1.3 算法案例（秦九昭算法） 教案2

1.3.4
秦九韶算法
教案
一、三维目标
(a)知识与技能
了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质.
(b)过程与方法
模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙.
(c)情态与价值观
通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久.充分认识信息技术对数学的促进.
二、教学重难点
重点：1.秦九韶算法的特点
难点：1.秦九韶算法的先进性理解
三、教学设计
(一)创设情景，揭示课题
1.辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数的最大公约数的优秀算法，我们将算法转化为程序后，就可以由计算机来执行运算，实现了古代数学与现代信息技术的完美结合.
2.对于求n次多项式的值，在我国古代数学中有一个优秀算法，即秦九韶算法，我们将对这个算法作些了解和探究.
(二)研探新知
思考1
21325
算法1：需要(5+4+3+2)=14次乘法，5次加法
算法2：需要5次乘法，5次加法
秦九韶算法
思考2
18556
思考3:利用后一种算法求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值，这个多项式应写成哪种形式？
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+…+a2x+a1)x+a0
=((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0=…
=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.
思考4:对于f(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0，由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤如何？
第一步，计算v1=anx+an-1.
第二步，计算v2=v1x+an-2.
第三步，计算v3=v2x+an-3.
…
第n步，计算vn=vn-1x+a0.
思考5:上述求多项式f(x)=
anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值的方法称为秦九韶算法，利用该算法求f(x0)的值，一共需要多少次乘法运算，多少次加法运算？
思考6:在秦九韶算法中，记v0=an，那么第k步的算式是什么？
vk=vk-1x+an-k
(k=1，2，…，n)
例1
阅读下列程序，说明它解决的实际问题是什么？
求多项式，在x=a时的值.
评价一个算法好坏的一个重要标志是运算的次数，如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论算法.在多项式求值的各种算法中，秦九韶算法是一个优秀算法.