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立方根
【义务教育教科书北师版八年级上册】
学校：________
教师：________
课前回顾
3、求一个数的平方根就是寻找哪个数平方等于这个数。
平方与开平方是互为逆运算的关系。
若x2= a ，那么x叫做a的平方根，记作：x = .
1、什么叫一个数a的平方根？如何用符号表示数
a（a≥0）的平方根
2、求一个数a的平方根的运算叫做开平方，a叫做被
开方数
探究新知
某化工厂使用半径为1米的一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果要求它的体积必须是原来体积的8倍，那么它的半径应是原来储气罐半径的多少倍？
活动一：探究立方根的概念
若新储气罐的体积是原来的4倍，那么它的半径又是原来储气罐半径的多少倍？
怎样求出半径R？
探究新知
活动一：探究立方根的概念
原来的储气罐的体积为
设新的储气罐的半径是R(m)，则
R与8有什么关系呢？
提出问题：
如何求R呢？
探究新知
1、一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a, 那么这个数x就叫做a的立方根（cube root，也叫做三次方根）。
如：因为23=8，所以2是8的立方根
因为（－3）3=27，所以-3是 27 的立方根 ，
因为03=0，所以0是 0 的立方根．
探究新知
2、立方根的表示方法：
a叫做被开方数
3叫做根指数
注意:这个根指数3是绝对不可省的.
读作“三次根号a”
如：因为23=8，所以2是8的立方根，记作
因为（－3）3=-27，所以-3是 -27 的立方根 ，
记作
因为03=0，所以0是 0 的立方根，记作
x3=7时，x是7的立方根，即
回顾引例
某化工厂使用半径为1米的一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果要求它的体积必须是原来体积的8倍，那么它的半径应是原来储气罐半径的多少倍？
解：
原来的储气罐的体积为
设新的储气罐的半径是R(m)，则
即
所以R= =2
所以它的半径应是原来的储气罐半径的2倍 。
回顾引例
若新储气罐的体积是原来的4倍，那么它的半径又是原来储气罐半径的多少倍？
解：
原来的储气罐的体积为
所以R=
所以它的半径应是原来的储气罐半径的 倍 。
设新的储气罐的半径是R(m)，则
即
活动二：探究立方根的性质
（1） （ ） ；
3
（2） （ ）；
0.2
（3） （ ）；
0
（4） （ ）；
-3
（5） （ ）.
﹣0.2
立方根的性质
0的立方根是0
总之，任何一个数都有立方根，而且只有一个。
（1）正数有几个立方根
正数有1个正的立方根
（2）0有几个立方根
负数有1个负的立方根
（3）负数有几个立方根
1、判断
（1）25的立方根是5（ ）
（2）互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数（ ）
（3）任何数的立方根只有一个（ ）
（4）如果一个数的平方根与其立方根相同，则这个数
是1（ ）
（5）如果一个数的立方根是这个数的本身，那么这个
数一定是零（ ）
（6）一个数的立方根不是正数就是负数（ ）
（7）–64没有立方根 ( )
小试身手
×
√
√
×
×
×
×
名称
内容
平方根
立方根
表示方法
个 数
被开方数
联 系
区 别
正数有两个平方根； 0的平方根是0；
负数没有平方根。
任意数都只有一个立方根
非负数
任意数
都是开方运算的结果；0的平方根、立方根都是0
活动三：探究平方根与立方根的区别与联系
求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。a叫做被开方数.
开立方与立方是互逆运算，可以用立方来检验开立方的结果是否正确。
探究新知
经典例题
例1 求下列各数的立方根：
(1) -27；(2) 0.216；(3) ；(4) -5．
解: (1)因为（-3）3＝-27，
所以-27的立方根是-3，
即 ;
(2)因为0.63＝0.216， 所以0.216的立方根是0.6，
即 ;
(4) -5的立方根是 。
例1 求下列各数的立方根：
(1) -27；(2) 0.216；(3) ；(4) -5．
解：(3)因为 ，所以 的算术平方根是 ，
即 ;
注意：非立方数的立方根保留根号。如-5的立方根是 。
例2 求下列各式的值:
得到：
计算：
____
_____
_____
_____
2
4
-2
-3
对于任何数a，
计算：
____
____
____
____
8
-8
27
-27
得到：
对于任何数a，
对于任何数a，
2、正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，
0的立方根是0。
3、求一个数的立方根就是寻找哪个数立方等于
这个数。
立方与开立方是互为逆运算的关系。
体验收获
1、若x3= a ，那么x叫做a的立方根，
记作： x = ，读作：三次根号a。
达标测试
1、 的立方根是 ， 平方根是_______。
2
2、若 ，则x= _____
3、 的绝对值是______
6
3
4、 的平方根与－8的立方根之和是（ ）
A．0 B．－4 C．0或－4 D．4
5、343的平方根及立方根分别是（ ）
C
A. ，7 B. ，±7 C. ，﹣7 D. ，7
D
6、如果 ，那么a是（ ）
A．±1 B．1，0 C．±1，0 D．以上都不对
C
7、求下列各数的立方根
⑴ ⑵ ⑶
8、求下列各式中的的值
⑴ ⑵ ⑶
-2
-4
解:(1) ∵ x3=216 ∴ 即x=6
(2) ∵ (x+5)3=64 ∴ ∴x+5=4 即x=-1
（3）∵ ∴ ∴ 即x=2
9、如果M= 是a+b+3的算术平方根，N=
是a+2b的立方根，求M－N的立方根.
