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课题：平行线的判定
教学目标：
知识与技能目标：
1．经历探索直线平行的条件的过程，掌握直线平行的条件，并能解决一些问题；
2．通过分析题意，能灵活地选用判定直线平行的方法进行说理．
过程与方法目标：
1．经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有条理的表达能力；
2．理解并学会执因导果和执果索因的思考方法.
情感态度与价值观目标：
1．在小组合作学习中，鼓励学生积极参与，交流互动，培养学生的合作意识和团队精神，并感受学习数学的乐趣，激发学习的积极性. 21世纪教育网版权所有
重点：
1．运用判定两直线平行的公理和定理进行推理；
2．探索并掌握直线平行的判定方法.
难点：
适当选取判定两直线平行的方法进行说理.
教学流程：
情境引入
“三线八角”回顾
同位角、内错角、同旁内角的特点：
与被截直线的关系 与截线的关系
同位角
内错角
同旁内角
解：被截直线的同一方向 截线的同旁
被截直线之间 截线的两旁
被截直线之间 截线的同旁
如图，直线AB、CD被直线EF所截，图中哪些角是同位角？哪些角是内错角？哪些角是同旁内角？
解：同位角∠EGB与∠EHD 、 ∠EGA与∠EHC 、 ∠BGF与∠DHF 、 ∠AGF与∠CHF，
内错角∠BGF与∠EHC、 ∠AGF与∠EHD ，
同旁内角∠AGF与∠CHE 、 ∠BGF与∠EHD
自主探究
探究1：
小明采用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？
解：小明的作法对。理由：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等,那么这两条直线平行.
已知：如图，∠1和∠2是直线a，b 被直线 c 截出的内错角，且∠1=∠2.
求证：a∥b.
证明：∵ ∠1=∠2 (已知),
∠1=∠3(对顶角相等).
∴∠3=∠2 (等量代换).
∴ a∥b(同位角相等，两直线平行).
定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
目的：让学生用已经证明了的定理解决这一问题，验证了同学们之前的猜想，体现了“观察—猜想—证明—应用”的数学思想方法.让学生对所学知识进行整理，有助于知识体系的形成.21教育网
做一做：
1.如图，由∠1=∠2得到AB∥CD的理由是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．两直线平行，内错角相等
C．同位角相等，两直线平行
D．内错角相等，两直线平行
解：C
2.如图，已知CD⊥AD，DA⊥AB，∠1＝∠2，则DF与AE平行吗？为什么？
解：DF∥AE.理由如下：
∵CD⊥AD，DA⊥AB(已知)
∴∠2＋∠FDA＝90°，∠1＋∠DAE＝90°
(垂直的定义)．
又∵∠1＝∠2(已知)
∴∠FDA＝∠DAE(等角的余角相等)
∴FD∥AE(内错角相等，两直线平行)
探究2：
定理 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简单说成:同旁内角互补，两直线平行.
已知：如图，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补
求证：a∥b.
证明:∵ ∠1与∠2互补 (已知)
∴∠1+∠2=1800(互补的定义)
∴∠1= 1800 -∠2(等式的性质)
又∵∠3+∠2=1800 (平角的定义)
∴∠3= 1800 -∠2(等式的性质)
∴∠1=∠3(等量代换)
∴ a∥b(同位角相等，两直线平行)
定理 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
简单说成:同旁内角互补，两直线平行.
做一做：
1. 如图，能判定EC∥AB的条件是（ ）
A．∠B+∠BCE=1800
B．∠A=∠ECD
C．∠B=∠ACE
D．∠A=∠ACB
解:A
2. 已知，如图直线a，b被直线c所截，且∠1+∠2=1800
求证：a∥b.
你有几种证明方法
证明：方法1：
∵ ∠1+∠2=1800 ，∠1+∠4=1800
∴∠2=∠4
∴ a∥b(同位角相等，两直线平行).
证明：方法2：
∵ ∠1+∠2=1800 ，∠1+∠5=1800
∴∠2=∠5
∴ a∥b(内错角相等，两直线平行).
