1.3 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法 学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 1.3 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法 学案（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 22.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-04 11:27:36 | ||
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文档简介
1.3
辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法
学案
【学习目标】
1．理解辗转相除法与更相减损术的含义，了解其执行过程，并会求最大公约数．
2．掌握秦九韶算法的计算过程，了解它提高计算效率的实质，并会求多项式的值．
3．进一步体会算法的基本思想．
【学习重点】
算法步骤及程序框图和算法程序
课前预习案
【知识链接】
1．36与60的最大公约数是多少？你是如何得到的？
2．观察下列等式8
251＝6
105×1＋2
146，那么8
251与6
105这两个数的公约数和6
105与2
146的公约数有什么关系？
【知识梳理】
1．辗转相除法
(1)辗转相除法．
①算法步骤：
②程序框图如图所示．
③程序：
2、更相减损术
问题：设两个正整数m>n(m>n)，若m－n＝k，则m与n的最大公约数和n与k的最大公约数相等，反复利用这个原理，可求得98与63的最大公约数是多少？
算法分析：
3．秦九韶算法
(1)概念：求多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的值时，常用秦九韶算法，这种算法的运算次数较少，是多项式求值比较先进的算法，其实质是转化为求n个____多项式的值，共进行__次乘法运算和__次加法运算．其过程是：
(2)算法步骤：
(3)程序框图如图所示．
(4)程序：
自主小测
1、
用更相减损术求294和84的最大公约数时，第一步是__________．
2、
设计程序框图，用秦九韶算法求多项式的值，所选用的结构是( )
A．顺序结构
B．条件结构
C．循环结构
D．以上都有
3．用更相减损术可求得78与36的最大公约数是( )
A．24
B．18
C．12
D．6
课上导学案
教师点拨：
更相减损术与辗转相除法的区别与联系
如表所示．
辗转相除法
更相减损术
区别
①以除法为主．②两个整数差值较大时运算次数较少．③相除余数为零时得结果.
①以减法为主．②两个整数的差值较大时，运算次数较多．③相减，差与减数相等得结果．④相减前要做是否都是偶数的判断.
联系
①都是求最大公约数的方法．②二者的实质都是递归的过程．③二者都要用循环结构来实现.
例题讲解
【例题1】
(1)用辗转相除法求8251与6105的最大公约数；
(2)用更相减损术求98与63的最大公约数．
分析：本题是关于辗转相除法和更相减损术的直接应用．辗转相除法的操作是较大的数除以较小的数；更相减损术的操作是以大数减小数．
反思：(1)利用辗转相除法求最大公约数时经常会取错最后一个余数．因为辗转相除法有有限个除法式子，而最后一个余数在倒数第二个式子的最后．
(2)利用更相减损术求解最大公约数时，最大公约数是直到差等于减数时的那个差，或是该差与约简的数的乘积．
【例题2】
用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x+1当x＝5时的值．
【当堂检测】
1．用秦九韶算法计算f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值，需要进行乘法运算和加法运算的次数分别为( )
A．6，6
B．5，6
C．6，5
D．6，12
2．利用辗转相除法求3
869与6
497的最大公约数时，第二步是________．
3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1在x＝－2时的值为________．
4．用辗转相除法求242与154的最大公约数．
【知识链接】
1、【提示】 先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来即为最大公约数．由于，故36与60的最大公约数为2×2×3＝12.
2、【提示】 8
251的最大约数是2
146的约数，同样6
105与2
146的公约数也是8
251的约数，故8
251与6
105的最大公约数也是6
105与2
146的最大公约数．
自主小测答案：1、
用2约简 由于294和84都是偶数，先用2约简．
2、
D
3．D 先用2约简得39，18；然后辗转相减得39－18＝21，21－18＝3，18－3＝15，15－3＝12，12－3＝9，9－3＝6，6－3＝3.所以所求的最大公约数为3×2＝6.
当堂检测答案：
1．A 改写多项式f(x)＝(((((3x＋4)x＋5)x＋6)x＋7)x＋8)x＋1，则需进行6次乘法和6次加法运算．
2．3
869＝2
628×1＋1
241 第一步：6
497＝3
869×1＋2
628，
第二步：3
869＝2
628×1＋1
241.
3．－1 改写多项式为f(x)＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1，当x＝－2时，
v0＝1；v1＝1×(－2)＋5＝3；
v2＝3×(－2)＋10＝4；
v3＝4×(－2)＋10＝2；
v4＝2×(－2)＋5＝1；
v5＝1×(－2)＋1＝－1；
故f(－2)＝－1.
4．解：242＝154×1＋88，
154＝88×1＋66，
88＝66×1＋22，
66＝22×3.
