北师大版九年级上第四章《图形的相似》
《相似三角形判定定理的证明》教案
【教学目标】
1.知识与技能
①了解相似三角形判定定理
②会证明相似三角形判定定理
2.过程与方法
掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力网]
3.情感态度和价值观
经历自主探究、合作交流等学习方式的学习及激励评价，让学生在学习中锻炼能力.
【教学重点】
相似三角形判定定理
【教学难点】
掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、复习导入
问题：相似三角形的判定方法有哪些？
① 两角对应相等，两三角形相似.
② 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
③ 三边对应成比例,两三角形相似.
在上一节中，我们探索了三角形相似的条件，本节课我们将对它们进行证明。
二、探究新知
（1）判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．
用数学符号表示：∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
证明相似三角形的判定定理1
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，∠A = ∠A'，∠B =∠B'. 求证：△ABC ∽△A'B'C'．21世纪教育网版权所有
分析：根据证明两三角形相似的定义，需要三个角对应相等，三边对应成比例的两三角形相似.
证明：在 △ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取AD =A'B'，过点D作BC的平行线，交 AC 于点E，则∠1=∠B，∠2 =∠C，www.21-cn-jy.com
过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F,
∵ DE∥BC, DF∥AC,
∴ 四边形 DFCE 是平行四边形．
∴ DE = CF.
而 ∠ 1 = ∠ B，∠ DAE = ∠ BAC，∠ 2=∠ C，
∴ △ADE ∽ △ABC.
∵ ∠ A = ∠ A'，∠ ADE = ∠ B =∠ B'，AD = A'B'，
∴ △ADE ≌△A' B ' C ' ．
∴ △ABC ∽△A'B'C.
例1.已知:如图，ΔABC中，∠ACB=90°，F为AB的中点，EF⊥AB．求证：ΔCDF∽ΔECF．21cnjy.com
证明∵F是Rt△ABC斜边的中点
∴CF==BF
∴∠B=∠BCF
∵∠ACB=90°
∴∠ACF+∠BCF=90°
∵EF⊥AB
∴∠B+∠E=90°
∴∠DCF=∠E
又∠DFC=∠CFE
∴△CDF∽△ECF（两角对应相等,两三角形相似）
练习：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E.求证：△ABD∽△CBE.
证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC.
又∵CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°.
又∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE
（2）判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
用数学符号表示：∵∠A=∠A' ,
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
证明相似三角形的判定定理2
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′,,求证：△A′B′C′∽△ABC.
证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D,使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E.21·cn·jy·com
∵DE∥B′C′,
∴△A′DE∽△A′B′C′.
∵A′D=AB，
∴A′E=AC.
又∠A′=∠A.
∴△A′DE∽△ABC，
∴△A′B′C′∽△ABC.
例2.如图，∠B=90°，AB=BE=EF=FC=1。求证：ΔAEF∽ΔCEA．
证明：∵AB=BE=EF=FC=1，
∵∠B=90°，
∴在直角三角形ABE中，由勾股定理得AE=
∵，2·1·c·n·j·y
∴
且∠AEF=∠CEA．
∴△AEF∽△CEA．
如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？www-2-1-cnjy-com
解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
时，
△APB和△CPD相似
解得：
所以当△APB和△CPD相似.
（3）判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似．
用数学符号表示：∵
证明相似三角形的判定定理3
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知，求证.
证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D,使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E.2-1-c-n-j-y
∵DE∥B′C′,
∴△A′DE∽△A′B′C′.
∵
又∵A′D=AB
∴△A′DE≌△ABC，
∴△A′B′C′∽△ABC.