解：根据题意得
解得
所以M= = =3，N= = =2，
所以 =1
即 M-N的立方根是1.
10、已知 +|b3-27|=0,求（a-b）b的立方根.
解：根据题意得
|b3-27|=0
∴a3+64=0 b3-27=0
∴a3=-64 b3=27
∴
∴(a-b)b=(-4-3)3=(-7)3=-343
布置作业
教材29页习题第3、4、5题登陆21世纪教育 助您教考全无忧
课题：立方根
教学目标：
知识与技能目标：
1．了解立方根的概念，能够用根号表示一个数的立方根；
2．能用类比平方根的方法学习立方根及开立方运算，并区分立方根与平方根的不同．
3．了解立方根的性质．
过程与方法目标：
1．在立方根概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力．
2．在合作交流等活动中，培养学生的合作精神和创新意识．
情感态度与价值观目标：
1.鼓励学生积极参与教学活动,提高大家学习数学的热情.
2.引导学生充分进行交流,讨论与探索等教学活动,培养他们的合作与钻研精神.
教学重点：
1. 立方根的概念和求法。
2.了解立方根与开立方是互为逆运算,会利用这个互逆运算关系求任意数的立方根.
3.了解平方根与立方根的区别与联系.
教学难点：
1立方根与平方根的区别
2立方根的性质．
教学过程：
课前回顾
1、什么叫一个数a的平方根？如何用符号表示数a（a≥0） 的平方根
若x2= a ，那么x叫做a的平方根，记作：x = .
2、求一个数a的平方根的运算叫做开平方，a叫做被开方数
3、求一个数的平方根就是寻找哪个数平方等于这个数。
平方与开平方是互为逆运算的关系。
探究新知
活动一：探究立方根的概念
某化工厂使用半径为1米的一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果要求它的体积必须是原来体积的8倍，那么它的半径应是原来储气罐半径的多少倍？
若新储气罐的体积是原来的4倍，那么它的半径又是原来储气罐半径的多少倍？
怎样求出半径R？
原来的储气罐的体积为
设新的储气罐的半径是R(m)，则
即
提出问题：R与8有什么关系呢？
如何求R呢？
1、一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a, 那么这个数x就叫做a的立方根（cube root，也叫做三次方根）。21世纪教育网版权所有
如：因为23=8，所以2是8的立方根
因为（－3）3=27，所以-3是 27 的立方根 ，
因为03=0，所以0是 0 的立方根．
2、立方根的表示方法：
3叫做根指数
a叫做被开方数
读作“三次根号a”
注意:这个根指数3是绝对不可省的.
如：因为23=8，所以2是8的立方根，记作
因为（－3）3=-27，所以-3是 -27 的立方根 ，记作
因为03=0，所以0是 0 的立方根，记作
x3=7时，x是7的立方根，即
回顾引例
某化工厂使用半径为1米的一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果要求它的体积必须是原来体积的8倍，那么它的半径应是原来储气罐半径的多少倍？
解：原来的储气罐的体积为
设新的储气罐的半径是R(m)，则
即
所以R= =2
所以它的半径应是原来的储气罐半径的2倍 。
若新储气罐的体积是原来的4倍，那么它的半径又是原来储气罐半径的多少倍？
怎样求出半径R？
解：原来的储气罐的体积为
设新的储气罐的半径是R(m)，则
即
所以R=
所以它的半径应是原来的储气罐半径的倍 。
活动二：探究立方根的性质
做一做
（1）=（ 3 ）；
（2）=（0.2 ）；
（3）=（ 0 ）；
（4）=（-3）；
（5）=（-0.2 ）．
立方根的性质
（1）正数有几个立方根
正数有1个正的立方根
（2）0有几个立方根
0的立方根是0
（3）负数有几个立方根
负数有一个负的立方根
总之，任何一个数都有立方根，而且只有一个。
探究新知
求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。a叫做被开方数.
