《§1.3.1函数的单调性（第一课时）》教学设计
课型：新授课
一、教学内容解析及学情分析
首先，从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段：第一阶段是学生在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数，对函数的增减性有一个初步的感性认识，知图象的变化趋势；第二阶段是在高一学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高二利用导数为工具研究函数的单调性，并知其变化快慢.高一单调性的学习，既是初中学习的延续和深化，又为高二的学习奠定基础．
其次，从函数角度来讲. 函数的单调性是学生学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从观察图象，用自然语言描述函数图象特征，以函数解析式为依据经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.
最后，从学科角度来讲.函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其它数学知识的重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材，同时是一节具有奠基意义的数学方法课.
二、教学目标
按照教学大纲的要求，根据教材和学情，确定如下教学目标：
1．知识与技能目标：
①使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念;
②掌握利用函数图象和单调性定义判断函数单调性的方法；
③掌握利用函数单调性的定义证明函数在某个区间上的单调性.
④隐性目标：让学生体验数学知识的发生发展过程，在体验函数单调性概念的建构过程中掌握数学的认知策略.
2.过程与方法目标：
①通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法；
②通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力；
③在体验函数单调性概念符号化的建构过程中,让学生体会数学知识的发生发展过程：由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的本质，培养学生观察、归纳、抽象的概括能力和语言表达能力；
④通过课堂练习单及时巩固学习成果，完成学习目标.
3．情感、态度与价值观目标：
①充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进学生形成研究氛围和合作意识.
②重视知识的形成过程教学，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与收获的乐趣.
三、教学重、难点
对于函数的单调性,学生的认知困难主要在两个方面:
首先，用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降,把对单调性直观感性的认识上升到理性的高度, 这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说比较困难.如何让学生理解这种符号化的、抽象的数学语言，参与函数单调性概念的形成过程是本节课的第一个难点.
其次，由于学生第一次接触到代数证明，如何运用函数单调性的定义严格证明函数的单调性并完成规范的书面表达则是本节课的另一难点.
根据以上的分析和教学大纲对单调性的教学要求，本节课的教学重难点是：
教学重点：增（减）函数概念的形成；
教学难点：①形成增（减）函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识
过渡到函数增减的数学符号语言表达；
②用定义证明函数的单调性.
四、教法、学法
教法：本节课是函数单调性的起始课，根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，主要采取教师启发讲解和学生探究发现的教学方法.教学过程中，根据教材提供的线索，安排适当的教学情境，让学生展示相应的数学思维过程，使学生有机会经历数学概念抽象的各个阶段，引导学生独立自主地开展思维活动，深入探究，从而创造性地解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力.同时使用多媒体辅助教学以及几何画板的使用，增强动感和直观性，充分发挥其快捷、生动、形象的特点，有助于学生对问题的理解和认识，提高教学效果和教学质量；
学法：合作实践、学生展示、小组讨论、发现总结等方法.
五、教具准备
实物展示台、多媒体.
六、教学过程：
（一）问题情境：
在2016年8月10号的里约奥运会上，由陈若琳和刘蕙瑕组成的双人组合获得10米台跳水冠军，展示跳水动图，问题1：跳水运动员的运动轨迹是什么？问题2：从左向右看，图象的变化趋势是什么？
函数图象的上升与下降的趋势就反映了函数的单调性.
设计意图：把我国运动员获得奥运冠军这件时事作为情境引入，增强学生的民族自豪感，另外根据运动员的运动轨迹曲线很自然地引入函数的单调性这节课，让学生感受数学来自生活.
（二）建构定义:
概念探究阶段
第一次认识：（图形语言）观察函数的图象，思考1:从左向右看函数在区间上的图象有怎样的变化趋势？（上升？下降？）思考2:怎样描述图象的上升呢？
第二次认识：（文字语言）教师几何画板展示，点A在上向上运动时，A点坐标的变化.让学生观察到，函数在区间上，随着自变量的增大，函数值也增大.
这是我们从形的角度观察到的，那么怎样用符号和式子描述函数值随着自变量的增大而增大呢？
第三次认识：（符号语言）首先：将两个“增大”符号化，比较才能出大小，在区间上的，，即当时，.在区间D上的，，即当时，.此时一定能保证在区间D上的图象是上升的吗？图象可能会出现哪些情况？需要添加什么条件使得在区间D上的图象是上升的？
所以，进一步完善表达：
对于区间上的任意的两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数.
设计意图：通过由图象直观感知 自然语言描述 数学符号语言描述，即从直观到抽象、特殊到一般、感性到理性的认识过程，学生能够更好的感受数学知识的生成过程．通过一系列的问题逐步引导学生发现，的任意性，让学生体会数学的严谨性.
本着从特殊到一般的原则，对于一般函数，我们来定义增函数：
设函数的定义域为I，,任意，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数.
3.对比增函数的定义，由学生归纳出减函数的定义.
设函数的定义域为I，,任意，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数.
