2.3 变量间的相关关系 学案1（含答案）

2.3变量间的相关关系
学案
【学习目标】
1．了解相关关系、线性相关、回归直线、最小二乘法的定义．
2．会作散点图，并能利用散点图和定义判断两个变量之间是否具有相关关系．
3．会求回归直线方程，并能用回归直线方程解决有关问题．
【学习重点】
变量间的相关性与回归直线方程
课前预习案
【知识链接】
问题1：在学校里，老师对学生经常这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系.这种说法有没有根据呢？
请同学们如实填写下表(在空格中打“√”
):
好
中
差
你的数学成绩
你的物理成绩
问题2：
某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿的出生率低，于是，他就得出一个结论：天鹅能够带来孩子.你认为这样得到的结论可靠吗？如何证明这个结论的可靠性？
【知识梳理】
1．相关关系
(1)定义：如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的______性，那么这两个变量之间的关系，叫做相关关系．
(2)两类特殊的相关关系：如果散点图中点的分布是从______角到______角的区域，那么这两个变量的相关关系称为正相关，如果散点图中点的分布是从______角到______角的区域，那么这两个变量的相关关系称为负相关．
2．线性相关
(1)定义：如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大致在一条______附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做__________．
(2)最小二乘法：求线性回归直线方程
＝x＋时，使得样本数据的点到它的______________最小的方法叫做最小二乘法，其中，的值由以下公式给出：
其中，是回归方程的____________，是回归方程在y轴上的______．
小结：
线性回归分析涉及大量的计算，形成操作上的一个难点，可以利用计算机非常方便地作散点图、回归直线，并能求出回归直线方程．因此在学习过程中，要重视信息技术的应用．
自主小测
1、下列图形中具有相关关系的两个变量是(　　)
2、某单位为了解用电量y(千瓦时)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温/℃
18
13
10
－1
用电量/千瓦时
24
34
38
64
由表中数据得线性回归方程
＝x＋中≈－2，则
≈__________.
课
上
导
学
案
教师点拨1：
两个变量间的关系分为三类：一类是确定性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这种关系就是相关关系，例如，某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系，我们称它们为相关关系；再一类是不相关，即两个变量间没有任何关系．
教师点拨2：①相关关系与函数关系的异同
相同点：两者均是指两个变量的关系．
不同点：函数关系是一种确定的关系．如匀速直线运动中时间t与路程s的关系；相关关系是一种非确定的关系．如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系．
函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，可能是伴随关系．
②线性回归直线方程的性质
(1)回归直线过样本数据的中心．
所谓样本数据的中心，对于单变量样本数据而言，平均数是样本数据的中心；对于以(xn，yn)为样本数据而言，(，)为样本点的中心，根据最小二乘法原理，回归直线一定过样本点的中心．
(2)回归直线的单调性与样本数据的相关性．
如果样本数据对应的点具有线性相关关系，从回归直线方程来看，当系数b＞0时，直线单调递增，此时这两个变量正相关；当b＜0时，直线单调递减，此时这两个变量负相关．
【例题讲解】
【例题1】
设对变量x，y有如下观察的数据：
x
151
152
153
154
156
157
158
159
160
162
163
164
y
40
41
41
41.5
42
42.5
43
44
45
45
46
45.5
(1)画出散点图．
(2)判断变量x，y是否具有相关关系？如果具有相关关系，那么是正相关还是负相关？
【例题2】
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程
＝x＋；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？
(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
【例题3】
下列变量之间的关系属于相关关系的是(　　)
A．圆的周长和它的半径之间的关系
B．价格不变的条件下，商品销售额与销售量之间的关系
C．家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势
D．正方形面积和它的边长之间的关系
【当堂检测】
1．已知x，y的取值如下表：
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为
＝0.95x＋a，则a＝(　　)
A．3.25
B．2.6
C．2.2
D．0
2．某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y与x具有相关关系，回归方程为
＝0.66x＋1.562.若某城市居民人均工资为9
000元，则其居民人均消费水平为__________千元．
3．某商店统计了最近6个月某商品的进价x与售价y(单位：元)的对应数据如下：
x
3
5
2
8
9
12
y
4
6
3
9
12
14
则＝________，＝________，＝__________，＝__________，回归直线方程为__________．
4．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：
使用年限x
2
3
4
5
6
维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料知y对x成线性相关关系．试求：
(1)线性回归方程＝的回归系数与；
(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
【问题与收获】
基础知识答案：1．(1)随机　(2)左下　右上　左上　右下
2．(1)直线　回归直线　(2)距离的平方和　－　斜率　截距
自主小测答案：
1、
C　A项中显然任给一个x都有唯一确定的y和它对应，是一种函数关系；B项也是一种函数关系；C项中从散点图可以看出所有点看上去都在某条直线附近波动，具有相关关系，而且是一种线性相关关系；D项中所有的点在散点图中没有显示任何关系，因此变量间是不相关的．
2、60　＝＝10，＝＝40，
则＝－≈40＋2×10＝60.
例题答案：
【例题1】
解：(1)画出散点图．
(2)具有相关关系．根据散点图，左下角到右上角的区域，变量x的值由小变大时，另一个变量y的值也由小变大，所以它们具有正相关关系．
【例题2】
解：(1)散点图，如图所示．
(2)由题意，得xiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，
＝＝4.5，
＝＝3.5，
x＝32＋42＋52＋62＝86，
则＝＝＝0.7，
＝－＝3.5－0.7×4.5＝0.35，
故线性回归方程为＝0.7x＋0.35.
(3)根据线性回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，
故消耗能源减少了90－70.35＝19.65(吨)．
【例题3】
正解：因选项A，B，D中的两个变量间都有唯一确定的关系，因而它们都是函数关系；而选项C中家庭收入会对消费支出产生一定的影响，但高收入未必有高消费，因而选项C中的关系才是相关关系．故选C．
当堂检测答案：1．B　线性回归方程一定经过样本取值的平均数点(，)，由取值表可计算＝＝2，＝＝，知回归方程为＝0.95x＋a，又经过点(2，)，代入得a＝2.6.
2．7.502　当x＝9千元时，y＝0.66×9＋1.562＝7.502.
3．6.5　8　327　396　＝1.14x＋0.59　根据公式代入即可求得，也可以利用计算器求得，＝6.5，＝8，＝327，＝396，回归直线方程为＝1.14x＋0.59.