开立方与立方是互逆运算，可以用立方来检验开立方的结果是否正确。
小试身手
判断
（1）25的立方根是5（ × ）
（2）互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数（ √ ）
（3）任何数的立方根只有一个（√ ）
（4）如果一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1（ × ）
（5）如果一个数的立方根是这个数的本身，那么这个数一定是零（ × ）
（6）一个数的立方根不是正数就是负数（× ）
（7）–64没有立方根 ( × )
活动三：探究平方根与立方根的区别与联系
经典例题
例1 求下列各数的立方根：
(1) -27；(2) 0.216；(3) ；(4) -5．
解: (1)因为（-3）3＝-27，
所以-27的立方根是-3， 即 ;
(2)因为0.63＝0.21，
所以0.216的立方根是0.6， 即 ;
(3)因为 ，所以 的算术平方根是 ，即 ;
(4) -5的立方根是。
注意：非立方数的立方根保留根号。如-5的立方根是。
例2 求下列各式的值:
计算：=__2_ =_4_ =_-2_ =__-3__
得到：对于任何数a，
计算： =__8_ =_27_ =_-8_ =_-27_
得到：对于任何数a，
对于任何数a，
体验收获
1、若x3= a ，那么x叫做a的立方根，记作 x = ，读作：三次根号a。
2、正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根， 0的立方根是0。
.
3、求一个数的立方根就是寻找哪个数立方等于这个数。
立方与开立方是互为逆运算的关系。
达标测试
1、的立方根是 2 ， 平方根是_______。
2、若，则x= __6___
3、的绝对值是___3___
4．的平方根与－8的立方根之和是（ C ）
A．0 B．－4 C．0或－4 D．4
5、343的平方根及立方根分别是（ D ）
A.,7 B. ，±7 C. ，-7 D. ，7
6．如果 ，那么a是（ C ）
A．±1 B．1，0 C．±1，0 D．以上都不对
7、求下列各数的立方根
⑴ ⑵ ⑶
-2 -4
8、求下列各式中的的值
⑴ ⑵ ⑶
解：(1)∵x3=216 ∴x= 即x=6
(2) ∵(x+5)3=64 ∴x+5= ∴x+5=4 即x=1
(3) ∵ ∴ ∴ 即x=2
9、如果M=是a+b+3的算术平方根，N= 是a+2b的立方根，
求M－N的立方根.
解根据题意得
解得
所以M= = =3，N= = =2，
所以=1
即 M-N的立方根是1.
10、已知+|b3-27|=0,求（a-b）b的立方根.
解：根据题意得
=0 |b3-27|=0
∴a3+64=0 b3-27=0
∴a3=-64 b3=27
∴a==-4
b==3
∴（a-b）b=(-4-3)3=(-7)3=-343
布置作业
教材29页习题第3、4、5题
名称
内容
平方根
立方根
表示方法
个 数
被开方数
联 系
区 别
正数有两个平方根；
0的平方根是0；
负数没有平方根。
任意数都只有一个立方根
都是开方运算的结果；0的平方根、立方根都是0
非负数
任意数
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班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题(每小题6分，共36分)
1、以下语句：①任何数都有平方根；②任何数都有立方根；③一个数有两个平方根；④一个数有一个立方根．正确的有( )2-1-c-n-j-y
A. 1句 B. 2句 C. 3句 D. 4句
2、下列说法不正确的是( )
A.16的平方根是±4 B.-3是的一个平方根
C.0.25的算术平方根是0.5 D.-8的立方根是-2
3、下列说法不正确的是( )
A. ±0.3是0.09的平方根，即
B. 存在立方根和平方根相等的数
C. 正数的两个平方根的积为负数
D. 的平方根是±8
4、下列计算中错误的是( )
A. =2 B. =-3 C. =-6 D. =5
5、若实数m，n满足(m-12)2+|n+15|=0，则n-m的立方根为( )
A.-3 B.3 C.±3 D
6、已知|x|=6，y3=-8，且x+y＜0，则xy=( )
A.-8 B.-4 C.12 D.-12
二、填空题(每小题6分，共24分)
1、如果是一个整数，那么最大的负整数a=______.
