《椭圆及其标准方程》教学设计说明
一、教学内容解析
本节课是人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学》选修2-1中的第二章第二节第一课时的内容，其主要内容是研究椭圆的定义及其标准方程，属于概念性知识.解析几何是在直角坐标系的基础上，利用代数方法解决几何问题的一门学科.
从知识上讲，本节是在必修课程《数学2》中直线和圆的基础上，对解析法的又一次实际运用，同时也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上讲，为进一步研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上讲，三种圆锥曲线独编为一章，体现椭圆的重要地位。解析几何的意义主要表现在数形结合的思想上.在研究椭圆定义和方程的过程中，几何直观观察和代数严格推导相互结合，同时要借助圆作类比，用类比的思想为学生的思维搭桥铺路.因此本节课内容起到了承上启下的重要作用，是本章和本节的重点.
教学重点：椭圆的定义及其标准方程。
二、教学目标设置
1.课程目标
（1）了解圆锥曲线与二次方程的关系；
（2）掌握圆锥曲线的基本几何性质；
（3）感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
（4）结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想.
2.单元目标
（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
（2）经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；
（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质；
（4）能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题；
（5）通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想.
3.本节课教学目标
（1）通过用细绳画椭圆的实验，能用自己的语言叙述椭圆的定义，会用定义判定点的轨迹；
（2）类比建立圆的方程的方法，通过交流讨论，能选择适当的直角坐标系建立椭圆的方程；
（3）结合椭圆的标准方程和它的几何图形，能指出参数a、b、c的几何意义；
（4）会用椭圆定义和标准方程解决与课本上类似的题目；
（5）通过椭圆知识的学习，体会类比思想、数形结合思想和坐标法。
三、学生学情分析
学生已有认知基础：学生已经学习了圆的概念及其方程，还有曲线与方程，初步认识了解析几何课程的特征，即是一门借助坐标法研究几何的学科，并且已经初步体验到了数形结合的基本思想；学生有动手体验和探究的兴趣，有一定的观察分析和逻辑推理的能力；学生有建立圆的概念和方程的经历。
达成目标所需认知基础：解析法的数形结合思想和解析法的步骤.
已有基础与需要基础之间的差异：关于椭圆概念的获得，学生容易通过几何图形发现轨迹上的点的特征。但学生不容易形成概念体系并用精准的语言描述。在概括椭圆的定义时，需要教师作适当的启发，然后再用数学语言进行精确的描述。推导椭圆标准方程时会遇到两个困难，首先是坐标系如何建立才能使椭圆方程更简单，需要类比圆的方程的建立方法，根据椭圆的对称性建立直角坐标系。其次是如何化简方程使其最简洁，学生已有的知识与能力不能完全胜任独立解决的要求，需要教师作适当的讲解。
教学难点及突破策略
1.本节课的教学难点：椭圆的标准方程的推导与化简。
2.突破策略：引导学生类比建立圆的方程的方法，经过学生独立思考与交流讨论，在椭圆上建立恰当的直角坐标系；化简动点满足的代数方程时，引导学生注意观察方程的特点，对其进行移项变形后再通过平方运算进行化简，配合多媒体演示。
四、教学策略分析
1.为了充分调动学生学习数学的积极性，促进学生主动思考，采用问题串引导探究活动，以问题作为引领，诱导学生积极思考；
2.利用手工制作的教具和现代教育手段，把教学内容与教具及现代教育手段合理整合。利用椭圆画图仪软件感受动态过程，提高课堂效率；
3.在探究椭圆概念时，学生分组合作画椭圆，在此基础上抽象概括椭圆的定义，配合问题引导，加深对椭圆概念的理解；
4.在探究椭圆标准方程时，引导学生回忆求曲线方程的一般步骤。 通过系列设问引导，用类比法建立合理的直角坐标系。在列出式子进行化简时会遇到比较复杂的双根式化简问题，教师及时介入，帮助学生顺利导出方程。
根据以上分析，本节课采用启发探究式的教学方式。在启发探究式教学过程中，以问题引导学生的思维活动。教学中结合学生的思维发展变化不断追问，使学生对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高。
五、教学过程
1.创设情境、引出新知
先引导学生回顾已学的曲线的方程与方程的曲线及求曲线方程的步骤。然后用课件演示一些生活中椭圆的例子，还有一些天体运行的轨迹图，并提出问题：“这些天体运行的轨迹是什么呢？”学生经过观察，很直观地看出是椭圆，从而引出本课要研究的问题：“我们能否描述这些天体运行的轨迹的概念并求出其方程呢？”学习了本节课的内容，就可以解决这些问题.