例3：如图，在△ABC和△ADE中， 点B,D,E在一条直线上，能否得到△ABD∽△ACE呢？ 21*cnjy*com
解：能；理由是：
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAD=∠CAE
∴△ABD∽△ACE
练习：如图，在等边三角形ABC中，D,E,F分别是三边上的点，AE=BF=CD,那么△ABC与△DEF相似吗？请证明你的结论？21·世纪*教育网
提示：由AE=BF=CD,得BE=CF=AD,可证△ADE≌△BEF≌△CFD,从而DE=EF=FD,所以△DEF是等边三角形，因此△ABC∽△DEF.【来源：21cnj*y.co*m】
解：∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA
∵AE=BF=CD
∴BE=CF=AD
∴△ADE≌△BEF≌△CFD
∴DE=EF=FD
∴△DEF是等边三角形
∴△ABC∽△DEF
三、拓展提高
1.如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，EF⊥AE．求证:AE2=AD·AF．
证明：∵∠ADE=∠FCE=90°,又AE⊥EF,
∴∠AED+∠FEC=180°-∠AEF=90°,
又∠EFC+∠FEC=90°,
∴∠EFC=∠AED,
∴△ADE∽△ECF；
∵∠D=∠AEF=90
∴⊿ADE∽⊿AEF
∴AE2=AD·AF【来源：21·世纪·教育·网】
2.已知:如图，CE是RtΔABC的斜边AB上的高，BG⊥AP． 求证:CE2=ED·EP． 【出处：21教育名师】
证明：∵CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，
∴△ACE∽△CBE，
∴，
即CE2=AE·BE．
∵CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，BG⊥AP，
∴∠P+∠PAE=90°，∠DBE+∠PAE=90°，
∴∠P=∠DBE，
又∵∠AEP=∠DEB=90°，
∴△AEP∽△DEB；
∴， 【版权所有：21教育】
即AE·BE=ED·EP，
又∵CE2=AE·BE，
∴CE2=ED·EP
3.如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s;动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s.如果P,Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？21教育名师原创作品
提示：设同时运动ts时这两个三角形相似，此时BQ=4tcm,BP=（8-2t）cm.△QBP相似于△ABC,需进行分类讨论，对应边不同相应的对应比也就不一样.21*cnjy*com
解：设同时运动ts时这两个三角形相似，此时BQ=4tcm,BP=（8-2t）cm.
1.若△QBP∽△ABC,则
2.若△PBQ∽△ABC,则
综上所述，经过0.8s或2s时，△QBP与△ABC相似.
四、课堂总结
（1）相似三角形判定定理的证明
1.两角对应相等，两三角形相似.
2.三边对应成比例,两三角形相似.
3.两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
（2）相似三角形判定定理的应用
五、作业布置
习题4.9：知识技能第1，2两题
【板书设计】
§4.5 相似三角形判定定理的证明
相似三角形判定1的证明 相似三角形判定2的证明 相似三角形判定3的证明 例题
【教学反思】
“相似三角形判定定理的证明”是“探索三角形相似的条件”之后的一个学习内容，学生已经学习了相似三角形的有关知识，对相似三角形已有一定的认识，并且在前一节课的学习中，以充分经历了猜想，动手操作，得出结论的过程。本节主要进行相似三角形判定定理的证明，证明过程中需添加辅助线，对学生来说具有挑战性，需要通过已有的知识储备，相似三角形的定义以及构造三角形全等的方法完成证明过程。21教育网
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 1 页） 版权所有@21世纪教育网《相似三角形判定定理的证明》练习
一、选择题
1.下列四个命题，其中真命题的个数有（ ）
（1）全等的两个三角形相似；
（2）有一个角相等的两个等腰三角形相似：
（3）所有的等边三角形都相似：
（4）所有的直角三角形都相似．
A.I个 B.2个 C.3个 D.4个21世纪教育网版权所有
2.在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：
（1）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠A=∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；
（2）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；
（3）若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；
（4）若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1．
其中真命题的个数为（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
3.如图，△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：
①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP AB；④AB CP=AP CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（ ）
A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④21cnjy.com
4.如图，点F在平行四边形ABCD的边AB的延长线上，连接DF交BC于点E．则图中与△BEF相似的三角形有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个21教育名师原创作品
5.如图，点A （1，7）、B （1，1）、C （4，1）、D （6，1），以C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
A.（4，0） B.（4，4） C.（6，5） D.（6，2）21*cnjy*com
6.（北师大版）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于F，连接FD，若∠BFA=90°，则下列四对三角形：①△BEA与△ACD；②△FED与△DEB；③△CFD与△ABG；④△ADF与△CFB．其中相似的为（ ）
A.①④ B.①② C.②③④ D.①②③
7.如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是（ ）
A. B. C.1 D.
（第5题） （第6题） （第7题）
二、填空题.
