北师大版九年级上第四章《图形的相似》
《图形的位似》(第1课时)教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）．了解位似多边形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似多边形的性质．
（2）．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．
2.过程与方法
培养学生的观察、归纳、探索和动手的能力。
3.情感态度和价值观
在学生解决问题的过程中，激发学生的创新意识，培养学生坚忍不拔、勇于探索的学习品质；在合作学习及相互交流中，培养学生团队精神。21教育网
【教学重点】
位似多边形的有关概念、性质与作图．[来源:学科
【教学难点】
利用位似将一个图形放大或缩小．
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
复习回顾
下列是一些图的变换，请连线：
我们发现：前三个图中的两个图形都是全等的，而第四个图形中的两个图形相似，那么第四个图是怎样的一种变换呢？21·世纪*教育网
二、探究新知
1.位似图形的定义
下面的一组图片是形状相同的图形,在图片①上取一点A,它与另一图片(如图片②)上的相应点B之间的连线是否经过镜头P的中心 在图片上换其它的点试一试,还有类似的结论吗 2-1-c-n-j-y
可以发现：
直线AB都经过镜头中心点，且都等于一个固定值.
问题：下面两个多边形相似，将两个图形的顶点相连，观察发现连接的直线相交于点O. 有什么关系？
.
归纳： 一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P,P'所在的直线都经过同一个点O，且有OP'=k·OP(k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O称为位似中心。实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。【出处：21教育名师】
位似多边形是具有特殊位置关系的相似多边形.
例1：下列各组图形中，是位似图形的有( D )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
练习：如图，△ABC与△DEF是位似图形，O是位似中心，OA=AD，则△ABC与△DEF的位似比是（ A ）【版权所有：21教育】
A. B. C.2 D.3
位似图形的性质：
性质：① 两个图形相似.
②对应点的连线相较于一点，对应边互相平行或在同一直线上.
③任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
作位似多边形
如图，已知△ABC，以点O为位似中心画△DEF，使其与△ABC位似，且位似比为2.
思考：1. 如何利用位似将一个图形放大或缩小？画位似图形的一般步骤是什么？
2. 画位似图形时需要注意什么问题？
解：画射线OA,OB,OC;在射线OA,OB,OC上分别取点D,E,F,使OD = 2OA,OE = 2OB,OF = 2OC;顺序连接D,E,F,使△DEF与△ABC位似,相似比为2.画法二：△ABC与△DEF异侧21世纪教育网版权所有
解：画射线OA,OB,OC;沿着射线OA,OB,OC反方向上分别取点D,E,F,OD = 2OA,OE = 2OB,21cnjy.com
OF = 2OC;顺序连接D,E,F,使△DEF与△ABC位似,相似比为2.
画位似图形的关键是画出图形中顶点的对应点，画图的方法大致有两种：一是每对对应点都在位似中心的同侧，二是每对对应点在位似中心的异侧.21·cn·jy·com
例2：已知点O在△ABC内，以点O为位似中心画一个三角形，使它与△ABC位似，且位似比为1:2.
画法一:△ABC与△DEF在同侧
解：画射线OA,OB,OC;在射线OA,OB,OC上分别取点D,E,F,使OA = 2OD,OB = 2OE,OC = 2OF;顺序连接D,E,F,使△DEF与△ABC位似,位似比为1：2.www.21-cn-jy.com
画法二: △ABC与△DEF在异侧
解：画射线OA,OB,OC;在射线OA,OB,OC反向延长线上分别取点D,E,F,使OA = 2OD,OB = 2OE,www-2-1-cnjy-com
OC = 2OF;顺序连接D,E,F,使△DEF与△ABC位似,位似比为1：2.