【设计意图】一方面，通过复习前面学过的有关知识，唤起学生的记忆，为本节课学习作好铺垫。另一方面，借助多媒体生动、直观的演示，使学生明确学习椭圆的重要性和必要性。同时激发他们探求实际问题的兴趣，使他们主动、积极地参与到教学中来，为后续的学习做好准备.
2．尝试实验，探究概念
请学生拿出事先准备好的自制教具：木板、细绳、图钉、铅笔，同桌同学一起合作按要求画椭圆，同时配合用椭圆仪和多媒体演示画椭圆。在画椭圆的过程中引导学生思考以下3个问题：
（1）视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹是什么？
（2）若绳长等于两图钉之间的距离，画出的图形还是椭圆吗？
（3）若绳长小于两图钉之间的距离呢？
学生边作图、边思考、边讨论，每组学生都可对上述三个问题进行研究比较.引导学生全员参与，积极发言，相互补充，从而探究出三个结论并概括出椭圆的定义．
【设计意图】以活动为载体，让学生在“做中学”数学，通过画椭圆，经历知识的形成过程，积累感性经验.同时，我力求改变单一、被动的学习方式，让学生成为学习的主人，给他们提供一个自主探索学习的机会，让他们通过观察、讨论、概括出椭圆的定义，这样既获得了知识，又培养了学生抽象思维的能力
3．应用举例，及时评价
例1.用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆.
（1）到F1(-2,0)，F2(2,0)的距离之和为6的点M的轨迹.
解：因为︱MF1︱+︱MF2︱=6>︱FF︱=4，所以点M的轨迹为椭圆.
（2）到F1(-2,0)，F2(2,0)的距离之和为4的点M的轨迹.
解：因为︱MF1︱+︱MF2︱=4=︱F1F2︱=4，所以点M的轨迹不是椭圆（是线段F1F2）。
（3）到F1(-2,0)，F2(2,0)的距离之和为3的点M的轨迹.
解：因为︱MF1︱+︱MF2︱=3<︱F1F2︱=4，故点M无轨迹图形.
【设计意图】恰当处理预设与生成的关系，运用反馈调节机制，及时评价，激励学生的学习热情.
4．类比迁移，推导方程
引导学生思考以下两个问题：
（1）求曲线方程的一般步骤是什么？
（2）圆心在原点与不在原点的圆的方程哪个形式更简单？为什么？
【设计意图】引导学生明确思维的方向，通过复习旧知，为在椭圆上建立坐标系搭桥铺路.
提问：类比建立圆的方程的方法，怎样在椭圆上建立直角坐标系，才能使椭圆方程更简单？
通过前面知识的回忆，以及学生思考、相互交流，可以选定下列建立坐标系的方案，推导椭圆方程.
（1）以经过椭圆两焦点的直线为x轴，以两个焦点连线的中点为原点，建立直角坐标系；
（2）设出动点的坐标，写出动点满足的集合；
（3）把动点条件坐标化；
（4) 化简得到方程 。
【设计意图】经过推导椭圆标准方程的过程，掌握推导方法。
5.启发引导，探究意义
（1）引导学生在椭圆上找出表示的线段.
（2）理解引入的必要性及几何意义.