8.如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则图中与△ABC相似的三角形共有 ______ 个，它们是 ______ ．21·cn·jy·com
9.如图，在△ABC中，AB=9，AC=12，BC=18，D为AC上一点，DC=AC．在AB上取一点E得△ADE．若图中两个三角形相似，则DE的长是 ______ ．
10.△ABC中，AB=4cm，AC=3cm，点D、E分别为AB、AC上的点，AD=2cm，△ADE与△ABC相似时，AE= ______ ．www.21-cn-jy.com
11.如图，△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE= ______ ．
12.如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于点F，
AD交PC于点G，则图中相似三角形有 ______ 对．
（第8题） （第9题） （第11题） （第12题）
三、解答题(本大题共4小题，共32.0分)
13.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EC⊥AB，垂足为E，连接DE．试说明△BDE∽△BAC．
【来源：21·世纪·教育·网】
14.已知，如图，==，那么△ABD与△BCE相似吗？为什么？
15.如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．
求证：△ABC∽△FDE．
16.如图已知AB⊥BD，CD⊥BD．若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由．
21·世纪*教育网
《相似三角形判定定理的证明》练习参考答案
一、选择题：
1. B
解：（1）全等是特殊的相似，故（1）正确；
（2）顶角相等的两个等腰三角形相似，故（2）错误；
（3）所有的等边三角形的内角都是60°，所以所有的等边三角形都相似，故（3）正确；
（4）如若△ABC与△DEF中，∠C=∠F=90°，∠A=30°，∠D=45°，则△ABC与△DEF不相似，故所有的直角三角形不一定相似，故（4）错误．
综上所述，其中真命题有2个．
故选：B．
2. B21教育网
解：（1）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠A=∠A1，能用SAS定理判定△ABC≌△A1B1C1，故（1）正确；
（2）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠B=∠B1，不能用ASS判定△ABC≌△A1B1C1，故（2）错误；
（3）若∠A=∠A1，∠C=∠C1，能判定△ABC∽△A1B1C1，故（3）正确；
（4）若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，能利用两组对应边的比相等且夹角相等的两三角形相似判定△ABC∽△A1B1C1，故（4）正确．
正确的个数有3个；
故选：B． 2·1·c·n·j·y
3.A
解：∵∠A=∠A
∴①∠ACP=∠B，②∠APC=∠ACB时都相似；
∵AC2=AP AB
∴AC：AB=AP：AC
∴③相似；
④此两个对应边的夹角不是∠A，所以不相似．
所以能满足△APC与△ACB相似的条件是①②③．
故选A．
4. Bwww-2-1-cnjy-com
解：有2个三角形与△BEF相似，分别是△CED，△ADF，
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AF，
∴∠CDE=∠EFB，∠C=∠EBF，
∴△BEF∽△CED；
：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BE∥AD，
∴∠A=∠EBF，∠ADF=∠BEF，
∴△BEF∽△ADF．
故选B．
5. B2-1-c-n-j-y
解：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．
A、当点E的坐标为（4，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、当点E的坐标为（4，4）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；
C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、当点E的坐标为（6，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意；
故选B．
6. D 21*cnjy*com
解：根据题意得：∠BAE=∠ADC=∠AFE=90°
∴∠AEF+∠EAF=90°，∠DAC+∠ACD=90°
∴∠AEF=∠ACD
∴①中两三角形相似；
容易判断△AFE∽△BAE，得=，
又∵AE=ED，
∴=
而∠BED=∠BED，
∴△FED∽△DEB．
故②正确；
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠GCD，
∵∠ABE=∠DAF，∠EBD=∠EDF，且∠ABG=∠ABE+∠EBD，
∴∠ABG=∠DAF+∠EDF=∠DFC；
∵∠ABG=∠DFC，∠BAG=∠DCF，
∴△CFD∽△ABG，故③正确；
所以相似的有①②③．
故选D． 【来源：21cnj*y.co*m】
D
过F作FH⊥AE于H，根据矩形的性质得到AB=CD，AB∥CD，推出四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AF=CE，根据相似三角形的性质得到，于是得到AE=AF，列方程即可得到结论．
