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菱形
【义务教育教科书北师版九年级上册】
学校：________
教师：________
问题情境：
下面几幅图片中都含有一些平行四边形。观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
是平行四边形，且它们的四条边相等
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
平行四边形
邻边相等
菱形
AB=BC
ABCD
四边形ABCD是菱形
与上图相比较，这些平行四边形特殊在哪里？
探究一：
探究二：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
菱形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线，两条对称轴互相垂直。
用菱形纸片折一折，回答下列问题：
探究二：
（2）菱形中有哪些相等的线段？
用菱形纸片折一折，回答下列问题：
菱形的四条边相等
探究总结：
通过上面的折纸活动，我们可以发现：
1.菱形的四条边相等；
2.对角线互相垂直.
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点O.
求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD.
结论论证：
证明:（1）∵四边形ABCD是菱形，
结论论证：
∴AB = CD，AD= BC（菱形的对边相等）
又∵AB=AD
∴AB=BC=CD=AD
证明:（2）∵AB=AD
结论论证：
∴△ABD是等腰三角形
又∵四边形ABCD是菱形
∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）
在等腰三角形ABD中，
∵OB=OD
∴AO⊥BD
即AC⊥BD
菱形的性质
探究归纳
定理 菱形的两条对角线互相垂直.
定理 菱形的四条边都相等.
例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，
求菱形的边长AB和对角线AC的长.
典例探究：
∴AC=2OA=
典例探究
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD,AC⊥BD
OB=OD= = =3
在等腰三角形ABC中，
∵∠BAD=60°
∴△ABD是等边三角形
∴AB=BD=6
在RT△AOB中，由勾股定理得
OA=
尝试应用
1.菱形具有而平行四边形不一定有的性质是( )
A.对角线互相平分 B.四条边都相等
C.对角相等 D.邻角互补
2.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是_____；
3.如下图：菱形ABCD中∠BAD＝600，则∠ABD＝
_____.
B
3
600
尝试应用
4.已知，如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B.
求证：△ABC是等边三角形.
5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求 BD的长
证明： 四边形ABCD是菱形，
AB=BC,
∠BAD+∠B=1800
∠BAD=2∠B. ∠B=600
△ABC是等边三角形
解：∵菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴AC⊥BD，
∵AB=5cm，AO=4cm，
∴BO= (cm)
尝试应用：
∴BD=2BO=6cm.
1.菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（ ）
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm
2.已知菱形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O,且AC=8cm,BD=6cm，求菱形的面积
达标测评：
C
解：
达标测评：
3.在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,且E,F分别为BC,CD的中点，求∠EAF的度数。
解:连接AC,
∵AE⊥BC,E是BC的中点
∴AB=AC=BC
∴△ABC是等边三角形.
同理可得：△ABC是等边三角形
∠BAE=∠EAC=∠DAF=∠FAC=300.
∴∠EAF=600
4.菱形的周长是24，四个角的度数比是1∶2∶1∶2，求两条对角线的长度.
达标测评：
解：(1)∵菱形的邻角互补，如图∠BAD+∠ABC=1800
∠BAD∶∠ABC=1∶2
∴∠BAD=600
四边形ABCD是菱形
∴AB=AD=BC=CD
∴△ABD是等边三角形
又∵菱形的周长是24，
∴AB=AD=BC=CD=6
∴BD=6
(1)四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，AC=2AE
在RT△ABE中
∴AC=2AE=
5.已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.
求:(1)对角线AC的长度;(2)菱形ABCD的面积.
达标测评：
解：(1)四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，AC=2AE， BD=2BE
在RT△ABE中
AC=2AE=24
拓展提升：
已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M,N分别是边BC,CD的中点，P是对角线BD上一点，求PM+PN的最小值.