练习：
1.如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1∶2，若AB＝2 cm，则A′B′＝____4____ cm，并在图中画出位似中心O.【来源：21·世纪·教育·网】
2.在任意一个三角形内部画一个小三角形，使其各边与原三角形各边平行，则它们的位似中心是( D ) 21*cnjy*com
A．一定点
B．原三角形三边垂直平分线的交点
C．原三角形角平分线的交点
D．位置不定的一点
巩固提高：
如图，矩形ABCD与矩形A′B′C′D′是位似图形，点A是位似中心，已知矩形ABCD的周长为24，BB′＝4，DD′＝2，求AB和AD的长．【来源：21cnj*y.co*m】
解：∵矩形ABCD的周长为24，
∴AB+AD=12，设AB=x,则AD=12-x,
∴A'B'=x+4,A'D'=14-x
∵矩形ABCD与矩形A′B′C′D′是位似图形,
∴矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′
解得:x=8
∴AB=8，AD=12-x=4.
2.如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．
(1)以点O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1∶2；2·1·c·n·j·y
(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．(结果保留根号)
解：（1）如图
（2）AA′=CC′=2．在Rt△OA′C′中， OA′=OC′=2，
∴四边形AA′C′C的周长=。
课堂总结
1.位似图形的概念
2.位似多边形的性质
3.位似图形的作法.
五、作业布置
习题4.13：知识技能第1，4两题
【板书设计】
§4.8 图形的位似(1)
图形的位似的定义： 图形的位似的性质 作位似图形 例1例2
【教学反思】
通过今天的教学，我觉得，这节课学生学的还是比较轻松的：无论从学生学习新知的状态，还是参与程度，都很好的体现了学生的主体性，尤其是一些概念性东西的总结环节，学生学的很主动，我在教学中对于重点的把握还是可以的，只是在这节课中还有一点遗憾，就是感觉到对于教材的拓展方面还有一些欠缺，所以在这方面还需努力，而且对于一些后进生来说，知识点多，理解起来比较慢，掌握起来还有些难度．
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《图形的位似》(第2课时)教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）了解位似图形的性质和以坐标原点为位似中心的位似变换的性质。
（2）在平面直角坐标系中图形的位似变换.
2.过程与方法
通过作图培养学生动手和实践能力。
3.情感态度和价值观
通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。
【教学重点】
在平面直角坐标系中图形的位似变换
【教学难点】
在平面直角坐标系中图形的位似变换
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、情境导入
我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．21教育网
二、探究新知
位似变换与平面直角坐标系
在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O(0,0),A(3，0),B(2，3)
（1）将点O,A,B的横坐标、纵坐标都乘2，得到三个点，以这三个点位为顶点的三角形与△OAB位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比.（相似，相似比为1:2）
（2）如果将点O,A,B的横坐标、纵坐标都乘以-2.
将△OAB的横坐标和纵坐标分别乘2和-2，得到的两个不同的三角形都是△OAB的位似图形，位似中心都是原点O，相似比都是2，且它们关于原点成中心对称.
做一做：
如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点分别是A(4,2),B(8，6）,C（6，10），D(-2，6).将点A,B,C,D的横坐标、纵坐标都乘，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比。21世纪教育网版权所有
解：如图，两个图形位似，且位似中心为坐标原点（0，0），位似比为1：2.
结论：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比位|k|.
例题讲解：
在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(6，0),B(3，6),C(-3，3).以原点O为位似中心，画出四边形OABC的位似图形，使它与四边形OABC的相似是2:3.
画法一：如图所示，
解：将四边形OABC各顶点的坐标都乘；在平面直角坐标系中描点O(0,0), A'(4,0),B'(2,4)
C(-2,-2);在平面直角坐标系中描点A',B',C',用线段顺次连接O,A',B',C'.
画法二：如右图所示
解：将四边形OABC各顶点的坐标都乘；在平面直角坐标系中描点O(0,0), A''(-4,0),
B'' (-2,-4),C(2,-2);在平面直角坐标系中描点A'',B'', C'',用线段顺次连接O,A'',B'',C''.
结论：在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，位似比为k,若原图形上点A的坐标为(x,y)，那么位似图形点A'的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky)。21cnjy.com
巩固练习：
1. 如图表示△AOB和把它缩小后得到的△COD，求它们的相似比．
解：点D的坐标为（2，0）
点B的坐标为（5，0）
∴它们的相似比为.
