2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 学案1（含答案）
文档属性
| 名称 | 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 学案1（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-06 11:16:56 | ||
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文档简介
2.2.2
用样本的数字特征估计总体的数字特征
学案
【学习目标】
1．掌握众数、中位数、平均数、标准差、方差的定义和特征．
2．会求众数、中位数、平均数、标准差、方差，并能用之解决有关问题．
【学习重点】
用样本的数字特征估计总体的数字特征
课前预习案
【知识链接】
甲、乙两名战士在相同条件下各射靶两次，每次命中的环数分别是：
甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7
乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5
1．甲、乙两战士命中环数的平均数甲、乙各是多少？
2．由甲，乙能否判断两人的射击水平？
3．观察上述两组数据，你认为哪个人的射击水平更稳定？
【知识梳理】
1．众数
(1)定义：一组数据中出现次数______的数称为这组数据的众数．
(2)特征：一组数据中的众数可能________个，也可能没有，反映了该组数据的__________．
2．中位数
(1)定义：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于______位置的数称为这组数据的中位数．
(2)特征：一组数据中的中位数是______的，反映了该组数据的__________．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积______．
3．平均数
(1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商．数据x1，x2，…，xn的平均数为＝____________.
(2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的________．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质．所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的______，但平均数受数据中________的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．
4．标准差
(1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，通常用以下公式来计算
s＝______________________________.
(2)特征：标准差描述一组数据围绕________波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较大，数据的离散程度较____；标准差较小，数据的离散程度较____．
5．方差
(1)定义：标准差的平方，即
s2＝________________________.
(2)特征：与________的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动程度的大小．
(3)取值范围：________.
知识拓展：数据组x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，标准差为s，则数据组ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a，b为常数)的平均数为a＋b，方差为a2s2，标准差为as.
6．用样本估计总体
现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数、众数、中位数、标准差、方差是不知道的，因此，通常用______的平均数、众数、中位数、标准差、方差来估计．这与上一节用______的频率分布来近似地代替总体分布是类似的．只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的．
小结：
用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：用样本平均数估计总体平均数；用样本标准差估计总体标准差．样本容量越大，估计就越精确．
自主小测
1、
数据组8，－1，0，4，，4，3的众数是__________．
2、
数据组－5，7，9，6，－1，0的中位数是__________．
3、10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则其平均数是__________．
4、
一组数据的单位是m，平均数是，标准差为s，则( )
A．与s的单位都是km
B．与s的单位都是cm
C．与s的单位都是m
D．与s的单位不同
5、
下列刻画一组数据离散程度的是( )
A．平均数
B．方差
C．中位数
D．众数
6、
下列判断正确的是( )
A．样本平均数一定小于总体平均数
B．样本平均数一定大于总体平均数
C．样本平均数一定等于总体平均数
D．样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数
7、电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命测试，得数据如下(单位：小时)：30，35，25，25，30，34，26，25，29，21，则该日生产电池的平均寿命估计为( )
A．27
B．28
C．29
D．30
课上导学案
【例题讲解】
题型一
计算方差(标准差)
【例题1】
从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下表，则这100人成绩的标准差为________．
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
【例题2】
某工厂人员及月工资构成如下：
人员
经理
管理人员
高级技工
工人
学徒
合计
月工资(元)
22
000
2
500
2
200
2
000
1
000
29
700
人数
1
6
5
10
1
23
合计
22
000
15
000
11
000
20
000
1
000
69
000
(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数．
(2)这个问题中，平均数能客观地反映该工厂的月工资水平吗？为什么？
【例题3】
甲、乙两台包装机同时包装质量为200克的糖果，从中各抽出10袋，测得其实际质量分别如下(单位：克)：
甲：203 204 202 196 199 201 205 197 202 199
乙：201 200 208 206 210 209 200 193 194 194
(1)分别计算两个样本的平均数与方差．
(2)从计算结果看，哪台包装机包装的10袋糖果的平均质量更接近于200克？哪台包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定？
【例题4】
小明是班里的优秀学生，他的历次数学成绩是96，98，95，93分，但最近的一次考试成绩只有45分，原因是他带病参加了考试．期末评价时，怎样给小明评价？
．
【当堂检测】
1．如图，是某篮球运动员在一个赛季的30场比赛中得分的茎叶图，则得分的中位数与众数分别为( )
A．3与3
B．23与3
C．3与23
D．23与23
2．某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛的得分情况用茎叶图表示如下：
根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是( )
A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差
B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数
C．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值
D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
3．抛硬币20次，抛得正面朝上12次，反面朝上8次．如果抛到正面朝上得3分，抛到反面朝上得1分，则平均得分是__________，得分的方差是__________．
4．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2＋y2＝__________.