证明：方法3：
∵ ∠1+∠2=1800 ，∠1=∠3
∴ ∠3+∠2=1800
∴ a∥b(同旁内角互补，两直线平行).
三、合作探究
探究3：
已知直线 AB、CD被EF所截 (如图) , AB⊥EF， CD⊥EF
判断 AB与CD是否平行，并说明理由.
∵AB⊥EF，CD⊥EF
∴ ∠1=∠2 =90°（垂直的定义）
∴AB∥ CD（同位角相等，两直线平行）.
结论：同垂直于同一直线的两条直线平行.
做一做
1.在同一平面内，有4条互不重合的直线，L1，L2，L3,L4，若L1⊥L2，L2∥L3，L3⊥L4，则L1和L4的位置关系是（ ） 21cnjy.com
解答： 解：∵ L1⊥L2, L2∥L3，∴L3⊥L1 又∵L3⊥L4，∴L1∥L4（同垂直于同一直线的两条直线平行） 故选A21·cn·jy·com
如图所示，AC⊥BC，DE⊥BC，CD⊥AB，∠ACD=40°，则∠BDE等于（ ）
解答： 解：∵AC⊥BC，DE⊥BC， ∴DE∥AC， ∴∠EDC=∠ACD=40°
又CD⊥AB， ∴∠BDE=90°﹣∠EDC =90°﹣40°=50°； 故选B
四、小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
1、同位角相等，两直线平行
2、内错角相等，两直线平行
3、同旁内角互补，两直线平行
学生自由发言，对知识方法进行归纳小结，畅谈自己的收获和体会，并相互交流.
五、达标测评
1.如图
（1）从∠1=∠2，可以推出 ∥ ，
理由是 .
（2）从∠2=∠ ，可以推出c∥d ，
理由是 .
（3）如果∠1=75°，∠4=105°，
可以推出 ∥ .
理由是 .
解：（1）a∥b，
理由是 内错角相等，两直线平行
（2）∠ 3 ，
理由是 同位角相等，两直线平行.
（3）a∥b，
理由是 同旁内角互补，两直线平行.
2．如图，∠1=70°，∠2=110°，AB与ED平行吗？ 为什么？
证明：AB与ED平行，
∵∠1+∠COA=180°，∠1=70°，
∴∠COA=180°﹣70°=110°，
∵∠2=110°，
∴∠AOC=∠2，
∴AB∥ED．
六、拓展延伸
1．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．
（1）将图①中的三角板OMN沿BA的方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；
（2）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转至如图③，当∠CON=5∠DOM时，MN与CD相交于点E，请你判断MN与BC的位置关系，并求∠CEN的度数
解：（1）在△CEN中，∠CEN=180°﹣30°﹣45°=105°；
（2）如图②，∵∠CON=5∠DOM
∴180°﹣∠DOM=5∠DOM，∴∠DOM=30°
∵∠OMN=60°∴MN⊥OD，∴MN∥BC，
∴∠CEN=180°﹣∠DCO=180°﹣45°=135°.
七、布置作业
教材174页习题第2题.