即减函数图象在区间D内呈下降趋势，当x的值增大时，函数值y减小.
设计意图：得出减函数定义，培养学生的类比能力．
4.对定义的理解：
（1）的任意性；教师几何画板展示，帮助学生从运动变化的观点理解的任意性.
（2）对的理解：此时与不等，说明变量不同，函数值不同，所以我们不在一点出讨论函数的单调性，当端点在定义域的范围内，区间可开可闭，当端点不在定义域的范围内，区间是开区间.
（3）分析定义中自变量与因变量的变化关系，当时，说明了什么？
设计意图：定义是数学的核心，通过教师带领学生理解定义，可以提高学生的认识和理解.
5.函数的单调性定义
如果函数在区间D上是增函数或者减函数，那么就说函数在区间D上具有单调性，函数的单调性也叫函数的增减性；增函数与减函数也分别叫做单调递增函数，单调递减函数；区间D叫做函数的单调区间.
所以，函数的单调性是定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质.
探究：函数在定义域上的单调性是怎样的？
设计意图：再次让学生体会和理解函数单调性的定义，多个单调增（减）区间用“，”“和”连接，不用“∪”.
类型一：根据函数图象写出函数的单调区间
例1.下图是定义在[－5，5]上的函数的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，是增函数还是减函数。
解：的单调区间有[－5，－2），[－2，1），[1，3），[3，5].
其中在[－5，－2）,[1，3）上是减函数；
在[－2，1）， [3，5）上是增函数.
变式1：
变式2：
变式3：
设计意图：通过例1和变式，学生知道可以借助函数图象找出函数的单调区间，并加深对函数单调性概念的理解．
类型二：根据函数的单调性定义证明函数的单调性．
例2.用函数的单调性定义证明：函数在区间上是减函数.
证明：设是上的任意两个实数，且，
则
，得，由
于是>0,即
所以，函数在上是减函数。
说明：这两道例题介绍了
（1）判断函数单调性的两种方法：根据图像观察,根据定义证明;
（2）证明函数单调性的步骤：
① 取值，设任意属于给定区间，并规定大小；
作差变形，变形的常用方法:因式分解、配方、有理化等；
定号确定的正负号；
④下结论:由定义得出函数的单调性．
即时练习：利用定义证明函数在上是减函数.
、课堂练习：
1.讨论以下函数的单调性：
（1）
（2）
设计意图：让学生体会到有的函数可能在整个定义域上单调，有的函数在定义域的某个区间上单调，函数的单调性是函数的局部性质.
利用定义证明函数在上是增函数.
（五）、小结
1.判定函数单调性的方法：图象法，定义法；
2.定义法步骤：取值，作差变形，定号，下结论；
3.增（减）函数概念的形成，经历了哪些过程？
4.凭借直观的图象，我们能判断函数的单调性，为什么还要用数学符号语言定义增（减）函数呢？
在数学中，描述事物运动变化规律的数学模型是——函数，要把握相应事物的变化规律，就需要了解函数的变化规律，通过今天的学习，我们知道函数的变化规律可以用什么来描述呢？（函数的单调性以及函数的其它性质），所以，实际生活中，我们可以用它来分析事物的变化规律.（展示气温变化曲线图，股票走势图，GDP走势图）
设计意图：让学生体会数学在生活中有着广泛应用.
（六）、课后作业：
一、必做题：课本A组1，2；课时九；
二、选做题:
1.求函数的单调区间，并用定义证明.
2.已知函数是定义在区间上的增函数，且，求的取值范围.
3.已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.
（七）、板书设计
函数的单调性
定义：
理解： ①②③④⑤⑥
多媒体
例2
教学反思
本节教学，始于今年奥运时事，让学生在提升民族自豪感的同时，增加感性体验，只有沟通生活中的数学与教科书上的数学的联系，数学才能真正走进学生的生活.这一教学情境的创设，揭示了学生对函数单调性的直观体验.
概念建构阶段：增（减）函数概念的形成是本节课的重难点，难在如何从图象升降的直观认识过渡到数学符号语言描述，我把发现创造的机会还给学生，通过一系列的问题，引导学生积极参与思考探究，经历了有限（到）---无限（再到）---任意的探索过程，最终得出，的任意性.这样既保护学生的积极性，又促进了学生的思维发展.完成了从图象直观感知---语言描述---数学符号语言描述，并依次形成对单调性定义的三次认识，实现了由“形”到“数”的翻译.让学生体验数学知识的发生发展过程，本节课很好地完成了这一教学目标。通过引导学生理解定义，达到内容上的升华，也是本节课的一个亮点所在.通过几何画板动图演示，学生可以很直观地感受数学中的运动变化.
例题和练习题的设置，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成。例1的三个变式也是本节课的一个新颖之处.
小结部分的思考“为什么要学习单调性的定义”，突出课题的提出，让学生体会到任何科学研究都是从问题开始，这也是数学由来的重要方面，所以数学的发生，发展都是很自然的一个过程.
