2.3 变量间的相关关系 同步练习1（含答案）

2.3
变量间的相关关系
同步练习
一、选择题
1.观察下列四个散点图，两变量具有线性相关关系的是(　　)
答案:A
解析:从散点图上看A中点比较集中，具有线性相关关系，而B，C，D中点比较分散，因此不具有相关关系.
2.某商品的销售量y(件)与销售价格x(元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y=-10x+200，则下列结论正确的是
(　　)
A.y与x具有正的线性相关关系
B.若=150，则=35
C.当销售价格为10元时，销售量为100件
D.当销售价格为10元时，销售量为100件左右
答案:D
解析:因为回归方程的斜率-10<0，所以y与x具有负相关关系，故A错误；当=150时，代入回归直线方程可得=5，故B错误；把x=10代入求得y=100，是一个估计值，而不是准确值，故C错误，D正确.
3.为了考查两个变量x和y之间的线性相关关系，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用回归方法，求得回归直线分别为l1，l2，已知两人所得的试验数据中，变量x和y的数据的平均值都相等，且分别是s，t，那么下列说法正确的是(　　)
A.直线l1和l2一定过公共点(s，t)
B.直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t)
C.必有直线l1∥l2
D.l1和l2必定重合
答案:A
解析:因为线性回归直线一定过点()，
又两直线l1，l2的原数据的x和y的平均值都相等=s，=t，
所以两直线都过点(s，t).
4.某考察团对全国10大城市进行职工人均平均工资x与居民人均消费y进行统计调查，y与x具有相关关系，回归方程为=0.66x+1.562(单位:千元)，若某城市居民消费水平为7.675千元，估计该城市消费额占人均工资收入的百分比为(　　)
A.66%
B.72.3%
C.67.3%
D.83%
答案:
D
解析:由=0.66x+1.562知，
当y=7.675时，x=.
故所求百分比约为≈83%.
5.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:
广告费用x/万元
4
2
3
5
销售额y/万元
49
26
39
54
根据上表可得回归方程x+中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(　　)
A.63.6万元
B.65.5万元
C.67.7万元
D.72.0万元
答案:B
解析:∵-9.4×=9.1，
∴回归方程为=9.4x+9.1，
令x=6，得=9.4×6+9.1=65.5(万元).
6.已知x与y之间的几组数据如下表:
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为x+.若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y=b'x+a'，则以下结论正确的是(　　)
A.>b'，>a'
B.>b'，C.a'
D.答案:C
解析:，
，
，
=-，
b'==2>，a'=-2<.
二、非选择题
7.若直线=a+bx是四组数据(1，3)，(2，5)，(3，7)，(4，9)的回归直线方程，则a与b的关系为　　　　　.
答案:2a+5b=12
解析:∵(1+2+3+4)=，
(3+5+7+9)=6，
∴=a+b.∴6=a+b.
∴2a+5b=12.
8.某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170
cm和182
cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为　　　　cm.
答案:185
解析:由题意，父亲身高x
cm与儿子身高y
cm对应关系如下表:
x
173
170
176
y
170
176
182
则=173，
=176，
(xi-)(yi-)=(173-173)×(170-176)+(170-173)×(176-176)+(176-173)(182-176)=18，
(xi-)2=(173-173)2+(170-173)2+(176-173)2=18.
∴=1.
∴=176-173=3.
∴线性回归直线方程为x+=x+3.
∴可估计该老师的孙子身高为182+3=185(cm).
9.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)与月储蓄yi(单位:千元)的数据资料，算得xi=80，yi=20，xiyi=184，=720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.
附:线性回归方程y=bx+a中，b=，a=-b，其中为样本平均值，线性回归方程也可写为x+.
解:(1)由题意知n=10，xi==8，yi==2，m=-n=720-10×82=80，
n=xiy-n=184-10×8×2=24.
由此得=0.3，-b=2-0.3×8=-0.4.
故所求回归方程为y=0.3x-0.4.
(2)由于变量y的值随x的值增加而增加，b=0.3>0，故x与y之间是正相关.
(3)将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7-0.4=1.7(千元).
10.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据:
单价x/元
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y/件
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程=bx+a，其中b=-20，a=-b；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润=销售收入-成本)
解:(1)由于(x1+x2+x3+x4+x5+x6)=8.5，
(y1+y2+y3+y4+y5+y6)=80，
所以a=-b=80+20×8.5=250，从而回归直线方程为=-20x+250.
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得
L=x(-20x+250)-4(-20x+250)
=-20x2+330x-1000
=-20+361.25，
当且仅当x=8.25时，L取得最大值.
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润.