，整个教学过程，将经历设问——探究——归纳——应用——反思，五个方面，层层递进。
2. 充分开展学生活动
站在学生的角度，根据学生的思维特点和认知基础，给学生提供课堂参与机会，让学生在动手操作和尝试探索中验证猜想，掌握方法，体会思想，形成技能.
3. 渗透提炼思想方法
通过典型例题及其变式的教学，由浅入深，逐层递进，给学生提供比较、分析、归纳、综合的机会，帮助学生在解题和反思中领悟数学思想方法在数学学习中的作用.
【教学过程设计】
一、创设情境 生活实例中导入
1 情境：前一阶段我们已经学习了导数的定义及其几何意义，导数有什么实际应用呢，今天我们一起来研究。
问题1：先请同学们观看下面一段视频，你有什么发现？（第一次播放视频）
问题2：同学们看了这个视频后有没有产生什么联想？能不能把这个动画与数学联系起来，看出其中的数学问题？(分组讨论、第二次播放视频)
问题3：同学们建立了数学模型，那我们可以将曲线看做是函数y=f (x)在某区间I上的图象，对应的函数有具有怎样性质呢？（建系，教师第三次播放动画）
【师生活动】
（1）动画视频引入，直观感知；
（2）几何画板演示，猜想结论.
抽象出数学问题：
山坡 灯光向上 上坡
曲线 切线斜率k>0 上升
函数 ？ 递增
感知可以通过函数图象上每一点处的切线的斜率，即函数f(x)在该点处的导数来研究函数的单调性.
2 猜想：导数与函数的单调性有什么联系呢？
（再次播放函数图象上每一点处的切线斜率随函数单调性的变化情况）
从图象上，我们发现，单调递增区间上，每一点处的切线倾斜角均为锐角，斜率大于0，曲线呈上升趋势，函数单调递增；在单调递减区间上，每一点处的斜线倾斜角为钝角，斜率小于0，曲线呈下降趋势，函数单调递减．
于是，可以猜想结论:
对于函数，
如果在某区间上，那么为该区间上的增函数；
如果在某区间上，那么为该区间上的减函数．
【设计意图】本课的难点是引导学生发现导数与函数单调性之间的联系，而这两个概念都是非常抽象的，学生很难直接感知，所以这里利用生活中的常见问题汽车灯光的指向与上下坡之间的联系，引导学生发现道路可以抽象成函数的图象，灯光可以抽象为切线，这样问题就转化为切线斜率正负与函数增减之间的联系，从而轻松高效引入课题，成功激发学生的求知欲，也体现了“生活中处处有数学”的教学理念.
二、动手操作 合作学习中探究
问题4：我们要善于用数学的眼光看世界，刚才我们同学将实际问题抽象为一个数学问题，并且还建立了数学模型，数学语言来描述了这个问题，提出了一个猜想。这个猜想对不对呢？我们如何探究呢？
学生方案1：举出几个常见的函数，探究导数与函数单调性之间的联系，验证前面猜想的结论.
函 数
图 象
单调性
导 数
符 号
【师生活动】
（1）独立验证，合作释疑，展示成果；
（2）教师从学生中选择具有代表性的函数进行汇报展示.
【设计意图】前面已经猜想出结论，但是该结论是否正确，还有待检验，学生首先想到的就是验证已经学过的常见函数，从而深化对所得结论的理解.