【解答】 解：过F作FH⊥AE于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE，
∴DE=BF，
∴AF=3-DE，
∴AE=，
∵∠FHA=∠D=∠DAF=90°，
∴∠AFH+∠HAF=∠DAE+∠FAH=90°，
∴∠DAE=∠AFH，
∴△ADE∽△AFH，
∴，
∴AE=AF，
∴=3-DE，
∴DE=，
故选D．
二、填空题：【出处：21教育名师】
解：∵D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，
∴DF∥BC，DF=BC，EF∥AB，EF=AB，DE∥AC，DE=AC，
∴△ADF∽△ABC，△FEC∽△ABC，△DBE∽△ABC，，
∴△EFD∽△ABC．
∴图中与△ABC相似的三角形共有4个，它们是△ADF、△DBE、△FEC、△EFD．
9. 解：∵AC=12，DC=AC；
∴AD=4．
若AD与AC对应成比例，则DE=BC=6；
若AD与AB对应成比例，则DE=×BC=×18=8．
所以DE的长为6或8．
10. 解：①AD与AB是对应边时，如图1，
∵△ADE∽△ABC，
∴=，
即=，
解得AE=（cm）；
②AD与AC是对应边时，如图2，
∵△ADE∽△ABC，
∴=，
即=，
解得AE=（cm），
综上，AE=cm或cm．
故答案为：cm或cm．
11. 解：∵D为AB的中点，
∴BD=AB=，
∵∠DBE=∠ABC，
∴当∠DBE=∠ACB时，△BDE∽△BAC时，如图1，则=，即=，解得DE=2；
当∠BDE=∠ACB时，如图2，DE交AC于F，
∵∠DAF=∠CAB，
∴△ADF∽△ACB，
∴△BDE∽△BCA，
∴=，即=，解得DE=，
综上所述，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE=2或．
故答案为2或．
12. 解：∵∠CPD=∠B，∠C=∠C，
∴△PCF∽△BCP．
∵∠CPD=∠A，∠D=∠D，
∴△APD∽△PGD．
∵∠CPD=∠A=∠B，∠APG=∠B+∠C，∠BFP=∠CPD+∠C
∴∠APG=∠BFP，
∴△APG∽△BFP．
则图中相似三角形有3对，
故答案为：3．
三、解答题：【版权所有：21教育】
13.证明：∵AD⊥BC
∴∠ADB=90°
∵EC⊥AB
∴∠CEB=90°
∴点D和点E在以AC为直径的圆上，
∴∠BDE=∠BAC，
而∠DBE=∠ABC，
∴△BDE∽△BAC．
14.解：∵==，
∴△ABC∽△DBE，
∴∠ABC=∠DBE，
∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，
即∠ABD=∠CBE，
∵=，
∴=，
∴△ABD∽△CBE．
15.证明：∵FD∥AB，FE∥AC，
∴∠B=∠FDE，∠C=∠FED，
∴△ABC∽△FDE．
16.解：存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
理由是：设BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴①=或②=，
解方程①得：x=，经检验x=是方程①的解，且符合题意．
方程②得：x（10-x）=36，
x2-10x+36=0，
△=（-10）2-4×1×36＜0，此方程无解，
∴当BP=时，以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 1 页） 版权所有@21世纪教育网(共29张PPT)
北师大版九年级上册
第五节：相似三角形判定定理的证明
第四章：图形的相似
问题：相似三角形的判定方法有哪些？
① 两角对应相等，两三角形相似.
② 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
③ 三边对应成比例,两三角形相似.
复习回顾
在上一节中，我们探索了三角形相似的条件，本节课我们将对它们进行证明。
用数学符号表示：
判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
A
B
C
A'
C'
B'
探究1
证明相似三角形的判定定理1
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，∠A = ∠A'，∠B =∠B'.
求证：△ABC ∽△A'B'C'．
A′
B′
C′
A
B
C
分析：根据证明两三角形相似的定义，需要三个角对应相等，三边对应成比例的两三角形相似.
A′
B′
C′
A
B
C
证明：在 △ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取AD =A'B'，过点D作BC的平行线，交 AC 于点E，则
∠1=∠B，∠2 =∠C，
过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F,
E
D
F
1
2
∵ DE∥BC, DF∥AC,
∴ 四边形 DFCE 是平行四边形．
∴ DE = CF.
而 ∠ 1 = ∠ B，∠ DAE = ∠ BAC，∠ 2=∠ C，
∴ △ADE ∽ △ABC.
∵ ∠ A = ∠ A'，∠ ADE = ∠ B =∠ B'，AD = A'B'，
∴ △ADE ≌△A' B ' C ' ．
∴ △ABC ∽△A'B'C.
A′
B′
C′
A
B
C
E
D
F
1
2
例1：已知:如图，ΔABC中，∠ACB=90°，F为AB的中点，EF⊥AB．求证：ΔCDF∽ΔECF．
∴∠B=∠BCF ∵∠ACB=90° ∴∠ACF+∠BCF=90° ∵EF⊥AB
∴∠B+∠E=90° ∴∠DCF=∠E
又∠DFC=∠CFE ∴△CDF∽△ECF
证明:∵F是Rt△ABC斜边的中点
典型例题1
如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E.求证：△ABD∽△CBE.