对本节课的再次思考：概念探究阶段，抛出问题“如何描述函数值随着自变量的增大而增大呢？”后，经过学生的小组讨论，原设想会有很多学生说出自己的想法，没想到第二个学生就给出了特别完美的解答，这个学生成绩优秀而且进行过预科，这一环节没有达到自己预想的高潮.另外，我直接给出了分子有理化这个新的方法，因为我认为有些知识是学生探究不出来的，不知道自己有没有太主观，请专家指正.
本节教学，我始终以学生为主体，通过问题引导学生思考探究，最终较好的完成了教学.在本节课的学习中，学生最重要的收获也许就是体验和感悟蕴含在函数单调性概念的建构过程中的策略性知识.
每一节课，我都遵守着“理解数学，理解学生，理解教学”的理念进行教学，致力于上好每一节课.
（附：课堂练习单）
必修一 第一章 集合与函数的概念
1.3.1 函数的单调性 （第一课时） 课堂练习单
问题：在区间D上的，，当时，有，一定能保证函数图象在区间D上是上升的吗？
2.探究：画出反比例函数的图象.
(1)函数的定义域是什么？ (2)函数在定义域上的单调性是怎样的？
即时练习.用定义证明函数在区间上是增函数.
课堂练习：
1.讨论下列函数的单调性：
2.利用定义证明函数在上是增函数.
《§1.3.1函数的单调性（第一课时）》课例点评
本节课是《函数的单调性》（第一课时）的内容，这是一节概念课教学，授课教师对教学内容理解透彻，对学情的分析全面细致，教学思路清晰流畅，教学重点突出，效果显著。
合理创设教学情境
本节教学，始于今年奥运时事，让学生在提升民族自豪感的同时，增加感性体验，只有沟通生活中的数学与教科书上的数学的联系，数学才能真正走进学生的生活.这一教学情境的创设，揭示了学生对函数单调性的直观体验.
2.让学生参与概念的建构过程
概念建构阶段：增（减）函数概念的形成是本节课的重难点，难在如何从图象升降的直观认识过渡到数学符号语言描述，授课教师把发现创造的机会还给学生，通过一系列的问题，引导学生积极参与思考探究，经历了有限---无限---任意的探索过程，最终得出，的任意性.这样既保护学生的积极性，又促进了学生的思维发展.完成了从图象直观感知---语言描述---数学符号语言描述，并依次形成对单调性定义的三次认识，实现了由“形”到“数”的翻译.让学生体验数学知识的发生发展过程，本节课很好地完成了这一教学目标。通过引导学生理解定义，达到内容上的升华，也是本节课的一个亮点所在.
3.几何画板的合理使用
授课教师很精心地制作和设计了几何画板动图，通过几何画板动图演示，学生可以很直观地感受数学中的运动变化.
4.例题和练习题的设置
例题和练习题的设置，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成。例1的三个变式也是本节课的一个新颖之处.
5.小结部分的思考使本节课得到升华
小结部分的思考“为什么要学习单调性的定义”，突出课题的提出，让学生体会到任何科学研究都是从问题开始，这也是数学由来的重要方面，所以数学的发生，发展都是很自然的过程.
本节教学，授课教师始终以学生为主体，通过问题引导学生思考探究，最终较好的完成了教学.在本节课的学习中，学生最重要的收获也许就是体验和感悟蕴含在函数单调性概念的建构过程中的策略性知识.
课件18张PPT。 (必修一)第一章 集合与函数概念1.3 函数的基本性质第一课时函数的单调性奋力一跃，为国争光奋力一跃，为国争光0t1t2问题：从左至右，图象的变化趋势是什么？图象从左至右上升当x1< x2时，f(x1)< f(x2)？x1f(x2)x2f(x1)MN问题：在区间D上的x1， x2，当x1< x2时，有f(x1)< f(x2)，一定能保证函数图象在区间D上是上升的吗？DD图象从左至右上升当x1< x2时，f(x1)< f(x2)x1f(x2)x2f(x1)MN任意的都有DxD增（减）函数的定义单调性：如果函数 y =f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间D上具有（严格的）单调性；单调性，单调区间单调区间： 区间D就叫做函数y =f(x)的单调区间.探究强调：多个单调增（减）区间用“，”“和”连接.x1f(x1)x2f(x2)x类型一：根据图象判断函数的单调性x1x2f(x1)f(x2)类型二：利用定义证明函数的单调性即时练习：练习：课堂小结3. 增（减）函数概念的形成，经历了哪些过程？1. 判定函数单调性的方法：2.利用定义法证明函数单调性的步骤：取值，作差变形，定号，下结论；图象法；定义法 .由图象直观感知 自然语言描述 数学符号语言描述4.凭借直观的图象，我们能判断函数的单调性，为什
么还要用数学符号语言定义增（减）函数呢？作业：一、必做题：课本A组1，2；课时九；二、选做题: 谢谢大家，再见！
