2.2.2 用样本的数字特征估计总体数字特征 同步练习3（含答案）
文档属性
| 名称 | 2.2.2 用样本的数字特征估计总体数字特征 同步练习3（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 130.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-06 11:24:00 | ||
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文档简介
2.2.2
用样本的数字特征估计总体数字特征
同步练习
一、选择题
1．某校高一、高二年级各有7个班参加歌咏比赛，他们的得分的茎叶图如图所示，对这组数据分析正确的是( )
A．高一的中位数大，高二的平均数大
B．高一的平均数大，高二的中位数大
C．高一的平均数、中位数都大
D．高二的平均数、中位数都大
[答案] A
[解析] 由茎叶图可以看出，高一的中位数为93，高二的中位数为88，所以高一的中位数大．由计算得，高一的平均数为91，高二的平均数为92，所以高二的平均数大．
2．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为，则( )
A．me＝mo＝
B．me＝mo＜
C．me＜mo＜
D．mo＜me＜
[答案] D
[解析] 由条件统计图可知，30名学生的得分依次为2个3分，3个4分，10个5分，6个6分，3个7分，2个8分，2个9分，2个10分．
中位数为第15，16个数(分别为5，6)的平均数，即me＝5.5，5出现次数最多，故mo＝5，＝
≈5.97.于是得mo＜me＜.
3．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是( )
A．这种抽样方法是一种分层抽样
B．这种抽样方法是一种系统抽样
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
[答案] C
[分析] 根据抽样方法的概念可判断选项A，B；分别把数据代入方差和平均数的公式可判断选项C，D.
[解析] 若抽样方法是分层抽样，男生、女生应分别抽取6人、4人，所以A错；由题目看不出是系统抽样，所以B错；这五名男生成绩的平均数1＝＝90，
这五名女生成绩的平均数2＝＝91，
故这五名男生成绩的方差为[(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2]＝8，这五名女生成绩的方差为[(88－91)2×2＋(93－91)2×3]＝6，所以这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差，但该班男生成绩的平均数不一定小于女生成绩的平均数，所以D错．
4.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)
已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为( )
A．2，5
B．5，5
C．5，8
D．8，8
[答案] C
[分析] 观察茎叶图，由中位数的概念可得x的值，由平均数的计算公式可得y的值．
[解析] 由于甲组的中位数是15，可得x＝5，由于乙组数据的平均数为16.8，得y＝8.
5．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：
则7个剩余分数的方差为( )
A．
B．
C．36
D．
[答案] B
[分析] 根据茎叶图和平均数的计算公式求出x，然后根据方差的计算公式计算方差
[解析] 由图可知去掉的两个数是87，99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x＝4.故s2＝[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝.
6．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标来显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是( )
①平均数x≤3；②标准差s≤2；③平均数x≤3且标准差s≤2；④平均数x≤3且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于4.
A．①②
B．③④
C．③④⑤
D．④⑤
[答案] D
[解析] 本题考查平均数、标准差、极差、众数的统计意义．假设连续7天新增病例数为0，3，3，3，3，3，6，易知满足平均数x≤3且标准差x≤2，但是不符合指标，所以①②③错误．若极差等于0或1，在平均数x≤3的条件下显然符合指标；若极差等于2，则极小值与极大值的组合可能有：(1)0，2；(2)1，3；(3)2，4；(4)3，5；(5)4，6.在平均数x≤3的条件下，只有(1)(2)(3)成立，且显然符合指标，所以④正确．又易知⑤正确，故选D.
二、填空题
7．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)
[答案] 1，1，3，3
[解析] 不妨设x1≤x2≤x3≤x4，
得：x2＋x3＝4，x1＋x2＋x3＋x4＝8 x1＋x4＝4
s2＝1 (x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＋(x4－2)2＝4
①如果有一个数为0或4；则其余数为2，不合题意； ②只能取|x1－2|＝1；得：这组数据为1，1，3，3.
8．某学员在一次射击测试中射靶6次，命中环数如下：
9，5，8，4，6，10
则(1)平均命中环数为________；
(2)命中环数的标准差为________．
[答案] (1)7 (2)
[分析] 直接把数据代入平均数和标准差计算的公式可解．
[解析] (1)由公式知，平均数为(9＋5＋8＋4＋6＋10)＝7.
(2)由标准差公式知，s2＝(4＋4＋1＋9＋1＋9)＝.