所以242与154的最大公约数是22.
辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法
学案
【学习目标】
1．理解辗转相除法与更相减损术的含义，了解其执行过程，并会求最大公约数．
2．掌握秦九韶算法的计算过程，了解它提高计算效率的实质，并会求多项式的值．
3．进一步体会算法的基本思想．
【学习重点】
算法步骤及程序框图和算法程序
课前预习案
【知识链接】
1．36与60的最大公约数是多少？你是如何得到的？
2．观察下列等式8
251＝6
105×1＋2
146，那么8
251与6
105这两个数的公约数和6
105与2
146的公约数有什么关系？
【知识梳理】
1．辗转相除法
(1)辗转相除法．
①算法步骤：
②程序框图如图所示．
③程序：
2、更相减损术
问题：设两个正整数m>n(m>n)，若m－n＝k，则m与n的最大公约数和n与k的最大公约数相等，反复利用这个原理，可求得98与63的最大公约数是多少？
算法分析：
3．秦九韶算法
(1)概念：求多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的值时，常用秦九韶算法，这种算法的运算次数较少，是多项式求值比较先进的算法，其实质是转化为求n个____多项式的值，共进行__次乘法运算和__次加法运算．其过程是：
(2)算法步骤：
(3)程序框图如图所示．
(4)程序：
自主小测
1、
用更相减损术求294和84的最大公约数时，第一步是__________．
2、
设计程序框图，用秦九韶算法求多项式的值，所选用的结构是( )
A．顺序结构
B．条件结构
C．循环结构
D．以上都有
3．用更相减损术可求得78与36的最大公约数是( )
A．24
B．18
C．12
D．6
课上导学案
教师点拨：
更相减损术与辗转相除法的区别与联系
如表所示．
辗转相除法
更相减损术
区别
①以除法为主．②两个整数差值较大时运算次数较少．③相除余数为零时得结果.
①以减法为主．②两个整数的差值较大时，运算次数较多．③相减，差与减数相等得结果．④相减前要做是否都是偶数的判断.
联系
①都是求最大公约数的方法．②二者的实质都是递归的过程．③二者都要用循环结构来实现.
例题讲解
【例题1】
(1)用辗转相除法求8251与6105的最大公约数；
(2)用更相减损术求98与63的最大公约数．
分析：本题是关于辗转相除法和更相减损术的直接应用．辗转相除法的操作是较大的数除以较小的数；更相减损术的操作是以大数减小数．
反思：(1)利用辗转相除法求最大公约数时经常会取错最后一个余数．因为辗转相除法有有限个除法式子，而最后一个余数在倒数第二个式子的最后．
(2)利用更相减损术求解最大公约数时，最大公约数是直到差等于减数时的那个差，或是该差与约简的数的乘积．
【例题2】
用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x+1当x＝5时的值．
【当堂检测】
1．用秦九韶算法计算f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值，需要进行乘法运算和加法运算的次数分别为( )
A．6，6
B．5，6
C．6，5
D．6，12
2．利用辗转相除法求3
869与6
497的最大公约数时，第二步是________．
3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1在x＝－2时的值为________．
4．用辗转相除法求242与154的最大公约数．
【知识链接】
1、【提示】 先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来即为最大公约数．由于，故36与60的最大公约数为2×2×3＝12.
2、【提示】 8
251的最大约数是2
146的约数，同样6
105与2
146的公约数也是8
251的约数，故8
251与6
105的最大公约数也是6
105与2
146的最大公约数．
自主小测答案：1、
用2约简 由于294和84都是偶数，先用2约简．
2、
D
3．D 先用2约简得39，18；然后辗转相减得39－18＝21，21－18＝3，18－3＝15，15－3＝12，12－3＝9，9－3＝6，6－3＝3.所以所求的最大公约数为3×2＝6.
当堂检测答案：
1．A 改写多项式f(x)＝(((((3x＋4)x＋5)x＋6)x＋7)x＋8)x＋1，则需进行6次乘法和6次加法运算．
2．3
869＝2
628×1＋1
241 第一步：6
497＝3
869×1＋2
628，
第二步：3
869＝2
628×1＋1
241.
3．－1 改写多项式为f(x)＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1，当x＝－2时，
v0＝1；v1＝1×(－2)＋5＝3；
v2＝3×(－2)＋10＝4；
v3＝4×(－2)＋10＝2；
v4＝2×(－2)＋5＝1；
v5＝1×(－2)＋1＝－1；
故f(－2)＝－1.
4．解：242＝154×1＋88，
154＝88×1＋66，
88＝66×1＋22，
66＝22×3.
所以242与154的最大公约数是22.