证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC.
又∵CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°.
又∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE
练习1
用数学符号表示：
判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
A
B
C
A'
C'
B'
探究2
∵∠A=∠A'
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′
求证：△A′B′C′∽△ABC.
证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D,使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E.
∵DE∥B′C′,
∴△A′DE∽△A′B′C′.
B
A
C
B’
A’
D
E
C’
证明相似三角形的判定定理2
∵A′D=AB，
∴A′E=AC.
又∠A′=∠A.
∴△A′DE∽△ABC，
∴△A′B′C′∽△ABC.
B
A
C
B’
A’
D
E
C’
例2：如图，∠B=90°，AB=BE=EF=FC=1。求证：ΔAEF∽ΔCEA．
∵∠AEF=∠CEA
∴△AEF∽△CEA．
证明：∵AB=BE=EF=FC=1，
∵∠B=90°
∴在RtABE中，由勾股定理得:
典型例题2
练习2
如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？
解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
时，△APB和△CPD相似
解得：
所以当
△APB和△CPD相似.
用数学符号表示：
判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似．
∵
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
A
B
C
A'
C'
B'
探究3
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知
求证：△A′B′C′∽△ABC.
证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D,使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E.
∵DE∥B′C′,
∴△A′DE∽△A′B′C′.
B
A
C
B’
A’
D
E
C’
证明相似三角形的判定定理3
∵
∴△A′DE ≌△ABC，
∵△A′DE∽△A′B′C′
∴△A′B′C′∽△ABC.
B
A
C
B’
A’
D
E
C’
例3：如图，在△ABC和△ADE中， ， 点B,D,E在一条直线上，能否得到△ABD∽△ACE呢？
解：能；理由是：
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAD=∠CAE
∴△ABD∽△ACE
典型例题3
如图，在等边三角形ABC中，D,E,F分别是三边上的点，AE=BF=CD,那么△ABC与△DEF相似吗？请证明你的结论？
提示：由AE=BF=CD,得BE=CF=AD,可证△ADE≌△BEF≌△CFD,从而DE=EF=FD,所以△DEF是等边三角形，因此△ABC∽△DEF.
练习3
解：∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA
∵AE=BF=CD
∴BE=CF=AD
∴△ADE≌△BEF≌△CFD
∴DE=EF=FD
∴△DEF是等边三角形
∴△ABC∽△DEF
相似三角形的判定
1.相似三角形的判定定理1
两角对应相等的两个三角形相似．
2. 相似三角形的判定定理2
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
3. 相似三角形的判定定理3
三边成比例的两个三角形相似．
拓展应用
1.如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，EF⊥AE．求证:AE2=AD·AF．
证明：∵∠ADE=∠FCE=90°,
又AE⊥EF,
∴∠AED+∠FEC=180°-∠AEF=90°,
又∠EFC+∠FEC=90°,
∴∠EFC=∠AED,
∴△ADE∽△ECF
∵∠D=∠AEF=90
∴△ADE∽△AEF
∴AE2=AD·AF
2.已知:如图，CE是RtΔABC的斜边AB上的高，BG⊥AP． 求证:CE2=ED·EP．
证明：∵CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，
∴△ACE∽△CBE，
即CE2=AE·BE．
∵CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，BG⊥AP，
∴∠P+∠PAE=90°，∠DBE+∠PAE=90°，∴∠P=∠DBE，
即AE·BE=ED·EP，
又∵CE2=AE·BE，
∴CE2=ED·EP．
又∵∠AEP=∠DEB=90°，
∴△AEP∽△DEB；
3.如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s;动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s.如果P,Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？
提示：设同时运动ts时这两个三角形相似，此时BQ=4tcm,BP=（8-2t）cm.△QBP相似于△ABC,需进行分类讨论，对应边不同相应的对应比也就不一样.
解：设同时运动ts时这两个三角形相似，此时BQ=4tcm,BP=（8-2t）cm.
1.若△QBP∽△ABC,则
2.若△PBQ∽△ABC,则
综上所述，经过0.8s或2s时，△QBP与△ABC相似.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
相似三角形的判定定理2
课堂总结
相似三角形的判定定理1
相似三角形的判定定理3
三边成比例的两个三角形相似．
两角对应相等的两个三角形相似．
课后作业
习题4.9：知识技能第1，2两题
谢谢！