2.在平面直角坐标系中有两点A(6，2)，B(6，0)，以原点为位似中心，相似比为1∶2，则线段AB的对应线段A′B′的长为( C )21·cn·jy·com
A．1 B．2 C．1或4 D．2或6
3.如图，以点D为位似中心，作△ABC的一个位似三角形A1B1C1，A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，DA1与DA的比值为k，若两个三角形的顶点及点D均在如图所示的格点上，则k的值和点C1的坐标分别为( A )2·1·c·n·j·y
A．2，(2，8) B．4，(2，8) C．2，(2，4) D．2，(4，4)
分析： 利用勾股定理求出DA1与DA的值，然后相比即可求出k值；
连接DB并延长至B1，使DB1=2DB，连接DC并延长至C1，使DC1=2DC，然后顺次连接A1，B1，C1，然后根据平面直角坐标系写出点C1的坐标即可得解． 【来源：21·世纪·教育·网】
解：根据勾股定理得：
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT
故选A.
五、拓展应用：
如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3，2)，(6，4)，AC⊥x轴于点C，BG ⊥x轴于点G，分别以AC，BG为边作正方形ACDE和正方形BGMN.
(1)试分别写出直线AB和直线EN对应的函数表达式；
(2)求证：正方形ACDE和正方形BGMN是位似图形；
(3)已知点M的坐标是(10，0)，试作一个正方形，它以点M为其中一个顶点，且与已有正方形成位似图形(在下图中作出即可)．www.21-cn-jy.com
解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将A（3，2），B(6，4)代入得：3k+b=2,6k+b=4
∴直线AB的解析式为:
同理可以计算出直线EN的解析式为：
（2）∵直线AB解析式为 与直线NE解析式为 都过原点，直线DM与直线CG都与x轴重合，
∴正方形ACDE与正方形BGMN对应
顶点连线交于一点，此点为原点，则正方形ACDE和正方形BGMN是位似图形；
（3）如图所示，正方形MN′B′G′，正方形A′E′D′C′为所求的正方形．
六、课堂小结
平面直角坐标系中的位似变化
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比位|k|.
七、作业布置
习题4.14：知识技能第2，4两题
【板书设计】
§4.8 图形的位似(2)
平面直角坐标系中图形的位似 做一做 结论： 练习
【教学反思】
图形的位似是相似形的延伸和深化。位似图形在实际生产和生活中有着广泛的应用，如利用位似把图形放大或缩小。本节课只要探讨的是在平面直角坐标系中图形的位似变换，通过学生动手实践得出结论。
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 1 页） 版权所有@21世纪教育网《图形的位似》练习
选择题
1.下列判断中，正确的是（ ）
A.相似图形一定是位似图形 B.位似图形一定是相似图形
C.全等的图形一定是位似图形 D.位似图形一定是全等图形21cnjy.com
2.如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长等于（ ）
A.6 B.5 C.9 D. 21*cnjy*com
3.已知点A的坐标是（2，1），以坐标原点O为位似中心，像与原图形的位似比为2，则点A′的坐标为（ ）
A.（） B.（4，2）
C.（1，）或（-1，） D.（4，2）或（-4，-2）
4.图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A.点M B.点N C.点O D.点P
5.已知，直角坐标系中，点E（-4，2），F（-1，-1），以O为位似中心，按比例尺2：1把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为（ ）
A.（2，-1）或（-2，1） B.（8，-4）或（-8，4）
C.（2，-1） D.（8，-4）
下列四图中的两个三角形是位似三角形的是（ ）
A.图（3）、图（4） B.图（2）、图（3）、图（4）
C.图（2）、图（3） D.图（1）、图（2）21教育网
7.如图，在直角坐标系中，正方形EFOH是正方形ABCD经过位似变换得到的，对角线OE=4，则位似中心的坐标是（ ）
A.（，） B.（-2，2） C.（，） D.（0，0）2·1·c·n·j·y
8.如图，△ABC经过一定的运动得到△A′B′C′，然后以点A′为位似中心按比例尺A′B″：A′B′=2：1，△A′B′C′放大为△A′B″C″，如果△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么这个点在△A′B″C″中的对应点P″的坐标（ ）
A.（a+3，b+2） B.（a+2，b+3）
C.（2a+6，2b+4） D.（2a+4，2b+6）21*cnjy*com
二、填空题(本大题共8小题，共24.0分)