解：作M关于BD的对称点Q，
连接NQ，交BD于P，连接MP，
此时MP+NP的值最小，
连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，
即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M为BC中点，
∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，
四边形ABCD是菱形．
∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，
∴NQ=BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CO=AC=3，BO=BD=4，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，
即NQ=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
∴PM+PN的最小值为：5
体验收获
1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2、菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线；②菱形的四条边都相等；③菱形的对角线互相垂直平分。
七、布置作业
课本习题1.1 1、2、3登陆21世纪教育 助您教考全无忧
1.1菱形的性质和判定（1）
班级：___________姓名：___________得分：__________
选择题
1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.，H为AD 边的中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（ ） www.21-cn-jy.com
A．3.5 B．4 C．7 D. 14
如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝600,则对角线BD的长是（ ）
A．1 B． C．2 D.
3.如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3,4），则顶点M、N的坐标是（ ）2·1·c·n·j·y
M(5，0)N（8,4） B.M(4，0)N（8,4） C.M(5，0)N（7,4） D.M(4，0)N（7,4）
4.如图，菱形ABCD的边长为4，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E、F,AE=3，则四边形AECF的周长为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．22 B．18 C．14 D. 11
5.若菱形ABCD中,AE垂直平分BC于E,AE=1cm,则BC的长是
A.1cm B.cm C.3cm D.4cm 21*cnjy*com
二、填空题
6.边长为3 cm的菱形的周长是________．
7.菱形的周长为100 cm，一条对角线长为14 cm，则另一条对角线长为 。
8．在菱形ABCD中，对角线AC=8，BD=6，则它的周长为 ，面积为 。
9. 如果a表示一个菱形的对角线的平方和, b表示这个菱形的一边的平方,a与b的关系式为____________________.
三、简答题
10.如图，菱形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的点，若AE=AF=EF=AB.求∠C的度数。
已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE 、BD交于M，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。求证：AM=BE.21世纪教育网版权所有
参考答案
选择题
A
【解析】因为菱形的对角线互相垂直，所以△AOD是直角三角形，有因为H是斜边的中点，所以OH=所以答案选A21·cn·jy·com
C
【解析】因为菱形的四条边相等，所以AD=AB，又因为∠A=600所以△ABD是等边三角形所以BD=AD=2答案选C【来源：21·世纪·教育·网】
A
【解析】因为P的坐标是（3,4），所以OP=5，因为菱形四条边相等，所以M点的坐标为（5,0）,如图过N作NB⊥x轴，则MB=3所以N点坐标为（8,4）所以答案选A
4.A
【解析】在菱形ABCD中，∠BAC=∠BCA，
∵AE⊥AC，
∴∠BAC+∠BAE=∠BCA+∠E=90°，
∴∠BAE=∠E，
∴BE=AB=4，
∴EC=BE+BC=4+4=8，
同理可得AF=8，
∵AD∥BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF的周长=2（AE+EC）=2（3+8）=22．
故选：A．21·世纪*教育网
5.B.
【解析】因为菱形ABCD中,四条边相等，AE垂直平分BC于E,BE=BC,设BE=x,则AB=2x,在RT △ABE中，解之得：x=，所以BC=2-1-c-n-j-y
所以答案选B
.
二、填空题
6.12
【解析】菱形的的边长相等，周长等于边长的4倍.