学生方案2：从以前所学的导数和函数单调性的知识入手，进行探究。
“数”的角度：从函数单调性与导数的定义入手
如果函数f(x)在区间（a,b)上是增函数，那么对任意x1, x2∈(a,b)，当x1 ？
大于0
密切相关
于是，从“数、形”两方面，我们都可以感知导数大于0和函数单调递增之间存在着密切联系。
【设计意图】从“形”的角度，对具体例子进行动态演示，通过观察、猜想到归纳、总结，让学生体验知识的发现、发生过程，又从“数”的角度，进一步引导学生经历从特殊到一般的过程，抓住导数和单调性的定义之间的联系来提炼一般性的结论，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体．
三、知识建构 生成演练中应用
对于函数，
如果在某区间上，那么为该区间上的增函数；
如果在某区间上，那么为该区间上的减函数．
注意：（1）如果在某区间上恒成立，则为该区间上的常函数．
（2）“某区间”指的是定义域的子集，研究函数单调性问题“定义域优先”．
例1 确定函数在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数．
【教学预设】对于学生熟悉的二次函数，学生可能首先想到的是图象直观，然后再提出根据定义、利用导数，在合作学习中比较各种方法.
法一：图象直观
法二：根据定义
任取，且，
所以，f(x)在上单调递增，同理：f(x)在上单调递减.
法三：利用导数
，
令，解得．
因此，在区间上，，是增函数；
在区间上，，是减函数．
总结：利用导数判定函数单调性的步骤：
①确定函数的定义域；
②求出函数的导数；
③在定义域内解不等式；
④下结论，确定函数的单调区间．
【设计意图】
（1）例题1，由“形”到“数”的解决了该函数的单调性问题，加强了对结论的应用和理解；
（2）规范了利用导数研究函数单调性的书写；
（3）例题1的解决说明，判定函数单调性增加了一种新的方法——导数法.
例2 确定函数在哪些区间上是增函数．
【教学预设】对于求解该三次函数的单调性而言，学生对于其图象不太熟悉，
定义法对代数变形的要求比较高、较繁琐，所以选择导数法比较方便．
解：的定义域为R，．
令，
解得或．
因此，在区间上，是增函数；
在区间上，也是增函数．
即的单调递增区间为和．
问题 能否根据三次函数所求的单调区间，画出这个函数的大致图象呢？
原函数看增减
导函数看正负
【师生活动】先根据函数的单调性画出原函数的大致图象，同时对应作出导函数图象，行进比较，加深巩固导函数图象的正负与原函数增减之间的关系.
【设计意图】
（1）从图象上感知原函数与导函数的关系，加深对结论的认识；
（2）例题2由“数”到“形”解决了该三次函数的单调性，强化了应用；
（3）例题2体现了导数法研究函数单调性的优越性：当图象直观、根据定义不太容易解决函数单调性时，还可以利用导数来解决．
例3 确定函数的单调减区间．
【教学预设】学生看到三角函数的单调性，首先想到的是利用图象直观解决，但是此时作三角函数图象只是建立在五点法作图的基础上，根据定义来解决时对代数变形要求也比较高，此时可以利用导数来解决.
解: 定义域为, ．
令，即．
又，
所以．
故所求的单调减区间是．
【师生互动】 解三角不等式的时候，学生会有一定的困难，此时可以借助于导函数图象来解决，题目做完后再作正弦函数的图象时，不仅仅局限于五点法，还可以根据图象的性质来作图，会更加清晰明确.同时由学生对原函数图象与导函数图象进行比较，深化对结论的理解.
【变式】证明函数在区间上是单调减函数.
证明: ．
因为，所以，即在上恒成立，
故f(x)在区间上单调递减．
【设计意图】
（1）解三角不等式时，画出的图象帮助解决．解完后再画出的图象，直观的验证答案的正确性．解题过程始终注意“数”“形”结合；
（2）例题3和变式题再次体现利用导数来研究函数单调性的优越性：不能根据解决的，利用导数仍可以解决.
（3）从二次函数、三次函数到三角函数，体现了导数法研究函数单调性的一般性和普遍适用性．
四、课堂小结 回顾整理中提炼
通过这节课的研究，你学会了什么知识，能解决了哪些问题？你的收获与感受是什么呢？
【设计意图】培养学生学习——总结——学习——反思的良好习惯，同时通过自我的评价来获得成功的快乐，提高学生学习的自信心.