9.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是 ______ ．
10.如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则= ______ ．
如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，且位似比为=，若五边形ABCDE的面积为15cm2，那么五边形A′B′C′D′E′的面积为 ______ ．
第9题 第10题 第11题
12.如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ______ ．
13.如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A（1，0）与点A′（-2，0）是对应点，△ABC的面积是，则△A′B′C′的面积是 ______ ．21·世纪*教育网
第12题 第13题 第14题
14.如图，已知△OAB与△OA′B′是相似比为1：2的位似图形，点O为位似中心，若△OAB内一点P（x，y）与△OA′B′内一点P′是一对对应点，则P′的坐标是 ______ ．21世纪教育网版权所有
15.如图，直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为 ______ ．2-1-c-n-j-y
16.如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n= ______ ．
三、解答题(本大题共4小题，共32.0分)
17.作图题：如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，-1）、（2，1）．
（1）以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2，画出图形；
（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标．
【来源：21cnj*y.co*m】
18.如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点．
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）若点C和坐标为（2，4），则点A′的坐标为（ ______ ， ______ ），点C′的坐标为（ ______ ， ______ ），S△A′B′C′：S△ABC= ______ ．
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如图，在直角坐标系中，△ABO三个顶点及点P的坐标分别是O（0，0），A（4，2），B（2，4），P（4，4），以点P为位似中心，画△DEF与△ABO位似，且相似比为1：2，请在网格中画出符合条件的△DEF．
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如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点均在网格的格点上，按要求画出△A1B1C1和△D1E1F1
（1）以图1中的点O为位似中心，在网格内画出△A1B1C1，使它与△ABC位似，且相似比为2；
（2）以图2中的点O为位似中心，在网格内画出△D1E1F1，使它与△DEF位似，且相似比为2． 【出处：21教育名师】
《图形的位似》练习参考答案
一、选择题：
1. B．
解：A、如果两个图形是位似图形，那么这两个图形必是相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形，故此选项错误；
B、利用位似的定义可知，位似图形一定是相似图形，故正确；
C、全等的图形不一定是位似图形，故此选项错误；
D、位似图形是特殊的相似图形，相似图形不一定全等，故此选项错误，
故选B．
2. A
解：根据题意，△ABC与△DEF位似，且AB：DE=2：3，AB=4∴DE=6故选A．
3. D
解：如图，
则点A′的坐标为（4，2）或（-4，-2）．
故选D．
4. D
解：点P在对应点M和点N所在直线上，再利用连接另两个对应点，得出相交于P点，即可得出P为两图形位似中心，
故选：D．
5.A21教育名师原创作品
解：∵E（-4，2），位似比为1：2，
∴点E的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1）．
故选A．
6. B
解：位似的三角形的对应的顶点的连线或延长线一定交于一点，因而位似三角形是（2）、（3）和（4）．
故选B．
7.B【版权所有：21教育】
解：连接OE、HF，交于点M；
根据题意，在直角坐标系中，正方形EFOH是正方形ABCD经过位似变换得到的，
易得M是位似中心，故M是OE的中点；
又由对角线OE=4，
则E的坐标为（-4，4），
M是其中点；
则M的坐标为（-2，2）；
故选B．
8. C
解：由图形可得出：△ABC向右平移3个单位，再向上平移2个单位，再将图形扩大为原来的2倍，