9．如图是一次考试结果的频数分布直方图，根据该图可估计，这次考试的平均分数为________
[答案] 46
[解析] 根据频数分布直方图，可估计有4人成绩在[0，20)之间，其考试分数之和为4×10＝40；有8人成绩在[20，40)之间，其考试分数之和为8×30＝240；有10人成绩在[40，60)之间，其考试分数之和为10×50＝500；有6人成绩在[60，80)之间，其考试分数之和为6×70＝420；有2人成绩在[80，100)之间，其考试分数之和为2×90＝180，由此可知，考生总人数为4＋8＋10＋6＋2＝30，考虑总成绩为40＋240＋500＋420＋180＝1
380，平均数＝＝46.
三、解答题
10．为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2)根据两组数据绘制茎叶图，从茎叶图看，哪咱药的疗效更好？
[解析] (1)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为.由观测结果可得
＝×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，
＝×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.
由以上计算结果可得＞，因此可看出A药的疗效更好．
(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2，3上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0，1上，由此可看出A药的疗效更好．
[名师点睛] 从平均数上分析，甲、乙中平均数大的效果较好；从茎叶图上分析，要看甲、乙的叶在哪些茎上分布的比率大．如果甲的叶在某茎上分布的比率大，且该茎所对应的数据较大，那么甲的效果就较好．
11．某学校高一(1)班和高一(2)班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩统计如下：
班级
平均分
众数
中位数
标准差
(1)班
79
70
87
19.8
(2)班
79
70
79
5.2
(1)请你对下面的一段话给予简要分析：
高一(1)班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均分为79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算上上游了！”
(2)请你根据表中的数据，对这两个班的数学测验情况进行简要分析，并提出建议．
[分析] (1)根据平均数、中位数、众数所反映的情况来分析；(2)结合方差的意义来提出建议．
[解析] (1)由于(1)班49名学生数学测验成绩的中位数是87，则85分排在全班第25名之后，所以从位次上看，不能说85分是上游，成绩应该属于中游．
但也不能以位次来判断学习的好坏，小刚得了85分，说明他对这段的学习内容掌握得较好，从掌握学习的内容上讲，也可以说属于上游．
(2)①班成绩的中位数是87分，说明高于87分(含87)的人数占一半以上，而平均分为79分，标准差又很大，说明低分也多，两极分化严重，建议加强对学习困难的学生的帮助．
②班的中位数和平均数都是79分，标准差又小，说明学生之间差别较小，学习很差的学生少，但学习优异的也很少，建议采取措施提高优秀率．
12．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
质量指标值分组
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125)
频数
6
26
38
22
8
(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
[解析] (1)
(2)质量指标值的样本平均数为
＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
质量指标值的样本方差为
s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋(10)2×0.22＋(20)2×0.08＝104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．
用样本的数字特征估计总体数字特征
同步练习
一、选择题
1．某校高一、高二年级各有7个班参加歌咏比赛，他们的得分的茎叶图如图所示，对这组数据分析正确的是( )
A．高一的中位数大，高二的平均数大
B．高一的平均数大，高二的中位数大
C．高一的平均数、中位数都大
D．高二的平均数、中位数都大
[答案] A
[解析] 由茎叶图可以看出，高一的中位数为93，高二的中位数为88，所以高一的中位数大．由计算得，高一的平均数为91，高二的平均数为92，所以高二的平均数大．
2．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为，则( )
A．me＝mo＝
B．me＝mo＜
C．me＜mo＜
D．mo＜me＜
[答案] D
[解析] 由条件统计图可知，30名学生的得分依次为2个3分，3个4分，10个5分，6个6分，3个7分，2个8分，2个9分，2个10分．
中位数为第15，16个数(分别为5，6)的平均数，即me＝5.5，5出现次数最多，故mo＝5，＝
≈5.97.于是得mo＜me＜.
3．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是( )
A．这种抽样方法是一种分层抽样
B．这种抽样方法是一种系统抽样
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
[答案] C
[分析] 根据抽样方法的概念可判断选项A，B；分别把数据代入方差和平均数的公式可判断选项C，D.
[解析] 若抽样方法是分层抽样，男生、女生应分别抽取6人、4人，所以A错；由题目看不出是系统抽样，所以B错；这五名男生成绩的平均数1＝＝90，
这五名女生成绩的平均数2＝＝91，
故这五名男生成绩的方差为[(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2]＝8，这五名女生成绩的方差为[(88－91)2×2＋(93－91)2×3]＝6，所以这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差，但该班男生成绩的平均数不一定小于女生成绩的平均数，所以D错．
4.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)
已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为( )
A．2，5
B．5，5
C．5，8
D．8，8
[答案] C
[分析] 观察茎叶图，由中位数的概念可得x的值，由平均数的计算公式可得y的值．
[解析] 由于甲组的中位数是15，可得x＝5，由于乙组数据的平均数为16.8，得y＝8.