五、自主作业 巩固训练中拓展
必做题：课本P29 第1、3、4题．
选做题：如果f(x)在某区间上单调递增，那么在该区间上必有f(x)>0吗？
【设计意图】知识巩固，反馈信息，同时注意个体差异，因材施教，必做题为基础训练，选做题既是对本节课的提升训练，也为下节课做好铺垫.
六、教学设计说明
导数这个概念是高等数学的基本概念，又是中学阶段数学学习的一个主干知识，它是进一步学习数学和其他自然科学的基础，更是研究函数相关性质的重要工具之一．单调性作为函数的主要性质之一，主要用来刻画图象的变化趋势，在必修1的学习中定义了单调性，并且在学习幂指对及三角函数时,能够借助于函数图象特征和单调性的定义来研究函数的单调性. 那为什么还要用导数研究函数的单调性？能不能用导数研究函数的单调性？怎样用导数研究函数的单调性？循着这样的思路，整个教学过程，从创设情境—实例验证—揭示本质—强化应用—回顾反思，五个方面入手，层层递进，螺旋上升．
关注生活 自然导入
本课的难点是引导学生发现导数与函数单调性之间的联系，而这两个概念都是非常抽象的，学生很难直接感知，所以在引入阶段，利用生活中的常见问题汽车灯光的指向与上下坡之间的联系，第一次抽象：引导学生发现道路可以抽象成函数的图象，灯光可以抽象为切线，这样问题就转化为切线斜率正负与曲线上升下降的联系；适当建系后，第二次抽象：将曲线看做是函数y=f(x)上的一段图象，那么切线斜率即为函数在该点处的导数，顺势猜想结论，感知导数正负与函数单调性之间的联系，从而轻松高效引入课题，成功激发学生的求知欲，也体现了“生活中处处有数学”的教学理念.
关注探究 合作生成
前面已经猜想出结论，但是该结论是否正确，还有待检验，学生首先想到的就是验证已经学过的常见函数，从而深化对所得结论的理解. 再从“形”回到 “数”，进一步引导学生经历从特殊到一般的过程，抓住导数和单调性的定义之间的联系来提炼一般性的结论，由学生自主探究、分组展示，互相点评，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体．
关注应用 数形结合
在典例演练，强化应用的过程中，例题1由“形”到“数”， 规范了用导数研究单调性的书写，加深了对结论的理解；例题2在了解函数的性质基础上，要求学生画出三次函数的大致图象，经历由“数”到“形”的过程，并对导函数图象与原函数图象进行对比、深化理解，突显了利用导数研究函数单调性的优越性；例题3由三角函数图象很快能得出结论，但在变式题中证明函数单调性又回到“数”，解三角不等式时，学生可以画出导函数图象辅助解题，题目解完后再次画出原函数图象加以验证，数形结合思想，贯穿始终，并且突显了利用导数研究函数单调性的一般性．三道例题逐层推进，体现了导数法在研究函数单调性中的一般性和有效性，由形到数，由数到形，数形结合贯穿始终．
生活中抽象 合作中探究 数学中回归
——《1.3.1单调性》教学评析
一、巧创情境，让抽象的数学不再抽象
美国数学教育学家G·波利亚指出：“抽象的数学道理虽然重要，但要用一切办法使它们看得见、摸得着。”《数学课程标准（2011年版）》指出：“数学知识的形成依赖于直观。”在这节课一开始，执教者精心创设了汽车上下坡这样一个生活情境，并把山坡抽象为一条曲线、把汽车抽象为曲线上的动点、把汽车前灯发出的光线抽象为过动点的切线，……。通过这样精心设计的教学情境引导学生回归生活，这不仅充分地激发起了学生抽象的乐趣，而且也为抽象提供了生动的抽象素材和坚实的认知起点，让抽象变得更直观、更具体、更容易理解，让抽象不再是无源之水、无本之木，一句话，就是让学生对抽象的数学不再觉得抽象。而更重要的作用则在于，通过这一抽象过程，还可以进一步培养学生用数学的眼光观察生活的能力及用数学的语言描述和解释生活现象的能力。