a
b
c
1
3
2
a
b
c
1
3
2
4
2
c
d
3
1
a
b
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平行线的判定
班级：___________姓名：___________得分：__________
一．选择题(每小题5分，共35分)
1．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件能使a∥b的是（ ）
A．∠1=∠6 B．∠2=∠6 C．∠1=∠3 D．∠5=∠7
2．在长方体ABCD﹣EFGH中，与面ABCD平行的棱共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．如图，四边形纸片ABCD，以下测量方法，能判定AD∥BC的是（ ）
A．∠B=∠C=90° B．∠B=∠D=90°
C．AC=BD D．点A，D到BC的距离相等
4．如图，在四边形ABCD中，若∠1=∠2，则AD∥BC，理由是（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．两直线平行，同位角相等
C．内错角相等，两直线平行 D．同位角相等，两直线平行
5．过一点画已知直线的平行线（ ）
A．有且只有一条 B．不存在 C．有两条 D．不存在或有且只有一条
6．如图，下列条件中，能判定DE∥AC的是（ ）
A．∠EDC=∠EFC B．∠AFE=∠ACD C．∠3=∠4 D．∠1=∠2
7．如图，不能判断l1∥l2的条件是（ ）
A．∠1=∠3 B．∠2+∠4=180° C．∠4=∠5 D．∠2=∠3
二．填空题(每小题5分，共20分)
1．如图，点E在AC的延长线上，对于给出的四个条件：
（1）∠3=∠4；（2）∠1=∠2；（3）∠A=∠DCE；（4）∠D+∠ABD=180°．
能判断AB∥CD的有 个．
2．如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是 ．
3．如图所示，请你填写一个适当的条件： ，使AD∥BC．
4．如图，是小明学习三线八角时制作的模具，经测量∠2=100°，要使木条a与b平行，则∠1的度数必须是 ．21世纪教育网版权所有
三．解答题(每小题15分，共45分)
1．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则BE与DF有何位置关系？试说明理由．21cnjy.com
2．如图，∠BAF=46°，∠ACE=136°，CE⊥CD．问CD∥AB吗？为什么？
3．如图，若∠EFD=110°，∠FED=35°，ED平分∠BEF，那么AB与CD平行吗？请说明你的理由．21教育网
参考答案
一．选择题(每小题5分，共35分)
1．B
【解析】∵∠2=∠6（已知），
∴a∥b（同位角相等，两直线平行），
则能使a∥b的条件是∠2=∠6，
故选B
2．D
【解析】∵面EFGH与面ABCD平行；
∴EF、FG、GH、EH四条棱与面ABCD平行．
故选：D．
3．D
【解析】A、∵∠B=∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，A不可以；
B、∠B=∠D=90°，无法得出边平行的情况，B不可以；
C、AC=BD，无法得出边平行的情况，C不可以；
D、∵点A，D到BC的距离相等，且A、D在直线BC的同侧，
∴AD∥BC，D可以．
故选D．
4．C
【解析】∵∠1与∠2是内错角，
∴若∠1=∠2，则AD∥BC．
故选C．
5．D
【解答】若点在直线上，过这点不能画已知直线的平行线；
若点在直线外，根据平行公理，有且只有一条直线与已知直线平行．
故选D．
6．C
【解析】∠EDC=∠EFC不是两直线被第三条直线所截得到的，因而不能判定两直线平行；
∠AFE=∠ACD，∠1=∠2是EF和BC被AC所截得到的同位角和内错角，因而可以判定EF∥BC，但不能判定DE∥AC；21·cn·jy·com
∠3=∠4这两个角是AC与DE被EC所截得到的内错角，可以判定DE∥AC．
故选C．
7．D
【解析】A、∠1=∠3正确，内错角相等两直线平行；
B、∠2+∠4=180°正确，同旁内角互补两直线平行；
C、∠4=∠5正确，同位角相等两直线平行；
D、∠2=∠3错误，它们不是同位角、内错角、同旁内角，故不能推断两直线平行．
故选D．
二．填空题(每小题5分，共20分)
1．3．
【解析】（1）如果∠3=∠4，那么AC∥BD，故（1）错误；
（2）∠1=∠2，那么AB∥CD；内错角相等，两直线平行，故（2）正确；
（3）∠A=∠DCE，那么AB∥CD；同位角相等，两直线平行，故（3）正确；
（4）∠D+∠ABD=180°，那么AB∥CD；同旁内角互补，两直线平行，故（4）正确．
即正确的有（2）（3）（4）．
故答案为：3．
2．同位角相等，两直线平行