∵以点A′为位似中心按比例尺A′B″：A′B′=2：1，△A′B′C′放大为△A′B″C″，
∴△ABC上的点P的坐标为（a，b），这个点在△A′B″C″中的对应点P″的坐标为：[2（a+3），2（b+2）]，即点P″的坐标为：（2a+6，2b+4）．
故选：C．
二、填空题：
解：如图所示：△A1B1C1和△A′B′C′与△ABC的相似比为2，
点B的对应点B1的坐标是：（4，2）或（-4，-2）．
故答案为：（4，2）或（-4，-2）．
10. 解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，
∴△ABC与△DEF位似的位似比为：，
即=．
故答案为：．
11. 解：∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，且位似比为=，
∴=，
∵五边形ABCDE的面积为15cm2，
∴五边形A′B′C′D′E′的面积为：cm2．
故答案为：cm2．
12. 解：直线AA′与直线BB′的交点坐标为（9，0），所以位似中心的坐标为（9，0）．
位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线．
故答案为：（9，0）
13. 解：∵点A（1，0）与点A′（-2，0）是对应点，原点O是位似中心
∴△ABC和△A′B′C′的位似比是1：2∴△ABC和△A′B′C′的面积的比是1：4又∵△ABC的面积是，
∴△A′B′C′的面积是6．
14. 解：∵P（x，y），相似比为1：2，点O为位似中心，
∴P′的坐标是（-2x，-2y）．
15. 解：∵直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令x=0可得y=1；
令y=0可得x=-2，
∴点A和点B的坐标分别为（-2，0）；（0，1），
∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，
∴==，
∴O′B′=3，AO′=6，
∴B′的坐标为（-8，-3）或（4，3）．
故答案为：（-8，-3）或（4，3）．
16. 解：由图形的变化规律可得
×256=，
解得n=16．
故答案为：16．
三、解答题:
17.解：（1）△OB′C′是所求的三角形；
（2）B′的坐标是（-6，2），C′的坐标是（-4，-2）． 【来源：21·世纪·教育·网】
18.解：（1）如图：
若点C和坐标为（2，4），则点A′的坐标为（ ___-1___ ， ____0__ ），点C′的坐标为（ _1_____ ， ____2__ ），S△A′B′C′：S△ABC= _____1:4_ ．
19.解：如图所示：
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解：（1）如图1， △1B1C1为所求；
（2）如图2， △D1E1F1为所求．
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北师大版九年级上册
第八节：图形的位似
第四章：图形的相似
复习导入
下列是一些图的变换，请连线：
轴对称图形
图形的平移
图形的旋转
前三个图与第四个图有什么区别？
我们发现：前三个图中的两个图形都是全等的，而第四个图形中的两个图形相似，那么第四个图是怎样的一种变换呢？
下面的一组图片是形状相同的图形,在图片①上取一点A,它与另一图片(如图片②)上的相应点B之间的连线是否经过镜头P的中心 在图片上换其它的点试一试,还有类似的结论吗
①
P
A
②
③
④
⑤
B
C
D
E
F
探究新知
可以发现：
直线AB都经过镜头中心点，且
都等于一个固定值.
问题：下面两个多边形相似，将两个图形的顶点相连，观察发现连接的直线相交于点O. 有什么关系？
A
B
C
D
E
E'
D'
C'
B'
A'
O
探究新知
1.位似多边形的概念
一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P,P'所在的直线都经过同一个点O，且有OP'=k·OP(k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O称为位似中心。实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。
1.位似多边形不一定相似。( )
位似多边形是具有特殊位置关系的相似多边形.
×
2.相似多边形一定是位似多边形。( )
×
下列各组图形中，是位似图形的有( )
例题1
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
D
A
练习1
如图，△ABC与△DEF是位似图形，O是位似中心，OA=AD，则△ABC与△DEF的位似比是（ ）
C.2 D.3
解析：∵OA=AD
∴OD=2OA
故选A.
探究新知
2.位似多边形的性质
① 两个图形相似.
性质：
②对应点的连线相较于一点，对应边互相平
行或在同一直线上.
③任意一对对应点到位似中心的距离之比
等于相似比.
如图，已知△ABC，以点O为位似中心画△DEF，使其与△ABC位似，且位似比为2.
