2.2.2 用样本的数字特征估计总体数字特征 同步练习4（含答案）

2.2.2
用样本的数字特征估计总体数字特征
同步练习
[学业水平训练]
1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是(　　)
A．85、85、85　　
B．87、85、86
C．87、85、85
D．87、85、90
解析：选C.从小到大列出所有数学成绩：75，80，85，85，85，85，90，90，95，100，观察知众数和中位数均为85，计算得平均数为87.
2．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则(　　)
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
解析：选C.由题意可知，甲的成绩为4，5，6，7，8，乙的成绩为5，5，5，6，9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6，5，B错；甲、乙的成绩的方差分别为×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝，C对；甲、乙的成绩的极差均为4，D错．
3．十八届三中全会指出要改革分配制度，要逐步改变收入不平衡的现象．已知数据x1，x2，x3，…，xn
是上海普通职工n(n≥3，n∈N
)个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn＋1，则这n＋1个数据中，下列说法正确的是(　　)
A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
解析：选B.插入大的极端值，平均数增加，中位数可能不变，方差也因为数据更加分散而变大．
4．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，甲、乙两人这几场比赛得分的平均数分别为x甲，x乙；标准差分别是s甲，s乙，则有(　　)
A．x甲＞x乙，s甲＞s乙
B．x甲＞x乙，s甲＜s乙
C．x甲＜x乙，s甲＞s乙
D．x甲＜x乙，s甲＜s乙
解析：选C.观察茎叶图可大致比较出平均数与标准差的大小关系．
5．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy＝________．
解析：由平均数是10得x＋y＝20，由标准差是，得
＝，
∴(x－10)2＋(y－10)2＝8，∴xy＝96.
答案：9
6
6．甲、乙两人在相同的条件下练习射击，每人打5发子弹，命中的环数如下：
甲：6，8，9，9，8；
乙：10，7，7，7，9.
则两人的射击成绩较稳定的是________．
解析：由题意求平均数可得
x甲＝x乙＝8，s＝1.2，s＝1.6，
s答案：甲
7．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．
解析：设5个班级中参加的人数分别为x1，x2，x3，x4，x5，则由题意知＝7，(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20，五个整数的平方和为20，则必为0＋1＋1＋9＋9＝20，由|x－7|＝3可得x＝10或x＝4.由|x－7|＝1可得x＝8或x＝6，由上可知参加的人数分别为4，6，7，8，10，故最大值为10.
答案：10
8．随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图．
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
(2)计算计甲班的样本方差．
解：(1)乙班的平均身高较高．(可由茎叶图判断或计算得出)
(2)因为甲班的平均身高为x＝i＝170(cm)，所以甲班的样本方差s2＝(xi－x)2＝(2×122＋2×92＋2×22＋12＋72＋82＋02)＝57.2.
9．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．
(1)求图中a的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数.
分数段
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
x∶y
1∶1
2∶1
3∶4
4∶5
解：(1)由频率分布直方图知
(0.04＋0.03＋0.02＋2a)×10＝1，
∴a＝0.005.
(2)55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73(分)．
所以平均分为73分．
(3)分别求出语文成绩分数段在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)的人数依次为0.05×100＝5，0.4×100＝40，0.3×100＝30，0.2×100＝20.
所以数学成绩分数段在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)的人数依次为：5，20，40，25.所以数学成绩在[50，90)之外的人数有100－(5＋20＋40＋25)＝10(人)．
[高考水平训练]
1．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均值为x，则(　　)
A．me＝m0＝x
B．me＝m0C．meD．m0解析：选D.由题意得m0＝5，me＝＝5.5，x＝
＝，显然x>me>m0，故选D.
2．某人5次上班途中所花的时间(单位：min)分别为x，y，10，11，9.若这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________．
解析：由平均数公式，得(x＋y＋10＋11＋9)×＝10，则x＋y＝20.又∵方差为2，∴[(x－10)2＋(y－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]×＝2，得x2＋y2＝208，2xy＝192，∴|x－y|＝＝＝4.
答案：4
3．为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图：
(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；
(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x1，x2，估计x1－x2
的值．
解：(1)设甲校高三年级学生总人数为n.
由题意知＝0.05，解得n＝600.
样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为1－＝.
(2)设甲、乙两校样本平均数分别为′1，′2.
根据样本茎叶图可知30′1－2＝30′1－30′2
＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92
＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.
因此′1－′2＝0.5.故1－2的估计值为0.5分．
4.在每年的春节后，某市政府都会发动公务员参与到植树绿化活动中去．林业管理部门在植树前，为了保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗，量出它们的高度如下(单位：厘米)，甲：37，21，31，20，29，19，32，23，25，33；乙：10，30，47，27，46，14，26，10，44，46.
(1)画出两组数据的茎叶图，并根据茎叶图对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出两个统计结论；
(2)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x，将这10株树苗的高度依次输入，按程序框(如图)进行运算，问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义．
解：(1)茎叶图：
统计结论：(任意两个即可)
①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；
②甲种树苗比乙种树苗长得整齐；
③甲种树苗的中位数为27，乙种树苗的中位数为28.5；
④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，乙种树苗的高度分布比较分散．
(2)x＝27，S＝35，S表示10株甲种树苗高度的方差．