【解析】如图所示，过直线外一点作已知直线的平行线，只有满足同位角相等，才能得到两直线平行．
由图形得，有两个相等的同位角，所以只能依据：同位角相等，两直线平行．
3．添加∠FAD=∠FBC，或∠ADB=∠DBC，或∠DAB+∠ABC=180°．
【解析】∵∠FAD=∠FBC
∴AD∥BC（同位角相等两直线平行）；
∵∠ADB=∠DBC
∴AD∥BC（内错角相等两直线平行）；
∵∠DAB+∠ABC=180°
∴AD∥BC（同旁内角互补两直线平行）
4．80°
【解析】如图，∵∠2=100°，
∴∠3=∠2=100°，
∴要使b与a平行，则∠1+∠3=180°，
∴∠1=180°﹣100°=80°．
故答案为：80°．
三．解答题(每小题15分，共45分)
1．答案见解析．
【解析】BE∥DF．理由如下：
∵∠A=∠C=90°（已知），
∴∠ABC+∠ADC=180°（四边形的内角和等于360°）．
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠1=∠2=∠ABC，∠3=∠4=∠ADC（角平分线的定义）．
∴∠1+∠3=（∠ABC+∠ADC）=×180°=90°（等式的性质）．
又∠1+∠AEB=90°（三角形的内角和等于180°），
∴∠3=∠AEB（同角的余角相等）．
∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．
2．答案见解析．
【解析】CD∥AB．
证明：∵CE⊥CD，
∴∠DCE=90°，
∵∠ACE=136°，
∴∠ACD=360°﹣136°﹣90°=134°，
∵∠BAF=46°，
∴∠BAC=180°﹣∠BAF=180°﹣46°=134°，
∴∠ACD=∠BAC，
∴CD∥AB．
3．AB与CD平行．理由如下：
∵ED平分∠BEF，
∴∠FED=∠BED=35°，
∴∠BEF=70°．
∵∠BEF+∠EFD=70°+110°=180°，
∴AB∥CD．
【解析】由ED为∠BEF的平分线，根据角平分线的定义可得，∠FED=∠BED=35°，进而得出∠BEF=70°，然后根据同旁内角互补两直线平行，即可AB与CD平行．
AB与CD平行．理由如下：
∵ED平分∠BEF，
∴∠FED=∠BED=35°，
∴∠BEF=70°．
∵∠BEF+∠EFD=70°+110°=180°，
∴AB∥CD．
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平行线的判定
【义务教育教科书北师版八年级上册】
学校：________
教师：________
情境引入
同位角、内错角、同旁内角的特点：
与被截直线的关系 与截线的关系
同位角
内错角
同旁内角
被截直线的同一方向
被截直线之间
被截直线之间
截线的同旁
截线的两旁
截线的同旁
“三线八角”回顾
情境引入
解：同位角∠EGB与∠EHD 、 ∠EGA与∠EHC 、 ∠BGF与∠DHF 、 ∠AGF与∠CHF，
内错角∠BGF与∠EHC、 ∠AGF与∠EHD ，
同旁内角∠AGF与∠CHE 、 ∠BGF与∠EHD
如图，直线AB、CD被直线EF所截，图中哪些角是同位角？哪些角是内错角？哪些角是同旁内角？
A
C
E
G
H
F
D
B
探究1
小明采用下面的方法作出了平行线，你认为他的作
法对吗？为什么？
．
解：小明的作法对。理由：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等,那么这两条直线平行.
探究1
已知：如图，∠1和∠2是直线a，b 被直线 c 截出的内错角，且∠1=∠2.
求证：a∥b.
证明：∵ ∠1=∠2 (已知),
a
b
c
1
3
2
∠1=∠3(对顶角相等).
∴∠3=∠2 (等量代换).
∴ a∥b(同位角相等，两直线平行).
总结
定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成:内错角相等，两直线平行.
a
b
c
1
2
做一做
1.如图，由∠1=∠2得到AB∥CD的理由是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．两直线平行，内错角相等
C．同位角相等，两直线平行
D．内错角相等，两直线平行
C
A
C
1
2
B
D
做一做
2.如图，已知CD⊥AD，DA⊥AB，∠1＝∠2，则DF与AE平行吗？为什么？
做一做
解：DF∥AE.理由如下：
∵CD⊥AD，DA⊥AB(已知)
∴∠2＋∠FDA＝90°，∠1＋∠DAE＝90°
(垂直的定义)．
又∵∠1＝∠2(已知)
∴∠FDA＝∠DAE(等角的余角相等)
∴FD∥AE(内错角相等，两直线平行)
探究2
已知：如图，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补
求证：a∥b.