5．某校高二年级在一次数学选拔赛中，由于甲、乙两人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如下：
甲
127
138
130
137
135
131
乙
133
129
138
134
128
136
求两人比赛成绩的平均数以及方差，并且分析成绩的稳定性，从中选出一位参加数学竞赛．
【问题与收获】
【知识链接】答案
【提示】 甲＝7环；乙＝7环．
【提示】 由于甲＝乙，故无法判断．
【提示】 从数字分布来看，甲命中的环数较分散，乙命中的环数较集中，故乙的射击水平更稳定．
知识梳理答案：1．(1)最多 (2)不止一 集中趋势
2．(1)中间 (2)唯一 集中趋势 相等
3．(1) (2)平均水平 信息 极端值
4．(1) (2)平均数 大 小
5．(1)[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]
(2)标准差 (3)[0，＋∞)
B 方差刻画一组数据离散程度的大小．
6．样本 样本
自主小测：1、
4
2、
3 将该组数据按从小到大排列为－5，－1，0，6，7，9，则中位数是＝3.
3、
14.7 平均数是(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝14.7.
4、
C 与s的单位都与数据组中的数据单位相同，是m.
5、
B 方差刻画一组数据离散程度的大小．
6、
D
7、B 这10个数据的平均数是(30＋35＋25＋25＋30＋34＋26＋25＋29＋21)＝28，则该日生产的电池的平均寿命估计为28小时．
答案：
【例题1】
这100人的总成绩为5×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10＝300，平均成绩为＝3，则该100人成绩的标准差为
＝.
【例题2】
解：(1)由表格可知，众数为2
000元．
把23个数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，排在中间的数应是第12个数，其值为2
200，故中位数为2
200元．
平均数为(22
000＋15
000＋11
000＋20
000＋1
000)÷23＝69
000÷23＝3
000(元)．
(2)虽然平均数为3
000元/月，但由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平．
【例题3】
解：(1)甲＝(3＋4＋2－4－1＋1＋5－3＋2－1)＋200＝200.8.
乙＝(1＋0＋8＋6＋10＋9＋0－7－6－6)＋200＝201.5.
s＝7.96，s＝38.05.
(2)∵200＜甲＜乙，
∴甲台包装机包装的10袋糖果的平均质量更接近于200克．
∵s＜s，
∴甲台包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定．
【例题4】
正解：小明5次考试成绩，从小到大排列为45，93，95，96，98，中位数是95，应评定为“优秀”．
当堂检测答案：1．D 中位数是指一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序依次排列，处在中间位置的一个数(或最中间两个数据的平均数)，从茎叶图中可知中位数为23；众数是指一组数据中出现次数最多的数，从茎叶图中可知23出现了3次，次数最多，因此众数也是23，所以选D．
2．D 甲运动员比赛得分的最高分为47，最低分为18，极差为29，乙运动员比赛得分的最高分为33，最低分为17，极差为16，所以A项正确；甲运动员比赛得分的中位数为30，乙运动员比赛得分的中位数为26，所以B项正确；甲运动员的得分平均值＝
(18＋18＋19＋20＋21＋26＋30＋32＋33＋35＋40＋41＋47)＝，乙运动员的得分平均值＝(17＋17＋19＋19＋22＋25＋26＋27＋29＋29＋30＋32＋33)＝，甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值，所以C项正确；由茎叶图知甲得分较为分散，乙得分较为集中，故甲的成绩没有乙的成绩稳定．
3．2.2 0.96 总得分为12×3＋8×1＝44，则平均分是＝2.2，方差s2＝[(3－2.2)2×12＋(1－2.2)2×8]＝0.96.
4．208 由平均数为10，得(x＋y＋10＋11＋9)×＝10，
则x＋y＝20；
又由于方差为2，则[(x－10)2＋(y－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]×＝2，
整理得x2＋y2－20(x＋y)＝－192，
则x2＋y2＝20(x＋y)－192＝20×20－192＝208.
5．解：设甲乙两人成绩的平均数分别为，，
则＝130＋＝133，
＝130＋＝133，
＝＝，
＝＝.