（3）最后得到椭圆的标准方程 （a>0,b>0）
【设计意图】说明a,b,c的几何意义，进一步解释引进b的好处，体会解析几何的数形结合思想。
6.拓展引申，对比分析
本环节我首先提出问题：“前面我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程，如果椭圆的焦点在y轴上，椭圆的标准方程是怎样的呢？”
学生经过观察思考会发现，只要交换坐标轴就可以了，从而得到了焦点在y轴上的椭圆的标准方程： （a＞0,b＞0）
接下来，让学生对两种方程进行对比分析，强化对椭圆两种标准方程的理解。
【设计意图】通过两种方程，进行对比反思，让学生利用对称性进行猜想，培养学生的类比思维能力．不仅使学生加深对椭圆定义和标准方程的理解，有助于教学目标的实现，而且使学生体会和学习类比的思想方法，为后边双曲线、抛物线及其它知识的学习打下基础.
7.知识应用，目标评价
例2、求下面方程的a,b,并说出焦点的位置。
活动形式:思考—解答—点评
【设计意图】评价学生对椭圆两种形式的标准方程的理解程度.
练习：写出适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）已知两个焦点的坐标分别是（-4,0），（4,0）,椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10.
（2）将上题焦点改为（0，-4），（0,4），结果如何？
（3）将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10.结果如何？
【设计意图】数学概念是要在运用中得以巩固的，通过该课堂练习使学生进一步理解椭圆的定义，掌握标准方程，使知识内化为素养，并在解题过程中感受"数形结合思想".
8.归纳小结，布置作业
小结（1）知识总结
定义
不
同
点
图形
标准方程
焦点坐标
相
同
点
的
关系
焦点位置的判断
小结（2）：思想方法总结：
一种方法：坐标法
二类方程：
三个思想：代数化思想，类比思想，数形结合思想
【设计意图】归纳小结由师生共同完成，引导学生积极发言，通过填写表格对本节内容进行反思、归纳、总结，从而达到深化知识理解，构建知识网络，领悟思想方法的目的．
作业布置
(1)阅读课本相关内容进行复习；
(2)课本42页练习第1、2题，49页习题2.2 A组第1题；
（3）课外作业：课本50页课后探究。
【设计意图】作业由易到难，分必做题和选做题，体现分层教学的思想，提高学生的学习积极性，使各层次的学生都找到各自的发展空间，进一步促进教学目标的实现.
参考文献：
〔1〕中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）〔M〕.北京：人民教育出版社，2003.
〔2〕人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学》选修2-1〔M〕. 北京：人民教育出版社，2012.
“椭圆及其标准方程”课例点评
本节课教学目标定位较准确。整节课的教学结构清晰，教学氛围和谐融洽，教师语言流畅、教态自然、板书工整。从总体上看，本节课有如下3个亮点。
1.从教材处理看，高老师重点突出了椭圆概念的形成与标准方程的推导过程，对“探究建立椭圆标准方程”这个难点的突破，师生经历了有意义的探究活动。类比建立圆的方程的方法，较好地帮助学生突破了教学难点，抓住了“类比与数形结合思想”这两个关键，使问题化难为易。
2.从教学程序看，高老师设置了问题串来引领学生探究和思考，设计的问题都在学生的最近发展区，有开放度、有思维量、能激发学生学习的积极性。课初承接曲线与方程，给出生活中椭圆的例子，通过类比圆自然引入椭圆的概念与方程问题，为椭圆概念及其标准方程的出台做了很好的铺垫。后续，高老师设计了一系列的精彩问题，用细绳画图时设置的三个问题为学生理解好椭圆概念奠定了基础。在推导椭圆标准方程的过程中，高老师自然提出如何建立直角坐标系的问题，以对话的形式层层设疑，不断的激发和调动学生去自主探究、交流反馈，促使学生的认知和思维得到深化，为建立恰当的直角坐标系得到椭圆的标准方程扫清了障碍。通过这些主体参与的学习活动，使学生体验了研究数学问题的方法，体现了“做中学”的教学思想。
