2.3 变量间的相关关系 同步练习2（含答案）

2.3
变量间的相关关系
同步练习
[学业水平训练]
1．有五组变量：
①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；
②平均日学习时间和平均学习成绩；
③某人每日吸烟量和其身体健康情况；
④立方体的棱长和体积；
⑤汽车的重量和行驶100千米的耗油量．
其中两个变量成正相关的是(　　)
A．①③　　　　
B．②④
C．②⑤
D．④⑤
解析：选C.①是负相关；②是正相关；③是负相关；④是函数关系，不是相关关系；⑤是正相关．
2．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为(　　)
A．－1　　　　　　　　　
B．0
C.
D．1
解析：选D.因为所有的点都在直线上，所以它就是确定的函数关系，所以相关系数为1.
3．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程＝＋x中，回归系数(　　)
A．不能小于0
B．不能大于0
C．不能等于0
D．只能小于0
解析：选C.当＝0时，r＝0，这时不具有线性相关关系，但能大于0，也能小于0.
4．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：(　　)
①
y与x负相关且＝2.347x－6.
423；②
y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；③
y与x正相关且＝5.437x＋8.493；④
y与x正相关且＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是(　　)
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
解析：选D.由正负相关性的定义知①④一定不正确．
5．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(　　)
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1
cm，则其体重约增加0.85
kg
D．若该大学某女生身高为170
cm，则可断定其体重必为58.79
kg
解析：选D.当x＝170时，＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79
kg，故D不正确．
6．已知一个回归直线方程为＝1.5x＋45，x∈{1，7，5，13，19}，则y＝________．
解析：因为x＝(1＋7＋5＋13＋19)＝9，
且回归直线过样本中心点(x，y)，
所以y＝1.5×9＋45＝58.5.
答案：58.5
7．某单位为了制定节能的目标，先调查了用电量y(单位：度)与气温x(单位：℃)之间的关系，随机抽取了4天的用电量与当地气温，并制作了对照表：
x
18
13
10
－1
y
24
34
38
64
由表中数据，得回归方程＝－2x＋，当气温为－5
℃时，预测用电量为________度．
解析：由表中数据计算可得＝10，＝40，
∵回归方程一定过样本点的中心(，)，
∴代入回归方程，得＝60，
∴＝－2x＋60.
当x＝－5时，代入回归方程，得＝70.
答案：70
8．对某台机器购置后的运营年限x(x＝1，2，3，…)与当年利润y的统计分析知具备线性相关关系，线性回归方程为＝10.47－1.3x，估计该台机器使用________年最合算．
解析：只要预计利润不为负数，使用该机器就算合算，即≥0，所以10.47－1.3x≥0，解得x≤8.05，所以该台机器使用8年最合算．
答案：8
9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单位x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程＝x＋，其中＝－20，＝－；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
解：(1)由于＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，
＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.
所以＝－＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为＝－20x＋250.
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得
L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)
＝－20x2＋330x－1
000
＝－20(x－)2＋361.25.
当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
10．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.，
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.，附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝，a＝－b，，其中，，为样本平均值，线性回归方程也可写为=x=.
解：(1)由题意知n＝10，x－，，n，＝i＝＝8，
y－，＝i＝＝2，
又lxx＝＝n2＝720－10×82＝80，
lxy＝iyi－n＝184－10×8×2＝24，
由此得b＝＝＝0.3，a＝y－，－bx－，＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求线性回归方程为y＝0.3x－0.4.
(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．
(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
[高考水平训练]
1．回归直线方程的系数，是最小二乘法估计中使函数Q(，)取得最小函数值时所满足的条件，其中Q(，)的表达式是(　　)
A.
(yi--xi)2
B.
|yi--xi|2
C.
(yi--xi)2
D.|yi--xi|2
解析：选A.用最小二乘法确定两变量之间的线性回归方程的思想，即求a，b使n个样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)与直线y＝a＋bx的“距离”的平方和最小，即使得Q
(，)＝(y1--x1)2＋(y2--x2)2＋……(yn--xn)
＝
(yi--xi)2达到最小，故选A.
2．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程＝0.67x＋54.9.
零件数x(个)
10
20
30
40
50
加工时间y(min)
62
75
81
89
现发现表中有一个数据看不清，请你推断该数据的值为________．
解析：由已知可计算求出＝30，而回归直线方程必过点(，)，则＝0.67×30＋54.9＝75，设模糊数字为a，则＝75，
计算得a＝68.
答案：68
3．近年来，我国高等教育事业有了迅速发展，为了解某省从2000年到2014年18岁到24岁的青年人每年考入大学的人数，我们把农村、县镇和城市分别标记为一组、二组、三组分开统计．为了便于计算，把2000年编号为0，2001年编号为1，…，2014年编号为15，如果把年份从0到15作为自变量进行回归分析，可得三个回归方程：农村：＝0.42x＋1.80；县镇：＝2.32x＋6.72；城市：＝2.84x＋9.50(y的单位是万)．则下列说法中正确的是________．(把你认为正确说法的序号填上)
①三个组的两个变量都是正相关关系；②对于县镇组而言，每年考入大学的人数约是上一年的2.32倍；③在这一阶段，城市组的大学入学人数增长最快；④0.42表示农村青年考入大学的人数以每年约4
200人递增．
解析：①由于三个组的线性回归方程中x的系数均为正数，故三个组的两个变量都是正相关关系，故①正确；②中县镇组的线性回归直线方程＝2.32x＋6.72的意义是县镇考入大学的人数每年大约比上一年增加23
200人，故②不正确，由此可推知④正确；由于三个组的线性回归方程中，城市所对应的方程的x的系数最大，表示城市入学人数增加得最快，故③正确．
答案：①③④
4．2013年11月29日，据国家统计局公布：今年全国粮食总产量为60
193.5万吨，比去年增长2.1%，实现10年连续增产．
某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份
2009
2010
2011
2012
2013
需求量(万吨)
236
246
257
276
286
(1)利用所给数据求年需求量y与年份x之间的回归直线方程＝x＋；
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2014年的粮食需求量．
解：(1)由所给数据看出，年需求量y与年份x之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，先将数据预处理如下：
年份－2
011
－2
－1
0
1
2
需求量－257
－21
－11
0
19
29
由预处理后的数据，容易算得
＝0，＝3.2，
＝
＝＝13.
＝－＝3.2.
由上述计算结果，知所求回归直线方程为
－257＝(x－2
011)＋＝13(x－2
011)＋3.2，
即＝13(x－2
011)＋260.2.
(2)利用所求得的直线方程，可预测2014年的粮食需求量为13×(2
014－2
011)＋260.2＝13×3＋260.2
＝299.7≈300(万吨)．