2、一组有规律的数：-1，， ，……，符合这个规律的第5个数是_____．
3、若3是a+7的算术平方根，2是2b+2的立方根，则3a+b的值是_____．
4、若一个正方体的体积变为原来的27倍，则它的棱长为原来的_____倍．若一个正方体的体积变为原来的n倍，则它的棱长为原来的_____倍．www-2-1-cnjy-com
三、解答题(每小题20分，40分)
1、解方程：
(1)(x+1)2-9=0； (2)64(x-1)3+125=0．
2、一个底面半径为2dm的圆柱形玻璃杯装满水，杯的高度为 dm，现将这杯水倒入一正方形容器中，正好达到正方体容器容积的处，(玻璃杯及容器的厚度可以不计)。
求正方体容器的棱长．
参考答案
一、选择题
1、答案：B
【解析】根据平方根和立方根的定义和性质即可判定；
①任何数不一定有平方根，故说法错误； ②任何数都有立方根，故说法正确；
③一个数不一定有平方根，故说法错误； ④一个数有一个立方根，故说法正确．
故正确的有②④两句．
故选B．21教育网
2、答案： B
【解析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义求出结果，再判断即可．
A、16的平方根是±4，故本选项错误；
B、-是的一个平方根，-3不是的平方根，故本选项正确；
C、0.25的算术平方根是0.5，故本选项错误；
D、-8的立方根是-2，故本选项错误；
故选B．2·1·c·n·j·y
3、答案：D
【解析】根据平方根的定义解答．
A、∵（±0.3）2=0.009，±0.3是0.09的平方根，故本选项正确；
B、0的立方根和平方根相等，故本选项正确；
C、正数的平方根有两个，互为相反数，其积为负数，故本选项正确；
D、∵=8，∴的平方根为±2，故本选项错误．
故选：D．【来源：21·世纪·教育·网】
4、答案：C
【解析】根据立方根的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
A、=2正确，故本选项错误；B、=-3正确，故本选项错误；
C、=-6,故本选项正确；D、=-（-5）=5正确，故本选项错误．
故选C．21·世纪*教育网
5、答案：A
【解析】根据绝对值和偶次方是非负数和几个非负数的和为0的性质得到（m-12）2=0，|n+15|=0，易得m=12，n=-15，则n-m=-15-12=-27，然后根据立方根的定义计算-27的立方根．∵（m-12）2+|n+15|=0，
∴（m-12）2=0，|n+15|=0，
∴m-12=0，n+15=0，
∴m=12，n=-15，
∴n-m=-15-12=-27，
-27的立方根为=-3．
故选A． 21*cnjy*com
6、答案：C
【解析】先根据绝对值的性质求出x的值，由立方根的定义求出y的值，再根据x+y＜0求出符合条件的未知数的值，再进行计算．
∵|x|=6，∴x=6或x=-6；
∵y3=-8，∴y=-2，
∵x+y＜0，∴x=-6，y=-2，
∴xy=（-6）×（-2）=12．
故选C．【来源：21cnj*y.co*m】
二、填空题
1、答案：-20
【解析】因为400=22×102=24×52=23×2×52，所以要使是整数，且a取最大的负整数，则a=-22×5=-20.【出处：21教育名师】
故答案为 -20 ．
2、答案：
【解析】：由规律得出当为奇数是，为偶数时为，可得第5个数是．
故答案为：
3、答案：9
【解析】：∵3是a+7的算术平方根，∴a+7=9，
解得：a=2，
∵2是2a+2的立方根，∴2b+2=8
解得：b=3
∴3a+b=3×2+3=9，
故答案为：921世纪教育网版权所有
4、答案：3，
【解析】：由于正方体的体积等于棱长的立方，根据立方根的定义得到一个正方体的体积扩大为原来的n倍，它的棱长变为原来的倍．一个正方体的体积扩大为原来的27倍，它的棱长变为原来的倍，即3倍；
一个正方体的体积扩大为原来的n倍，它的棱长变为原来的倍．
故答案为3，．21cnjy.com
三、解答题
1、答案：x=．
【解析】（1）移项，得（x+1）2=9，
开方，得 x+1=3或x+1=-3，
x=2或x=-4；
（2）移项，得 64（x-1）3=-125，
两边都除以64，得，
（x-1）3
开方，得 x-1=，
x=． 21·cn·jy·com
2、答案：2dm
【解析】 圆柱形玻璃杯里水的体积：π×22×=16（dm2）
倒入正方体中，列出方程式得：a3=16
解得：a=2（dm）
答：正方体容器的棱长为2dm． www.21-cn-jy.com
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