3.从教学效果看，高老师营造了宽松的教学氛围，让学生有更多的展示机会，每当学生展示后，高老师都要对学生的成果及时使用激励性语言进行评价，以激发学生的内驱力。我们能够看得出高老师给予学生的都是恰到好处的扶持帮助、牵线搭桥、评价鼓励，为学生能够顺利地完成本节课的探究任务注入了“润滑剂”，使课堂教学得以深入发展。学习氛围浓厚，问题解决质量较高，练习有反馈，学后有反思，重点知识和技能得到巩固和强化，学习能力得到提升，体现了效率意识。
当然本节课也有值得商榷和改进之处。例如，在个别问题解决过程中，高老师预留给学生的思考和探索的时间不足。需要学生独立解决的问题，教师有代劳现象。
课件22张PPT。
椭圆及其标准方程
-----第1课时
新课标人教A版高中数学选修2-1本节课采用学生动手画椭圆的实验，遵循直观感知、抽象概括的思维方式得出椭圆的定义，在此基础上求出椭圆的标准方程. 本课教学中，基于“数学教学是数学活动的教学”这一基本理念，根据对教材的重点、难点、教学目标以及学生情况的分析，本着教法为学法服务的宗旨，采用启发探究式教学法，并利用多媒体辅助教学，以问题为导向设计教学情境，促使学生去思考问题，去发现问题，激发学生的学习兴趣，体现学生的主体地位。 一、导入新课，建构概念 通过复习曲线的方程和方程的曲线及求曲线方程的一般步骤，为本节课学习做好铺垫。借助国家大剧院外景，橄榄球以及行星运行等椭圆直观形象等来创设问题情境，让学生感知椭圆，激发学生学习的兴趣。接着引导学生尝试动手做实验画椭圆，发现动点满足的几何条件。 学生通过对动点到两定点距离之和为常数的点的轨迹的探索、发现，体验“直观感知、抽象概括”得出数学概念的过程，使学生对概念的认识不断从感性上升到理性.在得到椭圆定义后，及时深化理解，提高思维品质。视频1：学生动手实验探究椭圆的定义 二、主体参与，推导方程 《普通高中数学课程标准 》中提出的重要理念之一是倡导积极主动、勇于探索的学习方式，鼓励学生在学习过程中养成独立思考、积极探索的习惯，力求通过各种不同形式的自主学习和探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。 得出椭圆的概念之后，类比建立圆的方程的方法，在学生思维最近发展区内提出问题，通过交流讨论，能建立适当的坐标系求椭圆的方程，渗透坐标法的思想。教学设计中围绕如何建系、如何求解及化简方程激活学生思维，当发现方程中有两个根式时，需将它们分散，放在两边，使其中一边只有一个根式。这样降低了运算难度，化简到最后一步时，引导学生找出b表示的几何意义，使方程具有对称性。视频2： 椭圆标准方程的推导 通过拓展引申、对比分析得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程，从而培养学生用类比思想解决问题的能力。继续渗透坐标法的思想，体会数形结合解决问题的思想方法。
视频3 焦点在y轴的椭圆的标准方程
三、应用知识，解决问题 教材对椭圆及其标准方程应用的定位是，能根据椭圆的标准方程求出参数a、b，并判断焦点的位置。以及能用待定系数法求出椭圆的标准方程。从中体会数形结合与分类讨论的思想。发展学生分析和解决问题的能力。 在例题教学中，通过学生口答及师生、生生互动的方式，充分体现数学教学是数学活动的教学，学生是学习活动的主体这一教学基本理念。视频4 区分焦点位置的例题 四、课堂小结，反思提升 通过师生共同小结，引导全班同学从知识、数学思想方法等方面回顾本节课的教学内容，不仅学习知识，而且掌握思想方法，同时培养学生归纳概括的能力。小结视频5：师生共同小结本节课的教学设计和教学
过程所存在的不足之处，
敬请各位批评指正。谢谢大家!