因此，甲与乙的平均数相同，由于乙的方差较小，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，应该选乙参加竞赛比较合适．
用样本的数字特征估计总体的数字特征
学案
【学习目标】
1．掌握众数、中位数、平均数、标准差、方差的定义和特征．
2．会求众数、中位数、平均数、标准差、方差，并能用之解决有关问题．
【学习重点】
用样本的数字特征估计总体的数字特征
课前预习案
【知识链接】
甲、乙两名战士在相同条件下各射靶两次，每次命中的环数分别是：
甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7
乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5
1．甲、乙两战士命中环数的平均数甲、乙各是多少？
2．由甲，乙能否判断两人的射击水平？
3．观察上述两组数据，你认为哪个人的射击水平更稳定？
【知识梳理】
1．众数
(1)定义：一组数据中出现次数______的数称为这组数据的众数．
(2)特征：一组数据中的众数可能________个，也可能没有，反映了该组数据的__________．
2．中位数
(1)定义：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于______位置的数称为这组数据的中位数．
(2)特征：一组数据中的中位数是______的，反映了该组数据的__________．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积______．
3．平均数
(1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商．数据x1，x2，…，xn的平均数为＝____________.
(2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的________．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质．所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的______，但平均数受数据中________的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．
4．标准差
(1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，通常用以下公式来计算
s＝______________________________.
(2)特征：标准差描述一组数据围绕________波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较大，数据的离散程度较____；标准差较小，数据的离散程度较____．
5．方差
(1)定义：标准差的平方，即
s2＝________________________.
(2)特征：与________的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动程度的大小．
(3)取值范围：________.
知识拓展：数据组x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，标准差为s，则数据组ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a，b为常数)的平均数为a＋b，方差为a2s2，标准差为as.
6．用样本估计总体
现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数、众数、中位数、标准差、方差是不知道的，因此，通常用______的平均数、众数、中位数、标准差、方差来估计．这与上一节用______的频率分布来近似地代替总体分布是类似的．只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的．
小结：
用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：用样本平均数估计总体平均数；用样本标准差估计总体标准差．样本容量越大，估计就越精确．
自主小测
1、
数据组8，－1，0，4，，4，3的众数是__________．
2、
数据组－5，7，9，6，－1，0的中位数是__________．
3、10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则其平均数是__________．
4、
一组数据的单位是m，平均数是，标准差为s，则( )
A．与s的单位都是km
B．与s的单位都是cm
C．与s的单位都是m
D．与s的单位不同
5、
下列刻画一组数据离散程度的是( )
A．平均数
B．方差
C．中位数
D．众数
6、
下列判断正确的是( )
A．样本平均数一定小于总体平均数
B．样本平均数一定大于总体平均数
C．样本平均数一定等于总体平均数
D．样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数
7、电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命测试，得数据如下(单位：小时)：30，35，25，25，30，34，26，25，29，21，则该日生产电池的平均寿命估计为( )
A．27
B．28
C．29
D．30
课上导学案
【例题讲解】
题型一
计算方差(标准差)
【例题1】
从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下表，则这100人成绩的标准差为________．
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
【例题2】
某工厂人员及月工资构成如下：
人员
经理
管理人员
高级技工
工人
学徒
合计
月工资(元)
22
000
2
500
2
200
2
000
1
000
29
700
人数
1
6
5
10
1
23
合计
22
000
15
000
11
000
20
000
1
000
69
000
(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数．
(2)这个问题中，平均数能客观地反映该工厂的月工资水平吗？为什么？
【例题3】
甲、乙两台包装机同时包装质量为200克的糖果，从中各抽出10袋，测得其实际质量分别如下(单位：克)：
甲：203 204 202 196 199 201 205 197 202 199
乙：201 200 208 206 210 209 200 193 194 194
(1)分别计算两个样本的平均数与方差．
(2)从计算结果看，哪台包装机包装的10袋糖果的平均质量更接近于200克？哪台包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定？
【例题4】
小明是班里的优秀学生，他的历次数学成绩是96，98，95，93分，但最近的一次考试成绩只有45分，原因是他带病参加了考试．期末评价时，怎样给小明评价？
．
【当堂检测】
1．如图，是某篮球运动员在一个赛季的30场比赛中得分的茎叶图，则得分的中位数与众数分别为( )
A．3与3
B．23与3
C．3与23
D．23与23
2．某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛的得分情况用茎叶图表示如下：
根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是( )
A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差
B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数
C．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值
D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
3．抛硬币20次，抛得正面朝上12次，反面朝上8次．如果抛到正面朝上得3分，抛到反面朝上得1分，则平均得分是__________，得分的方差是__________．
4．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2＋y2＝__________.