A
B
C
O
探究新知
3.作位似多边形
思考：1. 如何利用位似将一个图形放大或缩小？画位似图形的一般步骤是什么？
2. 画位似图形时需要注意什么问题？
解：画射线OA,OB,OC;在射线OA,OB,OC上分别取点D,E,F,使OD = 2OA,OE = 2OB,OF = 2OC;顺序连接D,E,F,使△DEF与△ABC位似,相似比为2.
你还有其他的画法吗？
O
C
A
B
D
E
F
A
B
C
画法二：△ABC与△DEF异侧
解：画射线OA,OB,OC;沿着射线OA,OB,OC反方向上分别取点D,E,F,OD = 2OA,OE = 2OB,
OF = 2OC;顺序连接D,E,F,使△DEF与△ABC位似,相似比为2.
O
E
F
D
画位似图形的关键是画出图形中顶点的对应点，画图的方法大致有两种：一是每对对应点都在位似中心的同侧，二是每对对应点在位似中心的异侧.
探究新知
已知点O在△ABC内，以点O为位似中心画一个三角形，使它与△ABC位似，且位似比为1:2.
A
B
C
画法一:△ABC与△DEF在同侧
解：画射线OA,OB,OC;在射线OA,OB,OC上分别取点D,E,F,使OA = 2OD,OB = 2OE,OC = 2OF;顺序连接D,E,F,使△DEF与△ABC位似,位似比为1：2.
D
E
F
例题2
O
A
B
C
画法二: △ABC与△DEF在异侧
解：画射线OA,OB,OC;在射线OA,OB,OC反向延长线上分别取点D,E,F,使OA = 2OD,OB = 2OE,
OC = 2OF;顺序连接D,E,F,使△DEF与△ABC位似,位似比为1：2.
D
F
E
O
练习2
1.如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1∶2，若AB＝2 cm，则A′B′＝________ cm，并在图中画出位似中心O.
4
O
解析：
2.在任意一个三角形内部画一个小三角形，使其各边与原三角形各边平行，则它们的位似中心是( )
A．一定点
B．原三角形三边垂直平分线的交点
C．原三角形角平分线的交点
D．位置不定的一点
D
解析：∵在任意一个三角形内部，画一个小三角形，使其各边与原三角形各边平行，
则它们的位似中心是位置不定的一点．
故选：D．
巩固提高
1.如图，矩形ABCD与矩形A′B′C′D′是位似图形，点A是位似中心，已知矩形ABCD的周长为24，BB′＝4，DD′＝2，求AB和AD的长．
解：∵矩形ABCD的周长为24，
∴AB+AD=12，设AB=x,则AD=12-x,
∴A'B'=x+4,A'D'=14-x
∵矩形ABCD与矩形A′B′C′D′是位似图形,
∴矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′
解得:x=8
∴AB=8，AD=12-x=4.
2.如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．
(1)以点O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1∶2；
(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．(结果保留根号)
解：（1）如图
（2）AA′=CC′=2．在Rt△OA′C′中，
OA′=OC′=2，
∴四边形AA′C′C的周长= 。
1.位似图形的概念
2.位似多边形的性质
3.位似图形的作法.
课堂小结
1.习题4.13：知识技能第1，4两题
2.预习第二课时.
课后作业
情境导入
我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．
在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O(0,0),A(3，0),B(2，3)
x
y
O
2
4
-2
-4
2
4
-2
-4
（1）将点O,A,B的横坐标、纵坐标都乘2，得到三个点，以这三个点位为顶点的三角形与△OAB位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比.
A
B
A '
B '
位似,位似中心为原点O，
位似比为1:2
6
-6
探究新知
位似变换与平面直角坐标系
（2）如果将点O,A,B的横坐标、纵坐标都乘以-2.
x
y
O
2
4
-2
-4
2
4
-2
-4
A
B
A '
B '
探究总结
将△OAB的横坐标和纵坐标分别乘2和-2，得到的两个不同的三角形都是△OAB的位似图形，位似中心都是原点O，相似比都是2，且它们关于原点成中心对称.
