1.3 算法案例 学案3（含答案）

1.3　算法案例
学案
明目标、知重点
1．了解各种进位制与十进制之间转换的规律．
2．学会各种进位制转换成十进制的计算方法．
3．了解十进制转换为各种进位制的除k取余法，并理解其中的数学规律．
填要点、记疑点
1．进位制
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满k进一”就是k进制，k进制的基数是k.
把十进制转化为k进制数时，通常用除k取余法．
2．各进制数的表示方法
一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式an
an－1…a1a0(k)(an，an－1，…，a1，a0∈N,0为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，如二进制数10(2)，六进制数341(6)，十进制数一般不标注基数．
3．k进制化为十进制的步骤
(1)先把k进制数写成不同位上数字与k的幂的乘积形式；
(2)再按照十进制数的运算规则计算出结果．
探要点、究所然
[情境导学]　在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天，一年十二个月，一小时六十分钟的历法．今天我们来学习进位制．
探究点一　进位制的概念
思考1　进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统，如逢十进一，就是十进制；每七天为一周，就是七进制；每十二个月为一年，就是十二进制；每六十分钟为一个小时，就是六十进制等等．一般地，“满k进一”就是k进制，其中k称为k进制的基数．那么k是一个什么范围内的数？
答　k是大于或等于2的整数．
思考2　十进制使用0～9十个数字，那么二进制、五进制、七进制分别使用哪些数字？
答　二进制使用0,1二个数；五进制使用0～4五个数；七进制使用0～6七个数．
思考3　在十进制中10表示十，在二进制中10表示2.一般地，若k是一个大于1的整数，则以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式：anan－1…a1a0(k)，其中各个数位上的数字an，an－1，…，a1，a0的取值范围如何？
答　它们的取值范围为0～k－1的整数．
思考4　十进制数4
528表示的数可以写成4×103＋5×102＋2×101＋8×100，依此类比，二进制数110
011(2)，八进制数7
342(8)分别可以写成什么式子？
答　110
011(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20，
7
342(8)＝7×83＋3×82＋4×81＋2×80.
思考5　一般地，如何将k进制数anan－1…a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式？
答　an
an－1…a1a0(k)＝an×kn＋an－1×kn－1＋…＋a1×k1＋a0×k0
思考6　在二进制中，0＋0,0＋1,1＋0,1＋1的值分别是多少？
答　分别是0,1,1,10.
探究点二　k进制化十进制的算法
思考1　二进制数110
011(2)化为十进制数是什么数？
答　110
011(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝32＋16＋2＋1＝51.
思考2　二进制数中从右数第i位数字
ai
化为十进制数是什么数？
答　ai×2i－1
小结　将k进制数an
an－1…a1a0(k)化为十进制的方法：把k进制数an
an－1…a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式，然后计算出结果即为对应的十进制数．
探究点三　除k取余法
思考1　二进制数101
101(2)化为十进制数是什么数？十进制数89化为二进制数是什么数？
答　101
101(2)＝25＋23＋22＋1＝45.
89＝2×(2×(2×(2×(2×2＋1)＋1)＋0)＋0)＋1
＝2×(2×(2×(2×(22＋1)＋1)＋0)＋0)＋1
＝…
＝1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20
＝1
011
001(2)．
思考2　
89化十进制数为二进制数的算法叫做除2取余法，转化过程有些复杂，观察右面的算式你有什么发现吗？
答　把算式中的余数按箭头方向从下向上写出，即为89的二进制数．
思考3　上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法，称为除k取余法，那么十进制数191化为五进制数是什么数？
答　
191＝1
231(5)．
例　将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数．
解　算式如下图，
则458＝13
022(4)＝2
042(6)
反思与感悟　十进制数化为k进制数的思路为→→.
跟踪训练　1
011
001(2)＝______(10)＝______(5)．
答案　89　324
解析　十进制数为1×26＋0＋1×24＋1×23＋0＋0＋1×20＝89，再将89化成五进制数：89除以5的商是17，余数为4,17除以5的商是3，余数为2，所以五进制数为324.
【当堂测、查疑缺】
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．二进制数算式1
010(2)＋10(2)的值是
(　　)
A．1
011(2)
B．1
100(2)
C．1
101(2)
D．1
000(2)
答案　B
解析　1
010(2)＋10(2)＝(1×23＋0×22＋1×21＋0×20)＋(1×21＋0×20)＝12＝1
100(2)．
2．下列有可能是4进制数的是
(　　)
A．5
123
B．6
542
C．3
103
D．4
312
答案　C
解析　4进制数每位上的数字一定小于4，故选C.
3．将五进制数30
241(5)转化为七进制数．
解　30
241(5)＝3×54＋2×52＋4×5＋1＝1
946，如图算式，则30
241(5)＝5
450(7)．
【呈重点、现规律】
1．要把k进制数化为十进制数，首先把k进制数表示成不同位上数字与k的幂的乘积之和，其次按照十进制的运算规则计算和．
2．十进制数化为k进制数(除k取余法)的步骤：
3．把一个非十进制数化为另一个非十进制数时，要先把这个数化为十进制数，再利用“除k取余法”化为另一个非十进制数．