这是数学课程改革一直倡导的核心理念。关于情境创设，需要说明的一点是，许多人认为情境一定要生活化，一定要是学生熟悉的情境，这是一种庸俗的情境观，是为了生活而生活，情境创设固然需要联系生活，但不能完全把立足点放在生活上，甚至用生活绑架情境，生活情境是用来为教学服务的，是实现教学目标的手段，而不是反过来教学为生活情境服务，数学虽然来源于生活，但又高于生活，不能让教学情境喧宾夺主，更不能为情境而情境，因此在创设情境时应该把立足点放在数学上，应该根据所教学的内容选择与之最贴近的生活情境。就本节课而言，虽然汽车上下坡这一问题学生并不是十分熟悉，但这个情境与所教学的导数与函数单调性关系非常贴近，而且在教师展示几何动画以后学生很快就能明白是怎么一回事，因此这样的情境既符合教学规律也贴近学生的生活实际，这从学生的课堂反馈也可以得到说明。
二、精设问题，让神秘的探究不再神秘
一直以来，人们都对数学探究敬而远之，总认为数学探究高不可攀。其实，数学探究就在我们的身边，世事洞明皆学问，只要我们善做有心之人，常怀探究之心，就能发现数学教学中到处都蕴含着探究的题材。在本节课的教学中，无论是导数与函数单调性关系猜想的发现，还是对所发现猜想的验证与证明过程；无论是新知识的探索与发现过程，还是新知识的巩固与应用过程，随处都可见到探究活动的展开。然而，在目前的数学教学中，探究教学开展的情况还不尽人意，许多教师也明知道要启发学生进行探究，但在具体教学中要么是因为启而不发而不得不“灌”，要么是教师精心编制一系列的问题串让学生去“钻”或挖掘一个又一个的陷阱让学生去“跳”，目的只有一个，那就是借学生之口说出或逼学生说出教师想说的话。这样的提问根本不能叫启发，充其量只能说是“诱发”、“逼发”。真正的启发应该深入到学生的思维层面，教师应该把启发学生思维作为目的而不是把获得结论当成目的。教师最需要关注的是学生“在不在想？”“在想什么？”“是怎么想的？”，“为什么这么想？”等问题，而不要太在乎你所要获得的那个结果，结果应该是学生在教师正确启发下自然而然产生的。而现在有许多教师热衷于按照自己的想象去筑渠、固渠，而不善于根据地形地势（知识的内在特点）和水的流势（学生的思维特点）因势利导地开渠引水，更不愿意去蓄水（创设问题情境）、引水，结果要么是渠已成而无水流，要么是有水流但渠未成，最后不得不徒劳地去“堵”、去“塞”。涂荣豹先生曾经指出：“启发探究最重要的就是要在教学中尽可能多采用一些元认知提问，少采用一些认知性的提问，即要通过提高问题的开放性强来激发学生探究的积极性。”如本节课中：“看到这段视频动画同学们有什么发现？”“同学们看了这个视频后有没有产生什么联想？”“能不能把这个动画与数学联系起来，看出其中的数学问题？”“有哪位同学这个过程用数学语言来描述一下”等多处由于有意识地采用元认知提问而收到了很好的教学效果。
三、善用回归，让“枯燥”的数学不再枯燥
长期以来，许多人对数学一直存在偏见，认为数学是枯燥的、难学的，这样一种错误的数学观对数学教学是很有害的，它像腐蚀剂一样不断侵蚀着学生学习数学的积极性和自信心。因此，数学课堂教学中首要的也是最重要的事应该是充分激发学生学习数学的兴趣，好学不如乐学，教师要采取各种有效措施让抽象、“枯燥”的数学变得生动有趣，只有学生对数学产生了兴趣，学生才能乐学、好学、才能学好。而要激发学生学习数学的兴趣，关键是教师能否准确确定学生的思维之源，如学生思维的兴奋点、生长点、发散点，……，问渠那得清如许，为有源头活水来，只有找准学生的思维之源，教师的启发之渠才会有活水源源不断地流过。这正如美国著名教育家D.P.奥苏伯尔在其名著《教育心理学——认知观点》扉页上的名言所指出的那样:“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么，我将一言以蔽之曰：影响学习的唯一重要的因素，就是学习者已经知道了什么。