7.48
【解析】菱形的周长为100，则边长为25，AC⊥BD,且AO=CO,BD=DO,在RT △ABO中，所以AC=48【来源：21cnj*y.co*m】
8.20，24
【解析】∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
OB=OD===3
OA=OC===4
∴△ABO是直角三角形
在RT△AOB中，由勾股定理得
AB=
周长=45=20，
9. a=4b
【解析】∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
OB=OD=
OA=OC=
∴△ABO是直角三角形
在RT△AOB中，由勾股定理得
即
所以b=a,a=4b
三、解答题
10.解：∵AE=EF=AF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠EAF=60°，
在菱形ABCD中，∠B=∠D=180°-∠C，
∵AE=AF=AB=AD，
∴∠BAE=∠DAF=180°-2（180°-∠C）=2∠C-180°，
∵∠BAD=∠BAE+∠DAF+∠EAF=∠C，
∴2（2∠C-180°）+60°=∠C，
解得∠C=100°．21教育网
11. 证明：∵AB=AE
∴∠ABE=∠AEB
∴四边形ABCD是菱形
∴∠ABE=2∠ABM（菱形对角线平分对角）
BC//AD
∴∠EAD=∠AEB=∠ABE
∵∠EAD=2∠BAE
∴∠ABM=∠BAE
∴AM=BM
∵∠BME=∠ABM+∠BAE=2∠BAE=∠AEB
∴BM=BE
∴AM=BE21cnjy.com
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课题： 1.1菱形的性质与判定（1）
教学目标：
知识与技能目标：
能理解菱形的性质并会初步运用菱形的性质进行简单的计算及推理论证
二、过程与方法目标：
在操作和观察的基础上发现菱形区别于平行四边形的主要特征，掌握菱形的性质.
三、情感态度与价值观目标：
在学习的过程中体会菱形的对称美和谐美；激发学习热情，树立学好数学的信心.
重点：菱形的性质定理的探究和 运用.
难点：菱形的性质定理的理解及灵活运用.
教学流程：
情景创设：
下面几幅图片中都含有一些平行四边形。观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
二、新知探究
探究一：
与上图相比较，这些平行四边形特殊在哪里？
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
几何语言 ： AB=BC
四边形ABCD是菱形
ABCD
探究二：
用菱形纸片折一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
菱形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线，两条对称轴互相垂直。
菱形中有哪些相等的线段？
菱形的四条边相等
探究总结：
通过上面的折纸活动，我们可以发现：菱形的四条边相等，对角线互相垂直.
下面我们证明这些结论.
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点O.
求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD.
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AD= BC（菱形的对边相等）
又∵AB=AD
∴AB=BC=CD=AD
（2）∵AB=AD
∴△ABD是等腰三角形
又∵四边形ABCD是菱形
∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）
在等腰三角形ABD中，
∵OB=OD
∴AO⊥BD
即AC⊥BD
探究归纳：
菱形的性质
定理 菱形的四条边都相等.
定理 菱形的两条对角线互相垂直.
三、典例探究：
例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。 21世纪教育网版权所有
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD,AC⊥BD
OB=OD===3
在等腰三角形ABC中，
∵∠BAD=60°
∴△ABD是等边三角形
∴AB=BD=6
在RT△AOB中，由勾股定理得
OA=
∴AC=2OA=
尝试应用
1.菱形具有而平行四边形不一定有的性质是( )
A.对角线互相平分 B. 四条边都相等
C.对角相等 D.邻角互补
2.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
3.如下图：菱形ABCD中∠BAD＝60度，则∠ABD＝_______.
4.已知，如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B.
求证：△ABC是等边三角形.
5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求 BD的长21教育网
解：∵菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴AC⊥BD，
∵AB=5cm，AO=4cm，
∴BO=(cm)
∴BD=2BO=6cm.
达标测评
1.菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（ ）
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm
已知菱形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O,且AC=8cm,BD=6cm，求菱形的周长和面积
3.在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,且E,F分别为BC,CD的中点，求∠EAF的度数。21cnjy.com
4.菱形的周长是24，四个角的度数比是1∶2∶1∶2，求两条对角线的长度。
5.已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.
求:(1)对角线AC的长度;
(2)菱形ABCD的面积.
拓展提升
已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M,N分别是边BC,CD的中点，P是对角线BD上一点，求PM+PN的最小值.21·cn·jy·com
七、体验收获
1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2、菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线；②菱形的四条边都相等；③菱形的对角线互相垂直平分。www.21-cn-jy.com
八、布置作业
课本习题1.1 1、2、3
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