a
b
c
1
3
2
探究2
证明:∵ ∠1与∠2互补 (已知)
∴∠1+∠2=1800(互补的定义)
∴∠1= 1800 -∠2(等式的性质)
又∵∠3+∠2=1800 (平角的定义)
∴∠3= 1800 -∠2(等式的性质)
∴∠1=∠3(等量代换)
∴ a∥b(同位角相等，两直线平行)
总结
定理 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
简单说成:同旁内角互补，两直线平行.
a
b
c
1
2
做一做
1.如图，能判定EC∥AB的条件是（ ）
A．∠B+∠BCE=1800 ，
B．∠A=∠ECD
C．∠B=∠BCE
D．∠A=∠ACB
A
2.已知，如图直线a，b被直线c所截，且∠1+∠2=1800
求证：a∥b.
你有几种证明方法
证明：方法1：
∵ ∠1+∠2=1800 ，∠1+∠4=1800
∴∠2=∠4
∴ a∥b(同位角相等，两直线平行).
做一做
a
b
c
1
3
2
5
4
证明：方法2：
∵ ∠1+∠2=1800 ，∠1+∠5=1800
∴∠2=∠5
∴ a∥b(内错角相等，两直线平行).
做一做
a
b
c
1
3
2
5
4
证明：方法3：
∵ ∠1+∠2=1800 ，∠1=∠3
∴ ∠3+∠2=1800
∴ a∥b(同旁内角互补，两直线平行).
做一做
a
b
c
1
3
2
5
4
探究3
A
B
C
D
E
F
∵AB⊥EF，CD⊥EF（已知）
∴AB∥ CD（同位角相等，两直线平行.)
结论：同垂直于同一直线的两条直线平行.
已知直线 AB、CD被EF所截
(如图) ,
判断 AB与CD是否平行，并说
明理由.
AB⊥EF
CD⊥EF
A
B
C
D
E
F
1
2
∴ ∠1=∠2 =90 °（垂直的定义）
1.在同一平面内，有4条互不重合的直线，L1，L2，L3,L4，若L1⊥L2，L2∥L3，L3⊥L4，则L1和L4的位置关系是（ ）
A
做一做
解答： 解：∵ L1⊥L2, L2∥L3，∴L3⊥L1 又∵L3⊥L4，∴L1∥L4（同垂直于同一直线的两条直线平行） 故选A
A． 平行 B． 垂直 C． 平行或垂直 D． 无法确定
2.如图所示，AC⊥BC，DE⊥BC，CD⊥AB，∠ACD=40°，则∠BDE等于（ ）
做一做
解答： 解：∵AC⊥BC，DE⊥BC， ∴DE∥AC， ∴∠EDC=∠ACD=40°
又CD⊥AB， ∴∠BDE=90°﹣∠EDC =90°﹣40°=50°； 故选B
B
小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
判定
数量关系
位置关系
达标测评
（1）从∠1=∠2，可以推出 ∥ ，
理由是 .
（2）从∠2=∠ ，可以推出c∥d ，
理由是 .
（3）如果∠1=75°，∠4=105°，
可以推出 ∥ .
理由是 .
b
a
内错角相等，两直线平行
同位角相等，两直线平行
3
a
b
同旁内角互补，两直线平行
4
2
c
d
3
1
a
b
1.如图
达标测评
2．如图，∠1=70°，∠2=110°，AB与ED平行吗？
为什么？
达标测评
证明：AB与ED平行，
∵∠1+∠COA=180°，∠1=70°，
∴∠COA=180°﹣70°=110°，
∵∠2=110°，
∴∠AOC=∠2，
∴AB∥ED．
拓展延伸
1．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．
（1）将图①中的三角板OMN沿BA的方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；
（2）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转至如图③，当∠CON=5∠DOM时，MN与CD相交于点E，请你判断MN与BC的位置关系，并求∠CEN的度数
拓展延伸
解：（1）在△CEN中，
∠CEN=180°﹣30°﹣45°=105°；
（2）如图②，∵∠CON=5∠DOM
∴180°﹣∠DOM=5∠DOM，∴∠DOM=30°
∵∠OMN=60°∴MN⊥OD，∴MN∥BC，
∴∠CEN=180°﹣∠DCO=180°﹣45°=135°；
布置作业
教材174页习题第2题