5．某校高二年级在一次数学选拔赛中，由于甲、乙两人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如下：
甲
127
138
130
137
135
131
乙
133
129
138
134
128
136
求两人比赛成绩的平均数以及方差，并且分析成绩的稳定性，从中选出一位参加数学竞赛．
【问题与收获】
【知识链接】答案
【提示】 甲＝7环；乙＝7环．
【提示】 由于甲＝乙，故无法判断．
【提示】 从数字分布来看，甲命中的环数较分散，乙命中的环数较集中，故乙的射击水平更稳定．
知识梳理答案：1．(1)最多 (2)不止一 集中趋势
2．(1)中间 (2)唯一 集中趋势 相等
3．(1) (2)平均水平 信息 极端值
4．(1) (2)平均数 大 小
5．(1)[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]
(2)标准差 (3)[0，＋∞)
B 方差刻画一组数据离散程度的大小．
6．样本 样本
自主小测：1、
4
2、
3 将该组数据按从小到大排列为－5，－1，0，6，7，9，则中位数是＝3.
3、
14.7 平均数是(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝14.7.
4、
C 与s的单位都与数据组中的数据单位相同，是m.
5、
B 方差刻画一组数据离散程度的大小．
6、
D
7、B 这10个数据的平均数是(30＋35＋25＋25＋30＋34＋26＋25＋29＋21)＝28，则该日生产的电池的平均寿命估计为28小时．
答案：
【例题1】
这100人的总成绩为5×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10＝300，平均成绩为＝3，则该100人成绩的标准差为
＝.
【例题2】
解：(1)由表格可知，众数为2
000元．
把23个数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，排在中间的数应是第12个数，其值为2
200，故中位数为2
200元．
平均数为(22
000＋15
000＋11
000＋20
000＋1
000)÷23＝69
000÷23＝3
000(元)．
(2)虽然平均数为3
000元/月，但由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平．
【例题3】
解：(1)甲＝(3＋4＋2－4－1＋1＋5－3＋2－1)＋200＝200.8.
乙＝(1＋0＋8＋6＋10＋9＋0－7－6－6)＋200＝201.5.
s＝7.96，s＝38.05.
(2)∵200＜甲＜乙，
∴甲台包装机包装的10袋糖果的平均质量更接近于200克．
∵s＜s，
∴甲台包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定．
【例题4】
正解：小明5次考试成绩，从小到大排列为45，93，95，96，98，中位数是95，应评定为“优秀”．
当堂检测答案：1．D 中位数是指一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序依次排列，处在中间位置的一个数(或最中间两个数据的平均数)，从茎叶图中可知中位数为23；众数是指一组数据中出现次数最多的数，从茎叶图中可知23出现了3次，次数最多，因此众数也是23，所以选D．
2．D 甲运动员比赛得分的最高分为47，最低分为18，极差为29，乙运动员比赛得分的最高分为33，最低分为17，极差为16，所以A项正确；甲运动员比赛得分的中位数为30，乙运动员比赛得分的中位数为26，所以B项正确；甲运动员的得分平均值＝
(18＋18＋19＋20＋21＋26＋30＋32＋33＋35＋40＋41＋47)＝，乙运动员的得分平均值＝(17＋17＋19＋19＋22＋25＋26＋27＋29＋29＋30＋32＋33)＝，甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值，所以C项正确；由茎叶图知甲得分较为分散，乙得分较为集中，故甲的成绩没有乙的成绩稳定．
3．2.2 0.96 总得分为12×3＋8×1＝44，则平均分是＝2.2，方差s2＝[(3－2.2)2×12＋(1－2.2)2×8]＝0.96.
4．208 由平均数为10，得(x＋y＋10＋11＋9)×＝10，
则x＋y＝20；
又由于方差为2，则[(x－10)2＋(y－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]×＝2，
整理得x2＋y2－20(x＋y)＝－192，
则x2＋y2＝20(x＋y)－192＝20×20－192＝208.
5．解：设甲乙两人成绩的平均数分别为，，
则＝130＋＝133，
＝130＋＝133，
＝＝，
＝＝.
因此，甲与乙的平均数相同，由于乙的方差较小，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，应该选乙参加竞赛比较合适．