5．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：
则7个剩余分数的方差为( )
A．
B．
C．36
D．
[答案] B
[分析] 根据茎叶图和平均数的计算公式求出x，然后根据方差的计算公式计算方差
[解析] 由图可知去掉的两个数是87，99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x＝4.故s2＝[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝.
6．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标来显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是( )
①平均数x≤3；②标准差s≤2；③平均数x≤3且标准差s≤2；④平均数x≤3且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于4.
A．①②
B．③④
C．③④⑤
D．④⑤
[答案] D
[解析] 本题考查平均数、标准差、极差、众数的统计意义．假设连续7天新增病例数为0，3，3，3，3，3，6，易知满足平均数x≤3且标准差x≤2，但是不符合指标，所以①②③错误．若极差等于0或1，在平均数x≤3的条件下显然符合指标；若极差等于2，则极小值与极大值的组合可能有：(1)0，2；(2)1，3；(3)2，4；(4)3，5；(5)4，6.在平均数x≤3的条件下，只有(1)(2)(3)成立，且显然符合指标，所以④正确．又易知⑤正确，故选D.
二、填空题
7．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)
[答案] 1，1，3，3
[解析] 不妨设x1≤x2≤x3≤x4，
得：x2＋x3＝4，x1＋x2＋x3＋x4＝8 x1＋x4＝4
s2＝1 (x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＋(x4－2)2＝4
①如果有一个数为0或4；则其余数为2，不合题意； ②只能取|x1－2|＝1；得：这组数据为1，1，3，3.
8．某学员在一次射击测试中射靶6次，命中环数如下：
9，5，8，4，6，10
则(1)平均命中环数为________；
(2)命中环数的标准差为________．
[答案] (1)7 (2)
[分析] 直接把数据代入平均数和标准差计算的公式可解．
[解析] (1)由公式知，平均数为(9＋5＋8＋4＋6＋10)＝7.
(2)由标准差公式知，s2＝(4＋4＋1＋9＋1＋9)＝.
9．如图是一次考试结果的频数分布直方图，根据该图可估计，这次考试的平均分数为________
[答案] 46
[解析] 根据频数分布直方图，可估计有4人成绩在[0，20)之间，其考试分数之和为4×10＝40；有8人成绩在[20，40)之间，其考试分数之和为8×30＝240；有10人成绩在[40，60)之间，其考试分数之和为10×50＝500；有6人成绩在[60，80)之间，其考试分数之和为6×70＝420；有2人成绩在[80，100)之间，其考试分数之和为2×90＝180，由此可知，考生总人数为4＋8＋10＋6＋2＝30，考虑总成绩为40＋240＋500＋420＋180＝1
380，平均数＝＝46.
三、解答题
10．为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2)根据两组数据绘制茎叶图，从茎叶图看，哪咱药的疗效更好？
[解析] (1)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为.由观测结果可得
＝×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，
＝×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.
由以上计算结果可得＞，因此可看出A药的疗效更好．
(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2，3上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0，1上，由此可看出A药的疗效更好．
[名师点睛] 从平均数上分析，甲、乙中平均数大的效果较好；从茎叶图上分析，要看甲、乙的叶在哪些茎上分布的比率大．如果甲的叶在某茎上分布的比率大，且该茎所对应的数据较大，那么甲的效果就较好．
11．某学校高一(1)班和高一(2)班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩统计如下：
班级
平均分
众数
中位数
标准差
(1)班
79
70
87
19.8
(2)班
79
70
79
5.2
(1)请你对下面的一段话给予简要分析：
高一(1)班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均分为79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算上上游了！”
(2)请你根据表中的数据，对这两个班的数学测验情况进行简要分析，并提出建议．
[分析] (1)根据平均数、中位数、众数所反映的情况来分析；(2)结合方差的意义来提出建议．
[解析] (1)由于(1)班49名学生数学测验成绩的中位数是87，则85分排在全班第25名之后，所以从位次上看，不能说85分是上游，成绩应该属于中游．
但也不能以位次来判断学习的好坏，小刚得了85分，说明他对这段的学习内容掌握得较好，从掌握学习的内容上讲，也可以说属于上游．
(2)①班成绩的中位数是87分，说明高于87分(含87)的人数占一半以上，而平均分为79分，标准差又很大，说明低分也多，两极分化严重，建议加强对学习困难的学生的帮助．
②班的中位数和平均数都是79分，标准差又小，说明学生之间差别较小，学习很差的学生少，但学习优异的也很少，建议采取措施提高优秀率．
12．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
质量指标值分组
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125)
频数
6
26
38
22
8
(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
[解析] (1)
(2)质量指标值的样本平均数为
＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
质量指标值的样本方差为
s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋(10)2×0.22＋(20)2×0.08＝104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．