要探明这一点，并应据此进行教学。”因此，在教学中教师要善于运用回归策略，找准学生的思维起点，才能顺利地将学生的思维引向所要达到的教学目标。即“只有返回到思想产生的根源，这些思想才可能得到真正的理解。”在本课中执教者多处运用了回归这一教学策略，比如在课堂情境创设阶段采用回归生活的策略不仅极大地激发了学生的学习兴趣，而且为后面的探究和数学抽象奠定了坚实的基础；又比如在猜想发现过程中采用的由“数”到“形”的回归，在猜想证明过程中采用的回归定义策略和由“形”向“数”的教学策略，则不仅为学生证明思路的探索指明了方向，而且有利于学生科学思维能力的培养。再比如，在定理巩固阶段采用的回归基本原型策略步步为营让学生将新知识的学习牢牢建立在学生已有知识的基础上，不仅大大地降低了学生学习的难度，而且充分地激发了学生学习数学的兴趣、激励了学生学好数学的自信心。
参考文献
课件25张PPT。1.3导数在研究函数中的应用单调性目 录 CONTENTS教学理念
和追求教材分析教学过程教学反思Teaching AnalysisTeaching DesignTeaching ProcessTeaching Refletion目 录 CONTENTS目 录 CONTENTS1. 教材分析2. 学情分析系统的研究了基本初等函数的图象和性质；学习了导数的概念、计算和几何意义．
将函数单调性与导数联系起来的抽象概括能力还不够.
通过生活实例，建立数学模型，联想和发现用导数研究函数单调性的可能性.
3. 教学目标1构建23掌握感悟借助几何直观，通过实例归纳函数的单调性与导数的关系；。理解并掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数单调区间；通过比较，体会导
数方法在研究函数
性质中的一般性和
有效性，同时感受
和感悟数学自身发
展的一般规律.
4. 教学重难点导数与函数的单调性关系的探索和发现；
初步运用导数判断函数单调性．
探索和发现导数与函数的单调性的关系.
目 录 CONTENTS1. 创设情境、初步探究
本课的难点是引导学生发
现导数与函数单调性之间
的联系，这里利用生活实
例，建立数学模型，轻松
高效的阐述了用导数来研
究函数单调性的可能性，
成功激发学生的求知欲，
让抽象成为意识。2. 合作学习、实例验证
用具体函数验证猜想，分组探究，合作释疑，让探究成为一种习惯.
方案1 请举出几个常见的函数
探究导数与函数单调性之间的
联系． 方案2 探究导数定义与函数单调性定义间的联系.
由“形”到 “数”，
感受结论的普遍性，培养数学 符号意识；让回归成为一种理念.
3.回归定义，揭示本质4. 尝试演练、强化应用
4. 尝试演练、强化应用
例1 确定函数 在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数.规范书写，总结步骤；
研究方法，拓展提升.4. 尝试演练、强化应用
（1）解法突破，感知优越；
（2）由数到形，再次感悟.
第一次提升例2 确定函数 在哪些区间上是增函数. 4. 尝试演练、强化应用
(1)类型拓展，适用普遍；
(2)数形结合，贯穿始终.
再次提升例3 确定函数 的单调减区间.
【变式】 证明函数 在区间 上是单调减函数. 5．课堂小结，完善知识 培养学生学习—
总结—学习—反思的
良好习惯，同时通过
自我的评价来获得成
功的快乐．6．深化练习、分层作业 (1)巩固知识、反馈信息；
(2)分层教学、共同提高.
目 录 CONTENTS以学生为主体的教学活动 进一步重视问题的开放性反 思
改 进敬请批评指正谢谢聆听