做一做
如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点分别是A(4,2),B(8，6）,C（6，10），D(-2，6).将点A,B,C,D的横坐标、纵坐标都乘 ，得
到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比。
如图，两个图形位似，且位似中心为坐标原点（0，0），位似比为1：2.
探索新知
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横
坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形
与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似
比位|k|.
在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(6，0),B(3，6),C(-3，3).以原点O为位似中心，画出四边形OABC的位似图形，使它与四边形OABC的相似是2:3.
x
y
O
2
4
-2
-4
2
4
-2
-4
A
C
画法一：如右图所示，
解：将四边形OABC各顶点的坐标都乘 ；在平面直角坐标系中描点O(0,0), A'(4,0),B'(2,4)
C(-2,-2);在平面直角坐标系中描点A',B',C',用线段顺次连接O,A',B',C'.
B
A'
C'
B'
例题讲解
画法二：如右图所示
解：将四边形OABC各顶点的坐标都乘 ；在平面直角坐标系中描点O(0,0), A''(-4,0),
B'' (-2,-4),C(2,-2);在平面直角坐标系中描点A'',B'', C'',用线段顺次连接O,A'',B'',C''.
A''
B''
C''
探究总结
在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，位似比为k,若原图形上点A的坐标为(x,y)，那么位似图形点A'的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky)。
1. 如图表示△AOB和把它缩小后得到的△COD，求它们的相似比．
2
4
6
8
2
4
6
8
-2
-4
-6
-8
-2
-4
-6
-8
O
A
B
C
D
解：点D的坐标为（2，0）
点B的坐标为（5，0）
相似比为 .
巩固练习
2.在平面直角坐标系中有两点A(6，2)，B(6，0)，以原点为位似中心，相似比为1∶2，则线段AB的对应线段A′B′的长为( )
A．1 B．2 C．1或4 D．2或6
解：∵A（6，2），B（6，0），
∴AB=2-0=2，
当线段AB与线段A′B′的相似比为
1：2，则A′B′=2AB=4；
当线段A′B′与线段AB的相似比为
1：2，则A′B′= AB=1．
故选C．
C
3.如图，以点D为位似中心，作△ABC的一个位似三角形A1B1C1，A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，DA1与DA的比值为k，若两个三角形的顶点及点D均在如图所示的格点上，则k的值和点C1的坐标分别为( )
A．2，(2，8) B．4，(2，8)
C．2，(2，4) D．2，(4，4)
分析： 利用勾股定理求出DA1与DA的值，然后相比即可求出k值；
连接DB并延长至B1，使DB1=2DB，连接DC并延长至C1，使DC1=2DC，然后顺次连接A1，B1，C1，然后根据平面直角坐标系写出点C1的坐标即可得解．
A
解：根据勾股定理得：
故选A.
拓展提高
如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3，2)，(6，4)，AC⊥x轴于点C，BG ⊥x轴于点G，分别以AC，BG为边作正方形ACDE和正方形BGMN.
(1)试分别写出直线AB和直线EN对应的函数表达式；
(2)求证：正方形ACDE和正方形BGMN是位似图形；
(3)已知点M的坐标是(10，0)，试作一个正方形，它以点M为其中一个顶点，且与已有正方形成位似图形(在下图中作出即可)．
解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将A（3，2），B(6，4)代入得：3k+b=2,6k+b=4
∴直线AB的解析式为:
同理求得直线EN的解析式为:
（2）∵直线AB解析式为 与直线NE解析式为
都过原点，直线DM与直线CG都与x轴重合，
∴正方形ACDE与正方形BGMN对应
顶点连线交于一点，此点为原点，
则正方形ACDE和
正方形BGMN是位似图形；
（3）如图所示，正方形MN′B′G′，正方形A′E′D′C′为所求的正方形．
课堂小结
平面直角坐标系中的位似变化
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横
坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形
与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似
比位|k|.
习题1.14：知识技能第2，4两题
课后作业
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